Sistemas (álgebra) exercícios II

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Universidade Estadual de Feira de Santana 
Dexa – 
Álgebra Linear – I -E 
Docente – Joilma Carneiro 
Lista de Exercícios II 
1. Resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan. 





−=++
=++
=++
12352
4224
8312
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 S = {2,-5,3} 
2. Resolver o sistema pelo método da matriz inversa. 





=++
=++
=++
3321
2321
1321
435
231
712
bxxx
bxxx
bxxx
 
a) Para b1 = 16, b2 = –5, b3 = 11 S ={3,-4,2} 
b) Para b1 = 25, b2 = –11, b3 = 5 S ={2,-7,4} 
c) Para b1 = 3, b2 = 5, b3 = –5 S ={-3,2,1} 
 
3. Resolver o sistema linear homogêneo de 2 equações com 3 variáveis: 
 



=−+
=−+
0642
0963
321
321
xxx
xxx
 Soluções próprias: x 1 = -2x 2 + 3x 3 
4. 



=−
=−
1596
432
yx
yx
 Incompatível 
Resolver os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan e analisar as suas características. 
5. 





−=++
−=−−
−=++
3321
38423
6642
zyx
zyx
zyx
 S ={ 




 −+−
z
zz
,
8
1329
,
4
41
 com z IR∈ } 
6. 



=−−−
=++
0639
0426
zyx
zyx
 S = x =
3
2zy −−
 com y, z 
 
7. Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que o sistema 





=−
=+−
=+
zaa
yaa
xaa
21
2
21
2
43
2
 
seja compatível. 1 
8. 







=+
=+−
=−
=+−
tba
zba
yba
xba
13
12
12
3
 S ={ z =-y e x = t –2y } 
seja compatível. 
Resolver os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan e analisar as suas características. 
9. 





=++
=++
=++
7223
9432
1164
zyx
zyx
zyx
 S = 







 −+
z
zz
,
5
813
,
5
23
 com z IR∈ 
10. 



=−−−
=++
0639
0426
zyx
zyx
 Soluções próprias : 
3
2zy
x
−−= com y e z IR∈ 
11. Discutir e resolver o sistema: 
 
 S = 







 +−+ zzz ,
5
2
,
5
7
5
1
com z IR∈ 
12.Resolver os sistemas abaixo pela Regra de Cramer: 
a)





=++
=+−
=++
336
22
1
zyx
zyx
zyx
 b)





−=
−=+−
=++
3 2 
2
1
y
zyx
zyx
 
13. Resolver por eliminação de Gauss-Jordan. 







=++++
=++
−=−+−−+
=+−+
6184862
515105
1342562
0223
65421
643
654321
5321
xxxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
 
 
14. Resolver por eliminação de Gauss-Jordan. 







=++
=−−+
=+−+−−
=+−+
0
02
032
022
543
5321
54321
5321
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
 
 2 
 
 
 
 
 





=−
=−+
=−−
3 7
032
12
:
yx
zyx
zyx
S
15. Para que valores de χ o sistema de equações 





=+
=+
0 y ) 3 - ( 
0 y 3)x - (
χ
χ
x R = ( χ = 4 ; χ = 2 ) 
tem soluções não-triviais? 
 
16. Resolver o sistema pelo método da substituição: 
 
x + y + z = 1 
x - y + 2z = 2 S ={(0,0,1)} 
x + 6y + 3z = 3 
 
 
17ª) Resolver por escalonamento os sistemas abaixo e classificá-los: 
 ( Caso algum desses sistemas for compatível e indeterminado , dê pelo menos duas soluções para este 
sistema) 
 
 a) x + y + z + t = 0 b) x - y + z = 0 c) x + y + z = 1 
 x + y – 2z + t = 0 2 x – 4y +6 z = 1 x – y – z = 2 
 2x + y +2z - t = 0 x + y + z = 3 2x + y + z = 3 
 S ={ (2t,- 3t, 0, t) } S = 





1,
2
3
,
2
1
 Incompatível 
 
 
18ª) Resolver o sistema pela Regra de Cramer. 
 x - y + z = 0 
 x +2y -2z = 3 S ={(1,3,2)} 
 2x - y - z = -3 
 
19ª)Os alunos de uma faculdade do interior organizaram uma festa junina no pátio de uma faculdade.Três 
barracas, B1, B2 e B3, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as mesmas opções de alimentação: 
churrasco, quentão e pastel; cada uma dessas três opções tinha o mesmo preço nas três barracas. Ao 
final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanço sobre o consumo nas barracas e verificou-se que: 
 
o Na barraca B1 foram consumidos 28 churrascos, 42 quentões e 48 pastéis, arrecadando um total de 
R$102,00; 
o Na barraca B2 foram consumidos 23 churrascos, 50 quentões e 45 pastéis, arrecadando um total de 
R$ 95,00; 
o Na barraca B3 foram consumidos 30 churrascos, 45 quentões e 60 pastéis, arrecadando um total de 
R$117,00. 
Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um pastel? 
 S ={ (1,5 ;0,4; ,0,9 )} 
 
 
20ª) Faça a demonstração para as soluções de um sistema de n equações lineares e n variáveis pela Regra 
de Cramer. 
 
3 
 
 
 
 
21ª) Prove que: 
 
Se A é uma matriz inversível n x n, o sistema de equações lineares dado por A x = b tem uma única 
solução x = A-1b para todo b em IR. 
 
 
22ª) O sistema não tem soluções para quais valores de a? Exatamente uma solução? Infinitas 
soluções? 





+=−++
=+−
=−+
2)14(4
253
432
2
azayx
zyx
zyx
 
R= ( a = 1, CI e a = -2, Incompatível) 
 
23ª) Resolver o sistema abaixo analisando suas características. 
 





=−++
=+−+
=+++
022
02
0
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
24ª) Determinar os valores a e b que tornam o sistema 







−+=+
+=+
=+
=−
12
2535
73
bayx
bayx
byx
ayx
 compatível. Em seguida 
resolver o sistema. 
 
 . 
( a= 2 e b=4) ; S={(3,1)}.