Unidade 1 - Parte 6 1

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
n for par 
𝑢 = 𝑡𝑔 𝑥 
 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 6) 
 
* Integrais ∫ 𝒕𝒈𝒏 𝒖 𝒅𝒖 e ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒏 𝒖 𝒅𝒖, onde n é inteiro positivo. 
Na preparação do integrando, usamos as identidades: 
 𝑡𝑔2 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 − 1 
𝑡𝑔𝑛 𝑢 = 𝑡𝑔𝑛−2 𝑢. 𝑡𝑔2𝑢 
E 
 
 𝑠𝑒𝑐2𝑢 = 𝑡𝑔2𝑢 + 1 
𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 = (𝑠𝑒𝑐²𝑢)
𝑛−2
2 . 𝑠𝑒𝑐²𝑢 
 = (𝑡𝑔2𝑢 + 1)
𝑛−2
2 . 𝑠𝑒𝑐²𝑢 
OBS: Na integral da secante, quando n for ímpar, devemos aplicar o método da 
integração por partes. 
Exemplos: 
1- ∫ 𝒕𝒈𝟑𝒙 𝒅𝒙 
𝑡𝑔3𝑥 = 𝑡𝑔2𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 = (𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1). 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥 
∫ 𝑡𝑔3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
 =
𝑢2
2
− 𝑙𝑛|sec 𝑥| + 𝐶 =
𝑡𝑔2𝑥
2
− 𝑙𝑛|sec 𝑥| + 𝐶 
 
2- ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙 𝒅𝒙 
𝑢 = sec 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑡𝑔 𝑥 
 
 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
* 
∫ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 − ∫ 𝑡𝑔2𝑥. sec 𝑥 𝑑𝑥 
 = sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 − ∫(𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1) . sec 𝑥 𝑑𝑥 
 = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(sec 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥|) + 𝐶 
* Fórmulas de Redução ou Recorrência 
i) ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
𝑛
𝑠𝑒𝑛𝑛−1 𝑢. cos 𝑢 +
𝑛−1
𝑛
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
ii) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛−1 𝑢. sen 𝑢 +
𝑛−1
𝑛
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
iii) ∫ 𝑡𝑔𝑛 𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑛−1
𝑡𝑔𝑛−1 𝑢 − ∫ 𝑡𝑔𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
iv) ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛 𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑛−1
sec 𝑢 . tg 𝑢 +
𝑛−2
𝑛−1
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
Exemplos: 
1- ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
1
2
sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 +
1
2
∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 
 =
1
2
sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 +
1
2
 𝑙𝑛|sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥| + 𝐶 
 
2- ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛5𝑢 𝑑𝑢 
 *∫ 𝑠𝑒𝑛5𝑢 𝑑𝑢 = −
1
5
𝑠𝑒𝑛4𝑢. cos 𝑢 +
4
5
∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑢 𝑑𝑢 
 = −
1
5
𝑠𝑒𝑛4𝑢. cos 𝑢 +
4
5
 (−
1
3
𝑠𝑒𝑛2𝑢. cos 𝑢 +
2
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢) 
 = −
1
5
𝑠𝑒𝑛4 𝑢. cos 𝑢 −
4
15
𝑠𝑒𝑛2𝑢. cos 𝑢 −
8
15
cos 𝑢 + 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑛5 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(−
1
5
𝑠𝑒𝑛4 2𝑥. cos 2𝑥 −
4
15
 𝑠𝑒𝑛22𝑥. cos 2𝑥 −
8
15
cos 2𝑥) + 𝐶 
 
𝑢 = 2𝑥 
 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
 
1
2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
* Integração de Funções Envolvendo Seno e Cosseno de Arcos Diferentes 
i) 𝑠𝑒𝑛 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝑏 =
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏)] 
ii) 𝑠𝑒𝑛 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑏 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) − 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏)] 
iii) 𝑐𝑜𝑠 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝑏 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] 
Exemplos: 
1) ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 
𝑠𝑒𝑛 4𝑥. cos 2𝑥 =
1
2
(𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 
 =
1
2
(∫ 𝑠𝑒𝑛 6𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥) 
 =
1
2
(−
1
6
cos 6𝑥 −
1
2
cos 2𝑥) + 𝐶 
 
2) ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =
1
2
∫(cos 3𝑥 − cos 7𝑥) 𝑑𝑥 
 =
1
2
(∫ cos 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cos 7𝑥 𝑑𝑥) 
 =
1
2
(
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −
1
7
𝑠𝑒𝑛 7𝑥) + 𝐶 
3) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =
1
2
(∫ cos 8𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥) 
 =
1
2
(
1
8
𝑠𝑒𝑛 8𝑥 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥) + 𝐶