Lista 7

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Universidade Federal de Sergipe
Disciplina: Álgebra Linear I
Departamento de Matemática
Professor: Me. Samuel Brito Silva
7a Lista de Exerćıcios
1. Seja T : V −→ V um operador linear e seja λ um autovalor de T .
Mostre que AutT (λ) é um subespaço de V .
2. Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T : Kn −→
Kn dado por sua matriz [T ]β é diagonalizável. Em caso positivo, calcule
uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
(a)
(
1 0
0 0
)
,K = C.
(b)
(
2 3
−1 1
)
,K = C.
(c)
(
1 1
1 1
)
,K = C.
(d)
(
−4 −1
4 0
)
,K = R.
(e)
 −9 4 4−8 3 4
−16 8 7
 ,K = R.
(f)
 6 −3 −24 −1 −2
10 −5 −3
 ,K = R,C.
3. Se v é vetor próprio associado ao valor próprio λ de um operador linear
T , o vetor αv, para qualquer real α 6= 0, é também autovalor de T .
4. Seja T : V −→ V um operador linear. Mostre que se todo vetor de V
for autovetor de T , então existe um λ ∈ K tal que T (v) = λv,∀v ∈ V .
5. Seja T : V −→ V um operador linear. Mostre que se dimKImT = m,
então T tem no máximo m+ 1 autovalores.
1
6. Seja T : K2 −→ K2 tal que T ◦ T = 0. Mostre que
(a) ImT ⊆ NucT.
(b) Se T 6= 0, então existe uma base β de K2 tal que
[T ]β =
(
0 0
1 0
)
,K = C.
7. Seja A uma matriz 2× 2 simétrica em M2(R). Mostre que A é diago-
nalizável.
8. Seja T : R2 −→ R2 uma transformação linear que tem como autovetores
(3, 1) e (−2, 1) associados aos autovalores −2 e 3, respectivamente.
Calcule T (x, y).
9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Sejam T e S operadores
lineares sobre V tais que T ◦ S = S ◦ T . Mostre que se v é autovetor
de T associado a λ ∈ R e S(v) 6= 0 então S(v) também é autovetor de
T associado a λ.
10. Seja T : V −→ V um isomorfismo e seja λ ∈ K um autovalor de T .
(a) Mostre que λ 6= 0
(b) Mostre que λ−1 é autovalor de T−1.
11. Um operador linear T : V −→ V é dito nilpotente quando existe um
r ∈ N tal que T r = 0 e T r−1 6= 0. Mostre que um operador nilpotente
tem um único autovalor que é λ = 0.
12. Seja T ∈ L(V, V ) tal que T 2 = T . Prove que os únicos autovalores de
T são 0 e 1.
13. Seja T : V −→ V operador e V espaço sobre K e elas forem simples,
isto é, com multiplicidade algébrica 1, então T é diagonalizável.
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