Controle Discreto - Aula 4

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CONTROLE DISCRETO 
 AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
 Nesta parte da disciplina serão estudados alguns dos métodos de 
discretização de funções de transferência. Estas funções de transferência 
podem representar plantas, compensadores e sistemas de controle de forma 
geral. Ou seja, os processos de discretização que serão demonstrados podem 
ser aplicados a qualquer sistema. 
 Em primeiro lugar, será mostrado o critério de amostragem de Nyquist. 
Por este critério, é possível ter um parâmetro de qual frequência de 
discretização, ou frequência de amostragem, deve ser utilizada no processo de 
discretização. Este critério é utilizado principalmente em relação a sinais 
amostrados, porém, seu conceito pode ser estendido à discretização de funções 
de transferência. 
 Na sequência, são estudados quatro métodos de discretização: utilizando 
o zero-order-hold, que chamaremos de ZOH, depois pelos métodos forward e 
backward, e finalmente o método bilinear, também conhecido por tustin. Esses 
quatro métodos serão aplicados a sistemas representados por funções de 
transferência. 
 Entretanto, como foi visto nas aulas anteriores, um sistema também pode 
ser representado em espaço de estados. Quando se encontram nesta forma de 
representação, também podem ser discretizados. Sendo assim, será visto como 
discretizar sistemas representados em espaço de estados. 
CONTEXTUALIZANDO 
 Como se sabe ou se pressupõe, sistemas de controle em tempo discreto 
se tornarão cada vez mais comum em aplicações industriais, comerciais e até 
residenciais, quando aplicados. Assim sendo, os processos de discretização 
utilizados para se chegar a um sistema discreto são de suma importância. 
 Os processos de discretização podem ser a diferença entre um sistema 
que resulte em um desempenho satisfatório ou não. Mais ainda, nos processos 
de discretização é possível verificar qual a influência que o período de 
amostragem tem. 
 Além disso, as técnicas de controle moderno vêm ganhando espaço, o 
que significa que é importante entender como discretizar sistema em espaço de 
 
 
3 
estados, já que tais técnicas são aplicadas a sistemas representados em espaço 
de estados. 
PROBLEMATIZANDO 
 Uma das grandes dúvidas em controle discreto é qual técnica de 
discretização utilizar. Normalmente, utiliza-se aquela que é mais viável no que 
diz respeito aos cálculos que devem ser feitos para obter o sistema discreto. 
 Porém, com o advento dos programas de computador, em que é possível 
trabalhar com sistemas de controle, a escolha do método se torna irrelevante, 
pois o programa fará a discretização com o método que for indicado. 
 Porém, a discretização é irrelevante em relação aos cálculos, mas não é 
irrelevante em relação ao resultado obtido. Alguns sistemas de discretização 
podem ser mais simples ou mais complexos de serem aplicados, porém, o 
resultado final da discretização pode mudar, cabendo ao engenheiro 
responsável identificar qual método é mais adequado para a situação em que 
está trabalhando. Mesmo em grande parte dos cálculos, o método utilizado para 
discretização, pouco relevante, nunca se perde a importância de saber 
diferenciar e aplicar de forma correta os processos de discretização. 
Saiba mais 
 Além dos métodos de discretização que serão estudados aqui, pesquise 
sobre outras técnicas de discretização e verifique se são mais simples ou mais 
complexas que as apresentadas nesta aula. 
TEMA 1 – CRITÉRIO DE NYQUIST PARA A DISCRETIZAÇÃO 
 O processo de conversão de sinais analógicos em digitais e digitais em 
analógicos no domínio do tempo segue algumas etapas. Para conversão A/D, 
ou seja, de sinais analógicos em digitais, o processo consiste em uma etapa de 
filtragem analógica, que é formado por um filtro passa-baixas, uma etapa de 
amostragem e retenção, uma etapa de quantização do sinal amostrado, e outra 
de transmissão/ armazenagem de sinais. Para a conversão de sinais digitais em 
analógicos, o caminho é exatamente o oposto. 
 Como o objetivo aqui é estudar a discretização de sinais, vamos nos ater 
ao processo de conversão A/D. 
 
 
4 
No processo de conversão A/D é necessário obedecer ao que é chamado 
de Critério de Nyquist para discretização. Este critério estabelece que a 
frequência de amostragem deve ser maior ou igual a duas vezes a frequência 
máxima do sinal a ser amostrado, ou discretizado. Matematicamente, pode ser 
escrito como 
MAXs ff 2
 
(1) 
Em que fs é a frequência de discretização, e fMAX é a frequência máxima 
do sinal a ser amostrado. 
Se a condição a equação (1) for satisfeita, significa que o sinal amostrado 
pode ter suas informações recuperadas após o processo de amostragem. 
Como exemplo, considere uma senoide conforme mostrado na Figura 1. 
Figura 1 – Sinal contínuo mostrando os pontos de aquisição, obedecendo ao 
critério de Nyquist 
 
 No sinal da Figura 1, perceba que a frequência de amostragem é 
exatamente duas vezes a frequência do sinal, ou seja, fs = 2fMAX. Os instantes 
em que é realizada a amostragem do sinal são representados por pequenos 
círculos localizados nos pontos máximos e mínimos da forma de onda do sinal 
amostrado. Neste caso, estamos no limite do critério de Nyquist, ou seja, ainda 
é possível “reconstruir” o sinal sem perda de informação em relação ao sinal 
original. 
 Agora, considere o sinal da Figura 2. Note que neste caso a frequência de 
amostragem é menor que duas vezes a frequência do sinal, ou seja, o critério de 
Nyquist não é atendido. Desta forma, não é possível “reconstruir” o sinal original 
sem perda de informações. 
 
 
5 
Figura 2 – Sinal contínuo mostrando os pontos de aquisição, obedecendo ao 
critério de Nyquist 
 
 Na Figura 2, mais precisamente na forma de onda superior, a aquisição 
do sinal original (contínuo) é feita exatamente nos pontos indicados. Na forma 
de onda inferior da Figura 2 é mostrado o sinal reconstruído. Nota-se, 
claramente, que o sinal obtido é diferente do sinal original. 
 Embora tenha sido utilizado um exemplo de aquisição de sinais para 
explicar o critério de Nyquist para discretização, a equação (1) é válida também 
para a discretização de sistemas em tempo contínuo. 
 Quando adaptado à discretização de sistemas contínuos, o critério de 
Nyquist estabelece que, se for obedecido, todas as informações referentes à 
planta, ou sistema discretizado, podem ser recuperadas. Lembre-se que, quando 
se trabalha com sistemas discretos, o sinal de saída é amostrado, para então ser 
utilizado pelo sistema. E, normalmente, a frequência de aquisição do sinal é igual 
à frequência utilizada para a discretização do sistema como um todo. 
 Resumindo e relembrando, o critério de Nyquist para discretização 
estabelece que a frequência de discretização de um sinal contínuo deve ser, no 
mínimo, duas vezes maior que a frequência do próprio sinal. Matematicamente, 
este conceito é mostrado na equação (1). 
 A seguir, serão estudadas algumas das formas de discretização de 
sistemas contínuos. 
TEMA 2 – DISCRETIZAÇÃO COM AMOSTRADOR DE ORDEM ZERO 
 A partir deste tema, serão estudadas algumas formas de discretização de 
sistemas. A primeira forma que será estudada é utilizando o ZOH. Esta é uma 
das maneiras mais utilizadas de realizar a discretização de sistemas. 
 
 
6 
 Como será estudado na sequência deste tema, existem outras formas de 
discretização, mas, entre elas, a que utiliza o ZOH é bastante difundida. 
Antes de iniciar, é importante ter em mente como o amostrador é inserido 
em um diagrama de blocos. Um diagrama de blocos com um amostrador do tipo 
ZOH é mostrado na Figura 3. 
Figura 3 – Diagrama de blocos em malha fechada com ZOH 
 
 Note, na Figura 3, que a chave é indicada pela letra T, que indica o período 
de amostragem. Esse período é referente à frequência de amostragem, ou seja, 
à frequênciacom que a chave abre e fecha. 
O bloco GZOH(s) possui uma função de transferência dada por 
 
s
e
sG
Ts
ZOH


1
 
(2) 
 Note que a função de transferência GZOH(s) depende do valor do período 
de amostragem, ou seja, o resultado da discretização depende do valor do 
período de amostragem. À medida que este valor diminui, o valor da frequência 
de amostragem aumenta. E à medida que o valor da frequência de amostragem 
aumenta, o sistema discreto se aproxima mais do sistema contínuo. 
 Como exemplo de aplicação de discretização utilizando o ZOH, considere 
uma função de transferência, G1(s) dada por (s+2)/(s+1). Assim, o diagrama de 
blocos da Figura 3 fica como representado na Figura 4. Note, ainda, que houve 
uma definição do período de amostragem. O período de amostragem T, foi 
definido como sendo 0,5 segundos. 
Figura 4 – Exemplo de diagrama de blocos em malha fechada com ZOH e 
período de amostragem. 
 
 O objetivo aqui é encontrar a função de transferência discreta G(z), sendo 
 
 
7 
     
 
  s
e
s
s
sGsGsG
Ts
ZOH




1
1
2
1
 
(3) 
 Esta configuração de diagrama de blocos é denominada configuração em 
cascata. Na Figura 4, diz-se que o ZOH está em cascata com a função de 
transferência G1(s). 
Pode-se iniciar o processo de obtenção de G(z) deslocando o “s” do 
denominador de GZOH(s) para o denominador de G1(s). Assim, tem-se que 
     
s
sG
esG Ts 11  
 
(4) 
 Como sabemos que e–kTs = z–k, e k = 1, então a equação (4) pode ser 
reescrita como 
     






 
s
sG
ZzzG 111
 
(5) 
 A parcela Z{G1(s)/s} indica a transformada Z da função G1(s)/s. Uma das 
maneiras de obter esta transformada é começar fazendo a expansão de G1(s)/s 
em frações parciais. Fazendo isso, tem-se 
   
  11
21





s
B
s
A
ss
s
s
sG
 
(6) 
 Calculando A e B, e chamando G1(s)/s de G2(s) tem-se 
 
 
1
121
2


sss
sG
sG
 
(7) 
 Aplicando a transformada inversa de Laplace à equação (7), tem-se que 
  tetg  22
 
(8) 
 Agora a equação (8) pode ser escrita em tempo discreto, ou seja, é 
possível obter a função g2(kT), que fica na forma 
  kTekTg  22
 
(9) 
 Por fim, basta consultar a tabela de transformadas. É a Tabela 1 da aula 
3. A partir da equação (8), uma breve consulta a tabela revela que 
 
Tez
z
z
z
zG




1
2
2
 
(10) 
 Como 
         zGz
s
sG
ZzzG 2
111 11 






 
 
(11) 
 Podemos escrever que G(z) é igual a 
 
 
8 
  











Tez
z
z
z
z
z
zG
1
21
 
(12) 
 Substituindo T por 0,5 tem-se 
   











607,01
21
z
z
z
z
z
z
zG
 
(13) 
 Trabalhando matematicamente a equação (13) resulta em 
 
  











607,01
214,01 2
zz
zz
z
z
zG
 
(14) 
 E, finalmente, 
 
607,0
214,0



z
z
zG
 
(15) 
 Perceba que há uma influência direta do período de amostragem no 
processo de discretização. 
Para entender melhor como ele influencia na resposta final de G(z), vamos 
considerar agora o período de amostragem igual a 1 segundo e verificar a 
diferença em relação à função G(z) obtida com T = 0,5 segundo. 
Até a equação (12) o período de amostragem não influencia diretamente 
o resultado de G(z). Então, substituindo T por 1, na equação (12) tem-se 
  











368,01
21
z
z
z
z
z
z
zG
 
(16) 
 Trabalhando matematicamente a equação (16) resulta em 
 
  











368,01
264,01 2
zz
zz
z
z
zG
 
(17) 
 e, finalmente, 
 
368,0
264,0



z
z
zG
 
(18) 
 Note que, claramente, há uma diferença entre a G(z) da equação (13) e a 
G(z) da equação (18). Claramente, a escolha do período de amostragem 
influencia no resultado final do sistema discreto. 
Perceba que na equação (13) o polo e o zero da função G(z) ficaram com 
parte real positiva. Já na equação (18), o zero possui parte real negativa e polo 
possui parte real positiva. Como será visto adiante, em sistemas discretos é 
possível ter polos e zeros com parte real positiva ou negativa e o sistema ser 
estável. 
 
 
9 
TEMA 3 – DISCRETIZAÇÃO PELOS MÉTODOS FORWARD E BACKWARD 
 O método de discretização backward, também chamado de retangular 
para frente, é um método que consiste em substituir o “s” de um sistema G(s) 
por uma equação equivalente, em função de “z”, e de um período de amostragem 
“T”, transformado diretamente uma função G(s) em uma função discreta G(z). 
 Entretanto, como não é somente este método de discretização que utiliza 
esta técnica, de substituição de “s”, é interessante saber de onde vem tal 
princípio. Este conhecimento ajudará não somente na compreensão do método 
backward, mas também pelo método bilinear ou tustin, que será apresentado no 
Tema 4 desta aula. 
 Para compreender de onde vem tal conceito, comece considerando um 
sistema com uma entrada U(s), e uma saída Y(s), sendo tal sistema um 
integrador 1/s. 
 Matematicamente, escreve-se como 
 
 
   ssYsU
ssU
sY

1
 
(19) 
 Aplicando a transformada inversa de Laplace a equação (19), U(s) = 
sY(s), tem-se 
 
 
dt
tdy
tu 
 
(20) 
 Integrando a equação (20) de ambos os lados, dentro de um período de 
amostragem T qualquer, ou, matematicamente, de (k–1)T a kT, tem-se 
      
  
kT
Tk
dttuTkykTy
1
1
 
(21) 
 O problema agora consiste em determinar a integral à direita da igualdade, 
de tal forma que o resultado seja igual ao do lado esquerdo. Para isso, pode-se 
utilizar, por exemplo, alguns dos métodos numéricos mostrados na Figura 5. 
 
 
 
10 
Figura 5 – Métodos numéricos de integração (a) retangular para frente ou 
forward, (b) retangular para trás ou backward, (c) trapezoidal, bilinear ou tustin 
 
Fonte: Castrucci et al., 2011. 
Note que, na Figura 5, há três formas de discretização. Vamos começar 
com a discretização do tipo forward, ou retangular para frente, representada na 
Figura 5(a). Note que, nesta forma de discretização, a integral é aproximada pela 
área do retângulo de base formada pelo intervalo (k-1)T e kT. Matematicamente, 
a área deste triângulo é dada por 
       TkTuTkykTy 11 
 
(22) 
 Aplicando a transformada Z à equação (22) tem-se 
     zUTzzYzzY 11  
 
(23) 
Portanto, 
 
 
T
zz
T
z
Tz
zU
zY
1
1
11 1
1








 (24) 
 Agora comparando o sistema da equação (19) com o da equação (24) 
chega-se à conclusão que a transformada Z de Y(s)/U(s) é Y(z)/U(z), e como 
Y(s)/U(s) é igual a 1/s, e Y(z)/U(z) é iguala a 1/[(z-1)/T], por analogia tem-se que 
T
z
s
1

 
(25) 
 Ou seja, para discretizar um sistema em “s” utilizando a transformação 
forward basta fazer a substituição mostrada na equação (25). 
Como exemplo, considere o exemplo da função de transferência da Figura 
4, dada por 
 
1
2
1



s
s
sG
 
(26) 
 Substituindo a igualdade da equação (25) na equação (26), tem-se que 
 
 
11 
 
Tz
Tz
T
z
T
z
zG








1
21
1
1
2
1
1
 
(27) 
 Considerando o mesmo período de amostragem, T = 0,5 segundo, tem-
se 
 
5,0
1


z
z
zG
 
(28) 
 Perceba que há uma diferença entre o resultado da discretização obtido 
utilizando o ZOH, da equação (18), e o método forward, da equação (28). 
O próximo método que será estudado é o método backward, ou retangular 
para trás, mostrado graficamente na Figura 5(b). 
Nesta forma de discretização, a integral aproximada é dada 
matematicamente por 
      kTTuTkykTy  1
 
(29) 
 Aplicando a transformada Z à equação (29), tem-se 
     zTUzYzzY  1
 
(30) 
 Ou seja, 
 
 
Tz
zz
T
zU
zY
1
1
1 1 




 (31) 
 Agora comparando o sistema da equação (19) com o da equação (31) 
chega-se à conclusão que a transformada Z de Y(s)/U(s) é Y(z)/U(z), e como 
Y(s)/U(s) é igual a 1/s, e Y(z)/U(z) é iguala 1/[(z-1)/Tz], por analogia tem-se que 
Tz
z
s
1

 
(32) 
 Ou seja, para discretizar um sistema em “s” utilizando a transformação 
backward, basta fazer a substituição mostrada na equação (32). 
Como exemplo, vamos considerar novamente a função de transferência 
da Figura 4, dada na equação (26). Aplicando a ela a substituição de “s” imposta 
pela discretização backward, tem-se 
 
Tzz
Tzz
Tz
z
Tz
z
zG








1
21
1
1
2
1
1
 
(33) 
 Substituindo o período de amostragem T por 0,5, conforme os exemplos 
anteriores, tem-se 
 
 
12 
 
 
15,1
12
1



z
z
zG
 
(34) 
 Note que o resultado foi diferente do obtido pelo método de discretização 
utilizando o ZOH e também diferente do método forward. Entretanto, o fato de 
resultar em aproximações diferentes não significa que um dos métodos não seja 
válido. Isso significa que pelo fato de os métodos backward e forward, por se 
tratarem de aproximações, não refletem o sistema contínuo na forma discreta, 
com a mesma resolução que o método do ZOH. 
TEMA 4 – DISCRETIZAÇÃO PELO MÉTODO BILINEAR 
 A discretização pelo método bilinear, também chamada de tustin, utiliza o 
mesmo princípio das transformações forward e backward, ou seja, consiste na 
substituição de “s” por um função em “z” que discretiza a função diretamente. 
 A sua dedução vem da análise da Figura 5(c). Perceba que a aproximação 
feita por este método se aproxima mais do resultado real da integral em relação 
aos métodos de discretização forward e backward. Embora seja mais complexo, 
o resultado é uma aproximação mais próxima da realidade. 
 Disto isso, vamos deduzir de onde vem a discretização pelo método 
bilinear. Analisando a Figura 5(c), podemos aproximar matematicamente a 
integral da equação (21) como sendo 
 
    
    





 

2
1
1
TkukTu
TTkykTy
 
(35) 
 Aplicando a transformada Z à equação (35), tem-se 
   
   





 



2
1
1 zUzzUTzYzzY
 
(36) 
Portanto, 
 
 
 
   
 1
12
1
12
1
1
1








zT
zz
zT
zU
zY
 (37) 
 Agora comparando o sistema da equação (19) com o da equação (34) 
chega-se à conclusão que a transformada Z de Y(s)/U(s) é Y(z)/U(z), e como 
 
 
13 
Y(s)/U(s) é igual a 1/s, e Y(z)/U(z) é igual a 1/[2(z-1)/T(z+1)], por analogia tem-
se que 
 
 1
12



zT
z
s
 
(38) 
 Ou seja, para discretizar um sistema em “s” utilizando a transformação 
bilinear, basta fazer a substituição mostrada na equação (38). 
Como exemplo e para efeito e comparação, vamos discretizar a função 
de transferência da equação (26). Substituindo “s” na equação (26) pela relação 
dada na equação (38), tem-se 
 
 
 
 
 
1
1
12
2
1
12
1







zT
z
zT
z
zG
 
(39) 
 Trabalhando matematicamente a equação (39), chega-se a 
 
   
    22
2222
112
1212
1






TTzz
TTzz
zTz
zTz
zG
 
(40) 
 Substituindo T por 0,5 segundo, para manter a mesma condição dos 
exemplos anteriores, tem-se 
 
5,15,2
13
26,05,02
25,025,022
1






z
z
zz
zz
zG
 
(41) 
 Agora dividindo o resultado da equação (41) por 2,5 para que o “z” do 
denominador fique com coeficiente igual a 1, resulta em 
 
6,0
4,02,1
1



z
z
zG
 
(42) 
 Como esperado, o resultado da discretização pela aproximação bilinear 
resultou em uma função G1(z) diferente do resultado obtido pela discretização 
com ZOH, forward e backward. 
 Para nível de comparação, analise a Tabela 1. Ela traz um comparativo 
entre o resultado dos processos de discretização utilizando os quatro métodos 
de discretização estudados até agora na Tabela 1. 
Tabela 1 – Comparação entre os métodos de discretização 
Método de discretização Função discretizada 
Zero-order-hold (ZOH)  
607,0
214,0



z
z
zG 
Forward (Retangular para frente)  
5,0
1


z
z
zG 
 
 
14 
Backward (Retangular para trás)  
667,0
667,0334,1
1



z
z
zG 
Tustin (Bilinear)  
6,0
4,02,1
1



z
z
zG 
 Note que, na Tabela 1, a função G1(z) obtida pelo método backward foi 
dividida por 1,5 em relação ao resultado da equação (34), para manter o padrão 
do coeficiente igual a 1, no “z” do denominador. 
 Perceba que o método de discretização utilizado influencia na posição do 
zero e do polo. Lembrando que o conceito de zero e polo para sistemas discretos 
é o mesmo que para sistemas contínuos. 
 Para sistemas discretos, os polos são os valores de “z” que fazem a 
função de transferência do sistema discretizado tender ao infinito. Já os valores 
de “z” que fazem a função de transferência discretizada tender a zero, são os 
zeros da função de transferência. 
 Voltando à Tabela 1, o tipo do método escolhido para discretização pode 
influenciar na estabilidade do sistema. 
 Outra escolha que influencia na estabilidade é o período de amostragem. 
À medida que o período de amostragem diminui, os polos do sistema tendem a 
se aproximar da região de instabilidade. 
 A análise de estabilidade de sistemas discretos será estudada na Aula 5. 
TEMA 5 – DISCRETIZAÇÃO DE SISTEMAS EM ESPAÇO DE ESTADOS 
 Neste tema, veremos como discretizar sistemas representados em 
espaço de estados. Como foi comentado anteriormente, as técnicas de controle 
moderno são baseadas em representação de sistemas em espaço de estados, 
portanto, é necessário conhecer o modelo matemático da planta em espaço de 
estados. Mais do que isso, como a maioria dos controladores hoje são 
implementados na forma discreta, é necessário conhecer o modelo discreto em 
espaço de estados. Daí a importância de conhecer o processo de discretização 
quando se utiliza esta forma de representação. 
 Vamos começar considerando um sistema em espaço de estados em 
tempo contínuo dado por 
     
     tDutCxty
tButAxtx



 
(43) 
 Este sistema, após discretizado, passa a ser escrito na forma 
 
 
15 
     
     kuDkxCky
kuBkxAkx
dd
dd

1
 
(44) 
 em que Ad, Bd, Cd e Dd são, respectivamente, as matrizes A, B, C e D, na 
forma discreta. Perceba, ainda, o termo x(t) ponto, que representa a derivada 
das variáveis de estado em relação ao tempo, passa a representar o valor das 
variáveis no amostragem após a amostragem atual, k, ou seja, resultam no valor 
das variáveis de estado futuras, k+1. 
 O problema, agora, consiste em como determinar as matrizes discretas 
para compor o sistema da equação (44). 
 As matrizes da equação (44) são dadas por 
AT
d eA 
 
(45) 
 dBeB
T
A
d  0 (46) 
dCC  (47) 
dDD  (48) 
 onde T é o período de amostragem. 
 Note que apenas as matrizes Ad e Bd exigem cálculos. As matrizes Cd e 
Dd são iguais as matrizes C e D, respectivamente. 
 Assim, substituindo as equações (45), (46), (47) e (48) na equação (44), 
um sistema discreto em espaço de estados dica representado na forma 
     
     kDukCxky
kuBdekxekx
T
AAT





 01 

 
(49) 
 Como exemplo de procedimento de discretização de sistemas em espaço 
de estados, vamos considerar o sistema contínuo dado por 
     
     txty
tutxtx
01
0
1
10
12












 


 
(50) 
 sendo, portanto, 
  0;01;
0
1
;
10
12











 
 DCBA
 
(51) 
 O primeiro passo é também o mais trabalhoso. Consiste em determinar a 
matriz Ad, ou seja, obter a matriz eAT. Esta matriz é calculada fazendo a 
transformada inversa de Laplace da matriz (sI – A)-1. 
Portanto, deve-se calcular primeiro a matriz (sI – A), fazendo 
 
 
16 
  




















 







10
12
10
12
10
01 s
sAsI
 
(52) 
 Agora vamos determinar a matriz inversa de (sI – A), ou seja, (sI – A)-1. 
Uma forma de realizar o cálculo de matriz inversa é fazendo 
    IAsIAsI  1
 
(53) 
 ou seja, 



















10
01
10
12
dc
bas
 
(54) 
 Portanto, a matriz com os coeficientes a, b, c e d, é a matriz inversa de (sI 
– A), ou seja, é igual a (sI – A)-1. 
 O que é mostrado a seguir é o cálculo detalhado da equação (54). 
Fazendo a multiplicação de matrizes do lado esquerdo da igualdade da equação 
(54) tem-se 
   
    












10
01
11
22
dscs
dbscas
 
(55) 
 Da igualdade da equação (55) chega-se a 
  001  ccs
 
(56) 
 Após o cálculo de c, chega-se a 
   
2
1
022


s
aascas
 
(57) 
 Seguindo o mesmo raciocínio 
  
1
1
11


s
dds
 
(58) 
 E, finalmente, o cálculo de b fica na forma 
 
  21
1
02



ss
bdbs
 
(59) 
 O valor de b, na equação (59), pode ser escrito expandindo-o em frações 
parciais, tal que 
      2121
1 21






s
K
s
K
ss 
(60) 
 com 
 
1
2
1
1
1 



s
s
K
 
(61) 
 e 
 
 
17 
 
1
1
1
2
2 



s
s
K
 
(62) 
 resultando em 
   2
1
1
1




ss
b
 
(63) 
 Por fim, tem-se 
       
  























1
1
0
2
1
1
1
2
1
1
s
sss
dc
ba
AsI
 
(64) 
 Agora, para encontrar o valor de eAT, basta aplicar a transformada inversa 
de Laplace à equação (64). Fazendo isso, o resultado é 





 

T
TTT
AT
e
eee
e
0
22
 
(65) 
 Considerando o período de amostragem igual a 1 segundo, a equação 
(65) fica 





 

72,20
67,439,7
AT
d eA
 
(66) 
 O segundo passo é a determinação da matriz Bd, fazendo 
































 
  0
19,3
0
2
00
1
0
0
2
0
2
0
22
0
T
TTT
A
d
e
d
e
d
e
eee
dBeB




  (67) 
 Como as matrizes Cd e Dd são iguais as matrizes C e D, respectivamente, 
o sistema da equação (50), na forma discreta, com T = 1, fica 
     
     kxky
kukxkx
01
0
19,3
72,20
67,439,7
1












 

 
(68) 
 Este procedimento pode ser facilmente comprovado com a ajuda do 
Scilab, com os seguintes comandos: 
 T = 1 // especificação do período de amostragem 
 A = [2 -1 ; 0 1] // declaração da matriz A 
 B = [1 ; 0] // declaração da matriz B 
 C = [1 0] // declaração da matriz C 
 D = 0 // declaração da matriz D 
 
 
18 
 G = syslin (‘c’, A, B, C, D) // formação do sistema linear em espaço de 
estados 
 Gd = dscr(G,T) // discretização do sistema linear G 
FINALIZANDO 
 Nesta aula foram vistos os processos de discretização. Especificamente, 
foi apresentado o critério de Nyquist para discretização de sinais de modo que 
seja possível reconstruir o sinal amostrado sem perda de informação em relação 
ao sinal original. 
 Na sequência, quatro métodos de discretização de sistemas 
representados por função de transferência foram apresentados, e aplicados a 
um mesmo sistema contínuo para que fosse possível a comparação entre eles. 
 Por fim, é apresentada a forma de discretizar sistemas representados em 
espaço de estados e a representação do sistema discreto. 
 
 
 
19 
REFERÊNCIAS 
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle, 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2017. 
CASTRUCCI, P. L; BITTAR, A.; SALES, R. M. Controle Automático. Rio de 
Janeiro: LTC, 2011. 
PINHEIRO, C. A. M.; MACHADO, J. B.; FERREIRA, L. H. C. Sistemas de 
Controle Digitais e Processamento de Sinais. 1. ed. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2017.