Aula 02 - Medição de ângulos

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AULA TEÓRICA 02: MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 
Levantamento topográfico é definido como conjunto de operações realizadas no campo (medidas 
sucessivas de ângulos e distâncias) e no escritório (cálculos e desenho da Planta Topográfica), por meio de 
métodos e instrumentos adequados a finalidade do trabalho, destinados à obtenção de elementos necessários 
para representação do terreno. 
O procedimento clássico básico para levantar uma determinada área é instalar o instrumento (teodolito 
ou estação total) em um determinado ponto devidamente materializado e proceder à medição dos ângulos e 
distâncias. Este ponto materializado é chamado de “ponto de apoio topográfico” ou “estação”. Os pontos 
levantados em torno do ponto de apoio são chamados de “pontos de detalhe”, “pontos de interesse” ou “pontos 
temáticos”. 
 Pontos de apoio: pontos materializados no terreno que proporcionam controle ao levantamento. A 
materialização pode ser feita por piquetes e estacas de madeira, marcos de concreto, pinos de metal, 
tinta, dependendo de sua importância e permanência. 
 Pontos de detalhes: pontos importantes dos acidentes naturais (rios, mata, relevo etc.) e/ou artificiais 
(pontes, estradas, cercas etc.) que permitem a representação gráfica do terreno. 
Os instrumentos utilizados são divididos em: instrumentos para medição de ângulos e instrumentos 
para medição de distâncias. Os instrumentos que medem ângulos são chamados de goniômetros. Em 
topografia trabalha-se com os seguintes ângulos: horizontal e de inclinação do terreno. 
 
1. Ângulos horizontais 
Ângulo horizontal é qualquer ângulo medido no plano horizontal – PH (plano normal à vertical que 
passa pelo ponto topográfico), Figura 1. 
Os pontos A, B e C da Figura 1 são chamados de pontos topográficos. O ponto A, onde instala o 
instrumento de medição é chamado de ponto de apoio (ou estação). A materialização deste ponto é feita, 
geralmente, por meio de um piquete e de uma estaca de madeira. O piquete a ser cravado no terreno, deve ter 
sua parte superior a uma altura de 1 a 2 cm em relação a superfície. A estaca é utilizada para identificação do 
ponto. Na medição do ângulo utiliza-se, ainda, uma baliza para assinalar o ponto sobre o piquete (Figura 2). 
 
 
 
Figura 1. Ângulo horizontal. Figura 2. Materialização de um ponto de apoio topográfico. 
 
Os ângulos horizontais que têm origem na ponta norte do meridiano e são contados no sentido horário 
da graduação do limbo, de 0º a 360º, são chamados de azimutes (Figura 3). Os ângulos horizontais que têm 
origem tanto na ponta norte como na ponta sul do meridiano e são contados em quadrantes (0º a 90º) são 
chamados de rumos (Figura 4). 
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Figura 3. Azimutes. Figura 4. Rumos. 
 
Os azimutes são empregados para orientar as plantas topográficas em relação ao eixo de rotação da 
Terra, ou seja, em relação ao Norte. Tipos de N e azimutes: 
1) N geodésico (NG): a direção N converge para o polo N do elipsoide. Se a origem do azimute 
for o NG ele é chamado de Azimute geodésico (AZG). 
2) N verdadeiro ou astronômico (NV): a direção N converge para o polo N da Terra. Se a origem 
do azimute for o NV ele é chamado de Azimute verdadeiro (AZV). 
3) N magnético (NM): a direção N converge para o polo N magnético da Terra (em desuso). Se a 
origem do azimute for o NM ele é chamado de Azimute magnético (AZM). 
4) N quadrícula (NQ): é representado na carta UTM e a direção é paralela ao meridiano central do 
fuso. Se a origem do azimute for o NQ ele é chamado de Azimute plano (AZP). 
Observação: a pequena diferença existente entre NG e NV pode ser negligenciada sem prejuízo na 
precisão dos levantamentos topográficos. Então, NG = NV. 
As bússolas são instrumentos que medem azimutes e rumos magnéticos diretamente, mas, estão em 
desuso para fins topográficos. A tendência atual é utilizar receptores de sinais de satélites de posicionamento 
(GPS, GLONASS, GALILEO e COMPASS) para determinarem coordenadas de dois pontos e a partir destas, 
obter o AZG (coordenadas geodésicas – latitude e longitude) ou AZP (coordenadas retangulares ou planas no 
sistema UTM – N e E), Figura 5. As coordenadas retangulares são relacionadas matematicamente as 
coordenadas geodésicas, de modo que umas podem ser convertidas nas outras. 
 
 
 
∆𝐸 = 𝐸 − 𝐸 
 
∆𝑁 = 𝑁 − 𝑁 
 
𝜃 = tan
∆𝐸
∆𝑁
 
𝐴𝑧 = 𝜃 
 
 (a) (b) 
Figura 5. Determinação do Azimute plano utilizando coordenadas UTM. 
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Quadrante ΔE ΔN θ Equação 
1º Quadrante + + + Az = θ 
2º Quadrante + - - Az = 180º + θ 
3º Quadrante - - + Az = 180º + θ 
4º Quadrante - + - Az = 360º + θ 
 
O cálculo de ângulos horizontais, horários ou anti-horários, entre alinhamentos a partir de azimutes, 
tarefa bastante comum em topografia, pode ser generalizado da seguinte forma: 
 
 Ângulos horários (se o ângulo for menor que 0º, somar 360º): 
 
 
 Ângulos anti-horários (se o ângulo for menor que 0º, somar 360º): 
 
 
 
Embora a tendência seja padronizar o uso de azimutes, rumos ainda são empregados e se torna 
necessário conhecer a relação entre eles. A Figura 6 mostra para cada quadrante a equação que relaciona 
azimutes e rumos. 
 
Figura 6. Relação entre rumos e azimutes. 
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1º quadrante: RAB = AZAB NL (ou NE) 
 AZAB = RAB 
2º quadrante: RAC = 180º - AZAC SL (ou SE) 
 AZAC = 180º - RAC 
3º quadrante: RAD = AZAD – 180º SO 
 AZAD = 180º + RAD 
4º quadrante: RAE = 360º - AZAE NO 
 AZAE = 360º - RAE 
 
Resumo: 
Ângulo horizontal: Origem: Sentido: Graduação: 
Azimute ponta Norte Horário 0º a 360º 
Rumo 
ponta Norte (1º e 4º quadrante) 
ponta Sul (2º e 3º quadrante) 
horário (1º e 3º quadrante) 
anti-horário (2º e 4º quadrante) 
0º a 90º 
 
Exercício: 
1. Dados a Figura e a caderneta a seguir, calcular os ângulos internos a partir dos azimutes lidos. Preencher 
a caderneta e identificar sobre a Figura os Azimutes e os ângulos internos. 
Estações Pontos visados Azimutes Ângulos internos 
 
A 
B 101º04’02” 
 
C 149º55’55” 
B 
C 234º14’42” 
 
A 281º04’05” 
C 
A 329º55’52” 
 
B 54º14’45” 
 
2. Ângulos de inclinação do terreno 
Ângulo de inclinação do terreno é qualquer ângulo medido no plano vertical (plano que contém a 
vertical que passa pelo ponto topográfico), ele define a altimetria do mesmo ponto e serve de elemento básico 
para redução da distância inclinada ao horizonte (distância horizontal), Figura 7. Quando a origem de 
contagem do ângulo de inclinação do terreno é no plano horizontal, o ângulo é denominado vertical (Figura 8). 
Quando a origem de contagem corresponde a vertical do ponto, o ângulo é chamado de zenital (Figura 9). 
 
 
Figura 7. Ângulo de inclinação. Figura 8. Ângulo vertical. Figura 9. Ângulo zenital. 
 
Conversão dos ângulos zenitais para verticais: 
V = 90º- Z 
 
Exercícios: 
1. Transforme o ângulo vertical 07º33’05” em ângulo 
zenital. 
2. Transforme o ângulo zenital 8º25’55” em ângulo 
vertical.