TRABALHO DE ANALISE (1)

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QUESTÃO 3. 
a) Enuncie e prove o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas.
Teorema do Valor Intermediário: Seja f: [a, b] R contínua. Se f(a) < d < f(b) então existe c ϵ (a, b) tal que f(c) = d
Demonstração:
Como f é contínua no ponto a, dado ε = d – f(a) > 0, existe δ > o tal que a ≤ x ≤ a + δ ⇒ f(x) < f(a) + ε = d. Assim, todos os pontos x suficientemente próximos de a no intervalo [a, b] são tais que f(x) < d. De Modo análogo se verifica que todos os pontos y suficientemente próximos de b no intervalo [a, b] são tais que d < f(y). Em particular os conjuntos A = {x ϵ (a, b); f(x) < d} e B = {y ϵ (a, b); d < f(y)} são ambos não vazios. O corolário do Teorema 3 nos diz que A e B são abertos. Se não existir um ponto c com a < c < b e f(c) = d, então (a, b) = A U B, em contradição com a unicidade da decomposição de um aberto como reunião de intervalos.
b) Enuncie e prove o Teorema do Valor Intermediário para a Derivada (Teorema de Darboux). 
Teorema do Valor Intermediário para Derivada: Seja f;[a, b] → R derivável em todos os pontos x [a, b]. Se f’(a) < d < f’(b) então existe c (a, b) tal que f’ (c) = d.
Demonstração: 
Consideremos primeiro o caso d = 0, isto é, f’(a) < 0 < f’(b). Então, pelo Teorema 4 (Seja f: X R derivável à direita no ponto a . Se (a) > 0, então existe tal que x X, a < x < a + f(a) < f(x)), teremos f(a) > f(x), para x próximo de a, e f(x) < f(b), para x próximo de b. Por conseguinte, o mínimo de f em [a, b] (que existe em virtude do Teorema de Weierstrass (A prova de Bolzano consistiu em mostrar que em uma função contínua em um intervalo fechado era limitada, e depois mostrou que a função atingia um valor máximo e mínimo), pois f é contínua no compacto [a, b]) é atingido num ponto c (a, b). Pelo Corolário 2 do Teorema 4 (Seja a . Se f: X R é derivável ponto a e possui um máximo ou um mínimo local nesse ponto, então f’(a) = 0), temos f’(c) = 0. O caso geral se reduz a este considerando-se a função auxiliar g(x) = f(x) – d.x. 
Evidentemente g’(c) = 0 ↔ f’(c) = d e g’(a) <0<g’(b) ↔ f’(a) < d < f’(b).