TEMA I-4

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Faculdade de Ciências
Departamento de F́ısica
bernardo.munguambe@outlook.com
Análise Matemática III
Tema I: Equações Diferenciais
Equações Diferenciais Exatas
A condição necessária e suficiente para que
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (1)
seja uma equação diferencial exata é
∂M
∂y
=
∂N
∂x
(2)
Em alguns casos, a equação aparece como diferen-
cial exata depois de um reagrupamento de seus
termos. A equação, na sua nova forma, pode
então ser integrada termo a termo.
Exemplo:
(x2 − y)︸ ︷︷ ︸
M
dx+ (y2 − x)︸ ︷︷ ︸
N
dy = 0
é uma equação diferencial exata, porque
∂M
∂y
=
∂
∂y
(x2 − y) = ∂N
∂x
=
∂
∂x
(y2 − x) = −1
isto pode ser evidenciado, também, com o se-
guinte arranjo:
x2dx+ y2dy − (ydx+ xdy) = 0
esta equação pode ser integrada termo a termo,
dando a primitiva
1
3
x3 +
1
3
y3 − xy = C
a equação (y2−x)dx+(x2−y)dy = 0, entretanto,
não é diferencial exata, porque ∂M/∂y = 2y 6=
∂N/∂x = 2x. Se a equação 1 é a diferencial exata
da equação µ(x, y) = C,
dµ =
∂µ
∂x
dx+
∂µ
∂y
dy = M(x, y) +N(x, y)dy (3)
então
∂µ
∂x
dx = M(x, y)dx µ(x, y) =
∫ x
M(x, y)dx+φ(y)
onde
∫ x
indica que, na integração, y deve ser con-
siderado como uma constante e φ(y) é a constante
(em relação a x) de integração.
∂µ
∂y
=
∂
∂y
{∫ x
M(x, y)dx
}
+
dφ
dy
= N(x, y) (4)
que dá dφ
dy
= φ′(y) e, assim φ(y) pode ser deter-
minado.
Factor Integrante
Se a equação 1, não é equação diferencial exata,
necessita-se de um factor de integração.
Se
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
= f(x) (5)
uma função de x, apenas, então e
∫
f(x)dx é um fac-
tor de integração da equação 1.
Se
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
= −g(y) (6)
uma função de y apenas, então eintg(y)dy, é um
factor de integração da equação 1.
Se a equação 1 é homogênea e Mx + Ny 6== 0,
então 1/Mx+Ny é um factor de integração.
Se a equação 1 pode ser colocada na forma
yf(xy)dx + xg(xy) = 0, onde f(xy) 6= g(xy),
então
1
xy[f(xy)− g(xy)]
=
1
Mx−Ny
é um factor de integração.
As vezes, depois de reagrupados os termos da
equação, pode-se determinar um factor de inte-
gração pelo reconhecimento de um certo grupo
de termos como parte de uma diferencial exata.
Exemplo: (2x3 + 3y)dx+ (3x+ y − 1)dy = 0
∂M
∂y
= 3 =
∂N
∂x
é uma equação diferencial exata. Seja
µ(x, y) =
∫ x
(2x3 + 3y)dx =
1
2
x4 + 3xy + φ(y)
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∂µ
∂y
= 3x+ φ′(y) = N(x, y)
��3x+ φ
′(y) = ��3x+ y − 1
φ′(y) = y − 1
para achar φ(y), faz-se a integração do φ′(y), logo
φ(y) =
1
2
y2 − y
Equação de Bernoulli
Consideremos uma equação da forma
dy
dx
+ P (x, y)y = Q(x) (7)
cujo o primeiro membro é linear, tanto na
variável dependente como na derivada, é chamada
equação linear de primeira ordem.
Uma equacao na forma
dy
dx
+ P (x, y)y = Q(x)yn (8)
em que P (x) e Q(x) são funções cont́ınuas de x
(ou constantes) e n 6= 0, n 6= 1 (caso contrario
não se teria uma equação linear).
reduz-se a equação 7, de seguinte modo: faz-se a
substituição
z = y−n+1
dz
dx
= (−n+ 1)y−n dy
dx
substituindo na equação 8
dz
dx
+ (−n+ 1)Pz = (−n+ 1)Q (9)
É uma equação linear. Calculando o seu integral
geral e substituindo em z a sua expressão y−n+1,
obtém-se o integral geral da equacao de Bernoulli.
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Exemplo: dy
dx
+ xy = x3y3
y−3
dy
dx
+ xy−2 = x3
seja: z = y−2 dz
dx
= −2y−3 dy
dx
−y−31
2
y3
dz
dx
+ xz = x3 − 1
2
dz
dx
+ xz = x3
seja: z = uv dz
dx
= u dv
dx
+ v du
dx
1
2
[
u
dv
dx
+v
du
dx
]
+xuv = x3
[
u
dv
dx
+v
du
dx
]
+2xuv = 2x3
u
[dv
dx
+ 2xv
]
+ v
du
dx
= 2x3
dv
dx
= −2xv
∫
dv
v
= −2
∫
xdx
ln v = −x2 + C
com a regra de cancelamento logaŕıtmico
v = e−x
2
e−x
2 du
dx
= 2x3∫
du =
∫
2x3.e−x
2︸ ︷︷ ︸
uv
dx
integrando por partes
u
.
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