Módulo 2 - Fluxo de tensão

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Prof. José Carlos Morilla 1 Tensões de Cisalhamento na Flexão 
Fluxo de Cisalhamento 
 Uma aplicação importante da 
determinação das tensões de 
cisalhamento que atuam na flexão 
simples é a determinação do Centro 
de Torção. 
 
 Tome-se, por exemplo, uma 
barra com seção em forma de C, 
como mostra a figura 10. 
V
 
figura 10 – Barra em forma de C submetida a 
uma flexão simples. 
A seção transversal sofre uma 
rotação no sentido horário, como 
mostra a figura 11. 
 
 Para que ocorra esta rotação é 
necessário que esteja atuando na 
seção da barra um momento de torção 
T. 
 
figura 11 – Rotação da seção em forma de C 
 
 Para compensar este momento 
de torção, a força P deve ser 
deslocada para a esquerda de 
maneira que o momento de torção por 
ela produzido na seção equilibre este 
que produz a rotação. 
 O ponto de aplicação desta 
força é chamado de Centro de 
Torção e indicado por CT. 
 
CT
V
CG
 
figura 12 – Posição do Centro de Torção. 
 
 O que foi apresentado aqui é 
muito comum nas seções de barras 
que são perfis de parede fina. 
 Para que seja possível 
determinar a posição do centro de 
torção é necessário determinar as 
tensões de cisalhamento que 
provocam o momento de torção T. 
 
Fluxo de Cisalhamento 
 Tomando-se as observações 7 
e 10, é possível observar que para os 
pontos de uma seção de barra que é 
um perfil de parede fina, a tensão de 
cisalhamento máxima (para cada 
ponto) ocorre quando o corte efetuado 
(que contenha o ponto) tiver direção 
perpendicular à parede do perfil, com 
se mostra na figura 13. 
a
b
c
Direção do 
Corte
V
 
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`figura 13 – Pontos a; b e c e suas respectivas 
direções de corte 
Note-se que com estes cortes, 
a direção da tensão de cisalhamento 
em cada ponto é paralela à parede. 
 
Lembrando das observações 12 
e 2, os sentidos das tensões de 
cisalhamento para os pontos a; b e c, 
são os mostrados na figura 14. 
a
b
c
V
 
figura 14 – Tensões de cisalhamento 
nos pontos a; b e c. 
Quando se determina a tensão 
para outros pontos desta seção se 
encontra o mostrado na figura 15. 
 
V
 
figura 15 – Fluxo de Tensão 
 
 A este conjunto de tensões 
máximas que ocorrem nos pontos da 
seção dá-se o nome de Fluxo de 
Tensões. 
 
 As figuras 16, 17 e 18 
representam, o fluxo de tensão para 
algumas formas de seção transversal: 
 
V
 
figura 16 – Fluxo de cisalhamento para uma 
seção em forma de I. 
 
V
 
figura 17 – Fluxo de cisalhamento para uma 
seção em forma de T. 
 
 
V
 
figura 18 – Fluxo de cisalhamento para uma 
seção em forma de H. 
 
 
Centro de Torção 
 Observando-se as figuras 
apresentadas para exemplificar o fluxo 
de cisalhamento, nota-se que as 
tensões de cisalhamento do fluxo 
podem provocar um momento de 
torção em relação ao centro de 
gravidade da seção. 
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 Se este momento for nulo, 
então a posição do centro de torção 
coincide com a posição do centro de 
gravidade. Caso ele seja diferente de 
zero, então a posição do centro de 
torção não é coincidente com o centro 
de gravidade e sua posição é tal que o 
momento de torção provocado pela 
força é igual e de sinal contrário ao 
provocado pelo fluxo de cisalhamento. 
 
Assim é possível escrever: 
 
A
dAdgdV (8) 
onde 
d= Distância entre o centro de torção 
e o centro de gravidade da seção 
dg= Distância entre a linha de ação 
da tensão de cisalhamento e o 
centro de gravidade da seção 
V
CT CG
d
 
figura 19 – Posição da força cortante no 
centro de torção para seção em forma de I. 
 
Quando as paredes da seção 
são retas, todas as tensões de 
cisalhamento desta parede tem a 
mesma direção e é possível 
determinar sua resultante; como o 
mostrado na figura 20. 
V
CT CG
d
d
1
d
2
d3
F1
F2
F3
 
figura 19 – Forças resultantes nas paredes, 
para seção em forma de I. 
 
Com a força resultante, é 
possível determinar a posição do 
centro de torção por: 
 
n
1i
ii dFdV (9) 
 
onde 
di= Distância entre a linha de ação da 
força e o centro de gravidade da 
seção 
Fi= Força resultante das tensões de 
cisalhamento que atuam na 
parede 
 
Lembrando que 
 
Ai
ii dAF 
 
a expressão 9 fica: 
 
n
1i
i
Ai
i ddAdV (10) 
 
Substituindo-se a expressão 7 
na expressão 10, se encontra: 
 
n
1i
i
Ai
i
y
sy
ddA
b
V
dV
M
 
 
como V e Iy são constantes, se obtém: 
 
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n
1i
i
Ai
i
sy
y
ddA
b
V
dV
M
  
 
i
y
n
1i Ai
i
sy
d
dA
b
d
M
 (11) 
 
Caso a parede tenha espessura 
constante, é possível escrever: 
 
i
y
n
1i i
isy
d
d
d

M
 (12) 
onde 
i = Comprimento da parede 
 
Note-se que a posição do 
centro de torção não depende da força 
cortante atuante na seção. O centro 
de torção é uma propriedade da seção 
e sua posição é a mesma para 
qualquer que seja a carga aplicada. 
 
 
OBSERVAÇÕES 
1. Para paredes cujo comprimento é 
paralelo ao eixo em torno do qual a 
seção “gira”, a variação do 
momento estático é linear. 
 
2. Para paredes cujo comprimento é 
perpendicular ao eixo em torno do 
qual a seção “gira”, a variação é 
parabólica passando por ponto de 
máximo (quando houver) nos 
pontos pertencentes à linha neutra.