Apostila SP1_Luciano

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS 
ESCOLA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE POTÊNCIA I − 052814 
NOTAS DE AULA 
Prof. LUCIANO VITORIA BARBOZA, Dr.Eng. 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1. Representação dos Sistemas de Potência .................................................................. 1 
 1.1. Aspectos gerais ....................................................................................................................... 1 
 1.2. Modelo de circuito de uma máquina síncrona ........................................................................ 1 
 1.3. Transformador ideal ............................................................................................................... 3 
 1.4. Circuito equivalente de um transformador real ...................................................................... 5 
 1.5. Circuito equivalente de um transformador real com tap fora do valor nominal .................... 7 
 1.6. Autotransformador ................................................................................................................. 9 
 1.7. Grandezas em por unidade ................................................................................................... 10 
 1.8. Impedância por unidade em circuitos com transformadores ................................................ 11 
 1.9. Impedância por unidade de transformadores de três enrolamentos ...................................... 13 
 1.10. Diagrama unifilar ............................................................................................................... 15 
 1.11. Diagramas de impedâncias e reatâncias ............................................................................. 17 
 1.12. Lista de exercícios .............................................................................................................. 20 
 
Capítulo 2. Cálculo de Redes ....................................................................................................... 23 
 2.1. Aspectos gerais ..................................................................................................................... 23 
 2.2. Equivalência de fontes .......................................................................................................... 23 
 2.3. Equações nodais ................................................................................................................... 24 
 2.4. Partição de matrizes .............................................................................................................. 27 
 2.5. Eliminação de nós pela álgebra matricial ............................................................................. 28 
 2.6. Matrizes admitância e impedância de barra ......................................................................... 31 
 2.7. Modificação de uma matriz impedância de barra já existente ............................................. 32 
 Caso 1: Adição de um ramo de uma nova barra p até à barra de referência ............................ 32 
 Caso 2: Adição de um ramo de uma nova barra p até uma barra k já existente ....................... 33 
 Caso 3: Adição de um ramo de uma barra k já existente até à barra de referência .................. 34 
 Caso 4: Adição de um ramo entre duas barras j e k já existentes ............................................. 35 
 2.8. Determinação direta da matriz impedância de barra ............................................................ 36 
 2.9. Lista de Exercícios ............................................................................................................... 38 
Sumário Prof. Luciano Vitoria Barboza 
Sistemas de Potência I iii 
Capítulo 3. Fluxo de Potência ...................................................................................................... 41 
 3.1. Aspectos gerais ..................................................................................................................... 41 
 3.2. Formulação do problema ...................................................................................................... 41 
 3.3. Fluxos de potências ativa e reativa .........................................................................................43 
 3.3.1. Linhas de transmissão ..................................................................................................... 43 
 3.3.2. Transformadores em fase ................................................................................................ 44 
 3.4. Formulação matricial ............................................................................................................ 45 
 3.5. Equacionamento em termos das variáveis do sistema .......................................................... 47 
 3.6. Métodos iterativos de Gauss e de Gauss-Seidel ................................................................... 49 
 3.7. Método iterativo de Newton-Raphson ................................................................................. 50 
 3.8. Métodos iterativos desacoplados .......................................................................................... 52 
 3.8.1. Método de Newton-Raphson desacoplado ..................................................................... 53 
 3.9. Fluxo de potência linearizado ou Fluxo de carga CC ........................................................... 54 
 3.9.1. Linearização .................................................................................................................... 55 
 3.9.2. Formulação matricial ...................................................................................................... 55 
 3.10. Características dos métodos de solução do fluxo de potência ............................................ 56 
 3.11. Ajustes e controles .............................................................................................................. 57 
 3.12. Cargas variáveis com a tensão ............................................................................................ 59 
 
Capítulo 4. Operação Econômica de Sistemas de Potência ...................................................... 60 
 4.1. Aspectos gerais ..................................................................................................................... 60 
 4.2. Distribuição de carga entre as unidades de uma mesma central .......................................... 60 
 4.3. Perdas na transmissão em função da geração da central ...................................................... 64 
 4.4. Distribuição de carga entre centrais ..................................................................................... 67 
 4.5. Controle automático de geração ........................................................................................... 69 
 4.6. Lista de exercícios ................................................................................................................ 72 
 
Apêndice A. Algoritmos para Fluxo de Potência ...................................................................... 75 
 A.1. Método de Gauss ................................................................................................................. 75 
 A.2. Método de Gauss-Seidel ...................................................................................................... 76 
 A.3. Método de Newton-Raphson ............................................................................................... 77 
 A.4. Método de Newton desacoplado ......................................................................................... 78 
 
I. REPRESENTAÇÃODOS SISTEMAS DE POTÊNCIA 
 
1.1. Aspectos Gerais 
 
 Neste ponto do estudo sobre sistemas de potência, já se completou o desenvolvimento do modelo 
do circuito de uma linha de transmissão e já se iniciou os cálculos de tensão, corrente e potência em 
uma linha. Neste capítulo, serão desenvolvidos os modelos de circuito para a máquina síncrona e 
para o transformador de potência. Dessa forma, será possível representar o sistema de energia por 
inteiro. 
 
 
1.2. Modelo de Circuito de uma Máquina Síncrona 
 
 A tensão terminal em uma máquina síncrona, atuando como gerador, pode ser expressa como 
 
 t f a ar a l t f a SV E jI X jI X V E jI X= − − ⇒ = − (1.1) 
 
onde V t é a tensão terminal sob carga; 
 E f é a tensão gerada a vazio; 
 I a é a corrente na armadura; 
 jI aX ar é a tensão devido à reação da armadura; 
 jI aX l é a tensão devido à reatância de dispersão da armadura; 
 X S é a reatância síncrona, onde X S = X ar + X l. 
 
 Se a resistência da armadura R a for relevante, a equação (1.1) torna-se 
 
 ( )t f a a SV E I R jX= − + (1.2) 
 
 A equação (1.2) pode ser representada através de um circuito equivalente, como mostrado na Fi-
gura 1.1. 
 
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Sistemas de Potência I 2 
+
−
+
−
Vt
RaXlXar
Ef
Ia
XS
 
Figura 1.1. Circuito equivalente para o gerador síncrono. 
 
 Neste ponto, tem-se a representação do gerador por um circuito equivalente bastante simples, po-
rém muito conveniente. A resistência da armadura, normalmente, é bem menor do que a reatância 
síncrona de modo que a sua omissão não apresenta grande influência nos resultados numéricos. 
 Os princípios até aqui abordados podem ser estendidos ao motor síncrono. O circuito equivalente 
para o motor é idêntico ao do gerador com o sentido inverso da corrente. O circuito equivalente para 
o motor síncrono está mostrado na Figura 1.2. 
 
+
−
+
−
Vt
Ra XlXar
Ef
Ia
XS
 
Figura 1.2. Circuito equivalente para o motor síncrono. 
 
 As tensões geradas internamente no gerador e no motor são, geralmente, identificadas pela nota-
ção de subíndice simples como E g e E m, respectivamente, ao invés de E f, especialmente quando eles 
estão no mesmo circuito, como mostrado na Figura 1.3. As equações para este circuito são 
 
 e t g a g t m a mV E jI X V E jI X= − = + (1.3) 
 
 As reatâncias síncronas do gerador e do motor são X g e X m, respectivamente, e as resistências das 
armaduras foram desprezadas. 
 
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Sistemas de Potência I 3 
+
−
+
−
Xg Xm
Eg Em
Ia
+
−
Vt
 
Figura 1.3. Circuito equivalente para a conexão de um gerador síncrono e um motor síncrono. 
 
 Quando são estudados curto-circuitos em máquinas síncronas, a corrente que circula imediata-
mente após a ocorrência da falta difere do valor que circula em regime permanente. Em vez da rea-
tância síncrona, usa-se a reatância subtransitória X″ ou a reatância transitória X′ na simulação de 
máquinas síncronas para cálculos de faltas. 
 
 
1.3. Transformador Ideal 
 
 Os transformadores são equipamentos constituídos por duas ou mais bobinas situadas de tal for-
ma que são enlaçadas pelo mesmo fluxo magnético. Num transformador de potência, as bobina são 
colocadas sobre um núcleo de material ferromagnético de modo a confinar o fluxo de uma maneira 
que a quase totalidade desse fluxo enlace todas as bobinas. 
 Suponha que o fluxo magnético varia sinusoidalmente no núcleo e que o transformador é ideal, 
ou seja, a permeabilidade magnética μ do núcleo é infinita e a resistência dos enrolamentos é nula. 
Com a permeabilidade do núcleo sendo infinita, todo o fluxo fica confinado no núcleo e, portanto, 
enlaça todas as espiras de ambos os enrolamentos. A tensão e induzida em cada enrolamento é tam-
bém a tensão terminal v dos enrolamentos, pois a resistência dos enrolamentos é nula. 
 Pela lei de Faraday, tem-se 
 
 1 1 2 2 e 
d dv N v N
dt dt
φ φ= = (1.4) 
 
onde φ é o valor instantâneo do fluxo magnético no núcleo; 
 N 1 e N 2 são os números de espiras dos enrolamentos primário e secundário; 
 v 1 e v 2 são as tensões nos enrolamentos primário e secundário. 
 
 Supondo uma variação sinusoidal para o fluxo, convertendo para a forma fasorial e combinando 
as equações (1.4), obtém-se 
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Sistemas de Potência I 4 
 1 1
2 2
V N a
V N
= = (1.5) 
 
onde a é a relação de espiras ou relação de transformação do transformador. 
 
 Por outro lado, sendo o transformador ideal, este não apresenta perdas. Portanto, as potências 
aparentes nos enrolamentos primário e secundário devem ser iguais. Então, tem-se 
 
 1 1 2 2V I V I= (1.6) 
 
 Pela equação (1.6), tem-se que 
 
 2 1 1
1 2 2
I V N a
I V N
= = = (1.7) 
 
o que leva a conclusão de que, no transformador ideal, I1 deve ser nula se I2 for nula. 
 O enrolamento ao qual uma impedância ou outra carga é conectada chama-se enrolamento se-
cundário. De modo similar, o enrolamento que está ligado à fonte de energia é chamado enrolamen-
to primário. Em sistemas de potência, a energia geralmente circula em ambos os sentidos através do 
transformador e a designação de primário e secundário perde seu significado. 
 Se uma impedância Z 2 é ligada ao enrolamento secundário do transformador, tem-se 
 
 22
2
VZ
I
= (1.8) 
 
e substituindo V 2 e I 2 pelos valores obtidos nas equações (1.7), tem-se 
 
 
2
21
1 2 1 1
2 2
1 1 1 1
1
2
1
N V
N N V VZ N N I a II
N
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
 (1.9) 
 
e essa impedância vista dos terminais do enrolamento primário será 
 
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Sistemas de Potência I 5 
 
2
21 1
2 2 2
1 2
V NZ Z a Z
I N
⎛ ⎞′ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
 (1.10) 
 
 Portanto, a impedância ligada ao lado secundário fica refletida (ou referida) ao primário multi-
plicando a impedância no secundário pelo quadrado da relação de espiras do transformador. 
 
Exemplo 1.1: Um transformador monofásico ideal possui valores nominais de 20 kVA, 480/120 V, 
60 Hz. Uma fonte conectada ao enrolamento de 480 V alimenta uma carga conectada ao enrolamen-
to de 120 V. A carga consome 15 kVA com um fator de potência de 0,8ind quando a tensão na car-
ga é 118 V. Calcule: 
a) a tensão no enrolamento de 480 V; 
b) a impedância da carga; 
c) a impedância da carga referida ao enrolamento de 480 V; 
d) as potências ativa e reativa no enrolamento de 480 V. 
 
 
1.4. Circuito Equivalente de um Transformador Real 
 
 O transformador real difere do transformador ideal pois: 
(1) a sua permeabilidade não é infinita; 
(2) as resistências dos enrolamentos estão presentes; 
(3) perdas ocorrem no núcleo devido às variações cíclicas do sentido do fluxo; 
(4) nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento, enlaça os outros enrolamentos. 
 
 Quando uma tensão sinusoidal for aplicada ao enrolamento de um transformador com núcleo de 
ferro e com o secundário em aberto, uma pequena corrente circulará no primário. Essa corrente é 
chamada corrente de magnetização do transformador. As perdas no ferro ocorrem devidas, primei-
ramente, às variações cíclicas do sentido do fluxo no ferro as quais requerem energia que é dissipa-
da como calor e é chamada perda por histerese. A segunda perda ocorre por correntes circulantes 
que são induzidas no ferro devido ao fluxo variável e estas correntes produzem uma |I| 2R no ferro 
chamada perda porcorrentes parasitas. A perda por histerese é reduzida com o uso, no núcleo, de 
ligas de aço especiais. As perdas por correntes parasitas são reduzidas montando o núcleo com fo-
lhas de aço laminadas. Para representar o circuito equivalente de magnetização do transformador, 
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considera-se uma corrente I E circulando em um circuito paralelo formado por uma susceptância B L e 
uma condutância G. 
 No transformador real de dois enrolamentos, parte do fluxo que enlaça o enrolamento primário 
não enlaça o secundário. Esse fluxo é proporcional à corrente do primário e causa uma queda de 
tensão que corresponde a uma reatância indutiva x 1, chamada de reatância de dispersão, a qual é 
colocada em série com o enrolamento primário do transformador ideal. Uma reatância x 2 semelhan-
te deve ser acrescentada ao enrolamento secundário para levar em conta a tensão devido ao fluxo 
que enlaça o secundário porém não enlaça o primário. Quando também são consideradas as resis-
tências r 1 e r 2 dos enrolamentos, tem-se o modelo de transformador mostrado na Figura 1.4. Neste 
modelo, o transformador ideal é a conexão entre os parâmetros r 1, x 1, G e B L colocados no primário 
do transformador e r 2 e x 2 colocados no secundário. 
 
N1 N2GBL
IE
1
2
2
N I
N
r1 x1 x2 r2
+
− −
+
V2V1
I1 I2
 
Figura 1.4. Circuito equivalente do transformador usando o conceito de transformador ideal. 
 
 O transformador ideal pode ser omitido no circuito equivalente referindo-se todos os parâmetros 
do transformador para um dos lados. Por exemplo, referindo todas as tensões, correntes e impedân-
cias do circuito da Figura 1.4 para o primário do transformador, tem-se o circuito equivalente mos-
trado na Figura 1.5. 
 
GBL
IE
r1 x1 a
2x2 a
2r2
+
− −
+
aV2V1
I1 2I
a
 
Figura 1.5. Circuito equivalente do transformador com a corrente de magnetização. 
 
 Muitas vezes, a corrente de magnetização (I E) é desprezada porque ela é muito pequena compa-
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Sistemas de Potência I 7 
rada aos valores usuais das correntes de carga. Para simplificar ainda mais o circuito, pode-se fazer 
 
 2 21 1 2 1 1 2 e R r a r X x a x= + = + (1.11) 
 
para obter o circuito equivalente mostrado na Figura 1.6. Todas as impedâncias e tensões no secun-
dário devem, agora, ser referidas ao primário do transformador. 
 
R1 X1
+
− −
+
aV2V1
I1
 
Figura 1.6. Circuito equivalente do transformador desprezando a corrente de magnetização. 
 
 Os parâmetros R e X do transformador de dois enrolamentos são determinados pelo teste de cur-
to-circuito. A impedância é medida nos terminais de um enrolamento enquanto o outro enrolamento 
é curto-circuitado. Como é requerida apenas uma pequena tensão, a corrente de magnetização é in-
significante e a impedância medida é praticamente R + jX. 
 
Exemplo 1.2: Um transformador monofásico tem 2.000 espiras no enrolamento primário e 500 no 
secundário. As resistências dos enrolamentos são r 1 = 2,0 Ω e r 2 = 0,125 Ω. As reatâncias de disper-
são são x 1 = 8,0 Ω e x 2 = 0, 5 Ω. A resistência da carga Z 2 é 12 Ω. A tensão aplicada nos terminais 
do enrolamento primário é de 1.200 V. Determine a tensão V 2 e a regulação de tensão. Despreze a 
corrente de magnetização. 
 
 
1.5. Circuito Equivalente de um Transformador Real com Tap Fora do Valor Nominal 
 
 Os transformadores com tap fora do nominal podem esquematicamente ser representados por um 
transformador ideal com relação de transformação a:1 em série com a sua admitância. A Figura 1.7 
mostra o esquema de um transformador com tap fora do valor nominal conectado entre as barras i e 
k de um sistema de potência. 
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Sistemas de Potência I 8 
Ei Ek
Iik Iki
p
i k
yik
a:1
 
Figura 1.7. Esquema de um transformador com tap fora do seu valor nominal. 
 
 Para o transformador ideal da Figura 1.7, tem-se 
 
 1 e kii p k ik ki
ik
IE aE a E I I
y a
⎛ ⎞= = − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
 (1.12) 
 
 A partir das equações (1.12), pode-se escrever que 
 
 
2
1
1 1
ki ik i ik k
ik ik i ik k
I y E y E
a
I y E y E
a a
= − +
= −
 (1.13) 
 
 Um transformador com tap fora do valor nominal pode ser modelado por um circuito equivalente 
π, conforme mostrado na Figura 1.8, onde os parâmetros A, B e C são admitâncias. 
 
Ei Ek
Iik Iki
i k
A
CB
 
Figura 1.8. Circuito equivalente π de um transformador com tap fora do nominal. 
 
 As equações que representam o modelo π equivalente são 
 
 
( )
( )
ik i k
ki i k
I A B E AE
I AE A C E
= + −
= − + +
 (1.14) 
 
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Sistemas de Potência I 9 
 Comparando as equações (1.13) e (1.14) e identificando-se os coeficientes das tensões E i e E k, 
pode-se escrever 
 
 2 2
1 1 1 ik ik ik
a aA y B y C y
a a a
− −= = = (1.15) 
 
que são os parâmetros A, B e C do circuito π equivalente do transformador com tap fora do valor 
nominal. 
 
 
1.6. Autotransformador 
 
 O autotransformador difere do transformador comum pois os seus enrolamentos são, ao mesmo 
tempo, eletricamente conectados e acoplados por um fluxo mútuo. Pode-se estudar o autotransfor-
mador ligando eletricamente os enrolamentos de um transformador ideal. A Figura 1.9(a) é o dia-
grama esquemático de um transformador ideal e a Figura 1.9(b) mostra como os enrolamentos são 
conectados eletricamente de modo a formar um autotransformador. Nesta figura, os enrolamentos 
estão dispostos de maneira que suas tensões sejam aditivas, embora eles possam ser ligados de mo-
do a se oporem mutuamente. A grande desvantagem do autotransformador é que a isolação elétrica 
entre os enrolamentos fica perdida, mas o exemplo seguinte demonstra o aumento da potência no-
minal que se verifica. 
 
+ +
− −
V1 V2
I1 I2
N1 N2
 
+
−
+
−
V1
I1 N1
N2 I2
Ient
V2
 
(a) conectado na maneira usual (b) conectado como um autotransformador 
Figura 1.9. Diagrama esquemático do transformador ideal. 
 
Exemplo 1.3: Um transformador monofásico de 30 kVA, com tensões nominais 240/120 V, é co-
nectado como autotransformador como mostra a Figura 1.9(b). A tensão nominal é aplicada ao en-
rolamento de baixa tensão. Considere o transformador como sendo ideal e a carga sendo tal que as 
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correntes nominais |I 1| e |I 2| circulem nos enrolamentos. Determine |V 2| e os kVA nominais do auto-
transformador. 
 
 Pelo exemplo, observa-se que o autotransformador forneceu uma relação de tensão maior que o 
transformador comum e transmitiu mais potência elétrica entre os seus dois enrolamentos. Portanto, 
o autotransformador fornece maior potência nominal pelo mesmo custo. Ele também opera mais 
eficientemente pois as perdas permanecem as mesmas da conexão comum. Entretanto, a perda da 
isolação elétrica entre os lados de AT e BT do autotransformador é geralmente o fator decisivo em 
favor da conexão comum na maioria das aplicações. Em sistemas de potência, os autotransformado-
res trifásicos são usados freqüentemente para produzirem pequenos ajustes nas tensões das barras. 
 
 
1.7. Grandezas em Por Unidade 
 
 Os sistemas de energia elétrica são operados em níveis de tensão onde o kV é a unidade mais 
conveniente para expressar a tensão. Para a potênciatransmitida, MW e MVA são termos comuns. 
Entretanto, estas quantidades, bem como Ampères ou Ohms, são comumente expressas como por-
centagem ou como por unidade (pu) de uma base ou valor de referência especificado para cada 
grandeza. O valor pu de qualquer quantidade é definido como a relação da quantidade pelo valor 
base, expresso em decimal. Os cálculos utilizando valores em pu são mais simples do que os que 
usam os valores em unidades reais. 
 Tensão, corrente, potência e impedância estão relacionadas entre si de modo que a escolha de va-
lores bases para quaisquer duas delas determina os valores bases das demais. Para sistemas trifási-
cos, escolhe-se a tensão de linha (V base, em kV) e a potência aparente trifásica (N base, em MVA) co-
mo bases. As bases para as demais grandezas podem então ser determinadas como 
 
 
2
 e 
3
base base
base base
basebase
N VI Z
NV
= = (1.16) 
 
 Não raras vezes, a impedância em pu de um componente do sistema é expressa numa base dife-
rente daquela selecionada para a parte do sistema na qual o componente está localizado. Como to-
das as impedâncias devem ser expressas na mesma base de impedância, é necessário converter im-
pedâncias pu de uma base para outra. Para calcular a impedância em pu, dividi-se o valor real da 
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impedância pelo valor de base. Portanto, podemos escrever que 
 
 ( ) ( )(pu) e (pu)
ant nova
ant nova
base base
Z ZZ Z
Z Z
Ω Ω= = (1.17) 
 
 Combinando as equações (1.17), tem-se 
 
 (pu) (pu) ant
nova
base
nova ant
base
Z
Z Z
Z
= (1.18) 
 
 Por outro lado, as impedâncias bases antiga e nova podem ser expressas como 
 
 
2 2
 e ant nova
ant nova
ant nova
base base
base base
base base
V V
Z Z
N N
= = (1.19) 
 
 Substituindo as equações (1.19) na equação (1.18), obtém-se 
 
 
2
(pu) (pu) nova ant
ant nova
base base
nova ant
base base
N V
Z Z
N V
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 (1.20) 
 
 Com a equação (1.20), pode-se modificar o valor de uma impedância em pu de uma base antiga 
para uma base nova. 
 
 
1.8. Impedância Por Unidade em Circuitos com Transformadores 
 
 Os valores ôhmicos da resistência e da reatância de dispersão de um transformador dependem de 
que lado se efetuam as medidas, se do lado de AT ou de BT do transformador. Se seus valores são 
expressos em pu, a base de potência é tomada como sendo a potência nominal do transformador. A 
tensão base é escolhida como sendo a tensão nominal do enrolamento no qual a resistência e a rea-
tância de dispersão estiverem referidas. A impedância em pu do transformador é a mesma, indepen-
dente do fato de ter sido obtida a partir dos valores ôhmicos referidos nos lados de AT ou de BT do 
transformador. 
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Exemplo 1.4: Os valores nominais de um transformador monofásico são 2,5 kVA e 110/440 V. A 
reatância de dispersão medida no lado de BT é 0,06 Ω. Calcule a reatância de dispersão em pu. 
 
Exemplo 1.5: Três partes de um sistema elétrico monofásico são designadas por A, B e C e estão in-
terligadas através de transformadores, como mostra a Figura 1.10. As características dos transfor-
madores são: 
 A – B : 10.000 kVA, 138/13,8 kV, X disp = 10% 
 B – C : 10.000 kVA, 138/69 kV, X disp = 8% 
Se as bases no circuito B forem 10.000 kVA e 138 kV, calcule a resistência da carga de 300 Ω em 
pu referida aos circuitos A, B e C. Trace um diagrama de impedâncias, desprezando a corrente de 
magnetização e as resistências dos transformadores e a impedância da linha. Determine também a 
regulação de tensão se a tensão na carga for 66 kV com a suposição de que a tensão de entrada no 
circuito A permaneça constante. 
 
A B C
1:10
A−B
2:1
B−C
300 Ω
 
Figura 1.10. Circuito do Exemplo 1.5. 
 
 Com base no exemplo anterior, os seguintes pontos devem ser ressaltados quando se trabalha 
com valores em pu: 
1) São escolhidos uma base de tensão e uma base de potência em uma parte do sistema. Os valo-
res bases para um sistema trifásico são a potência trifásica e a tensão de linha. 
2) Para outras partes do sistema, isto é, nos outros lados dos transformadores, a base de tensão 
para cada parte é determinada de acordo com as relações de transformação dos transformado-
res. A base de potência será a mesma em todas as partes do sistema. 
3) As informações sobre impedâncias dos transformadores trifásicos, geralmente, são disponí-
veis em valores percentuais ou em pu, em relação às bases determinadas por seus valores no-
minais. 
4) Para três transformadores monofásicos ligados numa conexão trifásica, seus valores nominais 
de potência e tensão ficam determinados de acordo com as características nominais de cada 
transformador monofásico. A impedância percentual para a unidade trifásica é a mesma que 
se usa para cada transformador monofásico. 
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Sistemas de Potência I 13 
5) Uma impedância em pu dada numa base diferente daquela estabelecida para a parte do siste-
ma na qual o elemento está localizado deve ser mudada para a base apropriada de acordo com 
a equação (1.20). 
 
Exemplo 1.6: Três transformadores monofásicos com valores nominais de 25 MVA, 38,1/3,81 kV, 
cada um, são conectados em Y−Δ e ligados a uma carga equilibrada constituída de três resistores de 
0,6 Ω ligados em Y. Adote os valores de 75 MVA e 66 kV como bases para o lado de alta tensão e 
especifique a base para o lado de baixa tensão. Determine a resistência da carga em pu na base do 
lado de BT. Então, determine a resistência da carga referida ao lado de AT e o valor em pu dessa re-
sistência na base escolhida. 
 
Exemplo 1.7: Um transformador trifásico tem 400 MVA e 220Y/22Δ kV como valores nominais. 
A impedância de curto-circuito medida no lado de BT do transformador é 0,121 Ω e, devido à baixa 
resistência, este valor pode ser considerado igual à reatância de dispersão. Determine a reatância em 
pu do transformador e o valor usado para representar este transformador em um sistema cujas bases 
no lado de AT são 100 MVA e 230 kV. 
 
 
1.9. Impedância Por Unidade de Transformadores de Três Enrolamentos 
 
 Tanto o primário como o secundário de um transformador de dois enrolamentos possuem a 
mesma potência nominal, porém os enrolamentos de um transformador de três enrolamentos podem 
apresentar potências nominais diferentes. A impedância de cada enrolamento de um transformador 
desse tipo pode ser expressa em valor percentual ou pu tomando como base os valores nominais de 
seus próprios enrolamentos, ou podem ser realizados testes para determinar as impedâncias. Em 
qualquer caso, entretanto, todas as impedâncias em pu no diagrama de impedâncias devem ser ex-
pressas em relação a uma mesma potência base. 
 As três impedâncias podem ser medidas pelo teste-padrão de curto-circuito, como a seguir: 
ƒ Zps → impedância medida no primário com o secundário curto-circuitado e o terciário aberto; 
ƒ Zpt → impedância medida no primário com o terciário curto-circuitado e o secundário aberto; 
ƒ Zst → impedância medida no secundário com o terciário curto-circuitado e o primário aberto. 
 
 Se as três impedâncias medidas em Ohms forem referidas a um dos enrolamentos, as impedân-
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Sistemas de Potência I 14 
cias de cada enrolamento em separado referidas a esse mesmo enrolamento estarão relacionadas às 
impedâncias medidas comops p s
pt p t
st s t
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
= +
= +
= +
 (1.21) 
 
onde Z p, Z s e Z t são as impedâncias dos enrolamentos primário, secundário e terciário referidas ao 
circuito primário se Z ps, Z pt e Z st forem as impedâncias medidas e referidas ao circuito primário. Re-
solvendo as equações (1.21), obtem-se 
 
 
( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
p ps pt st
s ps st pt
t pt st ps
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
= + −
= + −
= + −
 (1.22) 
 
 As impedâncias dos três enrolamentos são ligadas como mostra a Figura 1.11 para representar o 
circuito equivalente monofásico do transformador de três enrolamentos, desprezando a corrente de 
magnetização. Os pontos p, s e t são conectados às extremidades do diagrama de impedâncias que 
representa as partes do sistema que estão ligadas aos enrolamentos primário, secundário e terciário 
do transformador. Desde que os valores ôhmicos das impedâncias devem estar referidos à mesma 
base, conclui-se que a conversão para impedâncias em pu exige a mesma potência base para todos 
os três circuitos e exige também que as bases de tensão nos três circuitos apresentem as mesmas re-
lações de transformação que as tensões de linha nominais dos três circuitos do transformador. 
 
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Sistemas de Potência I 15 
Zp
ZtZs
p
s
t 
Figura 1.11. Circuito equivalente de um transformador trifásico de três enrolamentos. 
 
Exemplo 1.8: Os valores nominais de um transformador de três enrolamentos são: 
 Primário: conexão Y, 66 kV, 15,0 MVA; 
 Secundário: conexão Y, 13,2 kV, 10,0 MVA; 
 Terciário: conexão Δ, 2,3 kV, 5,0 MVA. 
 Desprezando as resistências, as impedâncias são: 
 Zps = 7% na base de 15,0 MVA e 66 kV; 
 Zpt = 9% na base de 15,0 MVA e 66 kV; 
 Zst = 8% na base de 10,0 MVA e 13,2 kV. 
 Calcule as impedâncias em pu do circuito equivalente em estrela, tomando como base 
15,0 MVA e 66 kV no circuito primário. 
 
Exemplo 1.9: Uma fonte de tensão constante (barra infinita) alimenta uma carga resistiva pura de 
5 MW – 2,3 kV por fase e um motor síncrono de 7,5 MVA – 13,2 kV com reatância de X″ = 20%. 
A fonte está ligada ao primário do transformador de três enrolamentos descrito no Exemplo 1.8. O 
motor e a carga resistiva estão conectados ao secundário e ao terciário do transformador, respecti-
vamente. Trace o diagrama de impedâncias do sistema e coloque as impedâncias em pu para uma 
base de 66 kV, 15,0 MVA no primário. 
 
 
1.10. Diagrama Unifilar 
 
 O diagrama unifilar é um circuito simplificado no qual se representa, através de símbolos padro-
nizados, os elementos associados a um sistema de energia elétrica. Os parâmetros do circuito não 
são indicados e uma linha de transmissão é representada por uma reta entre duas barras. 
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Sistemas de Potência I 16 
 A finalidade do diagrama unifilar é fornecer, de forma concisa, as principais informações sobre o 
sistema. As informações encontradas em um diagrama unifilar variam de acordo com o problema 
que se tem em mãos. Por exemplo, a localização de disjuntores e relés não é importante no estudo 
de previsão de carga em um sistema elétrico. Portanto, disjuntores e relés não serão representados 
se a função principal do diagrama for fornecer informações para estudos de carga. 
 O American National Standards Institute (ANSI) e o Institute of Electrical and Electronics En-
gineers (IEEE) publicaram um conjunto de símbolos padronizados para os diagramas elétricos. Po-
rém, nem todos os autores seguem esses símbolos de forma consistente, especialmente na represen-
tação de transformadores. A Figura 1.12 apresenta alguns dos símbolos mais utilizados. 
 
Armadura de máquina girante
Transformador de potência de
dois enrolamentos
Transformador de potência de
três enrolamentos
Fusível
Transformador de corrente
Disjuntor de potência a óleo
Disjuntor a ar
Conexão trifásica em delta
Conexão trifásica em estrela
com neutro não aterrado
Conexão trifásica em estrela
com neutro aterrado
Transformador de potencial Carga estática
A VAmperímetro Voltímetro 
Figura 1.12. Símbolos dos dispositivos de potência mais utilizados. 
 
 A Figura 1.13 é o diagrama unifilar de um sistema de potência muito simples. Dois geradores, 
um aterrado através de um reator e outro através de um resistor, são interligados a uma barra e, a-
través de um transformador elevador, a uma linha de transmissão. Outro gerador, aterrado através 
de um reator, é ligado a uma barra e, através de um transformador, à extremidade oposta da linha de 
transmissão. Uma carga é ligada a cada barra. No diagrama também estão representadas as cone-
xões dos dois transformadores. 
 
Carga A
Carga B
1
2
T1 T2 3
 
Figura 1.13. Diagrama unifilar de um sistema elétrico simples. 
 
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Sistemas de Potência I 17 
1.11. Diagramas de Impedâncias e Reatâncias 
 
 Com o objetivo de calcular o desempenho de um sistema sob condições de carga ou na ocorrên-
cia de uma falta, um sistema trifásico equilibrado pode ser resolvido como um circuito monofásico 
composto de uma das três linhas e o retorno de neutro. A Figura 1.14 combina os circuitos equiva-
lentes dos vários componentes mostrados na Figura 1.13, de modo a formar o diagrama de impe-
dâncias do sistema. O diagrama de impedâncias não inclui as impedâncias limitadoras de corrente 
mostradas no diagrama unifilar entre os neutros dos geradores e a terra porque nenhuma corrente 
circula pela terra sob condições equilibradas e os neutros dos geradores estão no mesmo potencial 
do neutro do sistema. 
 
+
−E1
+
−E2
+
− E3
Geradores 1 e 2 Carga A Transformador T1 Transformador T2Linha de transmissão
Gerador
3
Carga B 
Figura 1.14. Diagrama de impedâncias correspondente ao diagrama unifilar da Figura 1.13. 
 
 A corrente de magnetização de transformadores geralmente é desprezível comparada com a cor-
rente de plena carga, portanto, a admitância em paralelo é comumente omitida no circuito equiva-
lente do transformador. Também as resistências do sistema são geralmente omitidas quando se efe-
tua o cálculo de faltas, mesmo em programas computacionais. Naturalmente a omissão da resistên-
cia introduz algum erro, porém os resultados são satisfatórios porque a reatância indutiva do sistema 
é muito maior do que sua resistência. As cargas que não incluem máquinas rotativas apresentam 
pouco efeito sobre a corrente total de linha durante uma falta e geralmente são omitidas. As cargas 
com motor síncrono, entretanto, sempre são incluídas para se fazer os cálculos de falta porque suas 
forças eletromotrizes geradas contribuem para a corrente de curto-circuito. O diagrama pode levar 
em conta os motores de indução, considerando uma fem gerada em série com uma reatância induti-
va se o diagrama for usado para determinar a corrente imediatamente após a ocorrência de uma fal-
ta. Porém, os motores de indução são ignorados ao se calcular a corrente alguns ciclos após a ocor-
rência da falta porque a contribuição de corrente do motor de indução desaparece muito rapidamen-
te após ele ser curto-circuitado. 
 Para simplificar o cálculo das correntes de falta, desconsideram-se todas as cargas estáticas, to-
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Sistemas de Potência I 18 
das as resistências, a corrente de magnetização dos transformadores e a capacitância das linhas de 
transmissão. Assim, o diagrama de impedâncias se reduz ao diagrama de reatâncias, mostrado na 
Figura 1.15. Estas simplificações aplicam-seapenas ao cálculo de falta e não ao estudo de fluxo de 
carga, que será estudado mais adiante. 
 
+
−
+
−
+
− EG3EG1 EG2
XT1 XT2XLT
Neutro
1GX ′′ 2GX ′′ 3GX ′′
 
Figura 1.15. Diagrama de reatâncias adaptado da Figura 1.14. 
 
 Se os dados forem fornecidos com o diagrama unifilar, pode-se determinar todos os valores 
em pu e, assim, obter o diagrama de reatâncias em pu. A grande vantagem em se utilizar os valores 
em pu é que não são necessários cálculos para referir uma impedância de um lado do transformador 
para o outro. Em pu, os valores são os mesmos. 
 
Exemplo 1.10: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória de 
20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha de transmis-
são de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra o diagrama unifilar 
da Figura 1.16. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por dois motores equivalentes. O 
neutro do motor M 1 está aterrado através de uma reatância. O neutro do motor M 2 não está aterrado 
(situação não usual). As entradas nominais para os motores são 200 MVA para M 1 e 100 MVA para 
M 2. Para ambos os motores X″ = 20%. O transformador trifásico T 1, de 350 MVA, 230/20 kV, apre-
senta reatância de 10%. O transformador T 2 é composto de três transformadores monofásicos, cada 
um de 100 MVA, 127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão 
é 0,5 Ω/km. Trace o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias em pu. Escolha os valores no-
minais do gerador como base no circuito deste. 
 
G
M1
M2
T1 T2
 
Figura 1.16. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.10. 
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Sistemas de Potência I 19 
Exemplo 1.11: Se os motores M 1 e M 2 do Exemplo 1.10 tiverem entradas de 120 e 60 MVA, res-
pectivamente, a 13,2 kV e ambos operem com fator de potência unitário, determine a tensão nos 
terminais do gerador. 
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Sistemas de Potência I 20 
1.12. Lista de Exercícios 
 
1.1. Um transformador de 30 kVA, 1.200/120 V é ligado como autotransformador para fornecer 
1.320 V a partir de uma barra de 1.200 V. 
a) Trace um diagrama nas conexões do transformador mostrando as marcações de polaridade 
nos enrolamentos e os sentidos escolhidos como positivo para a corrente em cada enrola-
mento de forma que as correntes estejam em fase. 
b) Determine a potência aparente nominal do equipamento funcionando como autotransfor-
mador. 
c) Se o rendimento do transformador ligado para funcionamento em 1.200/120 V com carga 
nominal e fator de potência unitário é de 97%, determine seu rendimento como autotrans-
formador com corrente nominal nos enrolamentos, funcionando com tensão nominal e 
atendendo a uma carga com fator de potência unitário. 
 
1.2. Uma carga resistiva de 8.000 kW, ligada em Δ, está conectada ao lado de BT, ligado em Δ, de 
um transformador Y−Δ de 10 MVA, 138/13,8 kV. Calcule a resistência da carga em Ω em ca-
da fase, vista do lado de AT do transformador. Desconsidere a impedância do transformador e 
suponha a aplicação de tensão nominal ao primário do transformador. 
 
1.3. Resolva o Exercício 1.2 considerando os mesmos resistores ligados em estrela. 
 
1.4. Três transformadores, cada um de 5 kVA, 220 V no lado secundário, são conectados em Δ−Δ 
e estão abastecendo uma carga puramente resistiva de 15 kW, 220 V. É feita uma alteração 
que reduz a carga para 10 kW, ainda puramente resistiva. Alguém sugere que, com dois terços 
da carga, um transformador pode ser removido e o sistema pode ser operado com delta aberto. 
Ainda estará sendo fornecida tensão trifásica equilibrada à carga porque duas das tensões de 
linha, portanto também terceira, permanecem inalteradas. Para investigar esta sugestão: 
a) Determine cada uma das correntes de linha (módulo e ângulo) para a carga de 10 kW e re-
movido o transformador entre a e c. Suponha V ab = 220∠20° V e seqüência direta de fases 
(abc). 
b) Calcule os kVA fornecidos individualmente pelos transformadores restantes. 
c) Que restrição deve ser colocada à carga para funcionamento em delta aberto com esses 
transformadores? 
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Sistemas de Potência I 21 
1.5. Um transformador de 210 MVA, 345Y/22,5Δ kV interliga, a uma linha de transmissão, uma 
carga de 180 MW – 22,5 kV, com fator de potência 0,8ind. Determine: 
a) as características nominais de cada um dos três transformadores monofásicos que, adequa-
damente conectados, serão equivalentes ao transformador trifásico; 
b) a impedância complexa da carga em pu no diagrama de impedâncias, adotando como base 
100 MVA – 345 kV na linha de transmissão. 
 
1.6. Um gerador de 120 MVA – 19,5 kV tem X S = 1,5 pu e é ligado a uma linha de transmissão a-
través de um transformador de 150 MVA, 230Y/18Δ kV com X = 0,1 pu. Se a base a ser usa-
da nos cálculos for 100 MVA e 230 kV para a linha de transmissão, determine os valores em 
pu a serem usados para as reatâncias do transformador e do gerador. 
 
1.7. Um transformador trifásico de 5 MVA, 115/13,2 kV apresenta uma impedância igual à 
(0,007 + j0,075) pu. O transformador é ligado a uma linha de transmissão curta cuja impedân-
cia é (0,02 + j0,10) pu numa base de 10 MVA, 13,2 kV. A linha alimenta uma carga trifásica 
de 3,4 MW, 13,2 kV com fator de potência 0,85ind. Se a tensão AT permanece constante em 
115 kV quando a carga na extremidade da linha é desligada, calcule a regulação de tensão na 
carga. Trabalhe usando pu e adote como base 10 MVA – 13,2 kV no circuito da carga. 
 
1.8. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está representado na Figura 1.17. São mostra-
dos, no diagrama, as reatâncias das duas seções da linha de transmissão. Os geradores e trans-
formadores apresentam as seguintes características: 
Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, X″ = 0,20 pu 
Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X″ = 0,20 pu 
Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X″ = 0,20 pu 
Transformador T 1: 25 MVA, 220Y/13,8Δ kV, X = 10% 
Transformador T 2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X = 10% 
Transformador T 3: 35 MVA, 220Y/22Y kV, X = 10% 
Trace o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias representadas em pu e use letras para 
indicar os pontos correspondentes ao diagrama unifilar. Adote como base 50 MVA – 13,8 kV 
no circuito do gerador 1. 
 
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Sistemas de Potência I 22 
1
3
2
A B
C
D
FET1
T3
T2j80 Ω j100 Ω
 
Figura 1.17. Diagrama unifilar para o Exercício 1.8. 
 
1.9. Trace o diagrama de reatâncias para o sistema de potência mostrado na Figura 1.18. Repre-
sente as impedâncias em pu. Use como base 50 MVA – 132 kV na linha de transmissão de 
40 Ω. As características dos geradores, motores e transformadores são: 
Gerador 1: 20 MVA, 18 kV, X″ = 20% 
Gerador 2: 20 MVA, 18 kV, X″ = 20% 
Motor síncrono 3: 30 MVA, 13,8 kV, X″ = 20% 
Transformadores trifásicos Y–Y: 20 MVA, 138Y/20Y kV, X = 10% 
Transformadores trifásicos Y–Δ: 15 MVA, 138Y/13,8Δ kV, X = 10% 
 
1 2
3
A B
C
j40 Ω
j20 Ω j20 Ω
 
Figura 1.18. Diagrama unifilar para o Exercício 1.9. 
 
1.10. Se a tensão na barra C no Exercício 1.9 for 13,2 kV quando o motor absorver 24 MW com fa-
tor de potência 0,8cap, calcule as tensões nas barras A e B. Suponha que os dois geradores di-
vidam a carga igualmente. Dê a resposta em Volts e em pu em relação à base escolhida no 
Exercício 1.9. Calcule as tensões nas barras A e B quando o disjuntor que interliga o gerador 1 
à barra A estiver aberto enquanto o motor solicita 12 MW na tensão de 13,2 kVcom fator de 
potência 0,8cap. Todos os demais disjuntores permanecem fechados. 
II. CÁLCULO DE REDES 
 
2.1. Aspectos Gerais 
 
 A solução de redes de grande porte através de programas computacionais é dependente, em 
grande parte, das equações desta rede. Conseqüentemente, é importante para o engenheiro da área 
de sistemas de potência entender a formulação das equações das quais, com o objetivo de obter uma 
solução, é desenvolvido um programa computacional. 
 Este capítulo se propõe a rever e expandir os métodos de análise para os quais os programas 
computacionais de solução de problemas em sistemas de potência são grandemente dependentes. 
De particular importância, neste capítulo, é a introdução sobre matrizes admitância de barras e im-
pedância de barras que provarão ser utilíssimas em estudos futuros. 
 
 
2.2. Equivalência de Fontes 
 
 Um procedimento útil em alguns problemas de análise de redes é o da substituição de uma fonte 
de corrente em paralelo com uma impedância por uma fem em série com uma impedância, ou vice-
versa. Na Figura 2.1, ambas as fontes com suas impedâncias associadas estão conectadas a uma im-
pedância de carga Z L. 
 
+
−Eg
Zg
ZL
+
−
IL
VL
 
a) Fonte real de tensão 
+
−
Is Zs ZL
IL
VL
 
b) Fonte real de corrente 
Figura 2.1. Equivalência de fontes. 
 
 Para a fonte de tensão real, Figura 1.1(a), a tensão na carga é 
 
 L g g LV E Z I= − (2.1) 
 
onde I L é a corrente que circula pela carga. 
 
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Sistemas de Potência I 24
 Para o circuito contendo a fonte real de corrente, Figura 1.1(b), a tensão na carga vale 
 
 ( )L s s L s s s LV Z I I Z I Z I= − = − (2.2) 
 
 As duas fontes e suas impedâncias serão equivalentes se a tensão na carga V L for a mesma em 
ambos os circuitos. Comparando as equações (2.1) e (2.2), conclui-se que 
 
 e g s s g sE Z I Z Z= = (2.3) 
 
que é a condição para que a fonte de tensão real seja equivalente à fonte de corrente real. 
 
 
2.3. Equações Nodais 
 
 Considere o diagrama unifilar mostrado na Figura 2.2. Os geradores estão ligados através de 
transformadores às barras de alta tensão 1 e 3 e estão alimentando um motor síncrono na barra 2. O 
diagrama de reatâncias, com as reatâncias em pu, está indicado na Figura 2.3. Se o circuito for rede-
senhado com as fontes de tensão substituídas por suas equivalentes fontes de corrente, o diagrama 
resultante está mostrado na Figura 2.4. Os valores em pu são os das admitâncias ao invés dos das 
impedâncias. 
 
G1
G2
M
43
2
1T1
T2
T3
 
Figura 2.2. Diagrama unifilar do sistema-exemplo. 
 
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Sistemas de Potência I 25
+
−EG1 EG2
+
−
+
− EM
j1,15
j0,1 j0,1
j1,15 j1,15
j0,1
j0,4j0,25
j0,2 j0,2
j0,125
1
3
2
4
 
Figura 2.3. Diagrama de reatâncias para o sistema-exemplo. Valores das reatâncias em pu. 
 
−j0,8 −j0,8 −j0,8I1 I3 I2
−j2,5−j4,0
−j5,0 −j5,0
−j8,0
1 2
3
4
Yd Yh
YgYf
Ye
Ya Yc Yb
 
Figura 2.4. Diagrama de admitâncias para o sistema-exemplo com a substituição das fontes de tensão por 
suas equivalentes fontes de corrente. Valores das admitâncias em pu. 
 
 Aplicando a análise nodal aos nós do diagrama de admitâncias da Figura 2.4, obtém-se 
 
 
( )
( )
( )
( )
1 3 4 1
2 3 4 2
1 2 3 4 3
1 2 3 4 0
a d f f d
b g h g h
f g c e f g e
d h e d e h
Y Y Y E Y E Y E I
Y Y Y E Y E Y E I
Y E Y E Y Y Y Y E Y E I
Y E Y E Y E Y Y Y E
+ + − − =
+ + − − =
− − + + + + − =
− − − + + + =
 (2.4) 
 
 As equações (2.4) podem ser expressas na forma matricial como 
 
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Sistemas de Potência I 26
 
11
22
33
4
11 12 13 141
21 22 23 242
31 32 33 343
41 42 43 44
0
0
0
0
a d f f d
b g h g h
f g c e f g e
d h e d e h
Y Y Y Y Y EI
Y Y Y Y Y EI
Y Y Y Y Y Y Y EI
Y Y Y Y Y Y E
Y Y Y Y EI
Y Y Y YI
Y Y Y YI
Y Y Y Y
+ + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
2
3
4
E
E
E
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 (2.5) 
 
 A matriz Y recebe o nome de matriz admitância de barras e é designada por Y barra. Esta matriz é 
simétrica em relação à diagonal principal. Os elementos pertencentes à diagonal principal (Y ii) são 
chamados de admitâncias próprias e correspondem à soma de todas as admitâncias conectadas à 
barra i. Os demais elementos da matriz Y barra (Y ik, i ≠ k) são chamados de admitâncias mútuas ou de 
transferência e correspondem ao negativo da admitância conectada entre as barras i e k. 
 Em notação vetorial, tem-se 
 
 barra= YI E (2.6) 
 
onde I é o vetor com as injeções de corrente nas barras do sistema elétrico; 
 E é o vetor com as tensões complexas nas barras do sistema elétrico. 
 
 A expressão geral da equação nodal para o nó i de uma rede elétrica com n barras é: 
 
 
1 1
n n
i ik k ii i ik k
k k
k i
I Y E Y E Y E
= =≠
= = +∑ ∑ (2.7) 
 
 Utilizando a equação (2.6), pode-se determinar as tensões complexas nas barras do sistema elé-
trico como 
 
 
1 1 1 barra barra barra barra
barra
− − −= ⇒ =
=
Y Y Y Y
Z
I E E I
E I
 (2.8) 
 
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Sistemas de Potência I 27
 A matriz inversa da matriz admitância de barras é chamada matriz impedância de barras e é de-
signada por Z barra. 
 
Exemplo 2.1: Escreva na forma matricial as equações nodais necessárias para calcular as tensões 
complexas nas barras do sistema-exemplo da Figura 2.4. A rede é equivalente àquela da Figura 2.3. 
As fem’s indicadas na Figura 2.3 são E G1 = 1,5∠0° pu, E G2 = 1,5∠0° pu e E M = 1,5∠−36,87° pu. 
Após, calcule as tensões complexas E 1, E 2, E 3 e E 4. 
 
 
2.4. Partição de Matrizes 
 
 Esta técnica consiste em identificar várias partes de uma matriz como submatrizes que serão tra-
tadas como simples elementos quando da aplicação das regras usuais de operações com matrizes. 
Por exemplo, 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A
 
(2.9)
 
 A matriz é particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e vertical. Por-
tanto, a matriz A pode ser reescrita como 
 
 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
D E
A
F G
 (2.10) 
 
onde as submatrizes são 
 
 
[ ]
1311 12
2321 22
31 32 33
aa a
aa a
a a a
⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =
D E
F G
 (2.11) 
 
 Para indicar os passos para a multiplicação em termos de submatrizes, assuma que A deva ser 
pós-multiplicada por uma matriz B para formar o produto C, onde 
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Sistemas de Potência I 28
11 12
21 22
31 32
b b
b b
b b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
B
 
(2.12)
 
com a sua partição sendo 
 
 [ ]11 12 31 32
21 22
 
b b
b b
b b
⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
H
B H J
J
 (2.13) 
 
 Então, o produto é 
 
 
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
D E H DH EJ M
C AB
F G J FH GJ N
 (2.14) 
 
onde M = DH + EJ e N = FH + GJ. 
 
 Se somente a submatriz N for de interesse, pelas partições resulta que 
 
 [ ] [ ] [ ]11 1231 32 33 31 32 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32
21 22
b b
a a a b b a b a b a b a b a b a b
b b
⎡ ⎤= + = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
N (2.15) 
 
 As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis originariamente. Cada linha de parti-
ção vertical entre ascolunas r e r+1 da matriz-multiplicando requer uma linha de partição horizon-
tal entre as linhas r e r+1 da matriz-multiplicadora para que se possa efetuar a multiplicação das 
submatrizes corretamente. Linhas de partição horizontal podem ser traçadas entre quaisquer linhas 
da matriz-multiplicando e linhas verticais de partição entre quaisquer colunas da matriz-multiplica-
dora ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas. 
 
 
2.5. Eliminação de Nós pela Álgebra Matricial 
 
 Nós podem ser eliminados por manipulação de matrizes referentes às equações nodais estudadas 
anteriormente. Entretanto, somente os nós nos quais não haja injeção de corrente para a rede podem 
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Sistemas de Potência I 29
ser eliminados. As equações nodais na sua forma matricial é 
 
 barra= YI E (2.16) 
 
onde I e E são vetores colunas e Y barra é uma matriz quadrada e simétrica. Os vetores colunas po-
dem ser rearranjados de tal modo que os elementos associados com os nós a serem eliminados este-
jam presentes nas suas linhas inferiores. Os elementos da matriz admitância de barra são colocados 
em concordância. Os vetores colunas são particionados de tal modo que os elementos associados 
com os nós a serem eliminados são separados dos outros elementos. A matriz admitância é particio-
nada de tal modo que os elementos identificados somente com os nós a serem eliminados estejam 
separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais. Quando particionada de acordo 
com estas regras, a equação (2.16) torna-se 
 
 A AT
X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
K L
L M
I E
I E
 (2.17) 
 
onde I X é o subvetor composto pelas injeções de corrente nos nós a serem eliminados e E X é o sub-
vetor composto pelas tensões complexas nestes nós. Obviamente, cada elemento de I X é zero, senão 
os nós não poderiam ser eliminados. As admitâncias próprias e mútuas compondo K são aquelas 
identificadas somente com os nós que serão conservados. A matriz M é composta de admitâncias 
próprias e mútuas identificadas somente com os nós a serem eliminados. Esta matriz M é uma ma-
triz quadrada de ordem igual ao número de nós a serem eliminados. A matriz L e sua transposta L T 
são compostas somente das admitâncias mútuas comuns a algum nó a ser mantido e a outro que será 
eliminado. 
 Executando a multiplicação indicada na equação (2.17), obtem-se 
 
 A A X= +K LI E E (2.18) 
 TX A X= +L MI E E (2.19) 
 
 Como todos os elementos de I X são zeros, resulta que 
 
 T TA X A X= + ⇒ − =L M L M0 E E E E (2.20) 
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Sistemas de Potência I 30
e pré-multiplicando ambos os lados da equação (2.20) por M −1, tem-se 
 
 1 T A X
−− =M L E E (2.21) 
 
 Substituindo a equação (2.21) na equação (2.18), resulta 
 
 ( )1 1T TA A A A− −= − = −K LM L K LM LI E E E (2.22) 
 
que é uma equação nodal tendo como matriz admitância nodal 
 
 1
nova
T
barra
−= −Y K LM L (2.23) 
 
 Com esta nova matriz admitância de barras, pode-se construir uma nova rede elétrica, equivalen-
te à original, com os nós indesejados já eliminados. 
 
Exemplo 2.2: Se o gerador e o transformador na barra 3 são removidos do circuito da Figura 2.3, 
elimine os nós 3 e 4 pelo procedimento algébrico-matricial descrito, encontre o circuito equivalente 
com aqueles nós eliminados e a potência complexa transferida para dentro e para fora da rede nas 
barras 1 e 2, respectivamente. Determine também a tensão na barra 1. 
 
 A utilização desta técnica apresenta um inconveniente. Para a eliminação de um grande número 
de nós, a matriz M, cuja inversa deve ser determinada, possuirá uma grande dimensão. Isto inviabi-
liza o cálculo explícito de sua inversa. 
 A inversão da matriz M pode ser evitada fazendo a eliminação de um nó por vez. O nó a ser eli-
minado deve ser o de numeração mais alta e, provavelmente, uma renumeração deva ser necessária. 
A matriz M torna-se de um único elemento e M −1 é o recíproco deste elemento. A matriz admitân-
cia original particionada nas submatrizes K, L, L T e M fica 
 
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Sistemas de Potência I 31
11 1 1
1
1
j n
k kj knbarra
n nj nn
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Y
… …
# % # % #
… …
# % # % #
… … 
 
(2.24)
 
e a matriz reduzida (n−1) × (n−1), de acordo com a equação (2.23), será 
 
 
11 1 1
1
1
1
nova
j n
barra n nj
k kj knnn
Y Y Y
Y Y
Y Y YY
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Y
… …
# % # % # … …… …
# # # % #
 (2.25) 
 
 E quando a manipulação indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da 
matriz 
novabarra
Y será 
 
 
novo orig
kn nj
kj kj
nn
Y Y
Y Y
Y
= − (2.26) 
 
Exemplo 2.3: Faça a eliminação de nós do Exemplo 2.2, primeiro removendo o nó 4 e, em seguida, 
removendo o nó 3. 
 
 
2.6. Matrizes Admitância e Impedância de Barras 
 
 No Exemplo 2.1, invertemos a matriz admitância de barras Y barra e chamamos a sua inversa de 
matriz impedância de barras Z barra. Por definição: 
 
 1barra barra
−=Z Y (2.27) 
 
 Como Y barra é simétrica em relação à diagonal principal, Z barra também o será. Os elementos de 
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Sistemas de Potência I 32
Z barra na diagonal principal são chamados de impedâncias próprias dos nós. Os elementos fora da 
diagonal principal são chamados de impedâncias de transferência ou impedâncias mútuas dos nós. 
A matriz impedância de barra é muito útil no cálculo de faltas em sistemas de potência e para a sua 
determinação não é necessário primeiro determinar a matriz admitância de barra, como será visto na 
Seção 2.8. 
 
Exemplo 2.4: Um capacitor com uma reatância de 5,0 pu está ligado ao nó 4 do circuito do 
Exemplo 2.1. As fem’s E G1, E G2 e E M permanecem as mesmas do exemplo. Determine a corrente 
absorvida pelo capacitor. 
 
Exemplo 2.5: Se uma corrente de 0,316∠−101,97° pu é injetada na barra 4 do Exemplo 2.1, 
encontre as tensões resultantes nas barras 1, 2, 3 e 4. 
 
 
2.7. Modificação de uma Matriz Impedância de Barras Já Existente 
 
 Nesta seção, será examinado como modificar Z barra para adicionar novas barras ou conectar no-
vas linhas às barras já existentes. Entendido como modificar Z barra, pode-se analisar como construí-
la diretamente. Vários casos podem ser estudados em modificações envolvendo a adição de um 
ramo de impedância Z b a uma rede cuja Z barra original já é conhecida e identificada por Z orig (n×n). 
 
Caso 1: Adição de um ramo de uma nova barra p até a barra de referência 
 A adição de uma nova barra p ligada à barra de referência através de uma impedância Z b sem 
conexão com nenhuma das outras barras da rede original não pode alterar as tensões de barra 
originais do sistema quando a corrente I p for injetada na nova barra. A tensão E p na nova barra será 
igual a Z bI p. Então 
 
1 1
2 2
0
0
0
0 0 0
n n
p pb
E I
E I
E I
E IZ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
# ##
… 
 
(2.28)
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Sistemas de Potência I 33
 Note que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova Z barra não alterará as tensões nas 
barras da rede original e resultará na tensão correta na nova barra p. 
 
Caso 2: Adição de um ramo de uma nova barra p até uma barra k já existente 
 A adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância Z b a uma barra existente k com 
I p injetada na barra p, modificará a injeção de corrente na rede originalna barra k que virá a ser a 
soma de I k e I p, conforme mostrado na Figura 2.5. 
 
Rede original com a
barra k e a barra de
referência extraídas
k
p
Zb
Ik
Ip
Ik + Ip
 
Figura 2.5. Adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância Z b a uma barra k já existente. 
 
 A corrente I p fluindo para a barra k aumentará a tensão original E k de um valor igual a Z kkI p, 
 
 
nova origk k kk p
E E Z I= + (2.29) 
 
e E p será maior do que o novo E k de um valor de tensão igual a Z bI p. Assim, 
 
 ( )1 1 2 2
origp k kk p b p
p k k kn n kk b p
E E Z I Z I
E Z I Z I Z I Z Z I
= + +
= + + + + +…
 (2.30) 
 
 Como Z barra é uma matriz quadrada e simétrica, resulta que devemos adicionar uma nova coluna 
que é transposta da nova linha, ou seja, 
 
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Sistemas de Potência I 34
1 11
2 22
1 2
k
k
n nnk
p pk k kn kk b
E IZ
E IZ
E IZ
E IZ Z Z Z Z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
# ##
… 
 
(2.31)
 
 Note que os primeiros n elementos da nova linha são os elementos da linha k da Z orig e os 
primeiros n elementos da nova coluna são os elementos da coluna k da Z orig. 
 
Caso 3: Adição de um ramo de uma barra k já existente até a barra de referência 
 Para alterar a matriz Z orig pela ligação de uma impedância Z b desde uma barra k já existente até a 
barra de referência, deve-se adicionar uma nova barra p ligada através de Z b à barra k. Então, se 
curto-circuita a barra p à barra de referência, fazendo E p igual a zero, a fim de se obter a mesma 
equação matricial (2.31), com exceção de que E p agora é nula. A Figura 2.6 mostra o procedimento 
explicado. 
 
Rede original com a
barra k e a barra de
referência extraídas
k
p
Zb
Ik
Ip
Ik + Ip
 
Figura 2.6. Adição da impedância Z b entre uma barra k já existente e a barra de referência. 
 
 Para a modificação, procede-se de modo a criar uma nova linha e uma nova coluna, exatamente 
do mesmo modo como no Caso 2. Entretanto, agora, elimina-se a linha (n+1) e a coluna (n+1) 
criadas, o que é possível devido à existência do zero no vetor das tensões. Para isso, utiliza-se a 
equação (2.26). Portanto, cada elemento da nova matriz Z barra será igual a 
 
 ( 1) ( 1)
nova orig
h n n i
hi hi
kk b
Z Z
Z Z
Z Z
+ += − + (2.32) 
 
 
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Sistemas de Potência I 35
Caso 4: Adição de um ramo entre duas barras j e k já existentes 
 A Figura 2.7 ilustra a adição de um ramo com impedância Z b entre duas barras j e k já existentes. 
A corrente I b está indicada com fluindo através de Z b da barra k para a barra j. Da Figura 2.7 pode-se 
escrever que 
 
 ( ) ( )1 11 1 12 2 1 1j j b k k bE Z I Z I Z I I Z I I= + + + + + − +… … (2.33) 
 
ou rearranjando a equação (2.33), tem-se 
 
 ( )1 11 1 12 2 1 1 1 1j j k k j k bE Z I Z I Z I Z I Z Z I= + + + + + + −… … (2.34) 
 
Rede original com
as barras j, k e de
referência extraídas
j
k
Zb
Ij
Ib
Ij + Ib
Ik Ik − Ib 
Figura 2.7. Adição de um ramo de impedância Z b entre as barras já existentes j e k. 
 
 De forma semelhante 
 
 
( )
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
j j j jj j jk k jj jk b
k k k kj j kk k kj kk b
E Z I Z I Z I Z I Z Z I
E Z I Z I Z I Z I Z Z I
= + + + + + + −
= + + + + + + −
… …
… …
 (2.35) 
 
 Por outro lado 
 
 0k j b b j k b bE E Z I E E Z I− = ⇒ − + = (2.36) 
 
 Substituindo as equações (2.35) na equação (2.36), obtem-se 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 0j k j k jj kj j jk kk k jj jk kj kk b bZ Z I Z Z I Z Z I Z Z I Z Z Z Z Z I− + − + + − + − + + − − + + =… … (2.37) 
 
 
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Sistemas de Potência I 36
 Definindo 
 
 2bb jj kk jk bZ Z Z Z Z= + − + (2.38) 
 
pode-se escrever a seguinte equação matricial 
 
 
1 1 11
2 2 22
1 1 2 20
j k
j k
orig jj jk jj
kj kk kk
nj nk nn
j k j k jj kj jk kk jn kn bb b
Z Z IE
Z Z IE
Z Z IE
Z Z IE
Z Z IE
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z I
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Z
# ##
# ##
" …
 (2.39) 
 
 Eliminando a linha (n+1) e a coluna (n+1) da matriz da equação 
Erro! Fonte de referência não encontrada., cada elemento da nova matriz Z barra é 
 
 ( 1) ( 1)
2nova orig
h n n i
hi hi
jj kk kj b
Z Z
Z Z
Z Z Z Z
+ += − + − + (2.40) 
 
Exemplo 2.6: Modificar a matriz impedância de barra do Exemplo 2.1 de modo a considerar a 
conexão de um capacitor com uma reatância de 5,0 pu entre a barra 4 e a barra de referência do 
circuito da Figura 2.4. Então, determine E 4 usando a impedância da nova matriz. Compare este va-
lor de E 4 com o encontrado no Exemplo 2.4. 
 
 
2.8. Determinação Direta da Matriz Impedância de Barras 
 
 Para começar, dispõe-se uma lista de impedâncias indicando as barras que estão conectadas. 
Começa-se, então, escrevendo a equação de uma barra ligada através de uma impedância Z a à barra 
de referência como 
 
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Sistemas de Potência I 37
 1 1aE Z I= (2.41) 
 
 Agora, pode-se adicionar uma nova barra ligada à primeira ou à barra de referência. No caso da 
segunda barra estar ligada à barra de referência através de Z b, tem-se a seguinte equação matricial 
 
 1 1
2 2
0
0
a
b
ZE I
ZE I
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 (2.42) 
 
e prossegue-se a determinação direta da matriz impedância adicionando outras barras, seguindo os 
procedimentos descritos na seção anterior. Normalmente, as barras de um sistema elétrico devem 
ser renumeradas para concordar com a ordem na qual elas devem ser adicionadas à matriz Z barra. 
 
Exemplo 2.7: Determine Z barra para a rede mostrada na Figura 2.8, onde as impedâncias estão 
indicadas em pu. 
 
j1,2 j1,5
j0,2 j0,15
j0,3
2 31
 
Figura 2.8. Rede para o Exemplo 2.7. 
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Sistemas de Potência I 38
2.9. LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
2.1. Escreva as equações nodais para o circuito da Figura 2.9 e calcule as tensões nos nós 1 e 2. 
 
+
−
+
−
1 2
0
j1,0
Ea = 1,0∠30° Eb = 1,0∠0°
j1,0
j1,25
j0,2
j0,8
 
Figura 2.9. Circuito para o Exercício 1. Os valores indicados são tensões e impedâncias em pu. 
 
2.2. Elimine os nós 3 e 4 da rede da Figura 2.10 simultaneamente pelo método da partição de ma-
trizes para encontrar a matriz admitância resultante 2×2, Y barra. Desenhe o circuito correspon-
dente à matriz resultante e indique no circuito os valores dos parâmetros. Calcule os valores 
de E 1 e E 2. 
 
1
20∠−30°
3 4 2
−j40
−j50
40∠−90°−j1−j2
−j10
−j20
−j20
−j20
0 
Figura 2.10. Circuito para os Exercícios 2.2 e 2.3. Os valores indicados são correntes e admitâncias em pu. 
 
2.3. Elimine os nós 3 e 4 da rede da Figura 2.10 para encontrar a matriz admitância resultante 2×2 
pela eliminação do nó 4 primeiro e, depois, do nó 3. 
 
2.4. Elimine os nós 3, 4 e 5 do circuito da Figura 2.11 e desenhe o circuito descrito pela nova ma-
triz admitância de barras. 
 
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Sistemas de Potência I 39
+
−
+
−EA EB
−j5
−j2 −j1 −j1
−j8
−j5 −j4
1
3 4 5
2
0 
Figura 2.11. Circuito para o Exercício 2.4. Os valores indicados são admitâncias em pu. 
 
2.5. Modifique Z barra dada no Exemplo 2.1 adicionando um novo nó ligado à barra 4 através de 
uma impedância de j1,2 pu. 
 
2.6. Modifique Z barradada no Exemplo 2.1 pela adição de um ramo tendo uma impedância de 
j1,2 pu entre o nó 4 e a barra de referência. 
 
2.7. Determine as impedâncias da primeira linha de Z barra do Exemplo 2.1 com a impedância liga-
da entre a barra 3 e a barra de referência removida. Faça a determinação pela modificação da 
matriz Z barra encontrada no Exemplo 2.1. Então, com as fontes de corrente ligadas somente 
nas barras 1 e 2, encontre a tensão na barra 1 e compare este valor com o encontrado no 
Exemplo 2.2. 
 
2.8. Modifique Z barra dada no Exemplo 2.1 pela remoção da impedância ligada entre os nós 2 e 3. 
 
2.9. Encontre Z barra para a rede da Figura 2.12 pelo processo de determinação direta. 
 
Barra de referência
j1,0 j1,25
j0,2 j0,051 2 3
 
Figura 2.12. Circuito para o Exercício 2.9. Os valores indicados são reatâncias em pu. 
 
2.10. Para a rede de reatâncias da Figura 2.13, encontre: 
 a) Z barra pela formulação direta e por inversão de Y barra; 
 b) a tensão em cada barra; 
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Sistemas de Potência I 40
c) a tensão em cada barra do sistema com a ligação de um capacitor com uma reatância de 
5,0 pu entre a barra 3 e o neutro; 
 d) a corrente absorvida pelo capacitor; 
 e) a mudança na tensão em cada barra quando o capacitor está ligado à barra 3. 
 
+
−
+
−1,28∠0° 1,20∠30°j2,0
j0,2
j0,4
j1,0
j0,51 2
3
j0,8
 
Figura 2.13. Circuito para o Exercício 2.10. Tensões e impedâncias em pu. 
 
III. FLUXO DE POTÊNCIA OU FLUXO DE CARGA 
 
3.1. Aspectos Gerais 
 
 O cálculo do fluxo de potência em uma rede de energia elétrica consiste essencialmente na de-
terminação do estado desta rede (tensões complexas em todas as barras) e da distribuição dos fluxos 
de potências ativa e reativa nos circuitos. A modelagem do sistema é estática, significando que a re-
de é representada por um conjunto de equações algébricas. Esse tipo de representação é usado em 
situações nas quais as variações com o tempo são suficientemente lentas para que se possam ignorar 
os efeitos transitórios. O cálculo do fluxo de carga é, em geral, realizado utilizando-se métodos 
computacionais desenvolvidos especificamente para a resolução de sistemas de equações algébricas 
não-lineares que constituem o modelo estático da rede. 
 Os componentes de um sistema de energia elétrica podem ser classificados em dois grupos: 
• os que estão ligados entre uma barra e a terra: por exemplo, geradores, cargas, reatores e ca-
pacitores; 
• os que estão ligados entre duas barras quaisquer da rede (circuitos): por exemplo, linhas de 
transmissão e transformadores. 
 
 Os geradores e cargas são considerados a parte externa do sistema e são modelados através de in-
jeções de potências nas barras. Os demais componentes formam a parte interna do sistema. As e-
quações do fluxo de carga (balanços de potências) são obtidas impondo-se a conservação das potên-
cias ativa e reativa em cada barra da rede, ou seja, a potência líquida injetada tem que ser igual à 
soma das potências que fluem pelos componentes internos que têm esta barra como um de seus ter-
minais. 
 
 
3.2. Formulação do Problema 
 
 A cada barra da rede estão associadas quatro variáveis: 
• V k : magnitude da tensão complexa na barra k; 
• θ k : ângulo da tensão complexa na barra k; 
• P k : injeção líquida de potência ativa na barra k, ou seja, kk dG PP − ; 
• Q k : injeção líquida de potência reativa na barra k, ou seja, kk dG QQ − . 
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Sistemas de Potência I 42
 Dependendo de quais variáveis entram como dados e quais são consideradas incógnitas, defi-
nem-se três tipos de barras: 
• PQ (Tipo 0) : são dados P k e Q k, e calculados V k e θ k; 
• PV (Tipo 1) : são dados P k e V k e calculados θ k e Q k; 
• Vθ, referência ou folga (Tipo 2) : são dados V k e θ k e calculados P k e Q k. 
 
 As barras do tipo PQ e PV são utilizadas para representar as barras de carga e as barras de gera-
ção, respectivamente. A barra Vθ fornece a referência angular do sistema e é usada para fechar o 
balanço de potências levando em conta as perdas de transmissão que não são conhecidas antes de se 
ter a solução final do problema. 
 O conjunto de equações do problema do fluxo de carga é formado por duas equações para cada 
barra, cada uma delas representando o fato das potências ativa e reativa injetadas em uma barra se-
rem iguais à soma dos fluxos correspondentes que deixam a barra através dos circuitos (linhas de 
transmissão, transformadores, ...). Isso pode, matematicamente, ser expresso por 
 
 
( )
( ) ( )
, , ,
, , ,
k
k
k km k m k m
m
sh
k k k km k m k m
m
P P V V
Q Q V Q V V
θ θ
θ θ
∈Ω
∈Ω
=
+ =
∑
∑ (3.1) 
 
onde k = 1, 2, ..., nb, sendo nb o número de barras da rede; 
 Ω k é o conjunto de barras vizinhas à barra k; 
 V k e V m são as magnitudes das tensões complexas nas barras k e m; 
 θ k e θ m são os ângulos de fase das tensões complexas nas barras k e m; 
 P km é o fluxo de potência ativa no circuito k−m; 
 Q km é o fluxo de potência reativa no circuito k−m; 
 shkQ é o componente da injeção de potência reativa devido ao elemento shunt conectado na 
barra k ( 2sh shk k kQ b V= , sendo shkb a susceptância shunt ligada à barra k). 
 
 As equações (3.1) são montadas considerando-se a seguinte convenção de sinais: 
• as injeções líquidas de potência são positivas quando entram na barra (geração) e negativas 
quando saem da barra (carga); 
• os fluxos de potência são positivos quando saem da barra e negativos quando entram; 
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Sistemas de Potência I 43
• para os elementos shunt das barras é adotada a mesma convenção que para as injeções. 
 
 
3.3. Fluxos de Potências Ativa e Reativa 
 
3.3.1. Linhas de Transmissão 
 
 O modelo equivalente π de uma linha de transmissão, representado na Figura 3.1, é definido por 
três parâmetros: a resistência série r km, a reatância série x km e a susceptância shunt 
sh
kmb . A impedân-
cia do elemento série é z km = r km + jx km e, portanto, a admitância série é 
 
 2 2 2 2
1 km km
km km km
km km km km km
r xy j g jb
z r x r x
= = − = ++ + (3.2) 
 
k m
ykm = gkm + jbkm
sh
kmjb
sh
kmjb
Ikm Imk
 
Figura 3.1. Modelo equivalente π de uma linha de transmissão. 
 
 A corrente I km pode ser calculada como 
 
 ( ) shkm km k m km kI y E E jb E= − + (3.3) 
 
onde e k mj jk k m mE V e E V e
θ θ= = . 
 
 Analogamente, a corrente I mk é 
 
 ( ) shmk km m k km mI y E E jb E= − + (3.4) 
 
 O fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é 
 
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Sistemas de Potência I 44
 ( )( )k k m kj j j jshkm km km k km k km km k m km kS P jQ E I V e g jb V e V e jb V eθ θ θ θ−∗ ∗ ⎡ ⎤= − = = + − +⎣ ⎦ (3.5) 
 
 Os fluxos P km e Q km são obtidos identificando-se as partes reais e imaginárias dessa equação 
complexa 
 
 
( )
( ) ( )
2
2
cos sen
cos sen
km k km k m km km km km
sh
km k km km k m km km km km
P V g V V g b
Q V b b V V b g
θ θ
θ θ
= − +
= − + + −
 (3.6) 
 
onde θ km = θ k − θ m. 
 
 Os fluxos P mk e Q mk são obtidos analogamente, ou seja, 
 
 
( )
( ) ( )
2
2
cos sen
cos sen
mk m km k m km mk km mk
sh
mk m km km k m km mk km mk
P V g V V g b
Q V b b V V b g
θ θ
θ θ
= − +
= − + + −
 (3.7) 
 
onde θ mk = θ m − θ k. 
 
 
3.3.2. Transformadores em fase 
 
 A Figura 3.2 mostra o circuito equivalente de um transformador em fase. 
 
k m
ykm
Ikm Imk
p
a:1
 
Figura 3.2. Modelo de transformador em fase. 
 
 Na