Prova de cálculo avançado números complexos e equações diferenciais

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10/03/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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1. A derivada de uma função é utilizada em muitas aplicações e a definição de derivada só foi
possível utilizando o conceito de limite. Analise as expressões a seguir e determine qual delas
representa a definição formal da derivada de primeira ordem de uma função complexa no ponto
z:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
2. Para uma função complexa ser derivável, basta que a sua parte real e a sua parte imaginária
tenham as derivadas parciais de primeira ordem contínua e que elas satisfaçam as equações
de Cauchy-Riemann. Sabendo que as equações de Cauchy-Riemann são
 a) Apenas a equação II de Cauchy-Riemann.
 b) Nenhuma das duas equações de Cauchy-Riemann.
 c) As duas equações de Cauchy-Riemann.
 d) Apenas a equação I de Cauchy-Riemann.
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3. Considere uma função complexa f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y) com z a variável complexa
dada por z = x + iy, u(x, y) a parte real da função f e v(x, y) a parte imaginária de f. Sobre o
exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A função f é derivável se existe as derivadas parciais de u e v e vale as equações de
Cauchy-Riemann. 
( ) Se f satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, então f não é derivável. 
( ) Se f e g são analíticas então nem a divisão nem a multiplicação de f por g é analítica. 
( ) A função f é analítica no ponto z se ela é derivável em todos os pontos de alguma bola
aberta centrada em z.
( ) A função f é dita inteira se seu domínio é todo o conjunto dos números complexos e f é
derivável em todos do domínio.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - V - V.
 b) F - V - V - F - F.
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 c) F - F - V - F - V.
 d) V - V - F - V - F.
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4. Para integrarmos funções complexas sobre curvas, precisamos que essas curvas estejam na
forma parametrizadas, ou seja, escrever essa curva na forma de uma função vetorial.
Considerando uma circunferência de raio igual a 2 e centro no ponto (3, 0), podemos afirmar
que a parametrização dessa curva é igual a:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
5. Considere um conjunto aberto dos números complexos, z um número complexo e f e g funções
que são deriváveis em z. Quando realizamos operações com essas funções, precisamos tomar
alguns cuidados na hora de derivar. Analise as Regras de Derivação a seguir e determine se
estão corretas ou não.
 a) Apenas as regras da soma e do quociente estão corretas.
 b) Apenas as regras da soma e da multiplicação por escalar estão corretas.
 c) Apenas as regras da multiplicação por escalar e do quociente estão corretas.
 d) Apenas as regras da subtração e da multiplicação estão corretas.
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6. Para integrar uma função complexa, temos que determinar o caminho de integração (essa ideia
é similar à integral de linha). Considerando uma semicircunferência parametrizada
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
7. A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites que são
indeterminações do tipo 0 divido por 0 ou infinito dividido por infinito; essa regra consiste em
derivar o numerador e denominador de uma fração separadamente até que o limite seja
possível de calcular. Utilizando a Regra de L'Hospital, temos que
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
8. Quando uma função complexa tem uma propriedade importante, essa função recebe um nome.
Um exemplo disso são as funções holomorfas. Por que essas funções são chamadas desta
forma?
 a) São deriváveis em todos os pontos do seu domínio.
 b) Seu domínio é todo o conjunto dos números complexos.
 c) Não é possível calcular sua derivada.
 d) Não são analíticas.
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9. Em muitas situações, precisamos utilizar as derivadas de ordem n para encontrar informações
das funções, por exemplo, nos problemas de maximização, usamos o teste da derivada
segunda para verificar se um ponto é máximo ou mínimo. Para calcular as derivadas
sucessivas de funções complexas, podemos proceder da mesma maneira que para funções
reais. Podemos então afirmar que a derivada segunda da função
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
10.Usando as propriedades de funções harmônicas, podemos encontrar a parte imaginária de
uma função analítica sabendo sua parte real. A parte imaginária da função analítica que tem
como parte real
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
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