Lista de Exercicios IV (Variáveis Aleatórias e Distribuições) QUESTÕES

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES – UNIDADE II 
 
1) De uma caixa que contém 7 peças das quais 4 são defeituosas, retirou-se, sem reposição, 3 
peças. Defina X = nº de peças defeituosas entre as retiradas. Determine: 
 
a) A distribuição de probabilidade de X 
b) A função de distribuição acumulada de X 
c) O número esperado de peças defeituosas 
 
2) A distribuição de probabilidade de uma v.a. X é dada por: 
 
𝑃(𝑋 = 𝑥) = {
𝑐𝑥
5
 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1, 2, 3.
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
} 
 
a) Encontre c e determine o valor mais provável de X 
b) Encontre a função de distribuição acumulada de X 
 
3) Suponha que a porcentagem de álcool (100X) em certo composto é uma v.a., onde X, 0 
< X < 1, tem densidade: 
𝑓(𝑥) = {
2(1 − 𝑥), 0 < 𝑥 < 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
} 
 
a) Encontre a função de distribuição acumulada de X 
b) Calcule a percentagem média de álcool no composto 
c) Considere que o preço de venda deste composto dependa do conteúdo de álcool. 
Especificamente, se 0 < x < 1/3, o composto é vendido por R$ 2,88 o litro. Se 1/3 < 
x < 1, o preço de venda é de R$ 2,61 o litro. Calcule o preço médio de venda, por 
litro, do composto. 
 
4) Suponha que uma v.a. X tenha distribuição binomial, com média E(X) = 4 e variância V(X) = 3. 
 
a) Encontre n 
b) Calcule P(X < 2) 
 
5) Um estado onde há grande número de residências na zona rural, tem 60% dessas 
residências seguradas contra incêndio. Sorteia-se 8 residências ao acaso, com reposição. Se X 
é o número de residências seguradas contra incêndio, calcule: 
 
a) A probabilidade de que pelo menos 3 dessas 8 residências tenham seguro contra 
incêndio 
b) O número esperado e a variância do número de residências não seguradas contra 
incêndio 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma 
distribuição de Poisson, com λ=2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três 
petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. 
 
a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? 
b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os 
navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? 
c) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? 
 
7) Numa central telefônica, o número de chamadas que chega segundo uma distribuição de 
Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de 
que num minuto se tenha: 
 
a) Dez ou mais chamadas 
b) Menos que nove chamadas 
c) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas 
 
8) Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 150 unidades. Antes que uma 
remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 15 desses motores e inspeciona. Se 
nenhum dos motores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se três ou mais 
forem verificados defeituosos, todos os motores da mesma são inspecionados. Suponha que 
existam, de fato, nove motores defeituosos por lote. Qual é a probabilidade de que a 
inspeção 100 por cento seja necessária? 
 
9) Dizemos que X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b), se sua densidade for do 
tipo: 
𝑓(𝑥) = {
1
𝑏 − 𝑎
 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
} 
Determine F(X), E(X) e V(X). 
 
10) O erro X na leitura de um medidor de pressão tem distribuição uniforme no intervalo (- 
1/4,1/4). 
 
a) Calcule a probabilidade de cometer um erro inferior a 1/8 
b) Calcule a média e o desvio padrão da distribuição do erro 
 
11) O número de pedidos para a compra de certo produto que uma companhia recebe por 
semana, distribui-se normalmente com média 125 unidades e desvio padrão 30 
unidades. Se uma certa semana, o estoque disponível é de 150 unidades, qual é a 
probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos? 
 
 
 
 
 
 
12) O tempo de vida de transistores produzidos por certa indústria, tem distribuição 
aproximadamente normal com valor esperado de 500 horas e desvio padrão de 50 
horas. 
 
a) Qual é a probabilidade de que um transistor produzido por essa indústria tenha 
vida inferior a 550 horas? 
b) Um comprador exige que pelo menos 95% dos transistores fornecidos tenham vida 
superior a 400 horas. Esta exigência será cumprida? 
c) Se tomarmos uma amostra de 10.000 desses transistores, quanto se espera que 
tenham vida superior a 600 horas? 
 
13) Suponha que a carga de ruptura X de um cabo (em Kgf) tenha distribuição N(100, 16). 
Cada cabo fornece um lucro de R$ 3,50 se X > 95. Se X < 95, o cabo poderá ser utilizado para 
uma finalidade diferente dando um lucro de R$ 1,20. Fabricando-se muitos desses cabos, 
qual é o lucro esperado por cabo? 
 
14) Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizado por pessoas que têm 
altura normalmente distribuídas com média 1,80m e desvio padrão de 8cm. 
 
a) Qual é altura mínima do vão da porta que não mais do que 2% das pessoas batam a 
cabeça no portal? 
b) Se o vão da porta for construído com 1,85m de altura, dentre 1.000 pessoas, 
quantas passariam pela porta sem se curvar?