EDO(2009) 3 lista

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Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias-Noturno
3a Lista de exerc´ıcios
(1) Verifique que y = cx e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial xy′ = y para todo
valor do paraˆmetro c. Encontre pelo menos duas soluc¸o˜es para o problema de
valor inicial {
xy′ = y,
y(0) = 0.
Observe que a func¸a˜o definida por partes
y =
{
0, x < 0
x, x > 0
satisfaz a condic¸a˜o y(0) = 0. Ela e´ uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial?
(2) Considere a equac¸a˜o diferencial
dx
dt
= 1 + x2.
Determine uma regia˜o do plano tx tal que a equac¸a˜o diferencial tenha uma u´nica
soluc¸a˜o passando por um ponto (t0, x0) da regia˜o.
(3) Nos seguintes problemas use o me´todo de Picard para encontrar x0, x1, x2, x3, x4.
Determine o limite de sequeˆncia {xn} quando n→∞.
(a)
dx
dt
+ x = 0, x(0) = 1 (b)
dx
dt
− t = x, x(0) = 1
(c)
dx
dt
= 2tx, x(0) = 1 (d)
dx
dt
+ 2tx = t, x(0) = 0
(e)
dx
dt
+ x2 = 0, x(0) = 0 (f)
dx
dt
= 2et − x, x(0) = 1.
(4) Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por separac¸a˜o de varia´veis.
(a) xdt− tdx = 0, (b) (1 + u)vdu+ (1− v)udv = 0,
(c) (1 + y)dx− (1− x)dy = 0, (d) (t2 − xt2)dx
dt
+ x2 + t2 = 0,
(e) (y − a)dx+ x2dy = 0, (f) zdt− (t2 − a2)dz = 0,
(g)
dx
dy
=
1 + x2
1 + y2
, (h) (1 + s2)dt−√tds = 0,
(i) dρ+ ρ tan θdθ = 0, (j) sen θ cosϕdθ − cos θ senϕdϕ = 0.
(5) Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
(a) (e−y + 1) senxdx = (1 + cos x)dy, y(0) = 0
(b) ydy = 4x(y2 + 1)1/2dx, y(0) = 1
(c)
dx
dy
= 4(x2 + 1), x(
pi
4
) = 1 (d) x2y′ = y − xy, y(−1) = −1.
(6) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais que se reduzem a varia´veis separadas.
1
2
(a)
dy
dx
= (x+ y + 1)2 (b)
dy
dx
= tan2(x+ y)
(c)
dy
dx
= 2 +
√
y − 2x+ 3 (d) dy
dx
= sen(x+ y)
(e)
dy
dx
= 1 + ey−x+5 (f)
dy
dx
=
1− x− y
x+ y
.
(7) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais que se reduzem a varia´veis separadas.
(a) (3y + 7x+ 7)dx− (3x− 7y − 3)dy = 0
(b) (x+ 2y + 1)dx− (2x+ 4y + 3)dy = 0
(c) (x+ 2y + 1)dx− (2x− 3)dy = 0
(8) Determine se a func¸a˜o dada e´ homogeˆnea. Especifique o grau de homogeneidade
quando for o caso.
(a) f(x, y) = x3 + 2xy2 − y
4
x
(b) f(x, y) =
x3y − x2y2
(x+ 8y)2
(c) f(x, y) =
√
x+ y(4x+ 3y) (d) f(x, y) =
x
y2 +
√
x4 + y4
(e) f(x, y) = cos
x2
x+ y
(f) f(x, y) = sen
x
x+ y
(g) f(x, y) = ln x2 − 2 ln y (h) f(x, y) = lnx
3
ln y3
(i) f(x, y) = (x−1 + y−1)2 (j) f(x, y) = (x+ y + 1)2.
(9) Encontre a soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es homogeˆneas .
(a) (y − x)dx+ (x+ y)dy = 0 (b) (x+ y)dx+ xdy = 0
(c) (x+ y)dx+ (y − x)dy = 0 (d) xdy − ydx =√x2 + y2dx
(e) (8y + 10x)dx+ (5y + 7x)dy = 0 (f) dt+ tds = 0
(g) (s−√st)dt+ tds = 0 (h) xy2dy = (x3 + y3)dx
(i) x cos(
y
x
)(ydx+ xdy) = y sen(
y
x
)(xdy − ydx).
(10) Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
(a) xy2
dy
dx
= y3 − x3, y(1) = 2 (b) 2x2 dy
dx
= 3xy + y2, y(1) = 2
(c) (x+ yey/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0
(d) (y2 + 3xy)dx = (4x2 + xy)dy, y(1) = 1
(e) y2dx+ (x2 + xy + y2)dy = 0, y(0) = 1.
(11) Verifique se a equac¸a˜o diferencial dada e´ exata.
(a) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0 (b) (5x+ 4y)dx+ (4x− 8y3)dy = 0
(c) (2y2x− 3)dx+ (2yx2 + 4)dy = 0
(d) (x3 + y3)dx+ 3xy2dy = 0
(e)
(1
x
+
1
x2
− x
x2 + y2
)
dx+
(
yey +
x
x2 + y2
)
dy = 0.
(12) Encontre a soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es diferenciais exatas.
(a) (x2 + y)dx+ (x− 2y)dy = 0 (b) (y − 3x2)dx− (4y − x)dy = 0
(c) (y3 − x)y′ = y
3
(d)
[ y2
(x− y)2 −
1
x
]
dx+
[1
y
− x
2
(x− y)2
]
dy = 0
(e) 2(3xy2 + 2x3)dx+ 3(2x2y + y2)dy = 0
(f)
xdx+ (2x+ y)dx
(x+ y)2
= 0 (g)
( 1
x2
+
3y2
x4
)
=
2ydy
x3
.
(13) Resolva a equac¸a˜o diferencial dada, verificando que a func¸a˜o indicada µ(x, y) seja
um fator integrante.
(a) 6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0, µ(x, y) = y2
(b) (−xy senx+ 2y cosx)dx+ 2x cosxdy = 0, µ(x, y) = xy
(c) (2y2 + 3x)dx+ 2xydy = 0, µ(x, y) = x
(d) −y2dx+ (x2 + xy)dy = 0, µ(x, y) = 1
x2y
(e) (x2 + 2xy − y2)dx+ (y2 + 2xy − x2)dy = 0, µ(x, y) = (x+ y)−2.
(14) Mostre que qualquer equac¸a˜o diferencial separa´vel de primeira ordem na forma
h(y)dy − g(x)dx = 0 e´ tambe´m exata.
(15) Verificar que a mudanc¸a de varia´veis para coordenadas polares x = r cos θ, y =
r sen θ tambe´m transforma uma equac¸a˜o homogeˆnea
dy
dx
= h(x, y)
em uma equac¸a˜o de varia´veis separadas da forma
dr
dθ
= −rh(cos θ, sen θ).
(16) Para x 6= 0 e x 6= 1 considere a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
=
y2 + x(x− 4)y + 2x2
x2(x− 1) . (1)
(a) Demonstre que a mudanc¸a de varia´veis z = y
x
transforma a equac¸a˜o (1) em
uma equac¸a˜o de varia´veis separadas
dz
dx
=
(z − 2)(z − 1)
x(x− 1) . (2)
(b) Encontre todas as soluc¸o˜es constantes e a soluc¸a˜o geral impl´ıcita de la equac¸a˜o
(2).
(c) Encontre a soluc¸a˜o particular de (1) que passa pelo ponto (3
2
, 6) e o intervalo
ma´ximo onde esta´ definida.
Germa´n Lozada-Cruz
Departamento de Matema´tica
IBILCE-UNESP-SJRP
11 de setembro de 2009