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INTRODUÇÃO À ANÁLISE PARA A LICENCIATURA
OLIVAINE S. DE QUEIROZ
Departamento de Matemática
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
UNICAMP
Campinas
2016
Capítulo 1
Preliminares
O intuito deste primeiro capítulo é simplesmente fazer com que os estudantes recordem de maneira
independente alguns conceitos básicos sobre funções e conjuntos que serão úteis no decorrer do curso.
1.1 Funções
Não vamos nos preocupar em relembrar os conceitos básicos da Teoria ingênua dos conjuntos, apesar
de serem vitais para o curso. Porém, iniciamos com alguns comentários sobre um dos conceitos mais
importantes de toda a Matemática que é o de função.
Uma definição conhecida de todos deve ser a seguinte: uma função f de um conjunto A em um
conjunto B é uma regra de correspondência que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento
f (x) ∈ B.
Apesar da definição acima ser bastante sugestiva e, de certa forma, paupável, ela necessita ainda
de algum esclarecimento. De fato, existe uma certa dificuldade para se interpretar a frase “regra de
correspondência”. Em princípio, o leitor pode pensar que não há nada de errado com esta definição, mas
não é difícil de se convencer que uma definição dada inteiramente em termos da linguagem de conjuntos
seria com certeza mais clara em termos matemáticos.
Definição 1.1.1 Sejam A e B dois conjuntos e considere o produto cartesiano
A×B := {(a,b); a ∈ A,b ∈ B},
que é o conjunto dos pares ordenados (a,b), com a∈ A e b∈ B. Uma função de A em B é um subconjunto
f de A×B tal que, para cada a ∈ A, existe um único b ∈ B com (a,b) ∈ f .
O conjunto A é chamado de domínio de f e denotado por D( f ). O conjunto de todos os elementos
b ∈ B para os quais existe um a ∈ A com (a,b) ∈ f é chamado de imagem de f e denotado por Im( f ).
Note que, apesar de A = D( f ), temos somente que Im( f )⊂ B.
Observe que uma interpretação essencial da definição de uma função f é que se (a,b)∈ f e (a,b′)∈
f , então b = b′. Esta é a conhecida condição da reta vertical, que possui um significado geométrico
bastante elucidativo.
A notação
f : A→ B
1
2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
é usada para indicar que f é uma função de A em B. Se (a,b) ∈ f , é de costume escrever
b = f (a) ou a 7→ b.
Você pode estar pensando que trocamos uma definição intuitiva por uma bem mais abstrata com
a qual você poderá facilmente se confundir. Entretanto, não tem nada que lhe impeça de pensar em
uma função como uma regra, desde que você se lembre da abstração envolvida. Na verdade, nem esta
definição mais intuitiva nem a dada em termos da linguagem de conjuntos são as maneiras mais paupáveis
de se pensar em uma função. Sem dúvida a melhor maneira é fazer um esboço do seu gráfico. Mas
isto requer, como você já verificou no seu curso de Cálculo, o conhecimento de várias ferramentas
interessantes que procuraremos trabalhar com mais detalhes no curso de Introdução à Análise, no caso
particular em que A,B⊂ R.
Seja f : A→ B uma função e E ⊂ A. A imagem direta de E sob f é o subconjunto de B definido por
f (E) = { f (x) ∈ B;x ∈ E} .
Se H ⊂ B, definimos imagem inversa de H sob f como sendo o subconjunto f−1(H)⊂ A dado por
f−1(H) = {x ∈ A; f (x) ∈ H} .
Uma função f : A→ B é dita injetiva (ou uma injeção) se f (x1) 6= f (x2) sempre que x1 6= x2.
Dizemos que f é uma sobrejeção (ou que f aplica A sobrejetivamente em B) se f (A) = B. Uma função
sobrejetiva também é chamada de uma sobrejeção.
Se f : A→ B é injetiva e sobrejetiva, dizemos que f é uma bijeção ou que f aplica A bijetivamente
em B.
Se f : A→ B é uma bijeção, então
g = {(b,a) ∈ B×A;(a,b) ∈ f}
é uma função bijetiva de B em A (verifique). Esta função é chamada de inversa de f e é denotada por
f−1.
Se f : A→ B e g : B→ C são duas funções tais que Im( f ) ⊂ D(g) = B, a composta g ◦ f (nesta
ordem) é a função de A em C definida por
g◦ f (x) = g( f (x)), para x ∈ A.
Notemos que se f : A→ B e g : B→ C são duas funções e H é um subconjunto de C, então (g ◦
f )−1(H) = f−1(g−1(H)).
Exercício 1 Seja f (x) = x2 para x ∈ R e considere os conjuntos
E := {x ∈ R;−1≤ x≤ 0}, F := {x ∈ R;0≤ x≤ 1}.
Mostre que E ∩F = {0} e que f (E ∩F) = {0}, enquanto f (E) = f (F) = {y ∈ R;0 ≤ y ≤ 1}. Assim,
f (E ∩F) é um subconjunto próprio de f (E)∩ f (F). O que acontece se 0 é retirado dos conjuntos E e
F?
Exercício 2 Sejam f , E e F como no Exercício 1. Encontre os conjuntos E \F e f (E)\ f (F) e mostre
que não é verdade que f (E \F)⊂ f (E)\ f (F).
1.2. DEMONSTRAÇÕES 3
Exercício 3 Mostre que se f : A→ B e G,H são subconjuntos de B, então f−1(G∪H) = f−1(G)∪
f−1(H) e f−1(G∩H) = f−1(G)∩ f−1(H). Qual a relação entre f (E ∩ F) e f (E)∩ f (F) quando
E,F ⊂ A?
Exercício 4 Dada f : A→ B, prove que f (X \Y )⊃ f (X)\ f (Y ), para quaisquer subconjuntos X ,Y ⊂ A.
Mostre ainda que, se f for injetiva, então f (X \Y ) = f (X)\ f (Y ) para quaisquer X ,Y ⊂ A.
Exercício 5 Mostre que f : A→ B é injetiva se, e somente se, f (A\X) = f (A)\ f (X) para todo X ⊂ A.
Seja Λ um conjunto cujos elementos chamaremos de índices e representaremos por λ . Dado um
conjunto X , uma família de elementos de X com índices em L é uma função x : L→ X . Neste contexto,
o valor de x em λ ∈ Λ é denotado por xλ , ao invés de x(λ ).
Se a cada índice λ ∈ Λ associamos um conjunto Aλ , isto é, se X é um conjunto de conjuntos, então
a família assim obtida é chamada de família de conjuntos, e denotada por (Aλ )λ∈Λ.
Exercício 6 Dada uma família de conjuntos (Aλ )λ∈Λ, seja Y um conjunto com as seguintes proprieda-
des:
a) para todo λ ∈ Λ, tem-se que Y ⊃ Aλ ;
b) se Z ⊃ Aλ para todo λ ∈ Λ, então Z ⊃ Y .
Nesta condições, demonstre que Y =
⋃
λ∈Λ Aλ .
Exercício 7 Enuncie e demonstre um resultado análogo ao Exercício 6 caracterizando
⋂
λ∈Λ Aλ
1.2 Demonstrações
Demonstrações e argumentos matemáticos são construídos através de implicações lógicas e de sentenças
declarativas. Se estamos considerando duas sentenças P e Q escrevemos:
• P implica em Q (P⇒ Q) significa “se P é verdade, então Q é verdade”;
• P é equivalente a Q (P⇔ Q) significa que P implica em Q e Q implica em P, e dizemos “P é
verdadese, e somente se, Q é verdade”.
Para demonstrarmos que uma sentença P implica em uma sentença Q, precisamos verificar que, em
qualquer situação que a sentença P ocorra, então a sentença Q também ocorrerá. Já para demonstrarmos
que uma afirmação “P implica em Q” é falsa, basta encontrarmos um único exemplo de uma situação
onde a sentença P é válida mas a sentença Q não é verdadeira. Tal situação é chamada de contra exemplo
à afirmação.
Algumas vezes é possível demonstrarmos que uma sentença P implica em outra sentença Q sim-
plesmente testando todos os casos possíveis. Isto, porém, acontece raramente. Em geral é melhor encon-
trarmos argumentos lógicos que lidem com todos os casos da mesma maneira.
Uma demonstração direta de uma afirmação “P implica em Q” envolve a construção de uma cadeia
de sentenças
P⇒ R1,R1⇒ R2, . . . ,Rn⇒ Q.
Esta construção nem sempre é uma tarefa fácil e necessita de intuição, esforço e, em alguns casos, um
pouco de sorte. Façamos um exemplo de demonstração direta.
4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Teorema 1.2.1 O quadrado de qualquer número inteiro ímpar é também um número inteiro ímpar.
Demonstração. Denotando por n um número inteiro, nossa hipótese é
P : n é ímpar.
A conclusão do teorema é a seguinte:
Q : n2 é ímpar.
A definição de um número inteiro ímpar é a seguinte:
R1 : n = 2k−1 para algum inteiro k.
Logo, temos que P implica em R1. Queremos deduzir que n2 = 2m− 1 para algum inteiro m, o que
implica em Q. Usando álgebra simples conseguimos a seguinte cadeia de sentenças:
R2 : n2 = (2k−1)2 = 4k2−4k+1;
R3 : n2 = (4k2−4k+2)−1;
R4 : n2 = 2(2k2−2k+1)−1.
Se considerarmos m = 2k2−2k+1, obtemos
R5 : n2 = 2m−1, m inteiro,
e R5 implica em Q. �
Observação 1.2.2 Claro que, na prática, não escrevemos a demonstração da maneira que fizemos no
Teorema 1.2.1. Normalmente usamos sentenças em um estilo menos rebuscado por sentenças lógicas. O
argumento acima pode ser reescrito da maneira a seguir.Se n é um inteiro ímpar, então n = 2k− 1 para algum inteiro k. Dessa forma, n2 = 2(2k2− 2k+
1)−1. Se deifinimos m = (2k2−2k+1), então m é um inteiro e n2 = 2m−1. Portanto, n2 é um inteiro
ímpar.
Uma outra maneira de demonstrarmos uma afirmação é a chamada demonstração indireta, que
basicamente pode ser de dois tipos:
• demonstração por contradição ou por redução ao absurdo: neste caso, para demonstrarmos uma
afirmação “P implica em Q”, iniciamos supondo que P é verdadeira mas Q é falsa e identificamos,
através de implicações lógicas, uma consequência que é uma contradição ou um absurdo;
• demonstração por contra positiva ou por reciprocidade: para demonstrarmos que “P implica em
Q”, é suficiente demonstrar que “se Q não é válida, então P também não é válida”.
Passamos a dar um exemplo de demonstração por reciprocidade ou contra positiva.
Teorema 1.2.3 Se n é um inteiro e n2 é par, então n é par.
Demonstração. A negação de “Q : n é par” é a sentença “Q′ : n é ímpar”. Da mesma maneira, a negação
de “P : n2 é par” é “P′ : n2 é ímpar”. Dessa forma, precisamos demonstrar que “Q′ implica em P′”. Mas
isso já demonstramos no Teorema 1.2.1. �
Agora um exemplo de demonstração por contradição. Lembremos que um número natural p é
primo quando seus únicos divisores são o número 1 e o próprio p.
1.3. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA 5
Teorema 1.2.4 (Euclides) Existe uma quantidade infinita de números primos.
Demonstração. Suponhamos, por contradição, que exista apenas uma quantidade finita de números
primos, os quais são justamente os elementos do conjunto S = {p1, . . . , pk}. Definimos m = p1 . . . pk, o
produto de todos os primos, e seja q = m+1. Note que q > pi para qualquer i = 1, . . . ,k, e assim q não
pertence ao conjunto S, ou seja, q não é primo. Então existe um número primo p que é um divisor de q.
Claro que p = pi para algum i e, consequentemente, p divide m. Mas daí p divide a diferença q−m = 1.
Mas isso é impossível, ou seja, temos uma contradição. �
Muitas vezes usamos outros tipos de técnicas para auxiliar na demonstração de um resultado, as
quais não são válidas como demonstrações. Porém, todas as técnicas são válidas como auxílio na
construção dos argumentos lógicos para criar a intuição. Por exemplo, a construção de um diagrama ou
desenho pode enganar nosso raciocínio por ser em geral apenas um caso particular; o mesmo ocorre com
a demonstração de uma propriedade apenas para um caso particular do considerado, que é o mesmo caso
da demonstração por omissão (casos especiais apenas). Um caso que ocorre sempre é a demonstração
por superioridade, onde afirma-se que algo é verdadeiro (ou óbvio) e não se mostra os argumentos
necessários.
Primeira aula↓
1.3 Princípio de indução Matemática
Vamos assumir familiaridade com o conjunto do números naturais
N= {1,2,3, . . .}
e dos números inteiros
Z= {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .},
juntamente com as operações e ordem que naturais destes conjuntos.
Apesar de N possuir várias “deficiências”, devemos estudar algumas de suas propriedades antes de
considerarmos sistemas mais gerais.
Uma das propriedades básicas de N é o Princípio de Indução Matemática: suponha que P(n) é uma
propriedade que é válida para um número natural n; então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N desde que:
• P(1) seja verdadeira,
• se P(k) é verdadeira, então P(k+1) é verdadeira.
Como uma ilustração que nos ajuda na compreensão desse princípio, pensemos em uma quantidade
infinita de carros C1,C2, . . . , os quais estão estacionados em fila bem próximos, de maneira que, ao
empurrarmos o carro C1, este empurra o carro C2 que empurra C3, etc. Dessa forma, eventualmente
todos os carros serão empurrados. O fato de quando um carro Ck ser empurrado ele automaticamente
empurra o próximo (Ck+1) nos diz o seguinte item do Princípio de indução é verdadeiro; já o primeiro
item é válido a parir do momento que empurramos C1.
A propriedade fundamental de N que utilizaremos é a que segue.
Propriedade de Boa Ordem de N. Todo subconjunto não vazio de N possui um menor elemento.
6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Um enunciado mais detalhado desta propriedade pode ser escrito da seguinte maneira: se S ⊂ N e
S 6= /0, então existe m∈ S tal que m≤ k, para todo k ∈ S. Tendo como esta propriedade como base, vamos
demonstrar uma versão geral do Princípio de Inducão Matemática.
Princípio de Indução Matemática. Seja S⊂ N um subconjunto que possui as seguintes propriedades:
1) 1 ∈ S;
2) se k ∈ S, então k+1 ∈ S.
Então S = N.
Demonstração. Suponhamos por contradição que 1) e 2) ocorrem mas que S 6= N. Então N \ S 6= /0
e, pelo Princípio de Boa Ordem, possui um menor elemento m. Como 1 ∈ S, devemos ter m > 1. Mas
isso implica que m−1 ∈ N e m−1 < m. Sendo m o menor elemnto de N que não está em S, temos que
m−1 ∈ S. Agora aplicamos a hipótese 2) ao elemento k = m−1 ∈ S e obtemos que k+1 = m ∈ S. Mas
isto é uma contradição com o fato de m 6∈ S, o que finaliza a demonstração. �
Observação 1.3.1 O item 2) do Princípio de Indução Matemática é chamado de hipótese de indução.
No momento que estamos verificando o item 2), não estamos interessados em saber se a propriedade é
mesmo verdadeira, mas apenas na validade da afirmação “P(k) verdadeira implica em P(k+1) verda-
deira”.
Pode acontecer de uma certa propriedade P(n) ser falsa para uma certa quantidade de números
naturais mas ser verdadeira a partir de um número n0.
Princípio de Indução Matemática - segunda versão. Seja n0 ∈ N e P(n) uma certa propriedade que é
válida para o natural n. Suponhamos que:
1) P(n0) é verdadeira;
2) para qualquer k ≥ n0, o fato de P(k) ser verdadeira implica que P(k+1) é verdadeira.
Então P(n) é verdadeira para qualquer n≥ n0.
Passamos agora a apresentar alguns exemplos.
Exemplo 1.3.2 Para cada n ∈ N, a soma dos primeiros n naturais é dada por
1+2+ . . .+n =
n(n+1)
2
.
Para demonstrarmos esta fórmula, seja S o conjunto de todos os números n ∈N para os quais a fórmula
é verdadeira. Se n = 1 temos
1 =
1
2
1(1+1),
e 1 ∈ S. Suponhamos então que k ∈ S e demonstremos que k+1 ∈ S. De fato, se k ∈ S então
1+2+ . . .+ k =
1
2
k(k+1).
1.3. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA 7
Se adicionamos k+1 a ambos os lados da igualdade acima obtemos;
1+2+ . . .+ k+(k+1) =
1
2
k(k+1)+(k+1) =
1
2
(k+1)(k+2).
Segue que k+1 ∈ S e, pelo Princípio de Indução, S = N.
Exemplo 1.3.3 Dados dois números reais a,b então a−b é um fator de an−bn para todo n ∈ N.
Primeiramente vemos que este resultado é claro para n = 1 : a− b = a1− b1. Se assumirmos que
a−b é um fator de ak−bk, então
ak+1−bk+1 = ak+1−abk +abk−bk+1
= a(ak−bk)+bk(a−b).
A hipótese de indução nos diz que a−b divide a(ak−bk) e claramente tabém divide a(a−b). Portanto,
a−b divide ak+1−bk+1. O resultado segue por indução.
O Exemplo 1.3.3 implica em uma variedade de resultados de divisibilidade. Por exemplo, como
7−3 = 4, temos que 4 divide 7n−3n para todo n ∈ N.
Exemplo 1.3.4 Para cada n ∈ N, a soma dos quadrados dos primeiros n naturais é dada pela fórmula
12 +22 + . . .+n2 =
1
6
n(n+1)(2n+1).
Novamente, para demonstrarmos por indução, notamos inicialmente que a fórmula é verdadeira
para n = 1 :
12 =
1
6
1 ·2 ·3.
Supondo a fórmula verdadeira para n = k, adicionamos (k+ 1)2 a ambos os lados da igualdade para
obtermos o seguinte:
12 +22 + . . .+ k2 +(k+1)2 =
1
6
k(k+1)(2k+2)+(k+1)2
=
1
6
(k+1)(2k2 + k+6k+6)
=
1
6
(k+1)(k+2)(2k+3).
Consequentemente, a fórmula é válida para todo n ∈ N.
Exemplo 1.3.5 A desigualdade 2n > 2n+1 é falsa para n = 1,2, mas é verdadeira para qualquer n≥ 3,
n ∈ N. Suponhamos então que 2k > 2k+1, k ≥ 3. Multiplicando esta desigualdade por 2 obtemos
2k+1 > 2(2k+1) = 4k+2 = 2k+(2k+2).
Se k ≥ 1, então 2k+ 2 > 3. Assim, 2k+1 > 2k+ 3 = 2(k+ 1)+ 1 para todo k ≥ 1. Note que a hipótese
de indução é verdadeira para todo k ≥ 1, mas a desigualdade é válida apenas para n ≥ 3. Consequen-
temente, com base n0 = 3, temos que a desigualdade é válida para todo n ≥ 3 pela segunda versão do
Princípio de Indução.
8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Exemplo 1.3.6 Existemafirmações que são válidas para uma grande quantidade de números naturais,
mas que não são verdadeiras para todos. Por exemplo, a afirmação “P(n) : n2− n+ 41 é primo” é
verdadeira para n = 1, . . . ,40 (verifique), mas P(41) é obviamente falsa.
Exemplo 1.3.7 Agora vamos usar indução incorretamente para demonstrar um fato que obviamente é
absurdo. A afirmação é: todos os cavalos são da mesma cor.
Existe uma quantidade finita de cavalos. Logo, é conveniente demonstrarmos uma afirmação um
pouco mais técnica: em qualquer conjunto com n cavalos, todos os cavalos são da mesma cor. Esta
seria a afirmação P(n).
Claramente P(1) é verdadeira: em um conjunto com um único cavalo, todos os cavalos deste
conjunto possuem a mesma cor.
Suponha agora que P(k) é verdadeira: em qualquer conjunto com k cavalos, todos os cavalos são
da mesma cor. Se tomarmos um conjunto com k+1 cavalos fazemos o seguinte: removemos um cavalo
deste conjunto; por hipótese de indução, todos os k cavalos restantes possuem a mesma cor; agora,
remova um outro cavalo e retorne com o cavalo que foi retirado inicialmente. Novamente, os k cavalos
restantes são da mesma cor; continuando este porcesso teremos que cada um dos k+1 cavalos são da
mesma cor. Assim, assumindo a validade de P(k) demonstramos a validade de P(k+1) e a indução está
completa. Onde está o erro?
Para entender onde está o erro, pense no que ocorre em um conjunto com 2 cavalos e verá que não
podemos concluir que os dois cavalos são da mesma cor. Logo, a indução não é válida.
Como os números naturais são usados para contagens, eles são relativamente simples de aceitarmos
sua existência. Agora raciocinemos com os números inteiros
Z= {. . . ,−2,−2,0,1,2,3 . . .}.
O número zero e os números negativos não estão relacionados explicitamente com uma coleção de obje-
tos mas com conceitos: zero livros corresponde à ausência de livros, −4 significa que devemos 4 livros
para a biblioteca, etc. Usamos o zero e os números negativos com uma certa prática, mas explicar ana-
liticamente o que eles representam não é uma tarefa simples. É mais razoável construir os números
inteiros, o que pode ser feito usando uma relação de equivalência em N. Esta construção, porém, foge
aos objetivos do curso.
1.4 Exercícios
Exercício 8 Considere a sentença “P(n) : n = n+5”. Verifique que o item 2) do Princípio de Indução
Matemática é válido mesmo esta sentença sendo falsa.
Exercício 9 Demonstre que,
1
1 ·2
+
1
2 ·3
+ . . .+
1
n · (n+1)
=
n
n+1
, para todo n ∈ N.
Exercício 10 Demonstre que,
13 +23 + . . .+n3 =
(
n(n+1)
2
)2
, para todo n ∈ N.
1.4. EXERCÍCIOS 9
Exercício 11 Demonstre que,
3+11+ . . .+(8n−5) = 4n2−n, para todo n ∈ N.
Exercício 12 Demonstre que,
12−22 +32 + . . .+(−1)n+1n2 = (−1)n+1 n(n+1)
2
, para todo n ∈ N.
Exercício 13 Demonstre que n3 +5n é divisível por 6 para todo n ∈ N.
Exercício 14 Encontre uma fórmula para os somatórios
n
∑
i=1
(2i−1) e
n
∑
i=1
(2i−1)2.
Sugestão: o que estas fórmulas têm a ver com 1 = 2+ . . .+2n e com 12 +22 + . . .+(2n)2?
Exercício 15 Conjecture uma fórmula para a soma
1
1 ·3
+
1
3 ·5
+ . . .+
1
(2n−1)(2n+1)
e demonstre sua conjectura usando indução matemática.
Exercício 16 Demonstre a segunda versão do Princípio de Indução Matemática.
Exercício 17 Para cada n ∈ N, definamos recursivamente xn como segue:
• x1 = 1;
• x2 = 2;
• xn+2 = 12(xn+1 + xn) para todo n ∈ N.
Use o Princípio de Indução para mostrar que 1≤ xn ≤ 2 para todo n ∈ N.
Exercício 18 Considere a seguinte afirmação:
P(n): se n ∈ N e se o máximo dos números naturais p e q é n, então p = q.
Encontre o erro na seguinte demonstração dest afirmação por indução.
“Demonstração.” Seja S o subconjunto de N para o qual a afirmação é verdadeira. Note que, se p,q∈N
e se o máximo entre estes dois números é 1, então p = q, já que ambos serão iguais a 1. Assim, 1 ∈ S.
Suponha agora que k ∈ S e que o máximo entre p,q é k+ 1. Então o máximo entre p− 1 e q− 1 é k.
Mas como k ∈ S, então p−1 = q−1, ou seja p = q. Segue que k+1 ∈ S e concluimos que a afirmação
é verdadeira para todo n ∈ N.
10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Exercício 19 (a) Demonstre por indução em n que
1+ r+ r2 + . . .+ rn =
1− rn+1
1− r
se r 6= 1.
(b) Demonstre a fórmula acima definindo S = 1+r+r2+ . . .+rn, e então resolvendo para S a expressão
S− rS.
Exercício 20 A fórmula para 12 + . . .+ n2 pode ser obtida da maneira que se segue: comece com a
fórmula
(k+1)3− k3 = 3k2 +3k+1;
escreva esta fórmula para k = 1,2, . . . ,n; some cada uma dessas fórmulas para obter
(n+1)3−1 = 3(12 + . . .n2)+3(1+ . . .+n)+n;
agora, como já sabemos uma expressão para 1+ . . .+n podemos encontrar uma fórmula para 12+ . . .+
n2.
Use este método para encontrar uma expressão para
13 + . . .+n3.
Exercício 21 Demonstre que n < 2n para todo n ∈ N.
Exercício 22 Demonstre que 2n < n! para todo n≥ 4, n ∈ N.
Exercício 23 Encontre o maior número natural m tal que n3−n é divisível por m para todo n ∈ N.
Exercício 24 Demonstre que
1√
1
+
1√
2
+ . . .+
1√
n
>
√
n
para todo n ∈ N, n > 1.
Exercício 25 Exiba uma bijeção entre N e o conjunto dos números ímpares maiores que 13.
Exercício 26 Sejam m,n ∈ N números naturais tais que m > n. Demonstre que não existe uma função
injetora de {1,2, . . . ,m} em {1,2, . . . ,n}.
Exercício 27 Se n ∈ N, demonstre que não existe uma função injetora de N em {1,2, . . . ,n}.
Exercício 28 Seja n ∈ N. Dizemos que um conjunto S possui n elementos se existe uma bijeção entre
S e o conjunto {1,2, . . . ,n}. Se S possui n elementos ou se S = /0 (neste caso, S possui zero elementos),
dizemos que S é finito. Demonstre que se S é um conjunto finito então o número de elementos de S é
único.
Exercício 29 Se um conjunto S não é finito, dizemos que este conjunto é infinito. Demonstre que N é
infinito.
1.4. EXERCÍCIOS 11
Exercício 30 Defina f : N×N→ N por f (1,n) = 2n− 1 e f (m+ 1,n) = 2m(2n− 1). Mostre que f é
uma bijeção.
Exercício 31 Dizemos que um conjunto S é enumerável se S é finito ou se existe uma bijeção entre S e
N. Demonstre que N×N é enumerável.
Exercício 32 Demonstre que se, para cada m ∈ N, o conjunto Am é enumerável, então A = ∪∞m=1Am é
enumerável.
Sugestão: escreva
A1 = {a11,a12,a13, . . .}
A2 = {a21,a22,a23, . . .}
A3 = {a31,a32,a33, . . .}
...
e enumere usando um procedimento de diagonal:
a11,a21,a12,a31,a22,a13, . . . ,
o qual pode ser visualizado via diagrama.
Exercício 33 Uma certa Universidade possuía em seu departamento de Matemática 17 professores ti-
tulares. Segundo a tradição, durante o almoço semanal, onde fielmente todos os 17 professores estavam
presentes, qualquer um deles que tivesse descoberto que existia um erro eu seu trabalho já publicado
deveria anunciar este fato e logo em seguida se demitir. Este anúncio, porém, nunca ocorreu, uma vez
que nenhum professor descobriu que existia um erro em seu trabalho. Isto não significa não existiam
trabalhos errados. De fato, durante os anos, no trabalho de cada um dos membros do departamento pelo
menos um erro foi encontrado por algum outro membro do departamento. Este erro foi mencionado a
todos os demais membros, porém, para evitar um pedido de demissão (por corporativismo, na verdade)
o autor do erro não foi informado.
Em um fatídico ano, o departamento recebeu um professor visitante, com a promessa de que este
seria contratado pela Universidade após sua visita de um ano. Naturalmente, em conversas com vários
membros do departamento, ele ficou sabendo de todos os trabalhos errados que foram descobertos. Ao
final do ano sua contratação não ocorreu. Então ele se vingou do departamento durante o último almoço
semanal. “Gostei muito deste meu ano aqui no departamento de vocês. mas sinto que tem uma coisa
que devria lhes contar. Pelo menos um de vocês publicou um trabalho incorreto que foi descoberto por
outros membros do departamento.” O que aconteceu no ano seguinte?
Exercício 34 Para cada natural n, definimos n!= n ·(n−1)· . . .·2 ·1. Por convenção, 0!= 1. Se 0≤ k≤ n
são números inteiros, o coeficiente binomialé definido por(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)!
=
n(n−1) . . .(n− k+1)
k!
,
se k 6= 0 e k 6= n e (
n
0
)
=
(
n
n
)
= 1.
Se k < 0 ou se k > n, definimos o coeficiente binomial como sendo zero.
12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
a) Demonstre que (
n+1
k
)
=
(
n
k−1
)
+
(
n
k
)
.
Esta igualdade dá origem ao chamado triângulo de Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
Escreva mais um número suficiente de linha do triângulo de pascal.
b) Note que todos os números que apareceram no triângulo de Pascal são naturais. Use o item a)
para demonstrar por indução que o coeficiente binomial é sempre um número natural.
c) Demonstre que o coeficiente binomial (
n
k
)
é o número de conjuntos de exatamente k elementos escolhidos de 1, . . . ,n.
d) Demonstre o Teorema Binomial: se a e b são quaisquer números, então,
(a+b)n =
n
∑
j=0
(
n
j
)
an− jb j
= an +nan−1b+
n(n−1)
2!
an−2b2 + . . .+bn.
e) Tomando b = α−β e a = β , conclua que
α
n−β n = (α−β )
n
∑
j=1
(
n
j
)
β
n− j(α−β ) j−1.
Segunda aula↓
Aula com Auxiliar Didático.
• Comentários sobre conjuntos finitos, infinitos e enumeráveis.
• Atividade Extra: Exercícios 15, 18, 22, 30 e 31.
Terceira aula↓
1.5. NÚMEROS RACIONAIS 13
1.5 Números racionais
Uma das “deficiências” dos números naturais é que não temos bem difinida uma subtração neste con-
junto. Isto se resolve ao trabalharmos com o conjunto Z dos números inteiros:
Z= {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}.
Entretanto, ao definirmos a multiplicação usual em Z vemos também que neste conjunto não temos bem
definido o inverso multiplicativo. Para continuarmos definimos o conjunto Q dos números racionais
como sendo
Q=
{
p
q
| p ∈ Z,q ∈ N
}
.
Lembre-se que cada número racioal possui diferente representações, por exemplo:
1
2
=
2
6
=
10
30
= . . . .
Como já dissemos, vamos supor familiaridade com as propriedades algébricas da adição, multipli-
cação e divisão de números racionais. Uma das descobertas matemáticas supreendentes dos gregos foi
que o sistema dos números racionais ainda não era adequado para descrever todas as magnitudes que
ocorrem, por exemplo, em Geometri. Considere um quadrado de lados 1 e a seguinte questão: qual o
comprimento de sua diagonal? Se este comprimento vale x, então o Teorema de Pitágoras devmos ter
que x satifaz a igualdade x2 = 2. Entretanto, não existe um número racional que satisfaz esta equação.
Teorema 1.5.1 Não existe um número racional x tal que x2 = 2.
Demonstração. Tentando encontrar uma contradição, suponhamos que existe x ∈ Q tal que x2 = 2.
Escrevemos x como uma fração irredutível x = p/q, com p e q inteiros positivos. A igualdade x2 = 2
pode então ser escrita como p2 = 2q2. Segue que p2 é par e, consequentemente, p é par (Teorema 1.2.3).
Escrevemos então p = 2α, para algum inteiro positivo α. Ficamos então com a igualdade 4α2 = 2q2,
o que implica em 2α2 = q2. Pela mesma razão anterior, vemos que existe um inteiro positivo β tal que
q = 2β . Isto é uma contradição: mostramos que 2 divide p e que 2 divide q; mas tínhamos assumido que
p/q era uma fração irredutível, ou seja, p e q não poderiam ter um divisor em comum. Concluímos que
o racional x não pode existir. �
Se tivermos x2 = y para x ≥ 0, dizemos que x = √y. Dessa forma, o resultado do Teorema 1.5.1
pode ser resumido dizendo-se que
√
2 6∈Q.
Relacionado com o Teorema 1.5.1 temos o seguinte: um inteiro positivo é o quadrado de um número
racional se, e somente se, este racional é um inteiro. Esta afirmação é um caso especial do Lema de Gauss.
A demonstração que apresentamos do Teorema 1.5.1 é encontrada em vários livros de Análise e
Cálculo e já era conhecida por Euclides (aproximadamente 300 A.C.). Alguns textos dizem que já era
conhecida por Aristóteles (384-322 A.C). Vamos apresentar uma outra demonstração deste fato que é
mais recente, mas utiliza algumas propriedades de ordem que veremos mais adiante (veja [3]).
Segunda demontração do Teorema 1.5.1. Suponha que
√
2 ∈ Q. Então, existe um menor número
inteiro z tal que b
√
2 ∈ Z. Mas observe que, dessa forma, b
√
2−b = b(
√
2−1) será ainda menor que b
(pois
√
2−1 < 1) e também inteiro. Porém (b
√
2−b)
√
2 = b2−b
√
2 ∈ Z, o que nos dá que b não é o
menor inteiro com a propriedade anunciada e temos uma contradição. �
14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.6 Exercícios
Exercício 35 Imitando a demonstração do Teorema 1.5.1, demonstre que não existe x∈Q tal que x3 = 2.
Exercício 36 Use o argumento da demonstração do Teorema 1.5.1 para mostrar que não existe s ∈ Q
tal que s2 = 6.
Exercício 37 Demonstre que a raiz quadrada de qualquer número natural que não é um quadrado
perfeito não é um número racional.
Sugestão: suponha que
√
n = p/q onde p e q são inteiros que não possuem fatores em comum; então p2
e q também não possuem fatores em comum; mas note que p2/q = p
√
n = qn ∈ Z.
Exercício 38 Demonstre que entre quaisquer dois números racionais distintos existe um outro número
racional.
Exercício 39 Mostre que se x,y são racionais, então x+ y e xy são racionais.
Exercício 40 Demonstre que o conjunto Q é enumerável.
1.7 Sugestão de leitura adicional
Procure informações sobre o Matemático russo Georg Cantor e o Teorema de Cantor, que diz o seguinte:
para qualquer conjunto A, não existe uma sobrejeção entre A e o conjunto P(A) das partes de A.
Capítulo 2
Números reais
Neste capítulo vamos discutir as propriedades essenciais dos números reais R. Sabemos do curso de
Cálculo que, para vários propósitos, os números racionais são inadequados. É importante trabalhar em
um sistema de números que sejam fechados com relação às operações que iremos utilizar. No caso de
Análise, este conjunto de operações inclui o processo de calcular limites. Enquanto os números racionais
são fechados com relação ao produto e à adição (soma e produto de números racionais são ainda números
racionais), este conjunto não é fechado com relação à limites. Já o conjunto dos números reais contém
o limite de quaquer sequência de números racionais (na verdade, contém o limite de qualquer sequência
de números reais).
Ao invés de construirmos os números reais, vamos listar as propriedades fundamentais e mostrar
como, a partir delas, podemos deduzir outras propriedades. Dessa forma iremos apresentar exemplos
de demonstrações de teoremas elementares, o que fará com que os estudantes ganhem experiência em
escrever demonstrações antes de encontrar argumentos mais complicados no decorrer do curso.
O ponto central que difere os números reais dos racionais é a sua completude, a qual só foi completa-
mente entendida até o início do século 19. É com esta propriedade que podemos introduizir os conceitos
de limite e continuidade, ou seja, ela é essencial para todo o desenvolvimento da Análise Matemática.
2.1 Propriedades Algébricas
No conjunto R existem duas operações binárias “+” e “·”, adição e multiplicação (ou produto), respecti-
vamente. Estas operações satisfazem nove propriedades básicas que descrevemos abaixo. Se a,b,c ∈ R
são quaisquer números reais, temos:
P1 Associatividade da adição a+(b+ c) = (a+b)+ c;
P2 Existência do elemento neutro para a adição Existe 0 ∈ R tal que a+0 = 0+a = a;
P3 Existência do inverso aditivo Existe −a ∈ R tal que a+(−a) =−a+a = 0;
P4 Comutatividade da adição a+b = b+a;
P5 Associatividade do produto a(bc) = (ab)c;
P6 Existência do elemento neutro para o produto Existe 1 ∈ R, 1 6= 0, tal que 1a = a1 = a;
P7 Existência do inverso multiplicativo Se a 6= 0, existe a−1 ∈ R tal que aa−1 = a−1a = 1;
P8 Comutatividade do produto ab = ba;
P9 Distributividade a(b+ c) = ab+ac.
15
16 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Estas propriedade devem ser familiares para o leitor. Uma ilustração da distributividade, por exem-
plo, é dada quando usamos o algoritmo clássico de multiplicação:
13
×24
52
26
312
Note que, na verdade, estamos simplesmente realizando o seguinte procedimento:
13 ·24 = 13(2 ·10+4) = 13 ·2 ·10+13 ·4 = 26 ·10+52.
O ponto aqui é todas as técnicas familiares da aritmética dos números reais seguem dessas nove
propriedades.A demonstração da validade dessas técnicas não é o objetivo deste curso. Vamos, porém,
dar alguns exemplos de como proceder com demonstrações qe envolvem estas propriedades.
Primeiramente, vamos demonstrar a unicidade dos elementos neutros para a adição e multiplicação
e também que o produto de qualquer número real por zero é sempre zero.
Teorema 2.1.1 a) Se z,a ∈ R e z+a = a, então z = 0.
b) Se u,b ∈ R, b 6= 0, e u ·b = b, então u = 1.
c) Se a ∈ R, então a ·0 = 0.
Demonstração. Para o item a) temos:
z = z+0 = z+(a−a) = (z+a)−a = a−a = 0.
Similarmente, para o item b):
u = u ·1 = u(bb−1) = (ub)b−1 = bb−1 = 1.
Finalmente,
a+a ·0 = a ·1+a ·0 = a(1+0) = a ·1 = a.
Segue do item a) que a ·0 = 0, ou seja, o item c) está demonstrado. �
Agora demonstramos uma propriedade sobre inversos multiplicativos e que, quando o produto de
dois números reais é zero, então um deles deve ser zero.
Teorema 2.1.2 a) Se a,b ∈ R, a 6= 0, são tais que a ·b = 1, então b = a−1.
b) Se a,b ∈ R e a ·b = 0, então a = 0 ou b = 0.
Demonstração. O item a) é demonstrado da seguinte maneira:
b = 1 ·b = (a−1a)b = a−1(ab) = a−1 ·1 = a−1.
Para o item b), podemos supor que a 6= 0 pois, caso contrário, nada temos a demonstrar. Daí, pelo
item c) do Teorema 2.1.1 temos
0 = a−1 ·0 = a−1(ab) = (a−1a)b = 1 ·b = b.
2.2. EXERCÍCIOS 17
Assim, a ou b devem ser zero. �
Estes dois resultados representam uma amostra da obtenção de propriedades algébricas dos números
reais. Outras propriedades são dadas nos exercícios.
Com relação à notação, é comum simplificarmos da seguinte forma:
a−1 =
1
a
; b+(−a) = b−a; a ·b = ab.
Normalmente, a notação b−a é usada para definirmos a subtração. Analogamente, a(1/b), b 6= 0,
é usada para definirmos a divisão. Além disso, também escrevemos:
a1 = a, a2 = aa, an+1 = (an)a.
Se a 6= 0, denotamos a0 = 1 e a−n = 1/an.
2.2 Exercícios
Exercício 41 Demonstre as seguintes propriedades, onde a,b ∈ R :
(a) se a+b = 0, então b =−a; (b) − (−a) = a; (c) (−1)a =−a;
(d) (−1)(−1) = 1 (e) − (a+b) = (−a)+(−b); ( f ) (−a)(−b) = ab;
(g) 1/(−a) =−(1/a); (h) − (a/b) = (−a)/b,b 6= 0; (i) se a2 = a, então a = 0 ou a = 1.
2.3 Positividade, ordem e valor absoluto
Iremos agora discutir o conceito de poistividade e as desigualdades em R. Apesar de nãao ocorrerem
muito em Matemática elemntar, as desigualdades desempenham um papel importante em Análise. Como
no caso das propriedades algébricas, vamos apresentar três propriedades de ordem das quais todas as
demais propriedades e cálculos com desigualdades podem ser deduzidas. A maneira mais simples (e
elegante) de introduzirmos a ordem em R é distinguir um conjunto P⊂ R.
Propriedade da ordem em R. Existe um subconjunto P ⊂ R, chamado de conjunto dos números
positivos, que satisfaz as seguintes propriedades:
• compatibilidade da ordem com a adição: se a,b ∈ P, então a+b ∈ P;
• compatibilidade da ordem com o produto: se a,b ∈ P, então ab ∈ P;
• tricotomia: para qualquer a ∈ R, exatamente uma das condiões abaixo ocorrem:
a ∈ P, −a ∈ P
Para a,b ∈ R, temos as seguintes notações que complementam a Propriedade da ordem:
• a > b se a−b ∈ P;
• a < b se b > a;
18 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
• a≥ b se a−b ∈ P ou a−b = 0;
• al ≤ b se b≥ a.
Em particular, a> 0 se, e somente se, a∈P. Os elementos de P são chamados de (estritamente) positivos.
Se a < 0, dizemos que a é negativo. Se a≥ 0, dizemos que a é não negativo e, se a≤ 0, dizemos que a
é não positivo.
Usando esta notação, percebemos que a tricotomia da ordem nos diz que, dados quaisquer a,b ∈R,
uma, e somente uma, das três possibilidades ocorrem:
a < b, a = b, a > b.
Vamos ilustrar como as propriedades básicas da ordem em R podem ser usadas para demonstrarmos
regras sobre desigualdades.
Teorema 2.3.1 Sejam a,b,c ∈ R.
a) Se a > b e b > c, então a > c.
b) Se a > b, então a+ c > b+ c.
c) Se a > b e c > 0, então ca > cb.
d) Se a > b e c < 0, então ca < cb.
Demonstração. Se a−b ∈ P e b− c ∈ P, então a compatibilidade da ordem com a adição implica que
(a−b)+(b− c) = a− c ∈ P.
Isto demonstra o item a).
Para cada c ∈ R, a−b = (a+ c)− (b+ c). Logo, se a−b ∈ P, então (a+ c)− (b+ c) ∈ P, ou seja,
a > b implica em a+ c > b+ c, valendo o item b).
Para o item c), vemos incialmente que c(a− b) = ca− cb. Assim, pela compatibilidade da ordem
com a multiplicação, se c > 0 e a− b ∈ P, então ca− cb ∈ P, que é justamente o que diz o item c).
Finalmente, se c < 0, então −c > 0 e um raciocínio análogo demonstra o item d). �
Sabemos que todo número natural é positivo. Este fato é demonstrado abaixo.
Teorema 2.3.2 a) Se a ∈ R e a 6= 0, então a2 > 0.
b) 1 > 0.
c) Se n ∈ N, então n > 0.
Demonstração. Pela tricotomia, se a 6= 0, então a ∈ P ou −a ∈ P. De qualqer forma, a2 = aa =
(−a)(−a)∈P, ou seja, a2 > 0. Além disso, como 1= 12, temos que 1> 0. Estes argumentos demonstram
os itens a) e b).
Para o otem c) usaremos Indução Matemática. O item b) é o passo n = 1 da indução. Se supormos
que k ∈ P, então a compatibilidade da ordem com a adição implica que k+1 ∈ P. Segue que n > 0 para
todo n ∈ P. �
O produto de dois números reais positivos é sempre positivo. Entretanto, a recíproca não é verda-
deira.
2.3. POSITIVIDADE, ORDEM E VALOR ABSOLUTO 19
Teorema 2.3.3 Se ab > 0, então ou a < 0 e b < 0 ou a > 0 e b > 0.
Demonstração. Primeiramente observamos que se ab > 0 então a 6= 0 e b 6= 0. Pela tricotomia, a > 0
ou a < 0. Se a < 0 então a−1 > 0 e, portanto, b = a−1ab = a−1(ab)> 0. Por outro lado, se a < 0, então
a−1 < 0 e b = a−1(ab)< 0. �
Corolário 2.3.4 Se ab < 0, então ou a < 0 e b > 0 ou a > 0 e b < 0.
Exemplo 2.3.5 Para encontrarmos todos os números reais que satisfazem a desigualdade
x+2
x+4
>
x−3
2x−1
podemos proceder da maneira a seguir. Primeiramente, esta desigualdade é equivalente à seguinte:
x+2
x+4
− x−3
2x−1
> 0,
ou seja,
0 <
x+2
x+4
− x−3
2x−1
=
x2 +2x+10
(x+4)(2x−1)
=
(x+1)2 +9
(x+4)(2x−1)
.
Como o numerador é sempre positivo e o denominador se anula em x = 4 e x = 1/2, podemos examinar
separadamente o sinal de cada fator que aparece no denominador: devemos ter
x+4 > 0 e 2x−1 > 0,
ou
x+4 < 0 e 2x−1 < 0.
Concluímos que o conjunto solução para a desigualdade inicial é
{x ∈ R; x <−4}∪{x ∈ R; x > 1/2} ,
ou, na notação de intervalos conhecida do Cálculo:
(−∞,4)∪ (1/2,∞).
Para o próximo exemplo vamos usar uma propriedade adicional sobre desigualdades.
Lema 2.3.6 Se a,b ∈ R e a ≥ 0, b ≥ 0, então a < b se, e somente se, ap < bp, para qualquer inteiro
p > 0.
Demonstração. Usando o Exercício 34, temos que, para cada inteiro positivo p e para quaisquer reais
não negativos a e b,
bp−ap = (b−a)(bp−1 +bp−2a+ . . .+bap−2 +ap−1).
O segundo termo entre parênteses do lado direito é sempre positivo. Logo, o sinal de bp−ap é o mesmo
de b−a, o que demonstra o lema. �
Observação 2.3.7 Nas hipóteses do Lema 2.3.6 temos que a = ( p
√
a)p e b = ( p
√
b)p. Assim, aplicando o
resultado para p
√
a e p
√
b obtemos que ap < bp se, e somente se, p
√
a < p
√
b.
20 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Exemplo 2.3.8 Vamos resolver a desigualdade
√
2x+3 > x. Para tanto, vemos incialmente que a ex-
pressão
√
2x+3 está bbem definida desde que 2x+3 ≥ 0, ou seja, x > −3/2. Consequentemente, pre-
cisamos considerar apenas o caso em que x ∈ [−3/2,∞).
Pelo Lema 2.3.6 obtemos uma desigualdade equivalente ao elevarmos ambos os lados ao quadrado
desde que
√
2x+3≥ 0 e x≥ 0. Assim, para x≥ 0,
√
2x+3 > x
se, e somente se,
2x+3 < x2,
ou ainda,
(x−3)(x+1)< 0.
Esta última desigualdade é válida se x ∈ (−∞,−1)∩ (3,∞) = /0 ou x ∈ (−∞,3)∩ (−1,∞) = (−1,3).
Como estamos supondo x≥ 0, temos x ∈ [0,3).
Suponhamos agora que−3/2≤ x < 0. Neste caso,
√
2x+3≥ 0 e x < 0, de maneira que
√
2x+3≥
0 > x.
Combinando estes dois casos obtemos{
x;
√
2x+3 > 0
}
= [−3/2,0)∪ [0,3)
= [−3/2,3).
O próximo resultado, apesar de ser simples, é bastante útil.
Proposição 2.3.9 (Desigualdade entre a média aritmética e a geométrica) Sejam a,b ∈ R positivos.
Então √
ab≤ a+b
2
.
A igualdade ocorre somente se a = b.
Demonstração. Se a > 0 e b > 0 sãotais que a 6= b, então
√
a > 0 e
√
b > 0. Além disso,
√
a 6=
√
b.
Assim, como
√
a−
√
b 6= 0, devemos ter (
√
a−
√
b)2 > 0, ou seja,
a−2
√
a
√
b+b = (
√
a−
√
b)2 > 0,
o que implica em
√
ab≤ a+b
2
.
Supondo que a= b, é fácil ver que temos a igualdade entre a média aritmética e a geométrica. Mas o
resultado diz que esta igualdade somente é válida neste caso. Suponhamos então que temos a igualdade:
√
ab =
a+b
2
.
Então, elevando ao quadrado ambos os lados e organizando obteremos
(a−b)2 = 0,
ou seja, a = b. Isto finaliza a demonstração. �
Uma outra desigualdade importante em Análise é a próxima que apresentaremos, com nome em
homenagem ao matemático suiço Johann Bernoulli (1667-1748).
2.3. POSITIVIDADE, ORDEM E VALOR ABSOLUTO 21
Proposição 2.3.10 (Desigualdade de Bernoulli) Se x ∈ R e x >−1, então
(1+ x)n ≥ 1+nx,
para todo n ∈ N.
Demonstração. Utilizaremos Indução Matemática.
Se n = 1 a afirmação é verdadeira:
(1+ x)1 = 1+ x = 1+1x.
Suponhamos então que, para k ∈ N, k ≥ 1,
(1+ x)k ≥ 1+ kx.
Como x >−1, segue que
(1+ x)k+1 = (1+ x)k(1+ x)
= 1+ kx+ kx2 + x
= 1+(k+1)x+ kx2
≥ 1+(k+1)x,
pois kx2 ≥ . Isto demonstra o resultado. �
Quarta aula↓
Um outro fato interessante que utilizaremos é o que segue.
Proposição 2.3.11 Se a ∈ R e 0≤ a < ε para todo ε > 0, real, então a = 0.
Demonstração. Suponhamos que a > 0. Então toomando ε0 = a/2 vemos que 0 < ε0 < a. Portanto, é
falso que a < ε para todo ε > 0 real. �
O fato que −a > 0 se a < 0 é a base para a definição de valor absoluto de um número real.
Definição 2.3.12 Se a ∈ R, o valor absoluto ou módulo de a é definido por
|a|=
{
a, se a≥ 0,
−a, se a≥ 0.
Note que |a| é sempre um número positivo exceto quando a= 0. Além disso, para quaisquer a,b∈R
temos as seguintes propriedades:
• −|a| ≤ a≤ |a|;
• |a|2 = a2, ou seja, |a|=
√
a2;
• |a−b|= |b−a|;
22 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
• |ab|= |a||b|.
Teorema 2.3.13 (Desigualdade triangular) Para quaisquer a,b ∈ R temos que
|a+b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstração. Usando as propriedades do valor absoluto de um número real temos:
(|a+b|)2 = (a+b)2 = a2 = 2ab+b2
≤ a2 +2|ab|+b2
= a2 +2|a||b|+b2
= (|a|+ |b|)2.
Concluímos a demonstração uma vez que x2 < y2 implica em x < y desde que x e y sejam ambos não
negativos (Lema 2.3.6). �
Analisando com cuidado a demonstração do Teorema 2.3.13 vemos que
|a+b|= |a|+ |b|
se a e b possuem o mesmo sinal ou se um deles é zero.
2.4 Exercícios
Exercício 42 Demonstre que 1/2 > 0.
Exercício 43 Demonstre que não existe um número real positivo a tal que a ≤ b para todo b ∈ R com
b > 0.
Exercício 44 Demonstre que se a ∈ R e 0≤ a < ε para todo ε > 0 real, então a = 0.
Exercício 45 Resolva a desigualdade
1
2x2 +2
<
1
4
.
Exercício 46 Use as expressões abaixo para escrever uma desigualdade com esta expressão do lado
esquerdo, a qual possui como solução o intervalo (2,∞).
a) x+3; b)
−1
5x+2
.
Exercício 47 Resolva a desigualdade
√
2x2−2 > x.
Exercício 48 Demonstre que as seguintes desigualdades são válidas para quaisquer a,b,c ∈ R :
a) |a−b| ≤ |a|+ |b|;
b) |a|− |b| ≤ |a−b|;
2.4. EXERCÍCIOS 23
c) ||a|− |b|| ≤ |a−b|;
d) |a+b+ c| ≤ |a|+ |b|+ |c|.
Exercício 49 Resolva as seguintes desigualdades:
a) |x−2|< 1. b) |x−2|< |x+1|. c) |2x2−13|< 5.
Exercício 50 Sejam b,c ∈ R.
a) Suponha que b2−4c≥ 0. Demonstre que os números
−b±
√
b2−4c
2
satisfazem a equação x2 +bx+ c = 0.
b) Suponha que b2− 4c < 0. Mostre que não existe um número real x satisfazendo a equação x2 +
bx+ c = 0. De fato, demonstre que, neste caso, x2 +bx+ c > 0 para todo x ∈ R.
Exercício 51 Demonstre que se
|x− x0|<
ε
2
e |y− y0|<
ε
2
,
então
|(x+ y)− (x0 + y0)|< ε,
|(x− y)− (x0− y0)|< ε.
Exercício 52 Demonstre que se
|x− x0|< min
{
ε
2(|y0|+1)
,1
}
e
|y− y0|<
ε
2(|x0|+1)
,
então
|xy− x0y0|< ε.
Observação: a notação min (mínimo) significa o seguinte:
min{a,b}=
{
a, se a≤ b,
b, se b≤ a.
Similarmente, max (máximo) significa
max{a,b}=
{
a, se a≥ b,
b, se b≥ a.
24 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Exercício 53 Demonstre que se y0 6= 0 e se
|y− y0|< min
{
|y0|
2
,
ε|y0|2
2
}
,
então y 6= 0 e ∣∣∣∣1y − 1y0
∣∣∣∣< ε.
Exercício 54 Substitua o ponto de interrogação abaixo por expressões envolvendo ε, x0 e y0 de maneira
que a conclusão seja verdadeira.
Se
|y− y0|<? e |x− x0|<?,
então ∣∣∣∣xy − x0y0
∣∣∣∣< ε.
Exercício 55 Sejam a,b∈R e suponha que, para todo ε > 0, temos que a≤ b+ε. Demonstre que a≤ b.
Exercício 56 Demonstre que (
1
2
(a+b)
)2
≤ 1
2
(a2 +b2)
para quaisquer a,b ∈ R. Verifique ainda que a igualdade ocorre somente se a = b.
2.5 A propriedade do supremo
Para motivarmos o estudo de supremo e ínfimo de um conjunto iniciamos com uma definição simples.
Definição 2.5.1 Dizemos que um conjunto A⊂ R é limitado superiormente se existe um número x ∈ R
tal que x≥ a para todo a ∈ A. Neste caso, x é chamado de limitante superior para A.
É simples coletar exemplos de conjuntos que são limitados superioremente e outros que não são.
Nossa intuição nos diz que o conjunto N dos números naturais não é limitado superiormente.
Propriedade Arquimediana. O conjunto N dos números naturais não é limitado superiormente.
Vamos assumir por um momento que esta propriedade é verdadeira e apresentemos uma consequên-
cia importante dela.
Lema 2.5.2 Dado qualquer número real ε > 0, existe um número natural n ∈ N tal que
1
n
< ε.
2.5. A PROPRIEDADE DO SUPREMO 25
Demonstração. Se existisse um número real ε0 > 0 tal que
1
n
≥ ε0
para todo n ∈ N, então
n≤ 1
ε0
,
para todo n ∈ N, contradizendo o fato de N não ser limitado. Esta contradição demonstra o resultado. �
Vamos apresentar uma tentativa de demonstrar esta propriedade. Iniciamos supondo, para obter
uma contradição, que N é limitado superiormente e seja α ∈ R o menor real tal que α ≥ n para todo
n ∈N. Em particular, teríamos que α ≥ n+1 para todo n ∈N, ou ainda, α−1≥ n para todo n ∈N. Mas
estávamos supondo que α era o menor real com esta propriedade. Temos uma uma contradição já que
α−1 < α.
A demonstração apresentada, apesar de correta, contém um ponto que a princípio pode passar desa-
percebido: dado um subconjunto A⊂R limitado superiormente, é possível fixar o menor elemento entre
os limitantes superiores? Vamos verificar que esta propriedade não pode ocorrer para subconjuntos dos
números racionais Q.
Prosseguimos com uma tentativa de obter uma solução para x2−2 = 0. Notemos inicialmente que
12−2 =−1 < 0 e 32−2 = 6 > 0.
Assim, é natural esperar que, se a equação x2− 2 = 0 possuir uma solução em R, então esta deveria
pertencer ao intervalo [1,3]. Consideremos o conjunto
A =
{
x ∈ [1,3]; y2−2 < 0 para todo y ∈ [1,x]
}
.
Aqui vamos assumir familiaridade com o conceito de continuidade visto no curso de Cálculo, uma vez
que nosso intuito é motivacional. Como a função f (x) = x2−2 é negativa em 1 e positiva em 3, vemos
que A possui pontos maiores que 1, enquanto pontos próximos de 3 não pertencem ao conjunto A. Seja
α o menor número real que é maior que qalquer elemento de A. Então 1 < α < 3. Afirmamos que
α2−2 = 0. Para verificarmos este fato, basta eliminarmos as possibilidades α2−2 > 0 e α2−2 < 0.
Suponhamos que α2−2 < 0. Então, devemos ainda ter y2−2 < 0 para y em um intervalo contendo
α. Em particular, y2−2 < 0 para algum número maior que α, o que contradiz o fato de α ser o menor
elemento que é maior ou igual a todo elemento de A. Assim, não podemos ter α2−2 < 0. Um raciocínio
análogo nos mostra que α2−2 > 0 também não é possível. Concluímos que α2−2 = 0.
A demonstração acima nos diz que, se pudermos escolher o menor elemento entre os limitantes
superiores do conjunto A, então teremos uma solução para x2−2 = 0.
Vemos então através destes exemplos qual tipo de propriedade adicional ainda necessitamos em R.
Definição 2.5.3 Seja A⊂R um conjunto limitado superiormente. Um número x∈R é um supremo para
o conjunto A se tivermos:
1) x é um limitante superior para A;
2) se y é um limitante superior para A, então x≤ y.
Pode-se verificar que o supremo de um conjunto é único quando existe.
26 CAPÍTULO2. NÚMEROS REAIS
Definição 2.5.4 Um conjunto A ⊂ R é limitado inferiormente se existe x ∈ R tal que x ≤ a para todo
a ∈ A. Qualquer número real x que satisfaça esta condição é chamado de limitante inferior para A.
Dizemos que x ∈ R é o ínfimo de A se
1) x é um limitante inferior para A;
2) se y é um limitante inferior para A, então x≥ y.
Usamos as notações:
supremo de A = supA e ínfimo de A = infA.
Nos resta saber quais conjuntos possuem um supremo ou um ínfimo. Reforçamos que a existên-
cia de um supremo (ínfimo) implica em sua unicidade. Para esta discussão, vamos considerar apenas
supremos e a discussão para ínfimos fica como exercício.
Se A⊂ R não é limitado superiormente então A não possui limitante superior. Consequentemente,
não possuirá supremo. Assim, temos uma condição necessária para a existência de supremo. Por outro
lado, a simples existência de um limitante superior não implica na existência de supremo. Para um
exemplo, basta tomar A = /0 e teremos que qualquer número real é um limitante superior para A (por
vacuidade). Logo, A não pode possuir supremo (justifique). Porém, com esta excessão trivial sendo
eliminada estamos prontos para enunciar a propriedade que nos falta.
Propriedade do supremo ou completude de R. Todo subconjunto não vazio de R que é limitado
superiormente possui um supremo.
É necessário enfatizarmos que, usando as propriedades básicas que fazem de R um corpo ordenado,
não é possível demonstrar que todo subconjunto não vazio e limitado superiormente possui supremo. En-
tretanto, é uma característica essencial de R que faz com que esta propriedade seja válida. Assim, assu-
mimos como verdadeira e faremos uso frequente dela no estudo de limites e continuidade. Observamos
ainda que uma propriedade análoga vale para ínfimos: todo subconjunto não vazio de R que é limitado
inferiormente possui ínfimo. Enunciamos todos os fatos que fazem dos números reais importantes como
um teorema.
Teorema 2.5.5 Existe um corpo ordenado R que contém Q e que possui a propriedade do supremo.
Além disso, a seguinte versão da propriedade Arquimediana é válida: se x ∈ R, etão existe nx ∈ N tal
que x≤ nx.
Dizemos então que R é um corpo ordenado completo. O significado de completude ficará mais
claro no decorrer do estudo de limites. Entretanto, já podemos ter uma ideia do que significa: note que
esta propriedade nos permite resolver equações da forma x2 = 2, o que não era possível em Q.
Vamos apresentar algumas consequências da Propriedade Arquimediana que serão úteis. Antes
porém necessitamos de um fato interessante.
Corolário 2.5.6 Se S = {1/n; n ∈ N}, então inf S = 0.
Demonstração. Note que S 6= 0 e é limitado inferiormente por 0. Logo, possui ínfimo . Seja w = inf S.
Então w≥ 0. Por utro lado, dado ε > 0 arbitrário, existe n ∈ N tal que 1/n < ε, ou seja,
0≤ w≤ 1
n
< ε.
2.6. EXERCÍCIOS 27
Como ε > 0 é arbitrário, temos que w = 0 pela Proposição 2.3.11. �
Corolário 2.5.7 Se t > 0, então existe nt ∈ N tal que 0 < 1/nt < t.
Demonstração. Como inf{1/n; n ∈N}= 0 e t > 0, então t não pode ser um limitante inferior para este
conjunto. Assim, existe nt ∈ N tal que 1/nt < t. �
Corolário 2.5.8 Se y > 0, então existe ny ∈ N tal que ny−1≤ y≤ ny.
Demonstração. Consideremos o conjunto
Ey = {m ∈ N; y < m}.
Então este subconjunto de N é não vazio pela Propriedade Arquimediana. Obviamente Ey é limitado
inferiormente (por y). Seja então ny = inf Ey. Então ny− 1 não pode pertencer à Ey, ou seja, ny− 1 ≤
y≤ ny. �
Pelo que vimos, existe pelo menos um número real que não é racional: o número
√
2. Pelo exer-
cícios vimos ainda que existem vários outros. Os elementos de R \Q são chamados de irracionais. É
possível demonstrar que o conjunto dos números irracionais é não enumerável, enquanto Q é enumerá-
vel. Apesar deste fato, o conjunto dos números racionais é “grande” o suficiente no sentido que, dados
quaisquer números reais, existe um racional entre eles (de fato, existe uma quantidade infinita de racio-
nais entre eles). Nos referimos a este fato dizendo que o conjunto Q é denso em R. Vamos demonstrar
este fato.
Teorema 2.5.9 Se x,y ∈ R são quaisquer números reais com x < y, então existe um número racional
r ∈Q tal que x < r < y.
Demonstração. Suponhamos inicialmente que x > 0. Como y−x > 0, pelo Corolário 2.5.8 existe n∈N
tal que 1/n < y− x. Segue que nx+ 1 < ny. Aplicamos novamente o Corolário 2.5.8, só que agora ao
número nx > 0 : existe m ∈ N tal que m−1≤ nx≤ m. Assim, m≤ nx+1 < ny. Concluímos que
nx < m < ny, m,n ∈ N.
Dividindo por n concluímos o resultado quando x > 0.
No caso em que x = 0, basta aplicarmos a primeira parte aos números y/2 < y, visto que 0 < y/2.
Se x < 0, então −x > 0 e existe p ∈N tal que 0 <−x < p, ou ainda p+x > 0. Aplicamos o resultado da
primeia parte aos números p+ x < p+ y. �
2.6 Exercícios
Exercício 57 Seja
S =
{
1− (−1)
n
n
; n ∈ N
}
.
Encontre inf S e sup S.
Exercício 58 Seja S⊂ R um subconjunto não vazio que é limitado inferiormente. Mostre que
inf S =−sup{−s; s ∈ S}.
28 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Exercício 59 Seja S ⊂ R, S 6= /0, limitado superiormente e t = sup S. Demonstre que, para qualquer
ε > 0, existe um elemento s ∈ S tal que t− ε < s ≤ t. Note que este resultado é bastante intuitivo: os
elemntos de S devem ficar arbitrariamente próximos de t, caso contrário, teríamos espaço para diminuir
o valor de t e fazer com que o supremo seja menor.
Exercício 60 Se y > 0 é um número real, mostre que existe n ∈ N tal que 1/2n < y.
Exercício 61 Demonstre que existe um número real y tal que y2 = 3.
Exercício 62 Se u > 0 é qualquer número real e x < y, mostre que existe um número racional r tal que
x < ru < y. Conclua que o conjunto
{ru; r ∈Q}
é denso em R.
2.7 Mais algumas desigualdades
2.7.1 A desigualdade da médias aritmética e geométrica - caso geral
Em um retângulo com lados a e b, o perímetro é dado por P = 2a+2b e a área é T = ab. Pela Proposição
2.3.9 temos que
T ≤
(
P
4
)2
.
Analisando esta desigualdade vemos que, para um perímetro fixado, a área será máxima quando tivermos
a igualdade acima, ou seja, a = b e o retângulo será um quadrado.
Sejam agora a1,a2, . . . ,an números reais. Denotemos
A =
a1 +a2 + . . .an
n
=
1
n
n
∑
i=1
ai
e
G = (a1a2 . . .an)
1/n =
(
n
∏
i=1
ai
)1/n
.
Vamos deonstrar a versão geral da Proposição 2.3.9. O primeiro matemático a dar uma demonstra-
ção completa dessa desigualdade foi Augustin Cauchy em 1821.
Proposição 2.7.1 Sejam a1,a2, . . .an ∈ R e n≥ 2. Então
G≤ A,
sendo que a igualdade ocorre somente se a1 = a2 = . . .= an.
Demonstração. Faremos a demonstração por indução em n. Note que o primeiro passo da indução,
n = 2, já foi demonstrado na Proposição 2.3.9. Suponhamos então que, para qualquer k-upla a1, . . . ,ak,
k ≥ 2, tenhamos
(a1 . . .ak)1/k ≤
a1 + . . .+ak
k
.
2.7. MAIS ALGUMAS DESIGUALDADES 29
Fixemos uma (k+1)-upla a1, . . . ,ak,ak+1 e seja
à =
a1 + . . .+ak+1
k+1
.
Queremos mostrar que
(a1 . . .akak+1)1/(k+1) ≤ Ã.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
0 < a1 ≤ . . .≤ ak ≤ ak+1.
Então 0 < a1 ≤ Ã≤ ak+1 e, portanto,
Ã(a1 +ak+1− Ã)−a1ak+1 = (a1− Ã)(Ã−ak+1)≥ 0,
o que implica em
a1 +ak+1− Ã≥
a1ak+1
Ã
. (2.1)
Consideremos agora os k números reais positivos a2, . . . ,ak,(a1+ak+1− Ã) e apliquemos a hipótese
de indução a eles. Obtemos:(
a2 . . .ak(a1 +ak+1− Ã)
)1/k ≤ a2 + . . .+ak +(a1 +ak+1− Ã)
k
=
a1 +a2 + . . .+ak +ak+1− Ã
k
=
(k+1)Ã− Ã
k
= Ã.
(2.2)
Por outro lado, usando (2.1),(
a2 . . .ak(a1 +ak+1− Ã)
)1/k ≥ (a2 . . .ak a1ak+1Ã )1/k
= (a1 . . .ak+1)
1/k Ã−1/k.
(2.3)
Substituindo (2.3) em (2.2) temos
(a1 . . .ak+1)
1/k ≤ ÃÃ1/k = Ã(k+1)/k.
Ao elevarmos ambos os lados à potência k/(k+1) obtemos a desigualdade desejada. �
A Fórmula de Heron (em homenagem a Heron de Alexandria) nos diz que a área T de um triângulo
pode ser escrita em termos dos comprimentos a,b,c de seus lados e do perímetro P da seguinte maneira:
16T 2 = P(P−2a)(P−2b)(P−2c).
Aplicando a Proposição 2.7.1 aos três números reais positivos P−2a,P−2be P−2c podemos escrever:
16T 2 = P(P−2a)(P−2b)(P−2c)
≤ P
(
(P−2a)+(P−2b)+(P−2c)
3
)3
= P
(
3P−2P
3
)3
=
P4
27
.
30 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Concluímos que
T ≤ P
2
12
√
3
.
Note que o triângulo terá área máxima quando tivermos uma igualdade acima, ou seja, quando P−2a =
P−2b = P−2c. Isto ocorre precisamente quando a = b = c, ou seja, quando o triângulo é equilátero.
Desigualdades que relacionam a área com o perímetro são chamadas Desigualdades isoperimétri-
cas. Em geral, para um polígono com n lados, área T e perímetro P vale a seguinte desigualdade:
T ≤ P
2
4n tan(π/n)
.
O famoso problema isoperimétrico consiste em demonstrar que, para qualquer figura plana, a área
T e o perímetro P satiisfazem a desigualdade
T ≤ P
2
4π
.
Um referência interessante para este problema é [6].
Quinta aula↓
2.7.2 A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Sejam a1, . . . ,an e b1, . . . ,bn duas n-uplas de números reais. A próxima desigualdade nos dá um limitante
superior para a soma de produtos
n
∑
j=1
a jb j.
Teorema 2.7.2 Sejam a1, . . . ,an e b1, . . . ,bn duas n-uplas de números reais. Então
n
∑
j=1
a jb j ≤
n
∑
j=1
a2j
n
∑
j=1
b2j .
Demonstração. Se todos os números a j são zero o resultado é óbvio. Assim, basta analisarmos o caso
em que nem todos os números a j são nulos. Denotemos
A =
n
∑
j=1
a2j , B =
n
∑
j=1
b2j , C =
n
∑
j=1
a jb j.
Então A > 0 e queremos mostrar que C ≤ AB.
Para qualquer número real λ , temos que (λa j +b j)2 ≥ 0. Logo
n
∑
j=1
(
λ
2a2j +2λa jb j +b
2
j
)
=
n
∑
j=1
(λa j +b j)2 ≥ 0.
Mas podemos escrever esta desigualdade como
λ
2A+2λC+B≥ 0,
2.8. EXERCÍCIOS 31
ou ainda, multiplicando por A ambos os lados,
λ
2A2 +2λAC+AB≥ 0.
Equivalentemente, completando quadrados,
(λA+C)2 +AB≥C2,
para qualquer λ ∈ R. Como A 6= 0, podemos escolher λ = −C/A e substituir nesta desigualdade para
obtermos
AB≥C2,
como queríamos demonstrar. �
2.8 Exercícios
Exercício 63 Fixada uma n-upla de números reais a1, . . . ,an, todos não nulos, a média harmônica
desses números é
H =
(
1/a1 + . . .+1/an
n
)−1
.
Demonstre que
H ≤ (a1 . . .an)1/n.
Conclua ainda que
n
∑
j=1
a j
n
∑
j=1
1
a j
≥ n2.
Sugestão: use a Proposição 2.7.1 diretamente.
Exercício 64 Um banco na sua cidade vende dólares pela taxa $1 = R$A e compra pela taxa $1 = R$B.
Vocé e um amigo querem trocar dólares e reais entre vocês a uma taxa que seja justa para ambos. Mostre
que a taxa justa é $1 = R$
√
AB, a média geométrica entre A e B.
Exercício 65 Encontre uma condição necessária e suficiente para que ocorra uma igualdade na Desi-
gualdade de Cauchy Schwarz.
2.9 Sugestão de leitura adicional
Uma relação entre as médias harmônica, geométrica e aritmética e o número de ouro pode ser encontrada
na referência [4].
32 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Capítulo 3
Sequências
Agora que estudamos os fundamentos sobre os números reais, estamos preparados para considerar ques-
tões de natureza mais analítica. Começaremos com o estudo de sequências de números reais. Após
apresentarmos alguns fatos básicos, faremos a demonstração de resultados mais profundos e essenciais
como o Teorema da Convergência Monótona, o Teorema de Bolzano-Weierstrass e o Critério de Cauchy.
3.1 Convergência e resultados básicos
Definição 3.1.1 Uma sequência é uma função x : N→ R. O conjunto dos valores da sequência, ou a
imagem de x, é o conjunto
{x(1),x(2),x(3), . . .}.
Escrevemos tal conjunto mais costumeiramente como
(x1,x2,x3, . . .), ou (xn)n∈N ou ainda (xn).
Cada xn, n ∈ N, é chamado de termo da sequência.
É importante que a notação para sequência seja diferente da notação para o conjunto imagem. De
fato, seja x = (xn)n∈N onde xn = (−1)n. então
x = (−1,1,−1,1, . . .) 6= {(−1)n; n ∈ N}= {−1,1}.
Exemplo 3.1.2 Se b∈R, a sequência x = (xn) dada por xn = b para todo n∈N é chamada de sequência
constante.
Exemplo 3.1.3 Se x = (1/2n)n∈N, então
x =
(
1
2
,
1
4
, . . . ,
1
2n
, . . .
)
.
Exemplo 3.1.4 A sequência y = (yn) onde y1 = 2 e os demais termos são definidos pela relação de
recorrência yn+1 = yn +2, n ∈ N, é a sequência dos números pares
x = (2,4,6, . . .).
33
34 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Exemplo 3.1.5 A sequência de Fibonacci f = ( fn) é definida recursivamente por
f1 = 1, f2 = 1, fn+1 = fn−1 + fn, n≥ 2.
Explicitamente,
f (1,1,2,3,5,8,13, . . .).
Definição 3.1.6 Dizemos que a sequência x = (xn) converge para um número real a ∈ R se, dado qual-
quer ε > 0, existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que, para todo n≥ n0,
|xn−a|< ε.
Neste caso escrevemos
lim
n→∞
xn = a ou xn→ a.
Se uma sequênca não converge, dizemos que ela é divergente.
Exemplo 3.1.7 A sequência x = (1/n)n∈N converge para zero. De fato, dado ε > 0, escolhemos n0 tal
que 1/ε < n0 (pela propriedade Arquimediana); então, se n≥ n0,
|xn−0|=
1
n
≤ 1
n0
< ε.
Exemplo 3.1.8 Seja agora y = (yn), onde yn = (−1)n. Então y é divergente. Para demonstrarmos este
fato, suponhamos por contradição que esta sequência convirja e seja α seu limite. Fixemos ε = 1/2.
Pela definição de convergência, existiria n0 > 0 tal que, se n≥ n0, então
|yn−α|< ε =
1
2
.
Pela Desigualdade Triangular,
|yn− yn+1| ≤ |yn−α|+ |yn+1−α|< ε + ε = 1.
Por outro lado,
|yn− yn+1|= |(−1)n− (−1)n+1|= 2.
Isto implica na contradição 2 < 1.
Vamos agora apresentar alguns resultados intuitivos, porém importantes sobre sequências. Antes
uma definição.
Definição 3.1.9 A sequência (xn) é dita limitada se existe uma constante M > 0 tal que
|xn| ≤M, para qualquer n ∈ N.
Proposição 3.1.10 Seja (xn) uma sequência convergente. Então:
a) o limite desta sequência é único;
b) (xn) é uma sequência limitada.
3.1. CONVERGÊNCIA E RESULTADOS BÁSICOS 35
Demonstração. Suponhamos que
limxn = a e limxn = b.
Então, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, para n≥ n0,
|xn−a|<
ε
2
,
e existe n1 ∈ N tal que
|xn−b|<
ε
2
.
Segue da Desigualdade Triangular que
|a−b| ≤ |xn−a|+ |xn−b|<
ε
2
+
ε
2
= ε.
Pela Proposição 2.3.11 obtemos |a−b|= 0, ou seja, a = b.
A seguir, sendo a o limite de (xn), escolhemos ε = 1 e n0 ∈ N tal que
|xn−a|< 1, para todo n≥ n0.
Segue que, se n≥ n0,
|xn| ≤ |xn−a|+ |a| ≤ 1+ |a|= P
Seja
Q = max{|x1|, . . . , |xn−1|}.
Então, tomando M = max{P,Q}, obtemos
|xn| ≤M, para qualquer n ∈ N,
e a sequência é limitada. �
Exemplo 3.1.11 Seja x = (xn) onde
xn =
3n+2
n+1
.
então limxn = 3. Para demonstrarmos este fato, iniciamos com∣∣∣∣3n+2n+1 −3
∣∣∣∣= 1n+1 < 1n .
Dado ε > 0, tome n0 ∈ N tal que 1/n0 < ε. Segue que∣∣∣∣3n+2n+1 −3
∣∣∣∣< 1n0 < ε,
para todo n≥ n0.
Exemplo 3.1.12 Se x = (xn) com xn =
√
n+1−
√
n, então limxn = 0. De fato, notemos incialmente que
√
n+1−
√
n =
(
√
n+1−
√
n)(
√
n+1+
√
n)√
n+1+
√
n
=
1√
n+1+
√
n
≤ 1√
n
.
36 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Assim, dado ε > 0, escolhemos n0 ∈ N satisfazendo 1/n0 < ε2, e isto implicará que, para todo n≥ n0,
|(
√
n+1−
√
n)−0| ≤ 1√
n
< ε,
e a afirmação está demonstrada.
Para seguirmos com alguns exemplos importantes necessitamos de um resultado auxiliar.
Proposição 3.1.13 Seja (xn) uma sequência de números reais e α ∈ R. Suponhamos que exista uma
sequência (an) de números reais positivos tal que liman = 0 e que, para alguma constante C > 0 e para
algum m ∈ N, tenhamos
|xn−α| ≤Can, para todo n≥ m.
Então limxn = α.
Demonstração. Dado ε > 0, existe n1 = n1(ε) tal que
|an−0|= an <
ε
C
, para todo n≥ n1.
Seja n0 = max{m,n1}. Então devemos ter
|xn−α| ≤Can <C
ε
C
= ε,
para todo n≥ n0. Isto demonstra que limxn = α. �
Exemplo 3.1.14 Se a ∈ R e a > 0, então a sequência (a1/n) converge e
lim
n→∞
a1/n = 1.
Vamos demonstrar este resultado usando a Desigualdade de Bernoulli. Se a = 1 então a sequência
é constante e o resultado é óbvio. Dividiremos a demonstração a partir de agora nos casos a > 1 e
0 < a < 1.
Caso a > 1. Observemos que
a1/n > 1
e existe dn ≥ 0 tal que a1/n = 1+dn. Da Desigualdade de Bernoulli segue que
a = (1+dn)n ≥ 1+ndn,
para todo n ∈ N, ou seja,
dn ≤
a−1
n
.
Concluímos que
|a1/n−1|= |dn| ≤
a−1
n
.
Pela Proposição 3.1.13 temos que a1/n→ 1.
3.1. CONVERGÊNCIA E RESULTADOS BÁSICOS 37Caso 0 < a < 1. Agora temos que
1
a1/n
> 1
e existe hn ≥ 0 tal que a1/n = 1/(1+hn). Usando novamente a Desigualdade de Bernoulli obtemos
(1+hn)n ≥ 1+nhn > nhn
para todo n ∈ N. Dessa forma,
a =
1
(1+hn)n
<
1
nhn
.
Daí, 0 < hn < 1/na e hn→ 0.
Concluímos que
0 < 1−a1/n = 1− 1
1+hn
=
hn
1+hn
< hn <
1
na
.
Pela Proposição 3.1.13 temos que a1/n→ 1.
Observação 3.1.15 Desigualdades estritas não são, em geral, mantidas ao tomarmos limites. Assim, se
tivermos, por exemplo, an > 0 para todo n ∈ N e se (an) convergir, então
liman ≥ 0.
Exemplo 3.1.16 Se b ∈ R e 0 < b < 1, então a sequência (bn) converge e
lim
n→∞
bn = 0.
De fato, se tomarmos
c =
1
b
−1 > 0,
vemos que
b =
1
1+ c
,
e a Desigualdade de Bernoulli novamente nos dá que
0 < bn =
1
(1+ c)n
≤ 1
1+nc
<
1
nc
.
A Proposição 3.1.13 de novo nos dá o resultado.
Sexta aula↓
Aula com Auxiliar Didático.
• Comentários sobre resolução dos Exercícios 30 e 31.
• Atividade Extra: Exercícios 37, 47, 63 e 70.
Sétima aula↓
O próximo resultado reúne as propriedades operatórias dos limites de sequência.
38 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Teorema 3.1.17 Sejam x = (xn) e y = (yn) duas sequências tais que
limxn = α, limyn = β .
Então:
a) se λ ∈ R, então limλxn = λα;
b) lim(xn + yn) = α +β ;
c) limxnyn = αβ ;
d) se β 6= 0, então lim(xn/yn) = α/β .
Demonstração. Vamos mostrar a validade do item b). Para tanto, dado ε > 0, existem n1,n2 ∈ N tais
que
|xn−α|<
ε
2
se n≥ n1,
|yn−β |<
ε
2
se n≥ n2.
Seja n0 = max{n1,n2}. Então, se n≥ n0,
|(xn + yn)− (α +β )| ≤ |xn−α|+ |yn +β |<
ε
2
+
ε
2
= ε.
O item a) possui demonstração análoga.
Procedemos agora com a demonstração de c). Primeiramente,
|xnyn−αβ |= |(xnyn− xnβ )+(xnβ −αβ )|
≤ |(xn(yn−β )|+ |β (xn−α)|
= |xn||yn−β |+ |β ||xn−α|.
Como (xn) converge, temos que tal sequência é limitada. Seja M > 0 tal que |xn| ≤M para todo n ∈ N.
Seja N = max{M, |β |}. Então,
|xnyn−αβ | ≤ N|yn−β |+N|xn−α|.
Dado ε > 0, existem n3,n4 ∈ N tais que
|xn−α|<
ε
2N
se n≥ n3,
|yn−β |<
ε
2N
se n≥ n4.
Para ñ = max{n3,n4} teremos
|xnyn−αβ | ≤ N|yn−β |+N|xn−α|< N
ε
2N
+N
ε
2N
= ε.
O item d) fica como exercício. �
No estudo de sequências, nem sempre é conveniente utilizar a própria definição de limite. Neste
sentido, é importante que tenhamos critérios de convergência, isto é, resultados que nos dizem se a
sequência converge sem sabermos a priori qual seu limite.
3.1. CONVERGÊNCIA E RESULTADOS BÁSICOS 39
Exemplo 3.1.18 Consideremos a sequência (xn) definida recursivamente da seguinte maneira:
x1 = 2, xn+1 = 2+
1
xn
, n≥ 1.
Suponhamos que (xn) convirja e seja α = limxn. Notemos que α ≥ 2. Pelo Exercício 75 temos que, se
(xn) é convergente, então (xm+n) também é convergente e
lim
n→∞
xm+n = lim
n→∞
xn,
para qualquer m ∈ N fixado. Em particular,
α = limxn+1 = lim
(
2+
1
xn
)
= 2+ lim
1
xn
= 2+
1
α
,
ou seja,
α = 2+
1
α
.
Resolvendo para α e usando que α ≥ 2, chegamos em α = 1+
√
2.
Exemplo 3.1.19 Definamos agora a sequência (yn) da seguinte maneira:
y1 = 2, yn+1 = 2yn +1, n≥ 1.
É importante observar que yn ≥ 0 para todo n ∈N. Suponhamos que (yn) convirja e seja β = limyn ≥ 0.
Como anteriormente,
β = limyn+1 = lim(2yn +1) = 2β +1.
Concluímos que β =−1 < 0, contradizendo o fato de β ≥ 0. Portanto, a sequência não pode convergir.
Os exemplos suscitam novamente a questão: como sabermos de antemão que uma sequência con-
verge?
Teorema 3.1.20 (Teorema do Confronto) Sejam (xn), (yn) e (zn) sequências satisfazendo
yn ≤ xn ≤ zn, para qualquer n ∈ N.
Suponha que
limyn = limzn = a.
Então (xn) é convergente e limxn = a.
Demonstração. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
|yn−a|< ε e |zn−a|< ε,
para todo n≥ n0. Por hipótese temos
yn−a≤ xn−a≤ zn−a,
o que nos dá
−ε < yn−a≤ xn−a≤ zn−a < ε,
para n≥ n0. Isto implica que
|xn−a|< ε, para todo n≥ n0,
o que demonstra o resultado. �
40 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Exemplo 3.1.21 Seja x = (xn) a sequência com termo geral
xn =
2n+1
n
.
Notemos que
2n+1
n
= 2+
1
n
,
ou seja,
2≤ xn = 2+
1
n
, para todo n ∈ N.
Como 1/n→ 0, temos que xn→ 2 pelo Teorema do Confronto.
Finalizamos esta seção com um critério de convergência conhecido como teste da razão.
Teorema 3.1.22 (Teste da Razão) Seja (xn) uma sequência de números reais positivos e suponha que o
limite
lim
n→∞
xn+1
xn
= L
existe e que L < 1. Então (xn) é convergente e
lim
n→∞
xn = 0.
Demonstração. Iniciamos observando que L ≥ 0 (veja o Exercício 76). Seja r um número tal que
L < r < 1 e ε = r−L > 0. Por definição, existe n1 ∈ N tal que∣∣∣∣xn+1xn −L
∣∣∣∣< ε, para n≥ n1.
Assim, usando as propriedades de módulo,
xn+1
xn
< L+ ε = L+(r−L) = r,
para todo n≥ n1. Usando recursivamente esta desigualdade para n≥ n1 obtemos
0 < xn+1 < xnr < xn−1r2 < .. . < xn1r
n−n1+1.
Fixando C = xn1/r
n1 temos que
0 < xn+1 <Crn+1,
para n ≥ n1. Como 0 < r < 1, temos que rn+1 → 0 quando n→ ∞. Segue da Proposição 3.1.13 que
limxn = 0. �
Exemplo 3.1.23 Se (xn) possui termo geral xn = n/2n, então
xn+1
xn
=
n+1
2n+1
2n
n
=
1
2
(
1+
1
n
)
,
ou seja,
lim
n→∞
xn+1
xn
=
1
2
< 1
e o Teorema 3.1.22 implica que xn→ 0.
3.2. EXERCÍCIOS 41
3.2 Exercícios
Exercício 66 A sequência (xn) está definida pelas fórmulas abaixo para seu n-ésimo termo. Em cada
caso, escreva os primeiros cinco termos.
a) xn = 1+(−1)n; b) xn =
1
n2 +2
; c) x1 = 2 e xn+1 =
1
2
(
xn +
2
xn
)
;
d) x1 = 3, x2 = 5 e xn+2 = xn + xn+1.
Exercício 67 Use a definição de limite para mostrar que
lim
n→∞
(−1)nn
n2 +1
= 0.
Exercício 68 Mostre que
lim
n→∞
(
√
n2 +1−n) = 0.
Exercício 69 Se r ∈ R e r ≥ 0, demonstre que
(1+ r)n ≥ 1+nr+n(n−1)r
2
2
, para todo n ∈ N.
Exercício 70 Demonstre que a sequência (n1/n) converge e que
lim
n→∞
n1/n = 1.
Sugestão: para n > 1, temos que n1/n > 1; escreva então
n1/n = 1+ kn, kn > 0;
usando o Exercício 69, verifique que
n = (1+ kn)n ≥ 1+n(n−1)
k2n
2
e conclua que 0≤ k2n ≤ 2/n, o que nos diz que kn→ 0.
Exercício 71 Seja b ∈ R com 0 < b < 1. Demonstre que
lim(nbn) = 0.
Sugestão: use o Teorema Binomial como no Exercício 70.
Exercício 72 Mostre que lim(n2/n!) = 0.
Exercício 73 Mostre que lim(2n/n!) = 0.
Sugestão; se n≥ 3, então 0 < 2n/n!≤ 2(2/3)n−2.
Exercício 74 Demonstre os itens a) e d) do Teorema 3.1.17.
42 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Exercício 75 Seja x = (xn) uma sequência e, para m ∈ N fixado, definamos xm = (xn+m)n∈N, ou seja,
xm = (xm+1,xm+2,xm+3, . . .).
Demonstre que x é convergente se, e somente se, xm é convergente.
Exercício 76 Se x = (xn) é uma sequência convergente e xn≥ 0 para todo n∈N, demonstre que limxn≥
0.
Exercício 77 Se (xn) é uma sequência e xn→ a, demonstre que |xn| → |a|.
Exercício 78 Se (xn) é uma sequência com xn→ a e se xn ≥ 0 para todo n ∈ N, demonstre que
√
xn→√
a.
Sugestão: separe nos casos a = 0 e a > 0; para este segundo caso, use que
|
√
xn−
√
a|=
∣∣∣∣ xn−a√xn +√a
∣∣∣∣≤ 1√a |xn−a|,
e note que |xn−a| → 0.
Exercício 79 A sequência que possui termo geral
xn =
(−1)nn
n+1
é convergente ou divergente?
Exercício 80 Use o Teorema do Confronto para determinar os seguintes limites:
a) lim
n→∞
n1/n
2
; b) lim
n→∞
(n!)1/n
2
.
Exercício 81 Use o Teorema 3.1.22 para estudar a convergência das sequências que possuem os se-
guintes termos gerais:
a)
n
bn
, b > 1; b) lim
n→∞
23n
32n
.
3.3 Sequências monótonas
Definição 3.3.1 Seja (xn) uma sequência de números reais. Dizemos que (xn) é monóntona crescente
se
x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ . . . .
Esta sequência é monótona decrescente se
x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ . . . .
Em qualquer um dos casos, dizemos que a sequência é monótona.
Muitas vezes omitimos aa palavra monótona e escrevemos apenas crescente ou decrescente.
3.4. EXERCÍCIOS 43
Teorema 3.3.2 Se (xn) é uma sequência crescente e limitada superiormente, então (xn) converge. Ana-
logamente, de (xn) é uma sequência decrescente e limitada inferiomente, então (xn) converge.
Demonstração. Suponhamos que (xn) seja crescente e limitada superiormente. Como conjunto, esta
sequência possui supremo. Seja então
α = sup{xn; n ∈ N}.
Pela própria definição de supremo,dado ε > 0, existe N ∈ N tal que al pha− ε < xN , ou seja,
α− xN < ε.
Mas como a sequência é crescente, xN ≥ xn, para todo n ≥ N e, por definição de supremo, α ≥ xn para
todo n ∈ N. Segue que
α− xn ≤ α− xN < ε,
para todo n ∈ N, n≥ N, o que demonstra que xn→ α. A demonstração no caso de (xn) se decrescente é
análoga. �
Oitava aula↓
O Teorema 3.3.2 é um critério de convergência básico e possui várias aplicações interessantes.
Proposição 3.3.3 (Propriedade dos intervalos encaixantes) Consideremos uma quantidade enumerá-
vel de intervalos fechados satisfazendo o seguinte:
[a1,b1]⊃ [a2,b2]⊃ [a3,b3]⊃ . . . ,
e suponha ainda que a diferença bn− an converge para zero quando n→ ∞. Então existe um único
número ξ ∈ R que pertence a cada um dos intervalos [an,bn], n ∈ N.
Demonstração. Consideremos as sequências (an) e (bn) gerados pelos extremos de cada um dos
intervalos. Notemos que (an) é uma sequência crescente e
an ≤ b1, para todo n ∈ N.
Segue que (an) é limitada superiormente e, portanto, possui um limte. Seja ξ1 = liman. Analogamente,
existe ξ2 tal que ξ = limbn, já que (bn) é decrescente e limitada inferiormente por a1. Ainda vale que
an ≤ ξ2 ≤ ξ2 ≤ bn, para todo n ∈ N.
Segue que ξ1 e ξ2 pertencem a cada um dos intervalos e, como bn−an→ 0, temos ainda que ξ1 = ξ2. �
3.4 Exercícios
Exercício 82 Seja (an) a sequência definida recursivamente por
a1 = 1, an+1 =
√
1+an.
a) Escreva os termos a2, a3 e a4.
44 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
b) Demonstre por indução que esta sequência é crescente.
c) Usando que a sequência é crescente, verifique que
a2n−an−1≤ 0, para todo n ∈ N.
d) Conclua que a sequência (an) é limitada superiormente e, portanto, possui um limite, denotado
por ϕ.
Sugestão: considere a desigualdade x2− x− 1 ≤ 0; encontre o conjunto solução desta desigual-
dade e note que, pelo item c), qualquer termo da sequência pertence a este conjunto.
e) Verifique que o limite ϕ da sequência (an) satisfaz
ϕ =
√
1+ϕ,
ou seja,
ϕ =
1+
√
5
2
,
que é chamado de número áureo (faça uma pesquisa sobre este número e veja onde ele aparece).
Exercício 83 Seja p > 0 um número real e defina (bn) recursivamente por
b1 = p, bn+1 =
√
p+an.
Generalizando o Exercício 82, mostre que (bn) converge e encontre seu limite.
3.4.1 O número e e a função exponencial
Vamos definir nesta seção o número de Euler e, o qual será o limite da sequência (en) cujo termo geral é
definido por
en =
(
1+
1
n
)n
, n ∈ N.
Primeiramente mostraremos que esta sequência é crescente e, logo após, que é limitada superiormente,
mostrando que (en) possui limite.
Lema 3.4.1 A sequência (en) é crescente.
Demonstração. Lembremos que, se a,b ∈ R com 0≤ a < b e para todo n ∈ N,
bn+1−an+1
b−a
= bn +abn−1 +a2bn−2 + . . .+an−1b+an.
Como temos (n+1) termos do lado direito e a < b, obtemos
bn+1−an+1
b−a
< (n+1)bn.
Reescrevemos esta desigualdade como
bn ((n+1)a−nb)< an+1. (3.1)
3.4. EXERCÍCIOS 45
Usamos a desigualdade (3.1) com
a = 1+
1
n+1
e b = 1+
1
n
e obtemos, após algumas simplificações, a desigualdade(
1+
1
n
)n
<
(
1+
1
n+1
)n+1
para todo n ∈ N, ou seja, a sequência (en) é crescente. �
Lema 3.4.2 A sequência (en) é limitada superiormente.
Demonstração. Usamos agora os valores
a = 1 e b = 1+
1
2n
, n ∈ N,
na desigualdade (3.1) para obtermos (
1+
1
2n
)n
< 2,
o que nos dá (
1+
1
2n
)2n
< 4.
Como a sequência (en) é crescente e n < 2n, temos que(
1+
1
n
)n
<
(
1+
1
2n
)2n
< 4,
para todo n ∈ N e segue a limitação superior. �
Usando os lemas 3.4.1 e 3.4.2 e o Teorema 3.3.2 concluímos que a sequência (en) é convergente.
Definição 3.4.3 O número de Euler é definido por
e = lim
n→∞
(
1+
1
n
)n
.
Para conctinuarmos com mais propriedades do número de Euler definimos a sequência ( fn) de
termo geral
fn =
(
1+
1
n
)n+1
.
Lema 3.4.4 A sequência ( fn) é decrescente e limitada inferiormente.
Demonstração. Novamente partiremos da identidade
bn+1−an+1
b−a
= bn +abn−1 +a2bn−2 + . . .+an−1b+an,
46 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
que é válida para todo n ∈ N e supondo 0 ≤ a < b. Como temos (n+1) termos do lado direito e a < b,
obtemos
bn+1−an+1
b−a
> (n+1)an,
o que implica em
bn+1−an+1 > (n+1)(b−a)an. (3.2)
Usamos a desigualdade (3.1) com
a = 1+
1
n+1
e b = 1+
1
n
para obtermos(
1+
1
n
)n+1
−
(
1+
1
n+1
)n+1
> (n+1)
1
n(n+1)
(
1+
1
n+1
)n
=
1
n
(
1+
1
n+1
)n
,
que pode ser reescrita como(
1+
1
n
)n+1
>
1
n
(
1+
1
n+1
)n
+
(
1+
1
n+1
)n+1
=
(
1+
1
n+1
)n+2[1
n
(
1+
1
n+1
)−2
+
(
1+
1
n+1
)−1]
=
(
1+
1
n+1
)n+2(n3 +4n2 +4n+1
n(n+2)2
)
=
(
1+
1
n+1
)n+2(n3 +4n2 +4n+1
n3 +4n2 +4n
)
.
Notando que
n3 +4n2 +4n+1
n3 +4n2 +4n
> 1
para todo n ∈ N, obtemos (
1+
1
n
)n+1
>
(
1+
1
n+1
)n+2
,
ou seja, fn > fn+1.
Por outro lado, temos através de cálculos simples que(
1+
1
n
)n+1
−
(
1+
1
n
)n
=
(
1+
1
n
)n 1
n
> 0. (3.3)
Como a sequência (en) é cresecente, connsluímos que(
1+
1
n
)n+1
>
(
1+
1
n
)n
>
(
1+
1
1
)1
= 2,
e segue que a sequência ( fn) é limitada inferiormente. �
3.4. EXERCÍCIOS 47
Segue do Lema 3.4.4 que existe f ∈ R tal que fn→ f . Além disso, por (3.3),(
1+
1
n
)n+1
> f ≥ e >
(
1+
1
n
)n
.
Ainda usando (3.3), (
1+
1
n
)n+1
−
(
1+
1
n
)n
=
(
1+
1
n
)n 1
n
→ 0.
Assim, os intervalos [(
1+
1
n
)n
,
(
1+
1
n
)n+1]
são encaixantes com comprimento tendendo a zero. Isto implica que f = e, ou seja,
e = lim
(
1+
1
n
)n+1
= lim
(
1+
1
n
)n
.
É importante também deixar explícita a desigualdade(
1+
1
n
)n
< e <
(
1+
1
n
)n+1
. (3.4)
Observando que(
1+
1
n
)n+1
=
(
n+1
n
)n+1
=
(
n
n+1
)−(n+1)
=
(
1− 1
n+1
)−(n+1)
,
percebemos que poderíamos ter trabalhado com a sequência ( f̃n) com termo geral
f̃n =
(
1− 1
n
)−n
,
e teríamos a desigualdade (
1+
1
n
)n
< e <
(
1− 1
n
)−n
, n = 2,3, . . . . (3.5)
Claramente e = lim f̃n.
Para cada x ∈R fixado e números naturais n com n > |x|, definimos as sequências (φn(x)) e (φ̃n(x))
por
φn(x) =
(
1+
x
n
)n
, φ̃n(x) =
(
1− x
n
)−n
, n > |x|.
Como estamos supondo n > |x|, segue que(
1+
x
n
)n(
1− x
n
)n
=
(
1− x
2
n2
)n
< 1,
ou seja,
φn(x)< φ̃n(x), n > |x|.
Podemos dizer mais ainda.
48 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Lema 3.4.5 Se x ∈ R está fixado, então (φn(x)) é crescente e (φ̃n(x)) é decrescente para n > |x|.
Lema 3.4.6 Se x ∈ R então φ̃n(x)−φn(x)→ 0 quando n→ ∞.
Os lemas 3.4.5 e 3.4.6, juntamente com a Propriedade dos Intervalos Encaixantes implicam que
existe, para cada x ∈ R, um número φ(x) dado por
φ(x) = lim
(
1+
x
n
)n
= lim
(
1− x
n
)−n
.
Isto define uma função φ : R→ R e, pelo que já vimos,
φ(0) = 1, φ(1) = e.
Proposição 3.4.7 A função φ : R→ R satisfaz
φ(x)φ(y) = φ(x+ y), para quaisquer x,y ∈ R.
Demonstração. Pela definição da função φ , basta mostrarmos que(
1+ xn
)(
1+ yn
)(
1+ x+yn
) → 1, quando n→ ∞,
para x,y ∈ R fixados. Inicialmente simplificamos:(
1+ xn
)(
1+ yn
)(
1+ x+yn
) = (1+ xy
n(n+ x+ y)
)
.
Notqe aqui que podemos supor que n > |x+ y|, pois vamos fazer n→ ∞. Definimos ainda
h(n) =
xy
n(n+ x+ y)
,
e temos (
1+
xy
n(n+ x+ y)
)n
=
(
1+
h(n)
n
)n
.
O que queremos então é mostrar que(
1+
h(n)
n
)n
→ 1, quando n→ ∞.
Para verificarmos este fato, tomamos n suficientemente grande de maneira que |h(n)| < 1, e então
usando o Lema 3.4.5 com x = h(n) vemos que(
1+
h(n)
1
)1
≤
(
1+
h(n)
n
)n
≤
(
1− h(n)
1
)−1
=
1
1−h(n)
.
Como h(n)→ 9 quando n→ ∞, temos pelo Teorema de Confronto que(
1+
h(n)
n
)n
→ 1, quando n→ ∞.
Isto conclui a demonstração da proposição. �
3.4. EXERCÍCIOS 49
Nona aula↓
Durante a demonstração da Proposição 3.4.7 verificamos que, para cada x ∈ R e |x| < 1, vale a
seguinte desigualdade:
1+ x≤
(
1+
x
n
)n
≤ φ(x)≤
(
1− x
n
)−n
≤ 1
1− x
, n = 1,2,3, . . . . (3.6)
Além disso, para qualquer x ∈ R com x≥−1, a Desigualdade Bernoulli implica que(
1+
x
n
)n
≥ 1+ x,
o que nos diz que
φ(x)≥ 1+ x para x≥−1. (3.7)
Além disso, se tomarmos y =−x na Proposição 3.4.7 veremos que
φ(x)φ(−x) = φ(0) = 1,
ou seja, φ(x)−1 = φ(−x).
A proporiedade da Proposição 3.4.7evoca a regra “mesma base, soma-se os expoentes”. Este fato
e as demaois propriedades apresentadas nos motivam a escrever:
φ(x) = ex,
que é a notação usual para o que conhecemos como função exponencial, que acabamos de definir rigo-
rosamente. Mais adiante veremos como tratar estudar a função exponencial via séries.
Nos falta demonstrar ainda os lemas 3.4.5 e 3.4.6.
Demonstração do Lema 3.4.5. Para n> |x|, cada um dos elementos das duas listas com (n+1) números
a seguir são positivos:
1,
(
1+
x
n
)
, . . . ,
(
1+
x
n
)
,
1,
(
1− x
n
)
, . . . ,
(
1− x
n
)
.
Podemos aplicar a Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica destes números e teremos(
1
(
1± x
n
)n) 1n+1 ≤ 1
n+1
(
1+
(
1+± x
n
)
+ . . .+
(
1+± x
n
))
=
1
n+1
(
n+1±n x
n
)
= 1± x
n+1
.
Portanto, (
1± x
n
)n
≤
(
1± x
n+1
)n+1
.
No caso do sinal +, esta desigualdade nos diz que a sequência(
1+
x
n
)n
50 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
é crescente para n > |x|. Se considerarmos o caso do sinal −, obtemos que(
1− x
n+1
)−(n+1)
≤
(
1− x
n
)−n
,
que nos diz que a sequência (
1− x
n
)−n
é decrescente para n > |x|. �
Demonstração do Lema 3.4.6. Observemos que
0 <
(
1− x
n
)−n
−
(
1+
x
n
)n
=
(
1− x
n
)−n(
1−
(
1+
x
n
)n(
1− x
n
)n)
=
(
1− x
n
)−n(
1−
(
1− x
2
n2
)n)
Para n ∈ N grande, teremos que x2/n2 < 1, ou seja, −x2/n2 >−1 e podemos aplicar a Desigualdade de
Bernoulli para verificarmos que
1−
(
1− x
2
n2
)n
≤ x
2
n
.
Segue que
0 <
(
1− x
n
)−n
−
(
1+
x
n
)n
≤
(
1− x
n
)−n x2
n
≤
(
1− x
n0
)−n0 x2
n
,
para algum n0 ∈ N, pois a sequência considerada é decrescente para n > |x|. Como o lado direito da
desigualdade acima tende a zero, finalizamos a demonstração do lema. �
3.5 Sequências de Cauchy
Definição 3.5.1 Dizemos que (xn) é uma sequência de Cauchy se, para cada ε => 0 dado, existe N ∈N
tal que, se m,n ∈ N e m,n≥ N, então
|xm− xn|< ε.
A noção de sequência de Cauchy é simplesmente uma maneira formal de dizermos que os elementos
da sequência tendem a ficar e permanecer mais próximos.
Lema 3.5.2 Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração. A demonstração é análoga à da Proposição 3.1.10. Seja (xn) uma sequência de Cauchy.
Então, dado ε = 1, existe N ∈ N tal que
|xn− xm|< ε = 1, para quaisquer m,n ∈ N, m,n≥ N.
Segue que, se n≥ N +1, então
|xn| ≤ |xN+1|+ |xn− xN+1|
≤ |xN+1|+1.
Se fixamos
M = max{|x1|, . . . , |xN |, |xN+1|+1} ,
então teremos que |xn| ≤M para todo n ∈ N. �
3.5. SEQUÊNCIAS DE CAUCHY 51
Teorema 3.5.3 (Critério de Cauchy) Uma sequência de números reais (xn) é de Cauchy se, e somente
se, é convergente.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência e suponhamos inicialmente que esta sequência convirja, por
exemplo, xn→ α. Seja ε > 0 dado. Existe N > 0 tal que, se n≥ N, então
|xn−α|<
ε
2
.
Segue que, se mn,∈ N satisfazem m,n≥ N, então,
|xn− xm| ≤ |xn−α|+ |xm−α|<
ε
2
+
ε
2
= ε,
e a sequência é de Cauchy.
Suponhamos agora que a sequência (xn) seja de Cauchy. Definimos o conjunto
S = {x ∈ R; x < xn a menos de uma quantidade finita de índices n′s}.
Já sabemos do Lema 3.5.2 que |xn| ≤ M para todo n ∈ N, para alguma constante M > 0. Note que se
x ∈ R e x < −M, então x ∈ S, ou seja, S 6= /0. Além disso, S é limitado por cima por M. Logo, S possui
supremo. Seja
α = supS.
Afirmamos que α é o limite de (xn). Dado ε > 0, escolhemos N ∈ N tal que
|xn− xm|<
ε
2
,
para quaisquer m,n ∈ N, m,n≥ N. Segue que
|xn− xN+1|<
ε
2
,
quando n≥ N +1, de onde segue que
xn > xN+−
ε
2
quando n≥ N +1.
Segue que xN− ε/2 ∈ S e, pela definição de supremo,
α ≥ xN+1−
ε
2
. (3.8)
Por outro lado,
xn < xN+1 +
ε
2
, quando n≥ N +1,
o que nos diz que xN+1 + ε/2 6∈ S e
α ≤ xN+1 +
ε
2
. (3.9)
Combinando (3.8) e (3.9) obtemos
|α− xN+1|<
ε
2
,
e da Desigualdade triangular,
|α− xn| ≤ |α− xN+1|+ |xn− xN+1|< ε,
52 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
para todo n≥ N. Isso demonstra que xn→ α. �
Dizemos que uma sequência (xn) é contractível se existe uma constante 0 <C < 1 tal que
|xn+2− xn+1| ≤C|xn+1− xn|,
para todo n ∈ N.
Proposição 3.5.4 Toda sequência contractível é de Cauchy e, consequentemente, é convergente.
Antes de demonstramos a Proposição 3.5.4, vamos ilustrar sua aplicação com um exemplo.
Exemplo 3.5.5 É sabido que a equação
x3−7x+2 = 0
possui uma solução no intervalo (0,1) (por exemplo, veremos como utilizando o Teorema do Valor
Intermediário). Vamos obter uma sequência que converge para uma raiz desta equação neste intervalo.
escolhemos qualquer número x1 ∈ (0,1) e definimos recursivamente a sequência (xn) por
xn+1 =
1
7
(x3n +2), n = 1,2, . . . .
Como 0 < x1 < 1, teremos que 0 < xn < 1 para todo n ∈ N por indução. Além disso,
|xn+2− xn+1|=
∣∣∣∣17(x3n+1 +2)− 17(x3n +2)
∣∣∣∣
=
1
7
|x3n+1− x3n|
=
1
7
|x2n+1 + xn+1xn + x2n||xn+1− xn|
≤ 3
7
|xn+1− xn|.
Isto implica que a sequência (xn) é contractível e, consequentemente, convergente. Se r = limxn, então
r = limxn+1 =
1
7
lim(x3n +2) =
1
7
(r3 +2),
ou seja, r satisfaz a equação. Assim, se escolhemos um valor para x1 no intervalo (0,1), obtemos
recursivamente x2, x3, x4 e assim por diante. Se paramos em algum xn, teremos uma aproximação para
a a raiz procurada.
Décima aula↓
Demonstração da Proposição 3.5.4. Seja (xn) uma sequência contractível e n ∈ N um natural fixado.
Aplicamos sucessivamente a definição de sequência contractível:
|xn+2− xn+1| ≤C|xn+1− xn|
≤C2|xn− xn−1|
...
≤Cn|x2− x1|.
3.5. SEQUÊNCIAS DE CAUCHY 53
Agora, se m > n, aplicamos a Desigualdade Triangular repetidas vezes:
|xm− xn| ≤ |xm− xn−1|+ |xm−1− xn|
≤ |xm− xm−1|+ |xm−1− xm−2|+ . . .+ |xn+1− xn|
≤
(
Cm−2 +Cm−3 + . . .+Cn−1
)
|x2− x1|.
Usando o Exercício 86 obtemos
|xm− xn| ≤Cn−1
(
1−Cm−n
1−C
)
|x2− x1| ≤
Cn−1
1−C
|x2− x1|.
Como 0 <C < 1, temos que Cn−1→ 0 quando n→ ∞ e vemos que a sequência (xn) é de Cauchy. �
Vamos agora dar um exemplo interessante de uma sequênca construída recursivamente e que con-
verge para o inverso do número áureo.
Exemplo 3.5.6 Lembremos da sequência de Fibonacci ( fn) definida por
f1 = f2 = 1, fn+1 = fn + fn−1.
Definiremos (xn) por
xn =
fn
fn+1
.
Notemos que
xn+1 =
fn+1
fn+2
=
fn+1
fn+1 + fn
=
(
1+
fn
fn+1
)−1
=
1
1+ xn
,
ou seja, (xn) também é definida recursivamente. É possível demonstrar por indução que 1/2 ≤ xn ≤ 1,
para todo n ∈ N. Isto implica que
1
2
≤ 1
1+ xn
≤ 2
3
, para todo n ∈ N.
Usando esta limitação, prosseguimos com algumas estimativas da seguinte maneira:
|xn+1− xn|=
∣∣∣∣ 11+ xn − 11+ xn−1
∣∣∣∣= ∣∣∣∣ xn−1− xn(1+ xn)(1+ xn−1)
∣∣∣∣≤ 23 23 |xn− xn−1|= 49 |xn− xn−1|.
Isto nos diz que a sequência (xn) é contractível e, consequentemente, convergente. Seja x = limxn. Segue
que
x = limxn+1 = lim
1
1+ xn
=
1
1+ x
,
e x deve satisfazer a equação x2 + x−1 = 0. Como 1/2≤ x≤ 1, obtemos que
x =
−1+
√
5
2
.
Notemos que
1
x
=
1+
√
5
2
,
que é o número áureo definido no Exercício 82.
54 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Finalizamos esta seção com um exemplo não trivial de uma sequência que não é de Cauchy.
Exemplo 3.5.7 Definimos a sequência (hn) da seguinte forma:
hn =
1
1
+
1
2
+ . . .+
1
n
, n ∈ N.
Se m > n então
0 < hm−hn =
1
n+1
+ . . .+
1
m
.
Cada um dos (m−n) termos da soma acima excede 1/m. Segue que
hm−hn >
m−n
m
= 1− n
m
.
Em particular, se m = 2n,
h2n−hn > 1−
1
2
=
1
2
,
e a sequência (hn) não pode ser de Cauchy. Concluímos ainda que esta sequência diverge.
3.6 Exercícios
Exercício 84 Dê exemplo de uma sequência limitada que não é de Cauchy.
Exercício 85 Diga se as sequências abaixo são ou não de Cauchy.
a)
(
n+1
n
)
; b)
(
1+
1
2!
+ . . .+
1
n!
)
; c)
(
n+
(−1)n
n
)
.
Exercício 86 Mostre que, para C ∈ R com 0 <C < 1 e para m,n ∈ N com m > n, temos que
Cm−2 +Cm−3 + . . .+Cn−1 =Cn−1
(
1−Cm−n
1−C
)
.
Exercício 87 Supondo que 0 < r < 1 e que (yn) é uma sequência que satisfaz
|yn+1− yn|< rn, para todo n ∈ N,
mostre que (yn) é de Cauchy.
Exercício 88 A equação polinomial x3− 5x+ 1 = 0 possui uma raiz α com 0 < α < 1. Construa uma
sequência apropriada que convirja para α, demonstrando esta convergência.Décima primeira aula↓
Aula com Auxiliar Didático.
• Atividade Extra: Exercícios 82 e 87.
Décima segunda aula↓
3.7. SUBSEQUÊNCIAS E O TEOREMA DE BOLZANO-WIERSTRASS 55
3.7 Subsequências e o Teorema de Bolzano-Wierstrass
Definição 3.7.1 Seja (xn) uma sequência. Se
0 < n1 < n2 < n3 < .. .
são inteiros positivos, a função
k 7→ xnk
é chamada de uma subsequência de (xn) e é denotada por (xnk).
Exemplo 3.7.2 A sequência (2n) é
(2,4,8, . . .).
Então, a sequência
22n = (4,16,64, . . .)
é uma subsequência de (2n), bem como a sequência
(22
n
) = (4,16,256, . . .).
Seja (xn) uma sequência de números reais e (xnk) uma de suas subsequências, a qual é por si só uma
sequência. Se (xnk j ) é uma subsequência de (xnk), então ela também é uma subsequência de (xn).
Proposição 3.7.3 Se (xn) é uma sequência convergente com xn → α, então toda subsequência de (xn)
converge para α.
Reciprocamente, se toda subsequência de (xn) converge para um mesmo número real α, então a
sequência (xn) também converge para α.
Demonstração. Supondo que (xn) converge para α, então dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, se n≥ n0,
então
|xn−α|< ε.
Assim, sempre que (xnk) for uma subsequência de (xn) e nk ≥ n0, teremos
|xnk −α|< ε,
o que demonstra a convergência xnk → α.
A recíproca segue do fato que toda sequência é uma subsequência dela mesmo. �
Corolário 3.7.4 Se uma sequência (xn) possui duas subsequências que convergem para limites diferen-
tes, então esta sequência não pode convergir.
Agora apresentamos um dos resultados mais fundamentais da Análise Real.
Teorema 3.7.5 (Bolzano-Weierstrass) Toda sequênca limitada de números reais possui uma subsequên-
cia convergente.
56 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Demonstração. A demonstração que daremos deste teorema é importante por si só e envolve uma
técnica conhecida como bissecção repetida.
Seja (xn) uma sequência limitada de números reais, ou seja,
|xn| ≤M, para todo n ∈ N,
para alguma constante M > 0. Segue que todos os termos xn pertencem ao intervalo [−M,M]. Por sim-
plicidade de notação, denotaremos
[−M,M] = [A1,B1].
Denote por p o ponto médio de [A1,B1]. Então, podemos supor que pelo menos um dos dois intervalos
[A1, p] ou [p,B1] possui infinitos termos da sequência (xn), caso contrário, a sequência toda teria uma
quaitidade finita de termos e, dessa forma, teria que ser convergente (seria constante a partir de um certo
termo). Se apenas um dos intervalos possui esta propriedade, denote-o por [A2,B2]; se ambos possuem a
propriedade, escolha o da esquerda1 e denote-o por [A2,B2]. Em qualquer um dos casos, temos
[A2,B2]⊂ [A1,B1], B2−A2 =
B1−A1
2
.
Além disso, tanto [A1,B1] quanto [A2,B2] possuem infinitos termos da sequência (xn).
Agora repetimos este processo bissectando [A2,B2] para obtermos [A3,B3], e assim por diante. Isto
nos dá uma sequência de intervalos fechados ([An,Bn]) que satisfazem:
• [An+1,Bn+1]⊂ [An,Bn];
• Bn−An = (Bn−1−An−1)/2 = (B1−A1)/2n−1;
• cada intervalo [An,Bn] possui infinitos termos da sequência (xn).
Além disso, notemos que a sequência (An) é crescente e limitada superiormente por B1 = M. Segue
que (An) é convergente com An→ A. Note ainda que A≤M. Analogamente, Bn→ B com B≥−M. Mas
então,
B−A = lim(Bn−An) = (B1−A−1) lim2n−1 = 0,
ou seja, A = B = α.
Construímos uma subsequência convergente agora da seguinte maneira: escolhemos xn1 no inter-
valo [A1,B1], escolhemos xn2 no intervalo [A2,B2] com n2 > n1 e assim por diante. Esta subsequência
satisfaz o seguinte:
Ak ≤ xnk ≤ Bk, para todo k ∈ N.
Pelo Teorema do Confronto, devemos ter que (xnk) conerger e α = limxnk . �
Observemos que uma sequência limitada de números reais pode possuir várias subsequências que
convergem para limites diferentes ou mesmo que divergem de diferentes formas. Por exemplo, a sequên-
cia ((−1)n) possui subsequências que convergem para 1 e para−1, e ainda subsequências que divergem.
Exemplo 3.7.6 Apesar de não termos dado uma definição precisa da função sen, suas propriedades
vistas em um curso de Cálculo implicam que a sequência (sen j) é limitada e, portanto, possui uma
subsequência convergente. Porém, encontrar uma subsequência de (sen j) que converge não é uma
tarefa simples.
1A melhor escolha é sempre pela esquerda!
3.8. EXERCÍCIOS 57
Exemplo 3.7.7 Seja (xn) a sequência definida recursivamente por
x1 = 1, x2 = 2, xn =
xn−2 + xn−1
2
para n > 2.
Por indução mostramos que 1≤ xn≤ 2 para todo n∈N. É possível mostrar ainda que esta sequência não
é monótona. Entretanto, um raciocínio análogo ao da demonstração da Proposição 3.5.4 nos permite
concluir que
|xn− xn+1|=
1
2n−1
|x2− x1|=
1
2n−1
, para todo n ∈ N.
Além disso, para m > n, usando a Desigualdade Triangular,
|xn− xm| ≤ |xn− xn+1|+ |xn+1− xn+2|+ . . .+ |xm−1− xm|
=
1
2n−1
+
1
2n
+ . . .+
1
2m−2
=
1
2n−1
(
1+
1
2
+ . . .+
1
2m−n−1
)
=
1
2n−1
1− (1/2)m−n
1−1/2
<
1
2n−2
.
Assim, dado ε > 0, escolhemos n0 ∈ N tal que
1
2n−2
< ε, para n≥ n0,
e segue que a sequência (xn) é de Cauchy e, consequentemente, convergente. Porém, se α é o limite
procurado, tomando o limite na fórmula de recorrência (como fizemos em outros exemplos), obtemos
α =
1
2
(α +α),
o que não nos ajuda a encontrar o valor do limite. Tentemos então de outra forma.
Como já sabemos que esta sequência converge, temo que toda subsequência de (xn) também con-
vergirá e, mais ainda, para o mesmo limite. Consideremos então a subsequência de (xn) formada apenas
por índices ímpares (x2n+1). Pelo Exercício 91,
x2n+1 = 1+
1
2
+ . . .+
1
22n−1
= 1+
2
3
(
1− 1
4n
)
.
Assim,
limxn = limx2n+1 = 1+ lim
2
3
(
1− 1
4n
)
= 1+
2
3
=
5
3
.
3.8 Exercícios
Exemplo 3.8.1 Dê exemplo de uma sequência ilimitada que possui uma subsequência convergente.
Exercício 89 Mostre que as seguintes sequências são divergentes:
a)
(
1− (−1)n + 1
n
)
; b)
(
sen
jπ
4
)
.
58 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Exercício 90 Considere a sequência (
(−1)n
n
)
e encontre uma subsequência desta repitindo a demonstração do Teorema de Bolzano-Weierstrass. Con-
sidere [A1,B1] = [−1,1].
Exercício 91 Seja (xn) a sequência definida recursivamente por
x1 = 1, x2 = 2, xn =
xn−2 + xn−1
2
para n > 2.
Demonstre por indução que
x2n+1 = 1+
1
2
+ . . .+
1
22n−1
.
Conclua ainda que
x2n+1 = 1+
2
3
(
1− 1
4n
)
.
Exercício 92 Sejam y1 < y2 quaisquer e defina (yn) recursivamente por
yn =
xn−2 + xn−1
2
para n > 2.
Demonstre que (yn) é convergente e calcule seu limite.
3.9 A função exponencial vista como uma série
Na Seção 3.4.1 definimos o número e pelo limite
e = lim
n→∞
(
1+
1
n
)n
,
e a função x 7→ ex por
ex = lim
n→∞
(
1+
x
n
)n
, x ∈ R.
Para cada x ∈ R, seja (Sn(x)) a sequência por
Sn(x) =
n
∑
j=0
x j
j!
. (3.10)
Vamos demonstrar nesta seção que
ex = lim
n→∞
Sn(x).
Notemos que
lim
n→∞
Sn =
∞
∑
n=0
xn
n!
= 1+ x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . . .
Assim, o que demonstraremos é que a função exponencial pode ser vista como uma soma infinita. Somas
dessa forma nada mais são que tipos especiais de sequências.
3.9. A FUNÇÃO EXPONENCIAL VISTA COMO UMA SÉRIE 59
Definição 3.9.1 Seja (an) uma sequência de números reais. A série infinita, ou apenas série, associada
a esta sequência é a sequência (Sn) definida por
Sn = a1 +a2 + . . .+an =
n
∑
j=1
a j.
Dizemos que esta série converge se a sequência (Sn) converge. Cada termo Sn é chamado de n-ésima
soma parcial associada à série e cada an é chamado de termo geral da série. É comum usarmos a
notação
∞
∑
j=1
a j.
Existem vários testes de convergência importantes para o estudo de séries. Nesta seção nos focare-
mos no estudo da série definida em (3.10) e nas propriedades que necessitamos para demonstrarmos sua
convergência.
Teorema 3.9.2 Se x > 0 então
ex =
∞
∑
j=1
x j
j!
.
Demonstração. Pela definição de Seção 3.4.1, devemos demontrar que
lim
n→∞
(
1+
x
n
)n
= lim
n→∞
n
∑
j=1
x j
j!
.
Utilizando o Teorema Binomial (Exercício 34) vemos que(
1+
x
n
)n
= 1+n
( x
n
)
+
n(n−1)
2!
( x
n
)2
+ . . .+
( x
n
)n
.
Notemos ainda que um termo típico desta expansãobinomial é da forma
n(n−1) . . .(n− k+1)
k!
( x
n
)k
=
xn
k!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− k−1
n
)
≤ x
k
k!
,
visto que cada termo entre parênteses é menor que 1. Assim,(
1+
x
n
)n
≤ 1+ x+ x
2
2!
+ . . .+
xn
n!
= Sn(x).
Tomando o limite em ambos os lados dessa desigualdade obtemos
lim
n→∞
(
1+
x
n
)n
≤ lim
n→∞
Sn(x),
ou seja,
ex ≤
∞
∑
n=0
xn
n!
. (3.11)
60 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
por outro lado, suponde que m≤ n,(
1+
x
n
)n
≥ 1+n x
n
+
n(n−1)
2!
( x
n
)2
+ . . .+
n(n−1) . . .(n−m+1)
m!
( x
n
)m
= 1+ x+
x2
2!
(
1− 1
n
)
+ . . .+
xm
m!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
. . .
(
1− m−1
n
)
.
Agora deixamos m fixado e tomamos o limite quando n→ ∞ :
lim
n→∞
(
1+
x
n
)n
≥ 1+ x+ x
2
2!
+ . . .+
xm
m!
.
Segue que
ex ≥ Sm(x),
para todo x > 0. Note que a sequência (Sn(x)) é crescente, pois é formada somente por some de números
positivos, e acabamos de demonstrar que ela é limitada superiormente por ex. Tomando agora o limite
quando m→ ∞ obtemos
ex ≥
∞
∑
n=0
xn
n!
. (3.12)
Segue de (3.11) e de (3.12) que
ex =
∞
∑
n=0
xn
n!
, para todo x > 0,
como queríamos demonstrar. �
No caso particular em que x = 1, o Teorema 3.9.2 nos diz que
e =
∞
∑
n=0
1
n!
.
Seja
sn = 1+1+
1
2!
+ . . .+
1
n!
.
Então,
e− sn−1 =
∞
∑
k=n
1
k!
=
1
n!
+
1
(n+1)!
+ . . .
=
1
n!
(
1+
1
n+1
+
1
(n+1)(n+2)
. . .
)
≤ 1
n!
(
1+
1
n
+
1
n2
. . .
)
.
A expressão entre parênteses é a série
∞
∑
k=0
rk,
como r = 1/n. Para cada m ∈ N temos pelo Exercício 19 que
m
∑
k=0
rk =
1− rm+1
1− r
,
3.9. A FUNÇÃO EXPONENCIAL VISTA COMO UMA SÉRIE 61
e como 0 < 1/n < 1, tomando o limite quando m→ ∞ temos que
0 < e− sn−1 ≤
1
n!
∞
∑
k=0
1
nk
=
1
n!
n
n−1
=
1
(n−1)(n−1)!
, para n = 2,3,4, . . . . (3.13)
Por exemplo, para n = 6,
0 < e− s5 ≤
1
5
1
5!
=
1
600
,
e
s5 = 1+1+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
=
163
60
= 2.71666 . . . .
Note ainda que
s5 < e≤ s5 +
1
600
= 2.718333 . . . .
Assim, vemos em particular que e não pode ser um número inteiro.
Teorema 3.9.3 O número e é irracional.
Demonstração. Suponhamos que e = m/n, onde m e n são inteiros positivos. Podemos supor ainda que
n > 1, visto que e não é um número inteiro. Usando (3.13):
0 < e− sn ≤
1
n
1
n!
,
e portanto,
0 < n!(e− sn)≤
1
n
.
Como estamos supondo e = m/n, temos
0 < n!
(
m
n
−
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
))
≤ 1
n
.
Mas observe que a expressão
n!
(
m
n
−
(
1+1+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
))
é um número inteiro. Como 1/n < 1, obtemos uma contradição, ou seja, e não pode ser um número
racional. �
62 CAPÍTULO 3. SEQUÊNCIAS
Referências Bibliográficas
[1] Bartle, R.G; Sherbert, D.R.: Introduction to Real Analysis. Fourth Edition. JOhn Wiley & Sons,
2011.
[2] Brannan, D.: A first course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. Cambridge,
2006.
[3] Bumcrot, R.J.: Irrationality made easy. Coll. Math. J. 17, 243, 1986.
[4] Di Domenico, A.: The golden ratio - The right triangle - And the arithmetic, geometric and harmo-
nic means. Math. Gaz. 89, 261, 2005.
[5] Krantz, S.G.: Techniques of problem solving. American Mathematical Society, 1991.
[6] Lax, P.D.: A short path to the shortest path. Am. Math. Mon. 102, 158–159, 1995.
[7] Spivak, M.: Calculus. Fourth Edition. Publish or Perish, Houston, Texas, 2008.
63
	Preliminares
	Funções
	Demonstrações
	Princípio de indução Matemática
	Exercícios
	Números racionais
	Exercícios
	Sugestão de leitura adicional
	Números reais
	Propriedades Algébricas
	Exercícios
	Positividade, ordem e valor absoluto
	Exercícios
	A propriedade do supremo
	Exercícios
	Mais algumas desigualdades
	A desigualdade da médias aritmética e geométrica - caso geral
	A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
	Exercícios
	Sugestão de leitura adicional
	Sequências
	Convergência e resultados básicos
	Exercícios
	Sequências monótonas
	Exercícios
	O número e e a função exponencial
	Sequências de Cauchy
	Exercícios
	Subsequências e o Teorema de Bolzano-Wierstrass
	Exercícios
	A função exponencial vista como uma série