Avaliação de tempo e risco

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CAPÍTULO 1
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capitulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Compreender o papel do valor do dinheiro no tempo.
 Apresentar as ferramentas de cálculo necessárias para realizar análises de 
valor presente e futuro de diferentes séries de fl uxo de caixa.
 Determinar o valor futuro de um investimento feito hoje.
 Calcular o valor presente de um montante a ser recebido no futuro.
 Apontar a taxa de juros (crescimento) de uma série de fl uxo de caixa.
10
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
11
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
CONTEXTUALIZAÇÃO
A maioria das decisões fi nanceiras envolve custos e benefícios distribuídos 
em diferentes prazos, de modo que, conhecer o valor do dinheiro no tempo é 
um conceito fundamental na administração fi nanceira. Em qualquer tomada de 
decisão, os administradores necessitarão avaliar cuidadosamente o impacto 
de longo prazo sobre os fl uxos de caixa previstos, de diferentes alternativas de 
investimento. Dessa forma, não somente os conhecimentos dos conceitos de 
valor presente e futuro serão extremamente importantes para que o administrador 
tome a decisão mais correta, mas também o domínio da matemática fi nanceira 
será fundamental. 
Além disso, através do domínio dos conceitos de valor presente, de valor 
futuro e das ferramentas de cálculo que serão apresentadas no capítulo, o 
administrador fi nanceiro será capaz de mensurar o valor presente e futuro de 
fl uxos de caixa com datas distintas e, a partir disso, combinar, comparar e avaliar 
todas as opções de investimento disponíveis no mercado, de modo a maximizar o 
preço da ação de uma empresa, ou, se for o caso, maximizar sua própria riqueza. 
O restante do capítulo foi organizado da seguinte forma: a primeira seção 
aprofunda o conceito de valor do dinheiro no tempo. A segunda seção apresenta 
o conceito e as fórmulas de cálculo do valor futuro, enquanto, na seção seguinte, 
a abordagem adotada na segunda seção é mantida, porém estuda-se o valor 
presente. Outras abordagens relacionadas ao valor do dinheiro no tempo, que 
são muito úteis para um administrador fi nanceiro, são discutidas na quarta seção. 
As últimas duas seções oferecem os conceitos e os cálculos de taxa de juros e 
algumas aplicações de problemas fi nanceiros para a HP12C, respectivamente, 
além de uma consideração fi nal sobre o tema.
INTRODUÇÃO AO VALOR DO DINHEIRO NO 
TEMPO
Uma tarefa importante do administrador fi nanceiro ou investidor é avaliar 
e comparar diversas opções de investimento. Existe uma variedade de tipos de 
investimento, sendo que os principais são os fundos, os títulos do governo, os 
depósitos com renda fi xa, a poupança e o mercado de ações. Entretanto, essas 
opções apresentam diferentes condições em termos de prazo, rentabilidade, 
carência e riscos. Assim, as escolhas feitas pelo administrador têm consequências 
importantes sobre a riqueza, uma vez que impactam na distribuição de entradas 
e saídas de caixa ao longo do tempo. Por isso, as pessoas reconhecem 
explicitamente o valor do dinheiro no tempo. 
12
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
O valor do dinheiro no tempo surge do fato que mais vale ter um real hoje do 
que tê-lo no futuro. Alguns dos motivos para que exista essa preferência revelada 
são os seguintes: 
i. Juros.
ii. Infl ação.
iii. Risco.
Se você tiver uma quantia hoje e aplicá-la em uma das opções de investimento 
disponíveis, então você terá a quantia inicial mais um plus decorrente dos juros do 
período, portanto, o investidor terá um ganho para abrir mão do consumo presente. 
Por outro lado, a infl ação faz com que o dinheiro perca poder de compra no futuro. 
Por exemplo, se você possuir apenas 100 reais e um determinado bem custar 
exatamente o valor hoje, no futuro ele poderá estar sendo vendido por 110 reais, 
logo a infl ação não permitiria que o bem fosse comprado no futuro considerando 
a mesma quantia disponível no presente. Ainda, uma vez que o futuro é incerto e 
em muitas das opções de investimento há riscos envolvidos, determinam também 
que exista uma diferença no valor do dinheiro hoje e no futuro.
São os juros, a infl ação e o risco que determinam a magnitude da diferença 
entre o valor do dinheiro agora e o dinheiro mais tarde. Assim, para compreender 
fi nanças, será necessário estudar o valor do dinheiro no tempo considerando 
duas visões do valor: o valor futuro e o valor presente, além das ferramentas 
necessárias de cálculo usadas para encontrar os valores e os tipos básicos de 
séries de fl uxos de caixa, como será apresentado no decorrer do capítulo.
a) Valor Futuro versus Valor Presente
Um administrador fi nanceiro pode tomar suas decisões de investimento tanto 
pela análise do valor presente quanto do valor futuro. Muito embora essas técnicas 
sejam diferentes, elas conduzem para uma mesma decisão. A diferença entre as 
técnicas de valor presente e futuro é que a primeira delas mede os fl uxos de caixa 
no início da vida de um investimento, enquanto a segunda avalia no fi nal. Mais 
especifi camente, o valor futuro se refere à quantia monetária que um investimento 
alcançará em determinada data futura, dada uma taxa de juros. Por outro lado, o 
valor presente corresponde à quantia monetária atual que determinado investimento 
futuro teria. Assim, o valor presente é o inverso do valor futuro. 
Para facilitar a compreensão do conceito de valor futuro e presente, é 
útil valer-se de uma linha de tempo. A linha do tempo é desenhada no sentido 
horizontal e inicia da esquerda para a direita, no período zero e vai até o último 
período futuro da série de fl uxo de caixa. Ainda, em cada período há uma linha 
e um valor que representa o montante recebido/dispendido naquele tempo. Se a 
13
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
linha estiver abaixo do ponto, então ela representa uma saída e, caso contrário, 
uma entrada no fl uxo de caixa. A Figura 1 representa os fl uxos monetários de 
um determinado investimento com prazo de maturação de cinco anos, além do 
dispêndio inicial feito no período zero.
Uma série de fl uxo de caixa é um conjunto de saídas e/ou 
entradas de valores nominais que se encontram dispostos em 
períodos de tempo ao longo de um fl uxo de caixa. Determinados 
valores podem ser constantes ou variáveis e, além disso, eles podem 
ter uma periodicidade não uniforme. 
Figura 1 – Linha de tempo
$ 5.000
1 2 3 4 50
$ 6.000 $ 7.000
$ 8.000 $ 9.000
$ 15.000
Fonte: O autor.
Os condicionantes apresentados anteriormente fazem com que o dinheiro 
tenha um valor diferente em cada período de tempo, os fl uxos de caixa devem 
ser medidos em uma mesma data para que as decisões sejam tomadas. De 
modo geral, a data escolhida é a fi nal ou inicial da série, conforme destaca 
Gitman (2005). Porém, por tomarem a decisão na data zero, os administradores 
fi nanceiros costumam utilizar com mais frequência a técnica do valor presente. 
Para encontrar o valor presente e o valor futuro, devemos utilizar as técnicas 
de composição e desconto, respectivamente. Em relação à composição, Gitman 
(2005, p. 130) afi rma que:
A técnica do valor futuro emprega o processo de composição 
para determinar o valor futuro de cada fl uxo de caixa no fi nal do 
prazo do investimento e, em seguida, adiciona esses valores 
para determinar o valor futuro do investimento. 
14
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Por outro lado, considerando a técnica do desconto, Gitman (2005, p. 130) 
sugere que:
Alternativamente, a técnica do valor presente utiliza o processo 
de desconto para determinar o valor presente de cada fl uxo de 
caixa na data zero e depois soma esses valores para descobrir 
o valor do investimento hoje. 
Ainda, para facilitar o entendimento, os conceitos apresentados podem 
ser representados utilizando uma linha de tempo. A aplicação das técnicas de 
composição e desconto são ilustradas através deuma linha de tempo apresentada 
na Figura 2.
Figura 2 – Ilustração da composição e do desconto
Fonte: Gitman (2005).
Observando a Figura 2, fi ca claro que o processo de composição é um 
processo contrário ao processo de desconto, porém isso será demonstrado com 
mais rigor durante o capítulo. A seguir, você verá as ferramentas de cálculos 
necessárias para encontrar o valor presente e futuro do dinheiro.
b) Ferramentas de cálculo
De modo geral, os cálculos fi nanceiros envolvem técnicas matemáticas 
avançadas. Entretanto, podemos utilizar tabelas fi nanceiras, calculadoras fi nanceiras 
(HP 12C) e planilhas dinâmicas em computadores para facilitar essa tarefa. 
15
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
As tabelas fi nanceiras apresentam fatores de valor presente e futuro que 
tornam os cálculos fi nanceiros mais fáceis. De acordo com Gitman (2005), 
usualmente as tabelas fi nanceiras dispõem em suas colunas as taxas de juros 
e, em suas linhas, o número de períodos. A Tabela 1 apresenta um exemplo 
de tabela fi nanceira com fatores de juros compostos, de valor futuro, para uma 
unidade monetária em i por cento e para t períodos.
Tabela 1 – Tabela fi nanceira para composição
1% 2% 3% 4% 5% 6% ...
1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 ...
2 1,02010 1,04040 1,06090 1,08160 1,10250 1,12360 ...
3 1,03030 1,06121 1,09273 1,12486 1,15763 1,19102 ...
4 1,04060 1,08243 1,12551 1,16986 1,21551 1,26248 ...
5 1,05101 1,10408 1,15927 1,21665 1,27628 1,33823 ...
6 1,06152 1,12616 1,19405 1,26532 1,34010 1,41852 ...
... ... ... ... ... ... ...
Fonte: O autor.
Para ilustrar como essa tabela é útil, suponha que você queira aplicar R$ 
1.400,00 em um título do governo no qual paga 6% de juros ao ano. Qual seria o 
montante que você teria no fi nal de cinco anos? Localizando na Tabela 1, a coluna 
correspondente a 6% de taxa de juros. Na linha, contando um período de 5 anos, 
obtemos o fator de 1,33823. Conhecendo o fator, responder essa pergunta é muito 
fácil, basta multiplicar o valor a ser aplicado pelo fator encontrado, como segue:
VF VP FCt i t= × ,
VF xt =1 400 00 1 33823. , ,
VFt =1 873 52. ,
Sendo:
VFt é o valor futuro no fi nal do período t.
VP é o valor presente ou montante inicial.
FCi,t é o fator de composição para a taxa de juros i e para o período t.
i é a taxa de juros.
t é o período.
16
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Logo, o valor após cinco anos seria de R$ 1.873,52.
No entanto, é possível que, em determinado momento, você não encontre 
na tabela fi nanceira exatamente o fator que você procura, ou ainda, você pode 
não ter acesso às tabelas fi nanceiras no momento do cálculo. Por exemplo, se 
no caso anterior a taxa de juros fosse de 12% ao ano, não seria possível localizar 
na tabela 1 o fator correspondente a essa taxa, impossibilitando a realização do 
cálculo. Assim, é útil conhecer a origem dos fatores. Para encontrar qualquer fator 
de composição, inclusive os que foram apresentados na tabela, pode-se utilizar a 
seguinte fórmula:
FC ii t
t
,
( )= +1
Sendo:
FCi,té o fator de composição para a taxa de juros i e para o período t. 
i é a taxa de juros.
t é o período.
No exemplo anterior foi utilizado o fator 1,33823. Perceba 
que ele pode ser encontrado da seguinte forma:
A mesma lógica vale para qualquer outro fator não apresentado 
na Tabela 1. Se você tem uma opção de investimento que oferece 
uma taxa de juros de 25% ao ano e o número de períodos for de 10 
anos, então o fator será de:
FC6,5 0,06= +( )1
5
FC ii t
t
, ( )= +1
FC6,5 1,338823=
FC25,10
10
= +( )1 0 25,
FC25,10 9,313323=
17
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Partindo da mesma lógica, pode-se construir uma tabela com fatores de juros 
de valor presente para uma unidade monetária, descontando em i por cento e 
para t períodos, utilizando a seguinte fórmula:
FD
i
i t t, =
+( )
1
1
Sendo:
FDi,t é o fator de desconto para a taxa de juros i e para o período t. 
i é a taxa de juros.
t é o período.
Observe que FDi,t é o inverso de FCi,t, de modo que, a partir da Tabela 1, 
pode-se construir uma tabela com os fatores de valor presente ao inverter cada 
número contido na tabela. A tabela 2 apresenta alguns dos fatores de desconto.
Tabela 2 – Tabela fi nanceira para desconto
1% 2% 3% 4% 5% 6% ...
1 0,99010 0,98039 0,97087 0,96154 0,95238 0,94340 ...
2 0,98030 0,96117 0,94260 0,92456 0,90703 0,89000 ...
3 0,97059 0,94232 0,91514 0,88900 0,86384 0,83962 ...
4 0,96098 0,92385 0,88849 0,85480 0,82270 0,79209 ...
5 0,95147 0,90573 0,86261 0,82193 0,78353 0,74726 ...
6 0,94205 0,88797 0,83748 0,79031 0,74622 0,70496 ...
... ... ... ... ... ... ... ...
Fonte: O autor.
Ainda, há várias outras tabelas que podem ser construídas considerando 
casos de movimentações fi nanceiras mais complexas. Perceba que as duas 
tabelas apresentadas possuem fatores para os casos de apenas uma aplicação, 
ou seja, você aplica o valor apenas uma vez. No entanto, existem situações 
que envolvem uma série de recebimento/pagamentos. Em determinados casos, 
também é possível construir tabelas fi nanceiras, sendo que a lógica de construção 
é praticamente a mesma das tabelas para quantias individuais.
18
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Se você tiver interesse nessas tabelas mais complexas, veja as 
tabelas A-3 e A-4 no apêndice do livro:
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração fi nanceira. 
10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
Se você tiver interesse em alguns exemplos de como calcular o 
valor presente e futuro por meio de planilhas no Excel, veja:
ROSS, Stephen A. WESTERFIELD; Randolph W. JORDAN; 
Bradford D., LAMB, Roberto. Fundamentos de administração 
fi nanceira. 9. ed. Porto Alegre, AMGH Editora Ltda., 2013.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração fi nanceira. 
10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
Uma ferramenta mais útil que as tabelas fi nanceiras é utilizar calculadoras 
fi nanceiras, tal como a HP 12C. O administrador fi nanceiro, depois que estudar as 
diversas funções dessa calculadora, poderá fazer uso de várias rotinas fi nanceiras 
já previamente programadas na calculadora. Essas programações predefi nidas 
facilitam muito os cálculos fi nanceiros mais rotineiros. Considerando isso, na 
sequência do livro serão apresentados vários exemplos de como calcular o valor 
presente e futuro utilizando determinado modelo de calculadora. 
Por fi m, podemos construir planilhas dinâmicas em computadores 
(software Excel). Assim como as calculadoras, essas planilhas já possuem 
diversas programações fi nanceiras prontas. As planilhas fi nanceiras podem 
ser consideradas mais úteis que as duas opções anteriores, especialmente se 
a planilha for produzida de forma dinâmica. Se construída da maneira correta, 
a planilha permite fazer uma análise de sensibilidade, ou seja, avaliar como os 
resultados se modifi cariam se uma das variáveis fosse alterada, por exemplo, se 
os juros de uma aplicação fi nanceira passassem de 5% para 8%. 
19
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
c) Tipos básicos de séries de fl uxo de caixa
Existem três principais tipos de séries de fl uxo de caixa, a saber: i) quantia 
individual, ii) anuidade e iii) série mista. A quantia individual é um montante único 
que uma pessoa/empresa tem ou espera ter em uma data futura. É o caso de um 
indivíduo poupador que possui R$ 10.000,00 e irá aplicar determinado valor ou, 
ainda, quando o indivíduo irá receber R$ 10.000,00 daqui a dois anos. Por outro 
lado, a anuidade tem como principal característica a uniformidade na série de 
fl uxos de caixa. É o caso de um indivíduo que irá receber, nos próximos 7 anos, R$ 
20.000,00 por ano. A mesma lógica valeria, caso fossem pagamentos a receber. 
Diferentemente, uma série mista apresenta fl uxos de caixa não uniformes. No tipo 
de série apresentado não é possível estabelecer nenhum tipo de padrão em seus 
fl uxos, tanto em termos de valores, quantoem períodos. A Tabela 3 apresenta um 
exemplo dos três tipos de séries.
Tabela 3 – Exemplos de séries de fl uxo de caixa
Período Quantia individual Anuidade Série Mista
0 R$10.000,00 - -R$8.000,00
1 - R$20.000,00 R$14.000,00
2 - R$20.000,00 -
3 - R$20.000,00 -
4 - R$20.000,00 R$15.000,00
5 - R$20.000,00 -
6 - R$20.000,00 -
7 - R$20.000,00 R$4.000,00
8 - R$20.000,00 R$9.000,00
Fonte: O autor
Ademais, deve-se salientar que há três tipos de anuidades: a ordinária, a 
vencida e a perpetuidade. Na anuidade ordinária, o fl uxo de caixa ocorre sempre 
no fi nal de cada período, enquanto que, na vencida, a lógica é contrária, ou 
seja, o vencimento se dá no início do período. Comparativamente, mesmo que 
uma anuidade ordinária tenha o mesmo número de períodos e valores que uma 
anuidade vencida, além de terem uma mesma taxa de juros, a vencida terá um 
valor mais alto do que a ordinária. 
A situação ocorre porque a anuidade vencida receberá antes os fl uxos 
monetários e renderão juros por mais tempo que a anuidade ordinária. Assim, 
tanto para fi ns de valor presente e de valor futuro, uma anuidade vencida sempre 
terá um valor maior que uma anuidade ordinária. A Tabela 4 apresenta exemplos 
de anuidades ordinária e vencida com os mesmos valores e prazos, objetivando 
evidenciar a diferença entre elas.
20
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Tabela 4 – Anuidade ordinária e vencida
Período Ordinária Vencida
0 R$ 0,00 R$ 1.000,00
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
3 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
4 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
5 R$ 1.000,00 R$ 0,00
Total R$ 5.000,00 R$ 5.000,00
Fonte: O autor.
Fica evidente que, na anuidade vencida, o valor começa a ser recebido antes. 
Por fi m, no que diz respeito à perpetuidade, ela tem como característica marcante 
o fato de possuir vencimentos regulares e com duração infi nita, como será mais 
detalhado na sequência do capítulo. 
VALOR FUTURO
O valor futuro é o montante total que uma determinada quantia de dinheiro 
terá no futuro caso essa quantia seja aplicada em algum ativo fi nanceiro por certo 
período de tempo, remunerando o capital através de uma taxa de juros. Entretanto, 
antes de apresentar os cálculos de valor futuro para uma quantia individual, para 
uma anuidade e para uma série mista, devemos conhecer os conceitos de juros 
simples e juros compostos. Ainda, muito embora o mercado fi nanceiro usualmente 
utilize a taxa de juros percentual, é necessário colocá-la na forma fracionária para 
efetuar os cálculos fi nanceiros. Isso é bastante trivial de ser feito, entretanto a Tabela 
5 apresenta alguns exemplos de juros na forma percentual e seus respectivos juros 
na forma fracionária. Perceba que isso já havia sido feito nos exemplos anteriores, 
uma vez que foram apresentadas duas taxas de juros na forma percentual, 25% e 
6%, utilizado 0,25 e 0,06, respectivamente, nos cálculos. 
Tabela 5 – Forma percentual e fracionária
Forma percentual Forma fracionária
0,1% 0,1/100 = 0,001
1,0% 1/100 = 0,010
1,5% 1,5/100 = 0,015
10,0% 10/100 = 0,100
Fonte: O autor.
21
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Não obstante, pode-se ilustrar a relação entre o valor futuro e o número de 
períodos considerando diferentes taxas de juros e uma determinada quantia, 
conforme foi realizado no Gráfi co 1. 
Gráfi co 1 – Relações de valor futuro
Fonte: Gitman (2005).
No Gráfi co 1, o eixo vertical mensura o valor futuro de uma unidade monetária 
e o eixo horizontal o número de períodos. As linhas sinalizadas com percentuais, 
em seu fi nal, indicam a taxa juros utilizada para obter os respectivos valores de 
cada linha. Para construir o gráfi co, o valor inicial estipulado foi de uma unidade 
monetária ($). Observe que, quanto maior for a taxa de juros, maior será o valor 
futuro. Da mesma forma, quanto maior for o período de acumulação, maior será o 
valor futuro do montante aplicado. Dado que o valor futuro de uma quantia pode 
ser obtido considerando duas composições distintas, através dos juros simples 
e dos juros compostos, os conceitos foram apresentados, respectivamente, nas 
duas subseções a seguir.
a) Juros simples
Segundo Samanez (2001), juros são a remuneração cobrada pelo capital. 
O regime de juros simples calcula os juros de uma operação fi nanceira sempre 
considerando o mesmo montante inicial. Dessa forma, não há capitalização 
porque os juros de um determinado período não são adicionados ao montante 
22
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
inicial, de modo que a base de cálculo para os juros é sempre a mesma quantia 
estabelecida inicialmente. Assim, no regime de juros simples o capital crescerá 
a uma taxa linear, da mesma forma que a taxa de juros também apresentará um 
comportamento linear em relação ao tempo. 
b) Juros compostos
Diferentemente, o regime de juros compostos parte da ideia de deixar um 
montante e todos seus juros acumulados decorrentes de uma operação fi nanceira 
por mais de um período de tempo, reinvestindo os juros a cada período, conforme 
destacaram Ross et al. (2013). Determinado processo também é conhecido 
como capitalização composta, de modo que ganhamos juros sobre juros, logo o 
crescimento do montante inicial é mais rápido no regime de juros compostos 
comparado ao regime de juros simples. Ainda, no regime de juros compostos, o 
dinheiro inicial cresce exponencialmente em progressão geométrica na medida em 
que o tempo passa, enquanto que no caso dos juros simples o crescimento é linear. 
Uma vez que no regime de juros simples os juros não são reinvestidos, pois 
a cada período o ganho recebido de juros é calculado apenas sobre o montante 
inicial de modo que os juros serão sempre os mesmos independentemente do 
período, a aplicação do regime de juros simples no sistema fi nanceiro é muito 
limitada, sendo indicada apenas em um contexto não infl acionário e de curtíssimo 
prazo, conforme destacou Samanez (2001). Em virtude disso, os cálculos de 
valor presente e valor futuro apresentados no livro que está sendo estudado 
consideraram apenas o regime de juros compostos. 
c) As equações de valor futuro
Iniciando pelo caso mais simples, utilizando uma quantia individual com 
composição anual, pode se derivar a equação do valor futuro a partir do seguinte 
exemplo. Considere que você guardou R$ 1.000,00 em uma poupança e deseja 
aplicar essa quantia em fundo que rende 10% ao ano. Qual quantia você teria 
após um ano? 
Perceba que a resposta dessa pergunta envolve calcular o valor futuro da 
quantia presente. A fórmula do cálculo de valor futuro (VF) é dada por:
 1
1000,00 1 0,1
 1000,00 1
VF VP i
VF R
VF R
= × +( )
= × +( )
= ×
$
$ ,,1
 1100,00VF R= $
23
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Sendo: as notações seguem as mesmas defi nidas anteriormente. Caso o 
montante fosse aplicado por mais um ano e a taxa de juros fosse mantida, você 
acumularia:
Em três anos:
Em t períodos:
Generalizando, podemos substituir os valores pelas variáveis taxa de juros, 
número de períodos e valor inicial. No caso apresentado, R$ 1.000,00 é o valor 
presente (VP) ou valor inicial, e a taxa de juros, que no exemplo é 0,10 ou 10%, é 
representa por i, de tal modo que a fórmula geral do valor futuro, para t períodos e 
taxa de juros i, pode ser representada por:
Perceba que (1 + i )t é o fator de composição (FCi,t) para a taxa de juros 
i e para o período t, que foi anteriormente apresentado. Conhecida a equação 
que determina o valor futuro de uma quantia individual, parte-se agora para as 
situações fi nanceiras que envolvem uma anuidade.
VF R
VF R
= × +( ) × +( )
= ×( )×
$
$
1000,00 1 0,0 1 0,1
 1000,00 1,1 11,1
 1000,00 1,1 1,1
 1000,00 1
VF R
VF R
= × ×( )
= ×
$
$ ,,1
 1210,00
( )
=
2
VF R$
VF R
VF R
= × +( )× +( ) × +( )
=
$
$
1000,00 1 0,1 1 0,1 1 0,1
 10000,00 1,1 1,1 1,1
 1000,00 1,1 1,1 1,1
× ×( )×
= × × ×(VF R$ ))
=×( ) 1000,00 1,1
 
VF R$
3
 1331,00VF R= $
VF R= × +( )× +( )×⋅⋅⋅× +( ) × +( )$1000,00 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
 1000,00 1,1 1,1 1,1 1,1
 
VF R= × × ×⋅⋅⋅×( )×$
 1000,00 1,1 1,1 1,1
 
VF R= × × ×⋅⋅⋅×( )$
 1000,00 1,1VF R
t
= ×( )$
VF VP it
t
= ×( )1 + 
24
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Para compreender o raciocínio do cálculo de uma anuidade ordinária, foi 
utilizado o exemplo de Gitman (2005). Suponha que você receberá uma indenização 
com depósitos anuais de R$ 1.000,00 no fi nal de cada ano durante os próximos 5 
anos. Para valorizar o dinheiro, você o colocaria em uma aplicação que rende 7% 
de juros ao ano. Dito isso, qual montante você terá no fi nal do 5º ano? 
A Figura 3 ilustra a lógica do cálculo que será empregado para responder 
essa pergunta. Observe que, quando completar 1 ano, você receberia a primeira 
parcela dos R$ 1.000,00. O montante fi caria aplicado e rendendo juros durante 
os próximos quatros anos. Já no segundo ano, você receberia mais R$ 1.000,00 
e renderia juros de três períodos. Portanto, no terceiro período os juros seriam 
sobre dois anos de aplicação, enquanto que no quarto sobre apenas um e, no 
quinto, não haveria juros, apenas o principal (R$ 1.000,00). 
Ainda, a Figura 3 demonstra o valor futuro que cada parcela terá, acrescida 
dos juros no quinto ano, assim como o montante fi nal, que foi arredondado para 
R$ 5.751,00. Perceba que os valores futuros de cada um dos montantes aplicados 
podem ser obtidos, simplesmente, por meio da equação de valor futuro para uma 
quantia individual.
Figura 3 – Linha de tempo para valor futuro
Fonte: Gitman (2005).
Considere, por exemplo, o cálculo do valor futuro do primeiro montante 
recebido, como segue: 
 1 + 
1.000,00 1 0,07
 1.00
VF VP i
VF R
VF R
t
t
= ×( )
= × +( )
=
$
$
4
00,00 1,3108
 1.310,80
×
=VF R$
25
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Entretanto, o cálculo individual de cada parcela é bastante trabalhoso, 
especialmente quando a série de fl uxos de caixa for muito longa. Felizmente, para 
facilitar os cálculos, há uma fórmula geral que proporciona maior agilidade. Defi nindo 
VFAOt como o valor futuro de uma anuidade ordinária de T anos, PMT representa 
o montante a ser aplicado anualmente no fi nal de cada ano, e T é o período fi nal da 
série de pagamentos, sendo que, para o caso geral, t = 1,2,...,T representa o valor 
futuro de uma anuidade ordinária quando os juros são compostos anualmente a i% 
durante T períodos, podendo ser obtido da seguinte fórmula:
Primeiramente, observe que 1
-1
+( )=∑ i
t
t
T
1 representa o fator de composição 
de valor futuro apresentado, comumente, em tabelas fi nanceiras para cálculos de 
anuidades ordinárias (FCAOi,t). Considerando determinado fator, a fórmula pode 
ser alternativamente expressa por:
Aplicando a fórmula sem o fator no exemplo anterior, obtemos:
O valor futuro, para a anuidade ordinária em questão, é de R$ 5.750,70. 
O valor é ligeiramente diferente do apresentado anteriormente exclusivamente 
por questões de arredondamento dos números durante o processo de cálculo. 
Utilizando uma calculadora HP 12C, por exemplo, o valor encontrado para o 
exemplo seria de R$ 5.750,74, sendo irrelevante essas pequenas diferenças.
VFAO PMT it
t
t
T
= × +( )
=
∑ 1 -1
1
VFAO PMT FCAOt i= × ,t
 1
1000,00 1 0,07
-1
1
1
VFAO PMT i
VFAO
t
t
t
T
t
t
T t
= × +( )
= × +( )
=
=
−
∑
∑
1
VFAOt = × ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +
−
1000,00 1,07 1,07 1,07 1,07
1-1 2-1 4-1
1 07
3 1
, (( )


= × ( ) + ( ) + (
5-1
0 1
 1000,00 1,07 1,07VFAOt 1 07, )) + ( )


= ×
3
1,07
 1000,00 1,0000 + 1,07000 + 1
4
VFAOt ,,1449 + 1,2250 + 1,3108
 
( )
 1000,00 5,7507
 
VFAOt = ×( )
 5750,70VFAOt =
26
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
 No caso de uma anuidade vencida, será necessário fazer um ajuste no fator 
de composição porque cada fl uxo de caixa dela rende juros por um ano a mais 
que uma anuidade ordinária. Após o ajuste, pode-se encontrar o valor futuro de 
uma anuidade vencida (VFAVt) de forma muito fácil. Para obter o fator de valor 
futuro de uma anuidade vencida (FCAVi,t), basta adicionar um ano a mais de juros 
a cada fl uxo de caixa da anuidade. Isso pode ser feito, matematicamente falando, 
multiplicando o fator de composição de valor futuro de uma anuidade ordinária 
(FCAOi,t) por ( 1 + i), como segue:
Isso implica:
Ou:
Logo:
O resultado encontrado afi rma que o valor futuro da anuidade vencida é de 
R$ 6.153,25 e, como já havia sido previamente comentado, o valor futuro de uma 
anuidade vencida é superior ao valor futuro de uma anuidade ordinária. 
Entretanto, muitas vezes, os administradores fi nanceiros se deparam com 
séries mistas. A lógica do cálculo do valor futuro dessas séries é semelhante à 
apresentada para uma anuidade, a diferença é que os fl uxos de caixa apresentam 
valores desiguais na série mista. Assim, o método de cálculo do valor futuro de uma 
série mista parte da ideia de estimar o valor futuro de cada fl uxo individualmente, 
considerando suas respectivas datas futuras de recebimento. Após, somam-se 
todos os fl uxos acrescidos dos seus respectivos juros e obtém-se o valor futuro de 
uma série mista (VFSMt).
 
A Tabela 6 apresenta o cálculo do valor futuro de um exemplo de série de 
fl uxo de caixa mista com 8 períodos. Os valores obtidos na última coluna foram 
encontrados utilizando a fórmula do valor futuro de uma quantia individual, ou 
seja, VFt= VP x (1 + i)t e considerando uma taxa de juros de 7% ao ano.
FCAV FCAO ii t i t, ,= ×( )1+ 
VFAV PMT FCAVt i t= × ,
VFAV PMT FCAO it i t= × ×( ), 1+ 
 1+ 
1000,00 5,7507 1 + 0,07
VFAV PMT FCAO i
VFAV
t i t
t
= × ×( )
= × ×( )
,
 6153,25VFAVt =
27
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Tabela 6 – Cálculo do valor futuro de uma série mista de fl uxos de caixa
Período Fluxo de Caixa N° de anos de Rendimento Valor Futuro
1 R$11.000,00 7 R$17.663,60
2 R$8.000,00 6 R$12.005,84
3 R$17.000,00 5 R$23.843,38
4 R$6.000,00 4 R$7.864,78
5 R$12.000,00 3 R$14.700,52
6 R$11.000,00 2 R$12.593,90
7 R$20.000,00 1 R$21.400,00
8 R$15.000,00 0 R$15.000,00
Valor futuro da Série Mista: R$125.072,02
Fonte: O autor.
Observe que cada fl uxo de caixa foi levado para um valor futuro, exceto o 
último recebimento, pois o objetivo era encontrar o valor futuro da série no oitavo 
(último) período. Visualize também que, em termos proporcionais, quanto mais 
cedo o dinheiro for aplicado, maior é o valor futuro, uma vez que se acumulam 
mais juros. Finalmente, o valor futuro da série mista é de R$ 125.072,02. 
Após demonstrar o conceito de valor futuro e derivar suas equações de 
cálculo para quantias individuais, anuidades ordinárias e vencidas, além de uma 
série mista, a próxima seção, mantendo a mesma abordagem utilizada para 
apresentar as técnicas de valor futuro, tratará do valor presente.
VALOR PRESENTE
De acordo com Gitman (2005), o valor presente de uma quantia a ser 
recebida no futuro é calculado pela soma monetária atual equivalente à quantia 
futura dada, levando em consideração a taxa de retorno que poderia ser obtida 
com a aplicação do dinheiro disponível hoje. Intuitivamente, deve-se pensar o 
valor presente se questionando e sabendo que, se você tem uma determinada 
quantia hoje, logo você poderia obter i % de juros aplicando-a. Então, qual é o 
máximo que você estaria disposto a pagar hoje pela oportunidade de obter o valor 
futuro dessa mesma quantia em dinheiro somente daqui a t períodos?
O Gráfi co 2 apresenta o comportamento que o valor presente de uma unidade 
monetária ($) tem na medida em que a taxa de juros (i %) varia e o número de 
períodos aumenta (t). Para isso, o gráfi co foi estabelecido de modo queo eixo 
vertical mede o valor futuro de uma unidade monetária ($), enquanto o eixo 
28
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
horizontal indica o número de períodos. As cinco linhas representam diferentes 
taxas de juros, sendo informado, ao fi nal de cada uma delas, suas respectivas 
taxas de juros. 
A partir da análise visual do Gráfi co 2, fi ca claro que, quanto maior for a taxa 
de juros, menor será o valor presente do dinheiro. Ademais, quanto maior for o 
período de acumulação, menor será o valor presente. Essas conclusões podem 
ser generalizadas, de como que, a taxa de juros e o número de períodos sempre 
têm uma relação inversa com o valor presente do dinheiro, independentemente se 
formos considerar quantias individuais, anuidades ou séries mistas.
Gráfi co 2 – Relações de valor presente
Fonte: Gitman (2005).
Por fi m, quando as equações de valor presente forem apresentadas, o que 
ocorrerá logo na sequência, um bom teste para verifi car se o leitor adquiriu um 
certo domínio sobre o assunto é tentar reproduzir o Gráfi co 2 a partir de uma 
planilha no Excel. 
a) Taxa de desconto
O cálculo do valor presente envolve um processo de desconto de quantias 
monetárias com vencimento no futuro. A técnica de desconto é um processo 
inverso ao método de composição. O desconto busca encontrar o valor presente 
29
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
de uma quantia futura considerando que existe a oportunidade de obter certo 
rendimento sobre o dinheiro. Além disso, a taxa de desconto também é conhecida 
como taxa de retorno, retorno exigido, custo de capital ou, ainda, como custo de 
oportunidade. Buscando uma defi nição do termo, “a taxa de desconto é a taxa 
usada para calcular o valor presente de fl uxos de caixa futuros” (ROSS et al., 
2013, p. 134). 
b) As equações de valor presente
Para encontrar a equação do valor presente de uma quantia individual, 
retome a equação de valor futuro considerando o mesmo tipo de série de fl uxo de 
caixa, ou seja, retome a equação para quantias individuais, como segue:
Sendo: as notações seguem as mesmas defi nidas anteriormente. Dividindo 
ambos os lados da equação por 1 + i
t( ) , resulta em:
Logo:
Observe que 1 1/ +( )


i
t
 é o fator de desconto para a taxa de juros i e para 
o período t, denotado por FDi,t, que foi apresentado anteriormente na primeira 
seção do capítulo. Considerando o fator de desconto, a fórmula acima pode ser, 
alternativamente, escrita como:
Para tornar o cálculo ilustrativo, considere que você deseja saber o valor 
presente de R$ 5.500,00 que serão recebidos somente daqui a 6 anos. O custo 
de oportunidade do dinheiro, no caso apresentado, a taxa de desconto é de 5% 
ao ano. Substituindo os valores do exemplo na fórmula de valor presente, tem-se:
VF VP it
t
= ×( )1 + 
VF
i
VP i
i
t
t
t
t
1 + 
1 + 
1 + ( )
=
×( )
( )
VP
VF
i
VF
i
t
t t t= ( )
= ×
( )







1 + 
1
1 + 
VP VF FDt t i t= × ,
30
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Assim, o valor presente da quantia individual futura é de R$ 4.104,18, um 
valor bem inferior aos R$ 5.500,00 sugerido. 
De forma semelhante ao caso de uma quantia individual, o método de cálculo 
do valor presente de uma anuidade consiste em encontrar o valor presente de 
uma série de fl uxos de caixa futuros. Lembrando que a principal característica 
de uma anuidade é que ela possui fl uxos de caixa com valores iguais e com uma 
mesma periodicidade. Iniciando pelo caso de uma anuidade ordinária, utilizou-se 
o exemplo de Gitman (2005) para facilitar o entendimento do cálculo, uma vez que 
ele apresentou uma linha de tempo muito interessante para entender a lógica por 
trás do cálculo. Imagine que lhe foi oferecido uma anuidade ordinária formada por 
fl uxos de caixa de R$ 700,00, ao fi nal de cada ano, durante os próximos cinco 
anos. Ainda, assuma que seu custo de oportunidade é de, no mínimo, 8% ao ano. 
Dessa forma, qual o valor máximo que você estaria disposto a pagar por essa 
anuidade ordinária?
Antes de apresentar a equação de cálculo, a Figura 4 apresenta uma linha 
de tempo com os fl uxos de caixa projetados para os próximos cinco períodos, 
conforme foi apresentado por Gitman (2005). As setas abaixo dos fl uxos 
periódicos retornam ao período zero e apresentam os valores presentes de 
cada um dos fl uxos. Primeiramente, observe que, na medida em que o período 
de tempo aumenta, portanto, quanto mais tempo você demorar para receber o 
dinheiro, maior é o tamanho do desconto. Mais especifi camente, enquanto que no 
primeiro período o desconto foi de apenas R$ 51,20, no quinto período ele foi de 
R$ 223,30. 
VP VF
it t t
= ×
( )








1
1+
VP
VP
t
t
= ×
+( )








=
5500 00
6
,
1
1 0,05
 4104,18
31
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Figura 4 – Linha de tempo para valor presente
Fonte: Gitman (2005).
Ademais, note que o valor presente dessa anuidade ordinária é dado pela 
soma dos cinco fl uxos de caixa descontados. Portanto, uma vez que cada um 
dos fl uxos descontados pode ser obtido facilmente através do cálculo individual 
de valor presente de cada fl uxo da série, pode-se encontrar o valor presente de 
uma anuidade utilizando a fórmula de valor presente para quantias individuais já 
apresentadas. 
No entanto, há uma maneira mais rápida de fazer os cálculos. Defi nindo 
VPAOt como sendo o valor presente de uma anuidade ordinária de T anos, PMT 
representando o montante a ser recebido no fi nal de cada período e T é o período 
fi nal da série de recebimentos para t = 1,2,...,T, o valor presente de uma anuidade 
ordinária, descontada uma taxa i % durante T períodos, pode ser encontrado 
através da seguinte fórmula:
Primeiramente, vale destacar que 1/ 1 + 
1
i t
t
T ( )=∑ representa o fator de 
desconto de valor presente apresentado, comumente, em tabelas fi nanceiras para 
cálculos de anuidades ordinárias (FDAOi,t). Considerando o determinado fator, a 
fórmula pode ser alternativamente expressa por:
VPAO PMT
it tt
T
= ×
+( )=∑
1
11
VPAO PMT FDAOt i t= × ,
32
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Obtendo o valor presente para o exemplo em análise, encontra-se:
A resolução da equação encontrou um valor presente da ação ordinária de 
R$ 2.794,82, um valor que difere do anterior apresentado apenas por questões de 
arredondamento, mas que é bem diferente do total proposto inicial de R$ 3.500,00 
parcelado em 5 vezes. Essa diferença decorre do valor do dinheiro no tempo. 
Não obstante, repare que o número 3,9926, que foi obtido durante o cálculo, é 
exatamente o fator de desconto para uma anuidade ordinária (FDAOi,t) com as 
peculiaridades apresentadas no exemplo.
Diferentemente, em uma anuidade vencida, os fl uxos de caixa ocorrem no 
início do período. Dessa forma, para encontrar o valor presente de uma anuidade 
vencida, basta converter o fator de desconto de uma anuidade ordinária (FDAOi,t) 
em uma anuidade vencida (FDAVi,t), conforme destacaram Ross et al. (2003). O 
ajuste no fator de desconto é feito porque cada fl uxo de caixa da anuidade vencida é 
descontado por um período a menos que em uma anuidade ordinária, considerando 
as mesmas condições fi nanceiras. Isso mostra que o valor presente de cada fl uxo 
de caixa será maior para uma anuidade vencida em comparação com a ordinária. 
Matematicamente, isso pode ser feito através da seguinte fórmula: 
Após obtido o novo fator, simplesmente deve-se multiplicá-lo pela prestação 
a ser recebida periodicamente (PMT) e, dessa forma, obter o valor presente de 
uma anuidade vencida, como segue:
Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior e supondo apenas que 
tratar-se-ia de anuidade vencida, e não ordinária, o valor presente dessa anuidade 
passa a ser:
 
=1
VPAO PMT
i
VPAO
t t
t
T
t
= ×
+( )
=
∑ 1
1
7000 00
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
, ×
( )
+
( )
+
( )
+
( )
+
( )







1,08 1,08 1,08 1,08 1,08
 0,9259+ 0,8573 + 0,7938 + 0,7350 + 0,6806VPAOt = ×[700 00, ]]
= ×( ) 7000,00 3,9926
 
VPAOt
 2794,82VPAOt =
FDAV FDAO ii t i t, ,= ×( )1 + 
VPAV PMT FDAVt i t= × ,
33
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Portanto, o valor presente da anuidade vencida é de R$ 3.018,41, um valor 
superior ao valor encontrado para a anuidade ordinária (R$ 2.794,82). 
Um outro tipo de série de fl uxo de caixa comum em fi nanças são as 
perpetuidades. A perpetuidade tem como característica fundamental o fato de 
que os fl uxos de caixa, deste tipo de série, serem infi nitos, ou seja, t = ∞. Para 
calcular o valor presente de uma perpetuidade (VPPt), basta multiplicar o valor da 
prestação periódica infi nita a ser recebida (PMT) pelo fator de valor presente da 
perpetuidade (FPPi,∞), como segue: 
Sendo: o fator de perpetuidade é obtido por meio da seguinte fórmula:
Logo, a equação pode ser reescrita como:
Na prática, determinado cálculo tem aplicações muito interessantes. Como 
exemplo, suponha que você tenha interesse em proporcionar um valor infi nito e 
periódico para seus descendentes após seu falecimento. O valor que você estipulou 
a ser deixado periodicamente de maneira infi nita foi de R$ 120.000,00 anuais. Além 
disso, assuma que a melhor remuneração no mercado pague 8% de juros ao ano. 
Assim, quanto você precisa acumular hoje para comprar uma perpetuidade com 
essas especifi cações fi nanceiras? Utilizando as fórmulas anteriores, obtemos:
 
700,00 4,3120
 VPAV 3018,41
t
VPAV PMT FDAV
VPAV
t i t
t
= ×
= ×
=
,
VPP PMT FPPt i= × ∞,
FPP
ii,∞
=
1
VPP PMT
ii,∞
= ×
1
VPP PMT
it
= ×
1
 120000,00
0,08
120000,00 12,50
 150000
VPP
VPP
VPP
t
t
t
= ×
= ×
=
1
,,00
34
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Portanto, você deve acumular R$ 1.500.000,00 para comprar uma 
perpetuidade infi nita na qual remunera, anualmente, seus herdeiros com R$ 
120.000,00.
Considerando os tipos de cálculos de valor presente já apresentados, você 
já deve ter percebido que falta descrever uma última série de fl uxo de caixa, no 
caso, quando se deseja obter o valor presente de uma série mista. O método de 
cálculo do tipo de série apresentado não possui uma expressão analítica. Então, 
para se calcular o valor presente de uma série mista, deve-se trazer para o valor 
presente cada fl uxo de caixa da série, descontando a uma determinada taxa i %, 
e, após, deve-se somar o valor presente de cada fl uxo descontado, para, assim, 
obter o valor presente total da série mista (VPSMt). O desconto de cada fl uxo 
pode ser feito através da equação de valor presente para quantias individuais, 
que já foi estudada anteriormente, mas que, relembrando, estabelece a seguinte 
fórmula: VP VF it t
t= × ( ) 1 1 + / .
Na Tabela 7 foi apresentado um exemplo de fl uxo de caixa de série mista no 
qual contempla R$ 40.000,00 a serem recebidos nos próximos 8 anos. Além disso, 
a última coluna da tabela calculou o valor presente de cada fl uxo considerando 
uma taxa de desconto de 8% ao ano. 
Tabela 7 – Cálculo do valor presente de uma série mista de fl uxos de caixa
Período Fluxo de caixa N° de anos de desconto Valor presente
1 R$1.000,00 1 R$925,93
2 R$3.500,00 2 R$3.000,69
3 R$800,00 3 R$635,07
4 R$5.000,00 4 R$3.675,15
5 R$6.100,00 5 R$4.151,56
6 R$1.600,00 6 R$1.008,27
7 R$7.000,00 7 R$4.084,43
8 R$15.000,00 8 R$8.104,03
Valor presente da série mista: R$25.585,13
Fonte: O autor.
Como havia sido salientado, cada fl uxo de caixa foi trazido a valor presente 
e, somando todos eles, foi obtido o valor presente da série mista, que é dado por 
R$ 25.585,13. Obviamente, em termos relativos, conclui-se que quanto maior for 
o prazo de recebimento, menor o valor presente. 
35
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
VARIAÇÕES ESPECIAIS DE VALOR DO 
DINHEIRO NO TEMPO 
Muitas vezes, na rotina diária de um administrador fi nanceiro, ele pode se 
deparar com situações diferentes das apresentadas anteriormente. Vale lembrar 
que, até agora, os cálculos de valor do dinheiro no tempo envolviam apenas obter 
o valor presente ou futuro de uma série de fl uxos de caixa. No entanto, há casos 
em que é necessário encontrar a taxa que determinado investimento está pagando 
ao invés de obter o valor presente do investimento e, em outros, o objetivo é 
encontrar quantos períodos serão necessários para que um valor presente atinja 
um certo valor futuro, dada uma taxa de juros. Assim, para apresentar os cálculos 
de determinados casos especiais, foi oferecida a subseção a seguir.
a) Aplicações especiais
Outras abordagens relacionadas ao valor do dinheiro no tempo são muito 
úteis para um administrador fi nanceiro. Nessa subseção, serão abordadas 
quatro questões diferentes das que até agora foram apresentadas a você. 
Resumidamente, essas questões envolvem encontrar: 
i. depósitos necessários para acumular uma quantia futura; 
ii. amortização de empréstimos;
iii. taxa de juros ou crescimento;
iv. número desconhecido de períodos.
 
Iniciando pela primeira questão, observe, primeiramente, que o foco do 
problema é descobrir quanto deve-se depositar periodicamente para acumular uma 
quantia futura, ou seja, trata-se de uma anuidade na qual a incógnita do problema 
passar a ser PMT, e não mais o valor futuro da anuidade. Assim, a solução do 
problema envolve reescrever a equação de valor futuro, de modo a isolar a variável 
a ser encontrada (PMT). Retomando para a equação de valor futuro para uma ação 
ordinária, tem-se:
Ou, alternativamente:
VFAO PMT it
t
t
T
= × ( )∑ 1 + -1
=1
VFAO PMT FCAOt i t= × ,
36
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
A partir da fórmula acima, podemos fazer algumas manipulações algébricas, 
objetivando isolar PMT. No caso apresentado, a fórmula é dada por:
Para ilustrar como isso pode ser utilizado na prática, considere o seguinte 
exemplo. Imagine que nasça seu fi lho e você deseja depositar uma certa quantia 
todos os anos para que, quando ele complete 18 anos, ele possa ingressar em 
uma universidade. Assuma que o custo total estimado médio de um curso em uma 
universidade é de R$ 400.000,00 e que a melhor taxa de juros de uma aplicação 
fi nanceira ofertada no mercado é de 8% ao ano. Portanto, é necessário encontrar 
o quanto de valor anual deve ser depositado para que daqui a 18 anos você tenha 
atingido os R$ 400.000,00 almejados. 
O primeiro passo é encontrar o fator de composição de uma anuidade 
ordinária (FCAOi,t) através de sua fórmula: FCAO ii t
t
t
T
,
= ( ) −∑ 1 + =1
1 . Contudo, 
quando há muitos períodos, ou ainda, quando não é possível ter acesso a 
uma tabela fi nanceira, pode-se utilizar uma outra expressão para encontrar o 
fator de composição. Essa outra fórmula proporciona o mesmo resultado da já 
apresentada, mas com o benefício de oferecer um cálculo mais rápido de ser 
executado. Essa fórmula alternativa para o fator é dada por:
Substituindo os valores descritos no exemplo, tem-se:
Após ter obtido o FCAO
8 18,
= 37,4502 , basta inserir os valores na equação 
de valor futuro descrita anteriormente na qual isolou a prestação (PMT), ou seja:
PMT VFAO
FCAO
t
i t
=
,
FCAO
i
ii t
t
,
= × ( ) − 
1
1 + 1
FCAO
FCAO
8 18
18
8 18
1
1 0 08
,
,
,= × +( ) − 
= ×
0,08
1
 12,50 2,9960(( )
= 37,4502FCAO
8 18,
 
400000,00
37,4502
 10.680,85
PMT VFAO
FCAO
PMT
PMT
t
i t
=
=
=
,
37
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Portanto, você deve depositar R$ 10.680,85 todos os anos para obter R$ 
400.000,00 daqui a 18 anos.
Seguindo o mesmo raciocínio, porém invertendo a lógica de cálculo, a 
amortização de empréstimo é o termo utilizado para descrever situações em que 
uma determinada pessoa/empresa paga uma prestação/anuidade decorrente da 
aquisição de um empréstimo hoje, ou seja, de um valor presente adquirido. Dessa 
forma, quando a última prestação for paga, o empréstimo estaráquitado.
 Conforme destacou Samanez (2002), existem vários sistemas de 
amortização de empréstimos, mas os principais são o Sistema de Amortização 
Francês (Sistema Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de 
Amortização Americano (SAA) e Sistema de Amortização Crescente (Sacre). No 
livro estudado, o foco será dado em dois sistemas: o Sistema Price e o SAC. 
O Sistema Price caracteriza-se por prestações periódicas de igual valor. 
Assim, uma vez que as prestações possuem um mesmo valor, o montante de 
juros vai diminuindo e a amortização do principal crescendo na medida em que 
as prestações forem pagas. É um tipo de sistema muito utilizado no Brasil em 
fi nanciamento de veículos, por exemplo. 
Por outro lado, no Sistema SAC o principal é devolvido sempre em iguais 
parcelas e o que varia, em cada prestação, é o valor dos juros que, por sua 
vez, são maiores nas parcelas iniciais justamente devido ao tamanho do saldo 
devedor. Dessa forma, o Sistema SAC estabelece prestações que vão diminuindo 
de valor a cada parcela paga, sendo que, de constante, tem-se a amortização do 
saldo devedor. É um sistema frequentemente utilizado no país para fi nanciamento 
imobiliário.
Para entender como determinados sistemas funcionam, é útil considerar um 
exemplo e, a partir dele, construir tabelas de amortização, tal como foi realizado 
nas tabelas 8 e 9. Como exemplo, considere que você adquiriu um empréstimo 
pessoal no valor de R$ 25.000,00 que será pago em quatro prestações mensais 
e que a taxa de juros da operação foi de 3% ao mês. Entretanto, antes de 
demonstrar detalhadamente como foram construídas essas tabelas, é necessário 
defi nir algumas notações. Assuma que:
– PMTt é a prestação periódica paga no período t.
– At é a amortização feita no período t.
– Jt é o valor do juros referente ao período t.
– SDt e SDt-1 representam o saldo devedor nos períodos t e t-1, 
respectivamente. 
38
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Estabelecidas as novas notações, parte-se agora para analisar como 
ocorreria determinado empréstimo caso ele fosse adquirido através do Sistema 
Price. A Tabela 8 demonstra os valores relacionados à amortização, aos juros, à 
prestação e ao saldo devedor em cada período, considerando que o empréstimo 
foi feito através do Sistema Price. Inicialmente, observe que o valor da prestação 
é o mesmo em todas as parcelas, como já havia sido alertado. Ainda, perceba que 
o valor dos juros é decrescente e que a amortização é crescente na medida em 
que as parcelas forem quitadas. 
Tabela 8 – Tabela Price
Mês 
(t)
Saldo Devedor 
(SDt=SDt-1–At)
Amortização 
(At=PMTt–Jt)
Juros
(Jt=i x SDt–1)
Prestação
(PMTt)
0 R$25.000,00 - - -
1 R$19.024,32 R$5.975,68 R$750,00 R$6.725,68
2 R$12.869,38 R$6.154,95 R$570,73 R$6.725,68
3 R$6.529,78 R$6.339,59 R$386,08 R$6.725,68
4 R$0,00 R$6.529,78 R$195,89 R$6.725,68
R$25.000,00 R$1.902,70 R$26.902,70
Fonte: O autor.
Embora essa tabela por si só seja autoexplicativa, a seguir será apresentado 
o modus operandi utilizado para construir a tabela 8. Os valores contidos nas 
linhas dessa tabela devem ser encontrados em ordem crescente de período 
(t), logo a primeira linha a ser preenchida será para .t = 1 Após, parte-se para a 
segunda linha e, assim, deve-se proceder até chegar no último período da série 
de fl uxo de caixa que, no caso apresentado, é de T = 4. Dito isso, um modus 
operandi para o Sistema Price é apresentado a seguir. Através dele será possível 
obter os valores de cada linha a partir de quatro etapas de cálculos, como segue:
• Primeiramente, deve-se calcular a prestação (PMT) do t-ésimo período 
através da seguinte forma:
As notações seguem as mesmas já defi nidas, ou seja, FDAOi,t é o fator de 
desconto de valor presente de anuidades ordinárias e VPAOt=0 é o valor presente 
da anuidade ordinária quando t = 0, logo VPAOt=0 é o valor do empréstimo. Ao 
contrário da fórmula apresentada na seção anterior, para calcular FDAOi,t pode-se 
também obter o fator de desconto através da seguinte fórmula:
 = 0PMT VFAO
FCAO
t
i t
=
,
39
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Utilizando os valores do exemplo, resulta em:
Portanto, o valor da prestação referente ao empréstimo é dado por:
Lembrando que no Sistema Price todas as prestações são iguais, portanto 
será necessário fazer o cálculo apenas uma vez.
• O segundo passo é calcular os juros (Jt) do t-ésimo período, como segue:
Sendo SDt-1 é o saldo devedor do período anterior e implica para o primeiro 
período, SDt-1 = SD0 = VPAOt. Assim, os juros no primeiro período são de:
• Na terceira etapa deve-se calcular a amortização (At) do t-ésimo período, 
conforme segue:
Aplicando:
 
FDAO
i i ti t,
= × −
+( )






1
1
1
1
 
0,03
1
1
1
33,3333 0,11151
FDAO
FDAO
3 4 4
3 4
1
0 03
,
,
,
= × −
+( )








= × 2288
 3,717096
( )
=FDAO
3 4,
 
25000,00
3,717096
 6725,68
PMT VPAO
FDAO
PMT
PMT
t
i t
=
=
=
=0
,
J i SDt t= × −1
Jt = ×0,03 25000,00 = 750,00
A PMT Jt t t= −
A
1
= −
=
6725,68 750,00
 A 5975,68
1
40
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
• Finalmente, a última etapa calcula o valor do saldo devedor (SDt) do 
t-ésimo período da seguinte forma:
Assim: 
Observe que, executando o modus operandi, encontramos exatamente os 
valores da prestação, da amortização, dos juros e do saldo devedor do primeiro 
mês do empréstimo. Para os próximos períodos, os valores podem ser obtidos 
refazendo as etapas propostas pelo modus operandi, mas agora, considerando 
o período seguinte, t = 2, sucessivamente até o último período de liquidação do 
empréstimo.
No entanto, como fi cariam os juros caso o sistema de amortização escolhido 
para determinado empréstimo fosse o Sistema SAC? Para auxiliar o entendimento 
do sistema e responder essa pergunta, foi construída a Tabela 9. 
SD SD At t t= −−1
SD
R
1
19 024 32
= −
=
25000,00 5975,68
 SD
1
$ . ,
Tabela 9 – Tabela Sac
Mês 
(t)
Saldo Devedor 
(SDt=SDt–1–At)
Amortização
(At)
Juros
(Jt = i x SDt–1) 
Prestação
(PMTt=At+Jt)
0 R$25.000,00 - - -
1 R$18.750,00 R$6.250,00 R$750,00 R$7.000,00
2 R$12.500,00 R$6.250,00 R$562,50 R$6.812,50
3 R$6.250,00 R$6.250,00 R$375,00 R$6.625,00
4 R$0,00 R$6.250,00 R$187,50 R$6.437,50
R$1.875,00 R$26.875,00
Fonte: O autor.
Perceba que, de forma diferente do Sistema Price, no Sistema SAC o valor 
da amortização é constante em todos períodos e as prestações vão se reduzindo 
na medida em que o tempo aumenta, pois os juros incidentes sobre o saldo 
devedor fi cam menores a cada parcela quitada. O modus operandi do sistema 
envolve as seguintes etapas: 
• Primeiro, obtenha o valor da amortização (At) do t-ésimo período, 
conforme segue:
41
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Assim, a amortização em cada período será de:
Como trata-se do Sistema SAC, o valor da amortização será o mesmo para 
todo o período, logo, A = 6250,00.
• O próximo passo é encontrar o saldo devedor (SDt) do t-ésimo período 
da seguinte maneira:
Substituindo os valores do exercício na fórmula acima e considerando t = 1 , 
obtemos:
• Na terceira etapa, por sua vez, deve-se encontrar o valor dos juros (Jt) do 
t-ésimo período, como segue:
Dessa forma, para o primeiro período, o valor dos juros serão de:
A VPAO
Tt
t= =0
A
A
t
t
=
=
25000,00
4
 6250,00
SD VPAO t
Tt t
= × −




=0 1
SD
SD
SD
1
1
1
1
1
4
25000 00 0 75
= × −





×( )
=
25000,00
 
 187
, ,
550,00
J i VPAO
t
Tt t
= × −
−( )




=0 1
1
J
J
1
1
1
1 1
4
1 0
= × −
−( )





= × −[ ]
0,03 25000,00
 0,03 25000,00
 750,00J
1
=
42
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
• Finalmente, a última etapa tem como objetivo encontrar o valor 
da prestação (PMT) do t-ésimo. Para isso, deve-se resolver a 
seguinte fórmula:
Para o primeiro período encontra-se:
Novamente, para encontrar todos os demais valores da tabela,deve-se 
reiniciar o modus operandi para o período seguinte. Faça isso até que todos 
os valores forem obtidos para o último período. Ainda, vale destacar que, muito 
embora no exemplo o Sistema SAC seria mais vantajoso pois o valor gasto com 
juros e o valor total pago para quitar o empréstimo seriam menores, não é possível 
criar uma regra geral que afi rma qual dos sistemas é mais vantajoso, uma vez 
que isso depende das particularidades de cada operação fi nanceira e da própria 
situação fi nanceira do tomador do empréstimo.
 A terceira aplicação envolve encontrar a taxa de juros ou taxa de crescimento 
de determinada operação fi nanceira. Serão demonstrados dois exemplos de 
diferentes situações que possam envolver o cálculo da taxa de juros (crescimento). 
Primeiro, considere que você tenha aplicado e mantido uma única quantia em 
dinheiro na poupança durante o período de quatro meses. Os fl uxos de caixa que 
representam o saldo acumulado dessa aplicação fi nanceira, no fi nal de cada mês, 
podem ser observados na Tabela 10. 
PMT A Jt t t= +
PMT
PMT
1
1
= +
=
6250,00 750,00
 7000,00
Tabela 10 – Saldo acumulado na poupança
Períodos Saldo Aplicado
0 R$ 1.000,00
1 R$ 1.006,10
2 R$ 1.014,30
3 R$ 1.024,60
4 R$ 1.035,00
Fonte: O autor.
43
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Para resolver o problema, pode-se utilizar a fórmula do valor futuro de uma 
quantia individual, porém, o que se deseja descobrir agora é a taxa de juros (i) e 
não mais o valor futuro (VFt) em determinado período t. No exemplo, perceba que 
o valor futuro é o último período dá série, enquanto o valor presente é o montante 
aplicado no período zero. Dessa forma: 
Como pode ser observado acima, o cálculo de determinado tipo de análise é 
mais complexo que os demonstrados anteriormente. No caso, resolve-se a equação 
elevando ambos os lados da expressão por (1/4) e realizando algumas manipulações 
algébricas. Isso é feito com o objetivo de isolar i, a variável de interesse. 
Ou seja, a taxa de juros mensal da poupança para o período foi de 0,86%.
O segundo exemplo envolve descobrir a taxa de juros de uma anuidade. 
Assuma que você tomou emprestado R$ 2.000,00 e que você quitará o empréstimo 
através de pagamentos anuais, no fi nal de cada período, de R$ 514,14 durante os 
próximos 5 anos. Qual a taxa de juros envolvida nessa operação?
Para demonstrar o cálculo detalhado de toda a questão, seriam necessárias 
técnicas mais avançadas de matemática, no caso a interpolação linear. No 
entanto, isso vai além dos objetivos do livro estudado. Como alternativa, pode-
se responder a essa questão facilmente utilizando uma tabela fi nanceira para 
anuidades, uma calculadora HP 12C ou ainda uma planilha no computador. Será 
mantida a ferramenta que vem sendo usada até agora: a tabela fi nanceira. 
Para responder à pergunta do exemplo, lembre-se das seguintes fórmulas de 
valor presente de uma anuidade ordinária, como segue:
 
1035,00 1000,00
VF VP i
i
t
t= × +( )
= × +( )
1
1
4
1035,00 1000,00
 5,6720 5,6234
1
4
1
4
1
1
4
1
4= × +( ) 
= × +(
i
i))
= +
− =
 
5,6720
5,6234
 1,0086
1
1
i
i
 0,0086i =
VPAO PMT FDAO
FDAO VPAO
PMT
t i t
i t
t
= ×
=
,
,
 
1035 00 1000 00 1
1
4
1
4
4
1
4
, ,= × +( ) i
44
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Inserindo os valores fornecidos pelo problema:
Calculado o fator de desconto (FDAOi,t), a resposta será obtida pela análise 
de uma tabela fi nanceira. Isso pode ser feito da seguinte forma: primeiramente, 
localize a linha que se refere à operação fi nanceira em questão, no caso, trata-
se da linha número 5, pois há cinco períodos no exemplo. Focando apenas 
nessa linha, comece a procurar em cada coluna dessa linha o valor do fator de 
desconto encontrado, ou seja, o número 3,890. Após ter encontrado na tabela 
o valor mais próximo ao fator de desconto calculado, considerando apenas a 
linha correspondente ao número de período da operação fi nanceira, observe, 
no cabeçalho dessa coluna, os juros que correspondem ao fator e número de 
períodos. No exemplo dado, a taxa de juros é de aproximadamente 9%.
Por fi m, uma última aplicação amplamente utilizada na administração 
fi nanceira será de encontrar o número de períodos necessário para atingir 
determinado valor. Para uma quantia individual, imagine que você queira saber 
em quanto tempo R$ 10.000,00 dobraria de valor considerando uma taxa de juros 
de 10% ao ano? Retomando a fórmula de valor futuro de uma quantia individual e 
inserindo os valores fornecidos pelo problema, obtemos:
Tomando o logaritmo natural de ambos lados da expressão, o que permitirá 
obter apenas uma boa aproximação do número de períodos, encontra-se:
FDAO
FDAO
i t
i t
,
,
=
=
2000,00
514,14
 3,890
 
20000,00 = 10000,00
20000,
VF VP it
t
t
= × +( )
× +( )
1
1 0 1,
000 = 10000,00
 
× +( )
= ( )
1 0 1
2 1 1
,
,
t
t
 In 2 In 1,1
0,693147181 0,095310180
 
≅ ×
≅ ×
t
t
 
0,693147181
0,095310180
 7,2725
t
t
≅
≅
45
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Portanto, o número aproximado de períodos necessários é de 7,27 anos.
Para uma anuidade, será necessário, novamente, utilizar uma tabela 
fi nanceira para responder às questões que envolvem um número desconhecido 
de períodos. Considere que você adquiriu um empréstimo no valor de R$ 
2.500,00. A taxa de juros utilizada na operação foi de 11% ao ano e as prestações 
a serem pagas, ao fi nal de cada ano, são de R$ 480,00. Quantos períodos (t) 
serão necessários para quitar o empréstimo? 
Inserindo os valores do problema na fórmula a seguir e encontrando o fator 
de desconto referente ao valor da anuidade ordinária do exemplo, encontra-se:
Retorne para a tabela fi nanceira e localize o número de períodos associado 
ao fator de anuidade mais próximo a 5,2083, dada uma taxa de juros de 11%. 
Após a consulta, encontramos o número de períodos necessários para quitar o 
empréstimo integralmente, sendo de aproximadamente 8 anos.
 
2500,00
480,00
 5,2083
FDAO VPAO
PMT
FDAO
FDAO
t
t
t
t
11
11
11
,
,
,
=
=
=
TAXAS DE JUROS
O mercado fi nanceiro utiliza a taxa de juros de diferentes formas. 
Frequentemente, as operações de empréstimos e as aplicações fi nanceiras 
anunciam taxas de juros com períodos de capitalização diferentes, sendo 
necessário deixá-las em uma mesma base para que seja possível compará-
las. Outro aspecto importante é que as taxas juros devem ser proporcionais 
à ocorrência do pagamento, ou seja, quando a taxa de juros for anual e as 
prestações forem mensais, você deverá ajustar os cálculos para levar em conta 
essa diferença na periodicidade. Justamente para entender como lidar com essas 
situações, a seguir são apresentados alguns conceitos importantes sobre o tema.
a) Nominal e efetiva
De acordo com Gitman (2005), a taxa de juros nominal é a taxa anual que foi 
acordada na operação fi nanceira, enquanto que a taxa de juros efetiva é aquela 
taxa que realmente foi recebida/paga na operação. Alternativamente, a taxa de 
juros anunciada apresenta uma capitalização (composição) diferente do que de 
46
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
fato irá ocorrer na operação fi nanceira, então haverá uma diferença entre as taxas, 
dando origem aos conceitos de taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva. 
No caso de uma composição de juros diferente da anual, podemos ajustar as 
equações apresentadas anteriormente com o objetivo de lidar com determinados 
casos especiais. Assuma que m seja o número de vezes por ano em que ocorre a 
composição dos juros. Assim, a fórmula genérica para composição de juros mais 
frequente que anual pode ser redefi nida como:
 
As notações seguem as mesmas defi nidas anteriormente. Perceba que, se 
m = 1, então a fórmula retoma o formato da equação tradicional de composição 
anual dejuros já estudada.
Para ilustrar como a frequência de composição de juros impacta no valor 
futuro, considere o seguinte exemplo. Suponha que você tenha R$ 1.000,00 para 
depositar hoje, deseja deixar aplicada essa quantia nos próximos dois anos e 
que a taxa de juros seja de 10% ao ano. Qual seria o valor futuro dessa quantia 
individual considerando que os juros fossem compostos anualmente, de forma 
trimestral e mensal?
Iniciando pelo caso já estudado, na composição anual tem-se:
Para composição trimestral, logo m = 4:
Para composição mensal (m = 12):
VF VP i
mt
m t
= × +





×
1
VF
VF
VF
t
t
t
= × +





= ×
=
×
1000 1
1
1000
1 2
0,10
 1,21
 1.2100,00
VF
VF
VF
t
t
t
= × +





= ×
=
×
1000 1
4
1000
4 2
0,10
 1,2184
 1.2218,40
VF
VF
VF
t
t
t
= × +





= ×
=
×
1000 1
12
1000
12 2
0,10
 1,2204
 11.220,40
47
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Portanto, o valor futuro de R$ 1.000,00 aplicado por dois anos considerando 
uma composição de juros anual, trimestral e mensal é de, respectivamente, R$ 
1.210,00, R$ 1.218,40 e R$ 1.220,40. Um corolário do exemplo apresentado é 
que, quanto mais vezes os juros forem compostos durante o ano, maior será o 
valor futuro de uma determinada quantia. Ainda, vale destacar que, se os juros 
fossem compostos semestralmente, semanalmente ou diariamente, então m 
assumiria o valor de 2, 52 e 365, respectivamente.
Como fi cou evidente no exemplo anterior, a composição dos juros afeta o 
valor futuro da operação fi nanceira e isso, por sua vez, afeta a taxa de juros, 
dando origem à diferença entre taxa de juros nominal e efetiva. No primeiro caso, 
quando a taxa de juros e a composição eram anuais, a taxa de juros nominal é 
igual à efetiva, entretanto, nos demais casos, haverá uma diferença entre elas. 
Para calcular a taxa de juros efetiva (if) a partir de uma taxa de juros nominal, 
pode-se utilizar a seguinte fórmula:
Utilizando o mesmo exemplo anterior, ou seja, com uma taxa de juros de 
10% composta anual, trimestral e mensalmente, pode-se obter a taxa de juros 
efetiva correspondente para cada uma dessas composições, como segue:
Portanto, a taxa de juros efetiva, para uma taxa de juros nominal de 10% ao 
ano, considerando uma composição anual, trimestral e mensal é, respectivamente, 
10%, 10,38% e 10,47%.
Uma outra defi nição importante é da taxa de juros equivalente. Duas taxas 
de juros capitalizadas de maneiras diferentes são ditas equivalentes quando 
aplicadas a um mesmo montante e, para um igual período de tempo, produzem 
um mesmo valor fi nal. O mais usual é encontrar a taxa equivalente da relação 
entre juros mensal e anual. Genericamente, para encontrar a taxa de juros mensal 
equivalente à taxa de juros anual, pode-se utilizar a seguinte fórmula:
if i
m
m
= +




 −1 1
if
if
if
= +




 − =
= +




 − =
= +
1
1
1
1
4
1
1
1
4
0,1
0,1000
0,1
0,1038
0,1
112
1
12





 − = 0,1047
1 1
12+( ) = +( )i ia m
48
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Que, generalizando essa relação para taxas de juros anual (ia), semestral (is), 
trimestral (it), mensal (im) e diária (id), pode ser reescrita como:
Como exemplo, encontre a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros de 
3% ao mês. Inserindo os dados na fórmula anterior, obtemos:
Portanto, a taxa de juros anual de 42,58% é equivalente a 3% ao mês. 
Uma outra relação equivalente bastante utilizada é a de juros mensais e diários. 
Partindo da mesma lógica anterior, a fórmula para essa relação pode ser escrita 
diretamente como:
Logo, se a taxa de juros for de 6% ao mês, o equivalente diário será de:
A taxa de juros diária de 0,19% equivale à taxa de juros 3% ao mês. Um 
último destaque sobre essas taxas é que no mercado fi nanceiro a denominada 
taxa de juros over é aquela que utiliza capitalização diária de juros considerando 
apenas os dias úteis.
1 1 1 1 1
2 4 12 360+( ) = +( ) = +( ) = +( ) = +( )i i i i ia s t m d
1 1
1
12+( ) = +( )
= −
=
i
i
i
a
a
a
0,03
 1,4258
 0,4258
1 1
30+( ) = +( )i im d
1 0 06 1
1 06 1
1 0019 1
30
1
30
30
30
+( ) = +( )
( ) = +( )
− =
,
,
,
i
i
i
i
d
d
d
d
 
 == 0,0019
APLICAÇÕES PARA HP 12C
O uso de calculadoras fi nanceiras, como poderá ser observado a seguir, 
facilita os cálculos mais utilizados pelos administradores fi nanceiros em suas 
rotinas diárias. Considerando os mesmos exemplos anteriores, será apresentado 
como calcular o valor futuro e o valor presente de quantias individuais, anuidades 
e séries mistas utilizando uma calculadora HP 12C. 
49
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Antes disso, um olhar atento à estrutura da calculadora permite observar que a 
maioria das teclas da HP 12C têm mais de uma função. Isso implica que uma mesma 
tecla poderá realizar até três funções. A função principal da calculadora é escrita em 
cor branca nas próprias teclas, enquanto a segunda função é apresentada na cor 
amarela, localizada acima das teclas e a terceira função é oferecida na cor azul, 
na parte inferior da própria tecla. Para utilizar as funções amarela ou azul de cada 
tecla, acione as teclas [ f ] e [ g ], respectivamente, antes de pressionar a tecla 
correspondente à função de interesse. Caso tenha clicado na tecla [ f ] ou [ g ] sem 
querer, é possível eliminar sua atuação, bastando pressionar a tecla [ ENTER ] . 
Para se familiarizar com a calculadora HP 12C, a Tabela 11 
apresenta um resumo de suas operações básicas.
Tabela 11 – Operações básicas HP 12C
Operações Básicas: Procedimento / Teclas
Ligar / desligar a calculadora: Pressione a tecla [ ON ].
Notação decimal: a HP 12C possui 
duas formas de separar a parte 
fracionária da parte inteira de um número 
através do ponto ou da vírgula.
Desligue a máquina. Mantenha pressionada 
a tecla [ . ] Ligue a calculadora [ ON ]. 
Após ela ter ligado, solte a tecla [ . ].
Limpar o visor: Pressione a tecla [ CLx ].
Trocar um número de sinal: Pressione a tecla [ CHS ]. 
Confi gurar a quantidade de 
casas decimais no visor:
Mantenha pressionada a tecla [ f ] 
e, em seguida, informe o número 
de casas decimais desejado. 
Limpar a memória da calculadora: Pressione as teclas [ f ] e, após [CLx]. 
Fonte: O autor.
Na utilização da HP 12C, para armazenar um número em um 
dos registradores fi nanceiros que serão utilizados nas aplicações a 
seguir, introduza-o pressionando a tecla desejada e, a seguir, aperte 
a tecla fi nanceira correspondente. As teclas [ i ], [ n ], [ PV ], [ FV ] 
e [ PMT ] armazenam, respectivamente, os valores da taxa de juros 
por período, o número de períodos (prestações), o valor presente, o 
valor futuro e o valor dos pagamentos/recebimentos. Para visualizar 
o conteúdo de um registrador fi nanceiro, pressione a tecla [ RCL ], 
seguida da tecla fi nanceira de interesse. Toda função fi nanceira 
utiliza os números armazenados nos registradores fi nanceiros da 
calculadora, por isso, antes de iniciar um novo cálculo, é aconselhável 
adotar a prática de apagar todos os registradores, pressionando, 
sequencialmente, as teclas [ f ] e [ REG ].
50
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
a) Quantias individuais
Iniciando com o exemplo de cálculo de valor futuro, considere que você 
economizou R$ 1.000,00 e aplicou em uma poupança que rende 10% ao ano. 
Qual quantia total você teria após três anos?
Utilizando a calculadora HP 12C, primeiramente digite o valor R$ - 1.000,00 
e aperte a tecla [ PV ]. A seguir, digite 3 e aperte a tecla [ n ]. Após, deve-se digitar 
10 e apertar a tecla [ i ]. Por fi m, clique na tecla [ FV ] e aparecerá o valor futuro 
da quantia individual que, no presente exemplo, é de R$ 1.331,00. A Tabela 12 
esquematiza o procedimento, como segue:
Tabela 12 – Valor futuro de uma quantia individual
Dados Função
-1000 [ PV ]
3 [ n ]
10 [ i ]
[ FV ]
Solução: 1331,00
Fonte: O autor.
Retomandoo exemplo de valor presente, considere que você deseja saber 
o valor presente de R$ 5.500,00 que serão recebidos daqui a 6 anos. O custo de 
oportunidade do dinheiro é de 5% ao ano. O cálculo do valor presente do exemplo 
é sintetizado na tabela 13. 
Tabela 13 – Valor presente de uma quantia individual
Dados Função
-5500 [ FV ]
6 [ n ]
5 [ i ]
[ PV ]
Solução: 4104,18
Fonte: O autor.
51
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Observe que o cálculo é muito semelhante ao anterior, diferenciando-se 
apenas que agora a incógnita do problema é o valor presente [ PV ] e, por isso, ela 
é a última tecla a ser pressionada. Ainda, dessa vez a tecla de valor presente não 
deve informar nenhum valor previamente. Aplicando o procedimento da Tabela 
13, encontra-se o valor presente da quantia individual futura em questão que é de 
R$ 4.104,18. A seguir, serão retomados os exemplos de valor futuro e presente 
de anuidades.
b) Anuidades
Mais uma vez, o esquema de cálculo do valor presente e futuro de anuidades 
se diferencia apenas pela ordem em que os valores são informados à calculadora, 
de modo que sempre a última tecla fi nanceira pressionada não deve informar 
valores, pois ela será a variável a ser descoberta no problema. Começando 
pelo valor futuro, o exemplo de Gitman (2005) supõe que você receberá uma 
indenização com depósitos anuais de R$ 1.000,00, no fi nal de cada ano, nos 
próximos 5 anos. Para valorizar o dinheiro, você o colocará em uma aplicação que 
rende 7% de juros ao ano. Deseja-se saber qual montante total você terá no fi nal 
do 5º ano. A Tabela 14 apresenta um esquema de como encontrar o valor futuro 
dessa anuidade ordinária através da calculadora HP 12C. 
Tabela 14 – Valor futuro de uma anuidade ordinária
Dados Função
-1000 [ PMT ]
5 [ n ]
7 [ i ]
[ FV ]
Solução: 5750,74
Fonte: O autor.
Resolvendo o problema de acordo com o esquema ilustrado na Tabela 14, 
encontra-se um valor futuro para a anuidade ordinária em questão de R$ 5.750,74.
Entretanto, caso essa anuidade fosse vencida e não ordinária, o esquema 
para calcular o valor futuro seria o mesmo apresentado na Tabela 14. A diferença 
é que, antes de iniciar os cálculos, seria necessário colocar a calculadora no modo 
BEGIN. Isso pode ser feito pressionando, primeiramente, a tecla [ g ] e, após, 
a tecla [ BEG ]. Estabelecendo o modo BEGIN na calculadora e refazendo os 
52
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
mesmos passos apresentados na tabela 14, você deverá encontrar o valor futuro 
dessa anuidade vencida de R$ 6.153,29. Como já salientado, toda anuidade 
vencida terá um valor superior a uma anuidade ordinária, independentemente se 
estiver utilizando cálculos de valor futuro ou presente.
Antes de apresentar o esquema de cálculo de valor presente para uma 
anuidade ordinária, é aconselhável fi car sempre atento ao modo que a calculadora 
está defi nida. Em virtude da maioria das operações fi nanceiras estabelecer 
fl uxos de caixa no fi nal dos períodos, como é o caso das anuidades ordinárias, 
é recomendável sempre retornar a calculadora fi nanceira para o modo END. 
Determinado modo é facilmente defi nido apertando, sequencialmente, as teclas 
[ g ] e [ END ]. 
O exemplo de valor presente de uma anuidade ordinária é o sugerido por 
Gitman (2005). Nele lhe foi oferecido uma anuidade formada por fl uxos de caixa 
de R$ 700,00 ao fi nal de cada ano, nos próximos cinco anos. Ainda, o custo de 
oportunidade é de no mínimo 8% ao ano. Dessa forma, deseja-se saber qual o 
valor máximo que você estaria disposto a pagar por essa anuidade ordinária. 
Como de costume, a tabela 15 também esquematiza como descobrir o valor 
presente dessa anuidade ordinária com a HP 12C:
Tabela 15 – Valor presente de uma anuidade ordinária
Dados Função
-700 [ PMT ]
5 [ n ]
8 [ i ]
[ PV ]
Solução: 2794,90
Fonte: O autor.
Executando as operações da Tabela 15, encontra-se que a solução do 
problema é de R$ 2.794,90. Novamente, caso os fl uxos de caixa do exemplo fossem 
estabelecidos no início de cada período, portanto, tratar-se-ia de uma anuidade 
vencida, bastando redefi nir a calculadora para o modo BEGIN e repetir os passos 
descritos na tabela 15. Caso você faça isso, encontrará um valor de R$ 3.018,49.
c) Séries mistas 
Considerando apenas as programações já previamente defi nidas na HP 12C, 
o cálculo de valor futuro/presente de uma série mista, no modelo de calculadora 
53
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Fonte: O autor.
apresentado, infelizmente deve ser feito encontrando o valor futuro/presente de 
cada fl uxo individual que compõe a série e, após, devem-se somar as soluções 
encontradas para cada fl uxo. A Tabela 6, que se encontra na Seção 2 do capítulo, 
apresentou uma série mista de fl uxos de caixas que foi utilizada como exemplo 
para cálculo de valor futuro. No referido exemplo, recorde-se que foi considerada 
uma taxa de juros de 7% ao ano e que a série era constituída de 8 fl uxos anuais. 
Na prática, deve-se repetir o esquema de cálculo de cada fl uxo existente na série 
como se fossem quantias individuais e, após, somam-se os valores encontrados 
para encontrar o valor futuro da série mista. A Tabela 16 sintetiza essas operações 
para o exemplo supracitado. 
Tabela 16 – Valor futuro de uma série mista
Dados Função Dados Função
-11000 [ PV ] -12000 [ PV ]
7 [ n ] 3 [ n ]
7 [ i ] 7 [ i ]
[ FV ] [ FV ]
Solução 1: 17.663,60 Solução 5: 14.700,52
-8000 [ PV ] -11000 [ PV ]
6 [ n ] 2 [ n ]
7 [ i ] 7 [ i ]
[ FV ] [ FV ]
Solução 2: 12.005,84 Solução 6: 12.593,90
-17000 [ PV ] -20000 [ PV ]
5 [ n ] 1 [ n ]
7 [ i ] 7 [ i ]
[ FV ] [ FV ]
Solução 3: 23.843,38 Solução 7: 21.400,00
-6000 [ PV ] -15000 [ PV ]
4 [ n ] 0 [ n ]
7 [ i ] 7 [ i ]
[ FV ] [ FV ]
Solução 4: 7.864,78 Solução 8: 15.000,00
54
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Somando as oito soluções do exemplo, encontra-se o valor futuro da série 
mista que é de R$ 125.072,02.
Para o valor presente de uma série mista, retome o exemplo de série mista 
que foi apresentado na Tabela 7, localizado na Seção 3 do livro. Relembrando, o 
exemplo contempla R$ 40.000,00 a serem recebidos nos próximos oito anos. A 
taxa de desconto é de 8% ao ano. A Tabela 17 apresenta a valor presente de cada 
um dos fl uxos e somados obtém-se o valor presente da série mista.
Tabela 17 – Valor presente de uma série mista
Dados Função Dados Função
-1000 [ FV ] -6100 [ FV ]
1 [ n ] 5 [ n ]
8 [ i ] 8 [ i ]
[ PV ] [ PV ]
Solução 1: 925,93 Solução 5: 4151,56
-3500 [ FV ] -1600 [ FV ]
2 [ n ] 6 [ n ]
8 [ i ] 8 [ i ]
[ PV ] [ PV ]
Solução 2: 3.000,69 Solução 6: 1.008,27
-800 [ FV ] -7000 [ FV ]
3 [ n ] 7 [ n ]
8 [ i ] 8 [ i ]
[ PV ] [ PV ]
Solução 3: 635,07 Solução 7: 4.084,43
-5000 [ FV ] -15000 [ FV ]
4 [ n ] 8 [ n ]
8 [ i ] 8 [ i ]
[ PV ] [ PV ]
Solução 4: 3.675,15 Solução 8: 8.104,03
Fonte: O autor.
Dessa forma, o valor presente da série mista é de R$25.585,13.
55
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Capítulo 1 
Atividade de Estudos:
1) Considerando as estratégias competitivas genéricas, leia 
cuidadosamente cada uma das afi rmações a seguir e assinale V para 
as que considerar verdadeiras e F para as que considerar falsas:
 
a) ( ) O valor do dinheiro no tempo surge do fato que mais vale ter um real 
hoje do que tê-lo no futuro. Alguns dos motivos para que exista essa 
preferência revelada são os seguintes: juros, infl ação e risco.
b) ( ) Os três principais tipos de séries de fl uxo de caixa são: quantia 
individual, anuidade e série mista. Através dos cálculos, é possível 
encontrar o valor presente ou futuro de todas essas séries.
c) ( ) O valor futuro é o montante total que uma determinada quantia de 
dinheiro terá no futuro caso essa quantia seja aplicada em algum 
ativo fi nanceiro.
d) ( ) A técnica do valor presente emprega o processo de composição para 
determinar o valor presente de cada fl uxo de caixa no fi nal do prazodo investimento e, em seguida, adiciona os valores para determinar 
o valor presente do investimento.
e) ( ) Quanto maior for a taxa de juros, maior será o valor presente 
de uma quantia. Da mesma forma, quanto maior for o período de 
acumulação, maior será o valor presente do montante aplicado. 
f) ( ) A diferença entre os regimes de juros simples e composto é que 
o primeiro calcula os juros de uma operação fi nanceira sempre 
considerando o mesmo montante inicial, enquanto que o segundo 
acumula os juros ao montante inicial em cada capitalização. 
g) ( ) O valor presente de uma quantia a ser recebida no futuro é calculado 
pela soma monetária atual equivalente à quantia futura dada, 
levando em consideração a taxa de retorno que poderia ser obtida 
com a aplicação do dinheiro disponível hoje.
h) ( ) A técnica de desconto é um processo igual ao método de 
composição, pois o desconto busca encontrar o valor futuro de uma 
quantia presente considerando que existe a oportunidade de obter 
certo rendimento sobre determinado dinheiro.
i) ( ) O Sistema SAC caracteriza-se por prestações periódicas de igual 
valor o e Sistema Price estabelece prestações que vão diminuindo 
de valor a cada parcela paga, sendo que, de constante, tem-se a 
amortização do saldo devedor.
j) ( ) A taxa de juros nominal é a taxa anual que foi acordada na operação 
fi nanceira, enquanto que a taxa de juros efetiva é aquela taxa que 
realmente foi recebida/paga na operação.
56
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A rotina diária do ser humano é repleta de decisões fi nanceiras. Perceba 
que, ao quitar uma dívida, tomar um novo empréstimo ou ao adquirir um bem, 
as pessoas enfrentam um dilema: escolher uma entre as diversas formas de 
pagamento existentes no mercado. São apenas alguns exemplos de decisões 
que usualmente as pessoas necessitam lidar durante suas vidas, sendo que, cada 
uma dessas decisões, e todas as outras possíveis, infl uenciam a saúde fi nanceira 
do indivíduo. Assim, o estudo da matemática e da administração fi nanceira auxilia 
a decidir qual a melhor opção fi nanceira a ser tomada em determinado momento 
e, por isso, o capítulo apresentou o conceito de valor do dinheiro no tempo, mais 
especifi camente, ofereceu noções de juros simples e juros compostos, além de 
demonstrar os cálculos de valor presente e valor futuro que são o ponto nevrálgico 
da administração fi nanceira. 
No entanto, não foi levado em consideração, ainda, que as opções de 
investimento apresentam diferentes riscos e isso, por sua vez, têm impacto direto 
sobre o retorno do ativo. Portanto, o risco também deve ser avaliado na tomada 
de decisão. Assim, o capítulo seguinte demonstra os conceitos e os cálculos de 
risco e retorno, além de demonstrar o modelo de formação de preços de ativos 
(CAPM), as linhas do mercado de títulos e algumas aplicações.
REFERÊNCIAS
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração fi nanceira. 10. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
ROSS, S. A. et al. Fundamentos de administração fi nanceira. 9. ed. Porto 
Alegre: AMGH Editora Ltda., 2013. 
SAMANEZ, Carlos P. Matemática fi nanceira: aplicações à análise de 
investimento. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2001.
CAPÍTULO 2
RISCO E RETORNO
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Entender a relação entre risco e retorno.
 Dominar os procedimentos estatísticos necessários para aferir e medir o risco 
de um ativo ou carteira de ativos.
 Calcular o risco e o retorno.
 Compreender o modelo de formação de preços de ativos e sua relação com a 
linha de mercado de títulos.
58
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
59
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
CONTEXTUALIZAÇÃO
No capítulo anterior foram apresentadas técnicas e conceitos relacionados ao 
valor do dinheiro no tempo. Aquelas análises, as quais utilizaram o cálculo do valor 
presente e futuro de uma quantia, desconsideram um aspecto muito importante 
que existe no mercado fi nanceiro: o risco do investimento. Em contrapartida, este 
capítulo versará sobre a relação entre risco e retorno de um ativo, constatando 
que deverá existir uma recompensa por correr risco, a qual é chamada de prêmio 
pelo risco. De modo geral, a relação entre risco e retorno é positiva e direta, ou 
seja, quanto maior for o risco, maior deverá ser o retorno potencial exigido. Assim, 
os novos conceitos tornam-se fundamentais para a escolha de qual a melhor 
opção de investimento e devem ser estudados.
Antecipando brevemente o que será detalhado ao decorrer do capítulo, o 
risco envolve tanto os ativos individuais quanto as carteiras com vários ativos. 
Ainda, existem dois tipos de riscos, o sistemático e não sistemático. O risco 
sistemático afeta todos os ativos da economia de alguma forma, por outro lado, 
o não sistemático afeta, no máximo, um número pequeno de ativos. Para mitigar 
o risco não sistemático, pode-se utilizar o princípio da diversifi cação através da 
composição de uma carteira de ativos diferentes. 
Este capítulo foi estruturado da seguinte forma: a primeira seção traz uma 
introdução ao risco e ao retorno, a segunda apresenta as ferramentas de cálculo 
necessárias para conseguir mensurar o risco e o retorno de um ativo individual, a 
seguinte calcula o risco de uma carteira de ativos, a quarta descreve o modelo de 
formação de preços de ativos (CAPM), a quinta analisa as linhas de mercado de 
títulos (SML) e a última exibe algumas aplicações.
INTRODUÇÃO AO RISCO E AO RETORNO
De acordo com Gitman (2005), o risco e o retorno esperado de uma empresa 
impactam profundamente sobre o preço de sua ação e os dois fatores em conjunto 
são os principais determinantes do valor de uma empresa no mercado. O gestor 
fi nanceiro deverá avaliar minuciosamente todas decisões visando assegurar que o 
retorno esperado faça jus ao nível de risco que foi assumido, pois decisões corretas 
provocam um aumento no preço da ação da empresa, benefi ciando os acionistas. 
Portanto, é fundamental que o profi ssional saiba mensurar, avaliar e comparar as 
relações entre risco e retorno para que suas decisões colaborem para a criação de 
valor na empresa. Para começar a entender como determinadas relações ocorrem, 
as próximas subseções descrevem os conceitos de risco e retorno para que, na 
próxima seção, seja analisado como mensurar determinados conceitos.
60
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
a) Risco
Em fi nanças, o risco é a probabilidade de ocorrer uma perda fi nanceira, 
conforme destacou Gitman (2005). De forma alternativa, o autor afi rma que o risco 
é uma incerteza originada pela variabilidade dos retornos de um ativo fi nanceiro. 
Muitos títulos públicos relacionados à dívida do governo praticamente não 
apresentam riscos, pois remuneram uma quantia fi xa garantida, diferentemente 
do mercado de ações, em que há uma grande variabilidade no preço da ação, 
além da incerteza relacionada ao montante de dividendos a serem pagos pelas 
empresas aos seus acionistas. Uma vez que os governos podem emitir dinheiro 
ou aumentarem impostos para pagarem suas dívidas, as Letras do Tesouro, títulos 
emitidos pelo governo com vencimento de curto e médio prazo, praticamente não 
apresentam riscos de inadimplência e acabam sendo usados como referência no 
mercado fi nanceiro e nas comparações com as demais opções de investimento.
De acordo com Ross et al. (2013), o prêmio pelo risco é uma quantia 
excedente dada pela diferença exigida pelo investidor entre a magnitude do 
retorno que um ativo com risco proporciona e a quantia de retorno que um ativo 
sem risco pagará. O conceito fi cará mais claro no decorrer desta seção, logo, não 
se preocupe com ele por enquanto.
 
A fi gura a seguir apresenta um breve resumo das principais fontes do risco 
para empresas e seus acionistas. Enquanto que o risco operacional e o fi nanceiro 
são específi cos à empresa, os riscos associadosà taxa de juros, à liquidez e ao 
mercado são riscos exclusivos dos acionistas. Além dos demais riscos descritos 
na fi gura, há o risco moral. O risco moral surge quando a ação do Agente não 
é observável pelo Principal ou, ainda, quando o Agente possui uma informação 
privilegiada após o contrato ter sido fi rmado. 
61
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 5 – Fontes de risco
Fonte: Gitman (2005).
Em economia, a assimetria de informação é um tema de pesquisa que premiou 
economistas com o Nobel da área. No problema de risco moral, os participantes 
têm a mesma informação quando o contrato (transação econômica) é assinado, 
porém o problema de informação assimétrica surge somente após o contrato ter 
sido fi rmado, mais especifi camente quando o Principal não consegue observar e/
ou monitorar perfeitamente as ações/esforço do Agente. Um exemplo prático de 
como acontece na relação entre empregador e empregado é útil para entender 
o conceito de risco moral. Podemos citar um caso do empregador (Principal) 
contratar um empregado (Agente), e ambos assinaram um contrato de trabalho no 
qual especifi ca um salário (equivalente à sua produtividade) e as funções a serem 
62
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
exercidas pelo empregado. Ocorre que o empregador não consegue mensurar 
diretamente o esforço, a conduta e a ética do empregado enquanto ele trabalha. 
Assim, o empregador teria difi culdades de avaliar se a remuneração, previamente 
acordada, de fato, corresponde à produtividade exercida pelo empregado no 
trabalho. Em outras palavras, uma vez que a remuneração foi previamente 
estabelecida e garantida ao empregado, o empregado pode não disponibilizar 
todo seu potencial de trabalho para a empresa e, mesmo assim, o empregador 
não terá como visualizar com certeza.
• Preferências com relação ao risco
No dia a dia e em diversos contextos, o ser humano enfrenta situações que 
envolvem riscos. Entretanto, há algumas pessoas que não estão dispostas a 
arriscar nada e outras, ao contrário, fazem questão de ter um comportamento/
escolha que envolva risco. Da mesma maneira, os administradores fi nanceiros 
apresentam diferentes comportamentos quando se trata de assumir riscos. 
A fi gura a seguir apresenta uma forma de entender como os riscos funcionam 
no mercado de ações. O eixo das abscissas mede o risco, enquanto o eixo das 
ordenadas mensura o retorno exigido. 
Figura 6 – Preferências com relação ao risco
Fonte: Gitman (2005).
63
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Como pode ser observado na fi gura anterior, o comportamento com relação 
ao risco pode assumir três formas: avesso, indiferente e propenso. O administrador 
avesso ao risco exige que o retorno aumente quando o risco se eleva. Ocorre 
porque ele tem medo da perda fi nanceira e, assim, exige uma contrapartida, no 
caso, um retorno mais alto que compense o risco mais elevado que ele assumiu. 
Observe que, no gráfi co, na medida em que o risco aumenta (de x1 para x2), o 
retorno esperado para o administrador avesso ao risco também aumenta.
De forma contrária, o administrador propenso ao risco exige um retorno 
menor quando o risco aumenta. Uma vez que ele gosta de correr riscos, ele está 
disposto a abrir mão de parte do retorno para assumir maiores riscos. Por fi m, 
como o próprio nome já diz, o administrador indiferente ao risco não exige maiores 
ou menores retornos quando o nível de risco varia para mais ou menos.
Obviamente, grande parte dos administradores fi nanceiros são avessos 
ao risco, exigindo sempre um retorno maior para enfrentarem maiores riscos. 
Uma vez que, na grande maioria das vezes o administrador fi nanceiro lida com 
recursos de terceiros, ou seja, da empresa em que ele é responsável ou de um 
cliente, pessoa física, em uma consultoria de investimentos em que ele atua, os 
administradores tendem a ter uma postura conservadora. Como é o caso mais 
comum e factível, o restante deste livro assume que o administrador fi nanceiro é 
avesso ao risco. 
b) Retorno
Durante a defi nição do conceito de risco, constatou-se que o risco é medido 
em função da variabilidade do retorno de um ativo. É necessário defi nir o retorno e 
apresentar como podemos calculá-lo. Para Ross et al. (2013), o retorno é o ganho 
ou a perda proporcionada por um ativo em um determinado período de tempo. No 
que diz respeito à forma de calculá-lo, devemos saber, antes de qualquer outra 
coisa, que o retorno possui dois componentes: o componente referente à renda 
de retorno do ativo (dividendo) e a variação ocorrida no preço do ativo (mudança 
no preço do ativo). De modo geral, o cálculo da taxa de retorno de um ativo (kt) 
qualquer, na data t, envolve resolver a seguinte expressão:
k C P P
Pt
t t t
t
=
+ − −
−
1
1
64
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo:
kt a taxa observada, esperada ou exigida de retorno durante o período t.
Ct o fl uxo de caixa recebido do investimento no ativo no período de t - 1 a t.
Pt o preço (valor) do ativo no período t.
Pt-1 o preço (valor) do ativo no período t - 1.
Observe que, quando t for defi nido em anos, kt representa a taxa anual de 
retorno. No entanto, a periodicidade não precisa ser necessariamente anual, 
podendo ser estabelecida em dias, meses ou décadas, por exemplo. Para facilitar 
a ilustração, vamos considerar dois exemplos. Suponha que você tenha comprado 
um imóvel no valor de R$ 100.000,00. Imediatamente após a compra, você 
colocou o imóvel para alugar durante um ano e recebeu, em forma de aluguel, R$ 
6.000,00 no fi m do período. Ainda, no fi m deste ano, o imóvel estava avaliado em 
R$ 106.000,00. Qual é a taxa de retorno do investimento?
Inserindo os dados na equação, encontra-se:
Portanto, a taxa de retorno do investimento imobiliário é de 12% ao ano. 
Suponha, desta vez, que você adquiriu na bolsa de valores 1.000 ações da 
Empresa M&M cuja cotação, no início do ano, era de R$ 40,00 por ação. Após 
um ano, a empresa pagou R$ 5,30 de dividendo por ação e, assim, você recebeu 
um total de R$ 5.300,00 de dividendos. Ainda, o preço da ação subiu na bolsa de 
valores, após um ano, para o valor de R$ 48,00 a unidade. Devemos nos perguntar: 
qual é a taxa de retorno do investimento? Primeiramente, podemos analisar a 
compra de ações da Empresa M&M como está apresentada na fi gura a seguir:
 
6000,00 106000,00 10
k C P P
P
k
t
t t t
t
t
=
+ −
=
+ −
−
−
1
1
00000,00
100000,00
 
12000,00
100000,00
 
kt =
 0,12kt =
65
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 7 – Retorno total
Fonte: O autor.
Note que o valor bruto total do retorno é de R$ 53.300,00, o que inclui a 
valorização do preço das ações e os dividendos pagos por ela. Para calcular a 
taxa de retorno, basta inserir os valores na fórmula da seguinte maneira: 
O resultado sugere que a taxa de retorno das ações da Empresa M&M, 
após um ano, foi de 33%. Nos exemplos fi cou evidente que o mercado de 
ações proporcionou uma maior taxa de retorno em comparação ao investimento 
imobiliário. Embora tenha sido apenas um exercício fi ctício para facilitar o 
entendimento do cálculo de retorno, o fato é que constantemente o administrador 
fi nanceiro se depara com diversas opções de investimento, e as opções, por sua 
vez, oferecem diferentes taxas de retorno e diferentes riscos. 
 
5.300,00 48000,00 40
k C P P
P
k
t
t t t
t
t
=
+ −
=
+ −
−
−
1
1
0000,00
40000,00
 
13300,00
100000,00
 
kt =
 0,33kt =
66
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Deixando de lado o mundo fi ctício, de modo a ter uma ideia real de como os 
investimentos apresentam diferentes rendimentos ao longo da história recente, 
será utilizada a excelente análise feita por Ross et al. (2002), a qual demonstra 
a evolução das taxas históricas de retorno, ano após ano, para quatro opções 
distintas de investimento muito utilizadas nomercado fi nanceiro americano. As 
opções analisadas pelos autores são as seguintes:
i. Ações de grandes empresas: trata-se de uma carteira de ações 
ordinárias formada pelas 500 maiores empresas americanas (medidas 
pelo valor total de mercado das ações em circulação). 
ii. Ações de pequenas empresas: carteira constituída por ações de 
pequenas empresas que correspondem apenas a 20% do valor do 
mercado das ações em circulação na Bolsa de Valores de Nova York. 
iii. Títulos de longo prazo do Tesouro: composto por uma carteira de 
títulos da dívida emitidos pelo governo dos Estados Unidos nos quais o 
prazo de vencimento é de 20 anos.
iv. Letras do Tesouro: carteira relacionada às Letras do Tesouro dos 
Estados Unidos com prazo de três meses.
O gráfi co a seguir apresenta a evolução histórica, para o período de 1925 a 
2000, das quatro opções de investimento supracitadas, além da infl ação americana 
medida pelo índice de preços ao consumidor (IPC). Obter informações sobre a 
infl ação é importante porque, a partir delas, é possível calcular taxas de retorno 
reais. Ademais, as séries de tempo fi nanceiras, geralmente, são apresentadas 
dimensionando o eixo vertical de tal forma que distâncias iguais medem iguais 
variações percentuais em valor. Não obstante, o eixo vertical registra o índice de 
preço das opções de investimento, ano base 1925, e o eixo horizontal os anos. 
67
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Gráfi co 3 – Investimento de $ 1,00 em diferentes tipos de carteiras: 1925-2000
Nota: Modifi cações na escala foram feitas para apresentar as cinco séries juntas.
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Perceba que foi indicado, ao fi nal de cada série de tempo, o valor que a 
carteira atingiu no ano 2000, demonstrando, facilmente, o tamanho do crescimento 
vivenciado em cada uma das opções de investimento ao longo do período de 75 
anos (1925-2000). De imediato, fi ca evidente que a melhor opção de investimento, 
para o período analisado, foi a carteira de ações de pequenas empresas, pois 
cada dólar investido em 1925 tornou-se US$ 6.402,23 em 2000. A segunda melhor 
opção foi o portfólio constituído com ações de grandes empresas que apresentou 
um desempenho ligeiramente menor que o das pequenas empresas. A cada um 
dólar investido nas ações das grandes empresas em 1925 valeria US$ 2.586,52 
no ano 2000. 
68
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Por outro lado, cada dólar gasto em 1925, comprando títulos de longo prazo 
do governo americano, passaria a valer US$ 48,86 em 2000, um desempenho 
muito inferior se comparado às opções relacionadas com o mercado de ações. 
Com um desempenho apenas levemente superior à infl ação do período, cada 
US$ 1,00 investido em letras do tesouro americano em 1925 passaria a valer US$ 
16,56 em 2000. Perceba que o aumento no nível de preços foi tal que, no ano de 
2000, apenas US$ 9,71 eram necessários para substituir o US$ 1,00 de 1925. 
Dado o histórico dos retornos sobre as opções de investimento em análise, 
a questão que surge é: por que alguém deixaria de comprar ações de pequenas 
empresas, visto que são elas as que apresentaram os maiores retornos no 
período considerado? Um indicativo da resposta pode ser obtido com uma análise 
mais atenta ao próprio gráfi co anterior. 
Embora as carteiras compostas por Letras do Tesouro e as formadas por 
Títulos de longo prazo do governo americano cresceram mais lentamente que 
as carteiras constituídas por ações de empresas que atuam na bolsa de valores, 
percebe-se que o crescimento das Letras do Tesouro e dos Títulos do governo foi 
mais constante no período analisado. De forma contrária, as ações das pequenas 
empresas, aquelas que apresentaram o maior retorno, cresceram de forma 
mais instável. Note que as ações das pequenas empresas foram as que tiveram 
menor retorno durante os primeiros dez anos. Ainda, a valorização das ações das 
pequenas empresas vivenciou um retorno menor que os Títulos do governo de 
longo prazo por quase 15 anos, conforme destacaram Ross et al. (2002). 
Uma vez que a variabilidade dos retornos das ações é maior que o retorno das 
opções relacionadas aos Títulos do governo, conservadores, portanto, os investidores 
mais avessos ao risco podem optar por um retorno menor no qual ofereça um menor 
risco. Isso explica porque há compra de títulos do governo mesmo quando eles 
oferecem um retorno menor que as demais alternativas de investimento. 
Analisando de forma criteriosa a situação, podemos analisar a variabilidade 
de diferentes investimentos construindo gráfi cos, como serão apresentados nos 
Gráfi cos 2 e 3 que foram retirados de Ross et al. (2002). Estruturalmente, o 
gráfi co estabelece que o eixo vertical aponta as taxas de retorno (em percentual) 
e, no eixo horizontal, mensura os anos. Assim, podemos construir barras 
69
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Gráfi co 4 – Taxa de retorno das Letras do Tesouro Americano
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Uma análise comparativa dos Gráfi cos 4 e 5 tornará evidente a diferença 
de escala do eixo vertical de cada uma delas, sugerindo que a variabilidade na 
taxa de retorno das duas opções de investimento é bem desigual. As Ações de 
Pequenas Empresas apresentaram, em alguns anos, retornos negativos, por 
outro lado, há uma taxa de retorno que quase chegou a 150% no ano de 1933. 
Entretanto, apesar de ser muito interessante a análise possível feita através dos 
dois gráfi cos, é difícil de comparar as duas opções somente através dos gráfi cos. 
Para tornar a análise mais clara, é útil calcular a taxa média de retorno de cada 
uma das opções de investimento ou, ainda, tabular os dados.
verticais, desenhadas a partir do eixo horizontal, nas quais sua altura informa a 
taxa de retorno para o ano em questão. Por exemplo, ao observar o Gráfi co 4, 
perceberemos que as Letras do Tesouro não apresentaram nenhuma taxa de 
retorno negativa em todo período, sendo que a taxa de retorno máxima foi de 
15,21%, em 1981, e mínima de 0%, em 1939 e 1949. 
70
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Gráfi co 5 – Taxas de retorno das ações de Pequenas Empresas
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
A Tabela 18 demonstrará a taxa média de retorno e o prêmio de risco de cada 
uma das opções de investimento analisadas. A taxa de retorno média (k) pode 
ser encontrada simplesmente tomando a média aritmética das taxas do período 
em análise, ou seja, basta somar o retorno ocorrido em cada período t, sendo t = 
1,2,...,T, e, após, dividir pelo número total de períodos (T), que, neste caso, é 75. 
Mais formalmente, a fórmula para a taxa de retorno médio de um período é:
Executando para a série história das taxas de retorno das opções de 
investimento analisadas, encontram-se as taxas médias de retorno. Novamente, fi ca 
claro que as ações apresentaram uma taxa de retorno muito superior aos Títulos do 
Governo e às Letras do Tesouro no período entre 1925-2000. Vale destacar, ainda, 
que as médias calculadas são nominais, pois não levam em conta a infl ação do 
período. Considerando a perda de poder de compra do dinheiro, a taxa de retorno 
real das Letras do Tesouro, dos Títulos de longo prazo do Governo, da carteira de 
ações de grandes empresas e do portfólio de ações de pequenas empresas é de 
aproximadamente 0,7%, 2,5%, 9,8% e 14,1% ao ano, respectivamente. Neste caso, 
a taxa de retorno real dos investimentos foi facilmente obtida diminuindo, da taxa 
nominal média de retorno, a infl ação média do período.
k
k
T
t
T
t= =1Σ
71
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Tabela 18 – Taxas anuais médias e prêmios de risco: 1926-2000
Investimentos / Infl ação Taxa média de Retorno Prêmio pelo risco
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 13,4%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 9,1%
Títulos de longo prazo do Governo 5,7% 1,8%
Letras do Tesouro 3,9% 0,0%
Infl ação 3,2% -
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
O prêmio pelo risco, também apresentado na Tabela 18, pode ser calculadoatravés da diferença entre a taxa de retorno nominal de uma determinada 
opção de investimento e a taxa nominal de retorno das Letras do Tesouro. As 
comparações são realizadas sempre estabelecendo como referência as Letras 
do Tesouro porque elas são consideradas uma opção de investimento sem risco, 
dado que o governo pode imprimir mais dinheiro, ou ainda, aumentar os impostos 
para liquidá-las sempre que precisar. É exatamente determinada a diferença 
entre a taxa de retorno de um investimento com risco e a taxa de retorno de um 
ativo sem risco que é chamada de prêmio pelo risco. Analisando os resultados, 
podemos afi rmar que as ações, tanto das pequenas como das grandes empresas, 
apresentaram um prêmio pelo risco muito superior aos Títulos de longo prazo do 
Governo no período 1925-2000.
Por fi m, esta seção deixa três grandes aprendizados: deve-se fi car atento ao 
histórico da taxa média de retorno e ao desvio-padrão das opções de investimento, 
além do prêmio pelo risco. Determinados conceitos podem ser fundamentais na 
tomada de decisão de qual investimento, dada a preferência com relação ao risco 
de cada investidor. 
MENSURAÇÃO DO RISCO E DO RETORNO
Na seção anterior foi apresentado o histórico das taxas de retorno médio de 
algumas opções de investimento. Entretanto, quando é necessário fazer previsões 
sobre o retorno de determinados investimentos, os cálculos se alteram porque 
qualquer previsão envolve incerteza, de modo que os retornos esperados de cada 
ativo possuam probabilidades diferentes de ocorrerem e, assim, eles apresentam 
diferentes níveis de risco ao administrador fi nanceiro.
Ainda, em diversos momentos do capítulo anterior foi comentada sobre a 
variabilidade da taxa de retorno histórica sem que fosse feito qualquer tipo de 
apresentação mais formal sobre o tema ou como se pode mensurá-la. No mercado 
fi nanceiro, determinada variabilidade é comumente chamada de volatilidade do 
72
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
ativo, sendo ela um ponto fundamental a ser estudado na administração fi nanceira. 
Assim, este capítulo apresentará, de uma maneira formal, que a variabilidade de 
um ativo pode ser obtida por meio de cálculos estatísticos, mais especifi camente, 
através da variância/ desvio-padrão e do coefi ciente de variação da taxa de 
retorno de um ativo. 
a) Valor esperado, desvio-padrão e correlação 
Quando é necessário fazer previsões acerca dos retornos futuros de um 
investimento, deve-se, primeiramente, ter em mente que os ativos apresentam 
riscos e devem ser bem avaliados antes da tomada de decisão. Afi rmar que existe 
risco em um ativo signifi ca dizer que ele, no futuro, pode assumir várias taxas de 
retornos e que as taxas estão associadas a probabilidades de elas efetivamente 
ocorrerem. O cálculo para obter a taxa média de retorno, anteriormente 
apresentado, deve ser modifi cado, e mais especifi camente, é necessário utilizar 
um conceito estatístico conhecido como esperança matemática ou também 
chamado de valor esperado. 
Algumas defi nições importantes devem ser feitas, como segue:
• Uma variável aleatória é uma função que defi ne um valor 
numérico real a cada resultado de um experimento aleatório, 
sendo que elas podem ser classifi cadas, fundamentalmente, em 
discretas ou contínuas.
• Um experimento é um processo que gera resultados defi nidos. 
Ainda, um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras 
vezes e, considerando as mesmas condições, podem apresentar 
resultados diferentes. Cada um dos resultados possíveis é 
chamado de ponto amostral.
• O espaço amostral é um conjunto constituído por todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório.
• Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
73
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
O valor esperado, ou a média de uma variável aleatória, é uma medida de 
posição central da variável. Neste capítulo, a variável aleatória analisada é a taxa 
de retorno de um ativo. Considerando que todos resultados e probabilidades são 
conhecidas, sendo determinadas probabilidades desiguais, o valor esperado da 
taxa de retorno de um ativo pode ser calculado da seguinte forma:
 
Sendo:
E k  o valor esperado da taxa de retorno do ativo.
kj a taxa de retorno esperada para a ocorrência j.
Prj a probabilidade de ocorrência j.
Perceba que o cálculo do valor esperado é muito simples, basta, 
primeiramente, ponderar cada retorno esperado de acordo com a sua probabilidade 
de ocorrência e, após, somar os retornos ponderados. Salientamos que, se as 
probabilidades forem desconhecidas e estiver disponível uma amostra histórica 
de taxas de retorno, então obter o valor esperado ( E k  ) é igual a calcular a 
média aritmética ( k ), ou seja, o cálculo torna-se simplesmente k k Tj
n
j= =1Σ / . 
Ainda, o subscrito j pode se referir tanto a um cenário específi co (neste caso, um 
determinado estado da economia) como a uma observação da amostra (ou seja, 
se for utilizada uma série de tempo, então j é a observação ocorrida no período j), 
dependendo do contexto da análise. Destaca-se, ainda, que j = 1,2,...,n, sendo n o 
total de cenários/observações da amostra.
Com relação à variabilidade do retorno de um ativo e, consequentemente, 
ao risco que ele tem, podemos utilizar o desvio-padrão da taxa de retorno como 
uma variável proxy para o risco. O desvio-padrão é uma medida de variabilidade 
baseada nos desvios dos valores observados com relação a sua média, lembrando 
que o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. 
De modo geral, quanto maior for o desvio-padrão de um ativo, maior será o 
seu risco. Ainda, sem fazer qualquer tipo de inferência com relação ao futuro, o 
desvio-padrão (DP) da taxa de retorno pode ser calculado da seguinte forma:
E k k Prj
j
n
j  = ×
=
∑
1
DP
k k
n
j
n
j
=
−( )
−
=Σ 1
2
1
74
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
As notações seguem as mesmas anteriores, exceto o novo termo introduzido 
DP, que representa o desvio-padrão da taxa de retorno. 
Uma aplicação possível para a fórmula mais recentemente apresentada é 
para calcular o desvio-padrão histórico da taxa de retorno das diferentes opções 
de investimento analisadas na anteriormente. Entretanto, quando o cálculo 
envolver o desvio-padrão previsto e as probabilidades forem conhecidas, será 
necessário modifi car ligeiramente a fórmula anterior, inserindo as probabilidades 
de ocorrência de cada retorno. A expressão de cálculo para o desvio-padrão do 
retorno esperado (σ k ) pode ser descrita da seguinte forma:
Concluindo, as notações seguem as mesmas anteriores. 
Embora a principal forma de mensurar o risco de um ativo seja através do seu 
desvio-padrão, muitas vezes é útil utilizar coefi ciente de variação, especialmente 
para comparar dois diferentes ativos. O coefi ciente de variação (CV) é uma medida 
de variabilidade relativa na qual aponta o quão grande é o desvio-padrão com 
relação a sua média. A fórmula para calcular o coefi ciente de variação esperado 
é dada por:
Apenas como análise descritiva dos dados históricos, pode ser expressa como:
Apresentadas as estatísticas que fornecem uma boa medida de risco do ativo, 
a seguir é abordado o conceito de distribuição de probabilidades. Podemos afi rmar, 
desde já, que as distribuições de probabilidades são uma forma alternativa muito 
útil para avaliar o risco de um ativo, principalmente porque nem sempre é possível 
conhecer todas as probabilidades associadas aos diversos retornos possíveis. 
σ k j
j
n
jk E k Pr= −  ( ) ×
=
∑
2
1
 
CV DP
k
=
CV
E k
k=
 
σ
75
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
b) Distribuição de probabilidades
As distribuições de probabilidades proporcionam uma boa estimativa do risco 
de um determinado ativo. Quando se fala em probabilidade, uma das primeiras 
coisas que vêm à cabeça é a probabilidade de algo ocorrer. Sendo um pouco mais 
formal, a probabilidade é um número que representa a chance que um determinado 
evento possuide ocorrer. Usualmente, são atribuídos números reais no intervalo 
entre 0 e 1 para a probabilidade, sendo que os resultados mais próximos de 1 são 
aqueles que têm mais chances de ocorrer e, os mais próximos de 0, o contrário. 
Ainda, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual. 
Uma vez que a distribuição de probabilidade descreve a maneira como as 
probabilidades estão distribuídas sobre os valores de uma variável aleatória, 
conhecer e utilizar determinadas distribuições para analisar o risco de um ativo é 
um desafi o interessante e importante para o administrador fi nanceiro, porque ao 
analisar um ativo fi nanceiro e sua distribuição de probabilidades, será possível 
associar as diversas taxas de retornos esperadas às probabilidades delas 
efetivamente se concretizarem. 
No entanto, para estudar as distribuições de probabilidades é necessário 
apresentar, primeiro, alguns conceitos estatísticos que fornecerão as bases para 
o entendimento do assunto. Muitas vezes, a análise gráfi ca de uma série histórica 
de retornos não permite, ou ainda, não é sufi ciente para extrair informações 
relevantes sobre o investimento que está sendo avaliado. Nesses casos, é mais 
fácil sintetizar os dados históricos das taxas de retorno através da sua distribuição 
de frequências, seja ela absoluta, relativa ou cumulativa.
A distribuição de frequência é uma síntese tabular dos 
dados que demonstra o número/fração em cada um dos diferentes 
intervalos não sobrepostos. Quando números forem tabulados, ela 
se chama distribuição de frequência absoluta e, se a tabulação for 
pela fração, então denomina-se distribuição de frequência relativa.
Os intervalos, também conhecidos como números de classes 
da distribuição, servem para agrupar os dados, sendo recomendado 
utilizar entre 5 e 20 classes em uma distribuição de frequência. 
Com relação à amplitude do intervalo, pode ser determinada por 
76
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
uma divisão, na qual o numerador é estabelecido pelo maior valor 
observado nos dados, subtraído do menor valor observado na amostra, 
e o denominador é o número de classes defi nido. Por fi m, devemos ter 
o cuidado ao estabelecer os limites dos intervalos para que cada valor 
observado nos dados pertença a somente uma classe. 
Ao construir uma distribuição de frequência absoluta dos dados históricos das 
taxas de retorno das ações de grandes empresas americanas, obteremos uma 
tabela, tal como a Tabela 19. Ela será arquitetada, primeiramente, estabelecendo 
17 intervalos com amplitude de 10% de taxa de retorno cada, e, após, contado o 
número de anos em que se observou retornos anuais em cada um dos intervalos 
defi nidos. Por exemplo, no intervalo abrangendo retornos de 11% a 20% foram 
encontrados 13 anos nos quais a taxa de retorno anual da carteira de ações de 
grandes empresas encontra-se dentro do intervalo. Complementando, 13 anos 
dos 75 retornos anuais disponíveis na amostra estão no intervalo, de modo que, 
considerando uma distribuição de frequência relativa, é possível afi rmar que 17,33% 
dos anos analisados forneceram retornos entre 11% a 20% aos seus acionistas.
Tabela 19 – Distribuição de frequência dos retornos 
das ações de grandes empresas
Intervalo do Retorno Frequência Absoluta Frequência Relativa
-89 a -80 0 0,00
-79 a -70 0 0,00
-69 a -60 0 0,00
-59 a -50 0 0,00
-49 a -40 1 0,01
-39 a -30 1 0,01
-29 a -20 2 0,03
-19 a -10 4 0,05
-9 a 0 13 0,17
1 a 10 11 0,15
11 a 20 13 0,17
21 a 30 12 0,16
31 a 40 13 0,17
77
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
41 a 50 3 0,04
51 a 60 2 0,03
61 a 70 0 0,00
71 a 80 0 0,00
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Entretanto, uma apresentação gráfi ca mais útil pode ser feita com base nas 
informações contidas na tabela anterior, de modo a complementar a análise dos 
dados históricos e facilitar a interpretação. O gráfi co supracitado é denominado 
histograma. O histograma fornece informações relevantes a respeito do formato 
que a distribuição de probabilidades de um determinado conjunto de dados 
assume, além de sinalizar como os dados observados estão dispersos. Lembrando 
que para um ativo, a dispersão de seus retornos é sinônimo de volatilidade. 
Assim, quanto mais dispersos estiverem os dados, maiores são os riscos que o 
investidor assume. O histograma das taxas de retorno da carteira composta por 
ações de grandes empresas, para o período de 1926-2000, é apresentado no 
gráfi co a seguir.
O histograma é uma síntese de dados, previamente tabulados 
e divididos em classes uniformes (não uniforme), feita através de um 
gráfi co de barras no qual estabelece, no eixo vertical, a frequência 
absoluta ou relativa de cada classe e, no eixo horizontal, os diferentes 
intervalos de classe da variável de interesse. Assim, as barras de um 
histograma são retângulos que têm como base os limites de cada 
classe e, como altura, sua frequência correspondente, seja ela 
absoluta ou relativa. Entretanto, para classes não uniformes, a altura 
de cada barra do histograma representa a densidade de frequência 
com que o valor da classe aparece no conjunto de dados.
78
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Gráfi co 6 – Histograma das ações de grandes empresas
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Entretanto, uma vez que o objetivo não é somente avaliar estatísticas 
históricas dos ativos, mas sim, fazer inferências sobre os retornos futuros, a 
probabilidade de obter os retornos esperados deve ser considerada quando os 
investimentos forem avaliados. Neste momento, um leitor mais atento deve estar 
se perguntando o motivo que fez o autor deste livro descrever não somente o 
conceito, mas também construir um histograma, já que, até o presente momento, 
o histograma não foi relacionado com nenhuma probabilidade ou distribuição de 
probabilidades. 
Existem vários argumentos que explicam determinado questionamento. 
Primeiro, o histograma é apresentado por meio de um gráfi co de barras/colunas, 
e esse tipo de apresentação é o mesmo para uma distribuição de probabilidades 
de uma variável aleatória discreta, de modo que entender como o histograma é 
construído auxiliará o estudo das distribuições de probabilidade. Considerando 
uma variável aleatória, um segundo motivo é que a frequência relativa de uma 
distribuição de frequências, observada a partir de uma amostra, é uma estimativa 
da probabilidade, enquanto que o seu histograma é uma estimativa da distribuição 
de probabilidades da variável em questão.
Por fi m, dispondo de uma grande amostra de retornos anuais de um ativo, 
poder-se-ia montar uma distribuição de frequência indicando quantas vezes cada 
retorno aconteceu em determinados intervalos para o período analisado e, após, 
converter esses dados em uma distribuição de probabilidades. Contudo, fazer 
determinada ação vai além dos objetivos deste livro. A alternativa mais frequente 
utilizada em fi nanças é assumir que a distribuição de probabilidades dos ativos 
79
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
segue uma distribuição normal, o que, como será visto mais em frente, é uma 
suposição muito factível e útil para avaliar retornos esperados.
Em termos conceituais, a distribuição de probabilidades fornece uma 
descrição dos prováveis resultados de uma variável aleatória partindo de uma 
amostra da variável. Determinada característica a torna muito útil para avaliar 
opções de investimento. Por exemplo, uma vez que atualmente há uma divulgação 
abundante de dados fi nanceiros, uma amostra pode ser facilmente obtida 
buscando as taxas de retorno de um ativo em um certo período de tempo, como foi 
feito para a carteira de ações de grandes empresas apresentada anteriormente. 
Fazendo apenas mais algumas suposições e utilizando determinada amostra, 
podemos fazer inferência sobre o retorno esperado e seu risco, atribuindo um 
determinado nível de probabilidade. 
Entretanto, para fazer as inferências será necessário conhecer a média e o 
desvio-padrãopopulacional da taxa de retorno das alternativas de investimento, 
algo que na maioria dos casos não é conhecido. Quando a média e o desvio-
padrão de uma variável aleatória são desconhecidos, determinados valores podem 
ser estimados a partir da amostra histórica coletada. Determinada estimação 
pode ser feita por meio de cálculos estatísticos, mais especifi camente utilizando 
a esperança matemática e o desvio-padrão. A fórmula para determinados 
estimadores varia de acordo com a distribuição de probabilidades escolhida, mas, 
neste momento, ainda não se preocupe com os cálculos. 
As distribuições de probabilidade são divididas em discretas e contínuas. As 
principais distribuições discretas de probabilidade são: a binomial, a de Poisson, 
a geométrica, a hipergeométrica, a multinomial e binomial negativa. Cada uma 
das distribuições de probabilidade discretas é defi nida por uma função de 
probabilidade específi ca que fornece uma probabilidade de ocorrência para cada 
valor que a variável aleatória pode assumir. 
Por outro lado, existe um número maior de distribuições de probabilidade 
contínuas que discretas, sendo que as principais contínuas são: uniforme, 
normal, qui-quadrado, t de Student, Fisher (F), cauchy, gama, beta, exponencial, 
exponencial dupla e weibull. A função densidade de probabilidade é uma função 
que descreve a probabilidade de uma variável aleatória estar em um determinado 
intervalo e implica na probabilidade de uma variável contínua assumir qualquer 
valor em particular é zero. 
Assim, a principal diferença entre as distribuições de probabilidade discretas 
e contínuas é que a discreta fornece, por meio de sua função de probabilidade, 
a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor específi co, enquanto 
que a contínua, através da função densidade de probabilidade, não produz uma 
80
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
probabilidade diretamente, mas sim, indica a probabilidade da variável aleatória 
assumir qualquer valor em um determinado intervalo. 
Usualmente, as distribuições de probabilidade são apresentadas através de 
gráfi cos que estabelecem, no eixo vertical, a função densidade de probabilidade 
e, no horizontal, os valores que a variável aleatória x pode assumir. Através 
do cálculo da área situada entre a função densidade de probabilidade e o 
eixo correspondente à variável x, em seu plano cartesiano, encontramos a 
probabilidade da variável aleatória estar em um intervalo específi co. Embora as 
mensurações solicitem o conhecimento do cálculo integral, determinada técnica 
não será necessária para os objetivos do capítulo.
A seguir, será apresentada a principal distribuição de probabilidades usada em 
diversas áreas do conhecimento humano, inclusive em fi nanças: a distribuição normal.
• Distribuição normal
Muitos eventos aleatórios apresentam uma distribuição normal de 
probabilidades. A distribuição normal é muito útil de ser estudada porque ela pode 
ser completamente descrita apenas por sua esperança matemática (µ) e por seu 
desvio-padrão (σ) e, devido a isso, torna-se muito fácil obter a probabilidade de 
uma variável aleatória estar em um certo intervalo. Na distribuição normal, 68,3% 
dos resultados prováveis ocorrem entre o intervalo de mais ou menos um desvio-
padrão da média (±1σ ). Considerando dois desvios-padrão com relação à 
media (µ σ± 2 ), tem-se que 95,4% dos resultados estarão cobertos no intervalo, 
enquanto que, para três desvios-padrão, 99,7% dos resultados possíveis 
encontram-se no intervalo µ σ± 3 .
A fi gura a seguir apresenta uma distribuição normal de probabilidades 
que também é usualmente conhecida como gaussiana. Várias características 
relevantes pertencentes deste tipo de distribuição de probabilidades contínua 
devem ser observadas. Primeiro, trata-se de uma distribuição simétrica e que tem 
uma forma que lembra um sino. Afi rmar que uma distribuição é simétrica implica 
em dizer que metade da probabilidade está associada a valores à esquerda do 
seu centro (ponto mais alto que a função densidade atinge, ou seja, sua média) e, 
a outra metade, à direita de sua média.
81
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 8 – Distribuição normal de probabilidades
Fonte: O autor.
Ainda, a média da distribuição pode assumir qualquer valor numérico, ou 
seja, é possível que ela seja positiva, zero ou negativa. Não obstante, embora a 
fi gura anterior não demonstre, as caudas (os extremos) da função densidade de 
probabilidade da normal tendem ao infi nito em ambos lados e, teoricamente, nunca 
encostam no eixo horizontal. Ademais, a curva pode ser mais achatada ou alongada 
que a representação feita pela fi gura anterior, defi nida pela magnitude do desvio-
padrão. Considerando duas curvas normais com uma mesma média, mas desvios-
padrão diferentes, a que apresentar o maior desvio será a mais achatada. Trazendo 
a questão para as taxas de retorno dos ativos, quer dizer que ativos com uma 
mesma média e desvios-padrão diferentes apresentam riscos diferentes, sendo o 
ativo mais arriscado, neste caso, o que apresentar maior desvio-padrão. 
A área sob a função de densidade de probabilidade, defi nida por f (x), 
mensura a probabilidade da variável aleatória. Portanto, para encontrar a 
probabilidade de uma variável aleatória estar contida em um certo intervalo, 
devemos calcular a área correspondente ao intervalo escolhido utilizando a 
função densidade de probabilidade normal. Apesar de que ela não será utilizada 
para calcular as probabilidades neste livro, é relevante apresentar, formalmente, a 
função densidade de probabilidade normal. A função densidade de probabilidade 
normal pode ser expressa da seguinte forma:
f x e
x
( ) =
− −( )







1
2
2
2
2
σ π
µ
σ
82
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo, de notação nova, o π, que é o número pi (π ≅ 3,14159 ) e o e, que 
é a função exponencial natural ( e ≅ 2,71828 ). Ainda, por defi nição f x dx( ) =− ∞
∞
∫ 1 
que, em palavras, signifi ca dizer que a área total sob a curva normal é considerada 
como 100%, ou seja, ela equivale à soma das probabilidades de todos os valores 
que a variável aleatória pode assumir. Ainda, quando os parâmetros populacionais 
forem desconhecidos, podemos estimá-los através da esperança matemática e 
do desvio-padrão da seguinte forma: 
De forma comparativa, a fi gura a seguir apresenta uma distribuição normal 
e o histograma da taxa de retorno da carteira de ações de grandes empresas. 
Embora a curva normal seja mais simétrica, mesmo com uma amostra de apenas 
75 observações, percebemos que a frequência relativa dos retornos das grandes 
empresas também se parece com um sino, lembrando o formato da curva normal. 
Ainda, se o número de observações fosse aumentado, tendendo ao infi nito, então 
o teorema do limite central garante que as diferenças entre a forma de ambas 
seriam amenizadas, de modo que a distribuição de probabilidades das taxas de 
retorno convergiria para uma distribuição normal.
 
 
 
µ
σ µ µ
= ( ) = ( )
= −( ) = −( ) ( )
− ∞
∞
− ∞
∞
∫
∫
E x sf x dx
E x x f x dx2 2 2
Figura 9 – Distribuição normal vs histograma ações de grandes empresas
Fonte: O autor.
µ = ( ) = ( )
−∞
∞
∫E x xf x dx
83
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Por fi m, para os propósitos deste livro, basta ter em mente que os retornos 
das opções de investimento são distribuídos, no mínimo, de forma muito próxima 
à distribuição normal. Determinada suposição facilitará muitos cálculos que serão 
realizados adiante. 
c) Risco de um ativo individual e seu retorno esperado
Uma vez que foram expostos o conceito e a forma de cálculo do desvio-
padrão, agora podemos calculá-lo utilizando as séries históricas já conhecidas, 
considerando diferentes opções de investimento. A tabela a seguir demonstra, 
não somente a taxa média de retorno, mas também o desvio-padrão histórico da 
carteira de ações composta por empresas pequenas, do portfólio de ações degrandes empresas, dos títulos de longo prazo do governo e das letras do tesouro 
americano, além da infl ação no período (1926-2000).
Tabela 20 – Retornos históricos e desvio-padrão: 1926-2000
Investimentos / Infl ação Retorno médio Desvio-padrão
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 33,4%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 20,2%
Títulos de longo prazo 5,7% 9,4%
Letras do Tesouro 3,9% 3,2%
Infl ação 3,2% 4,4%
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Ao analisar as estatísticas descritivas das diferentes opções de investimento, 
percebemos a existência de uma relação positiva e direta entre o retorno médio e o 
desvio-padrão dos ativos. Como esperado, na medida em que o retorno aumenta, 
o risco, medido pelo desvio-padrão também aumenta, e a situação refl ete que os 
investidores são avessos ao risco. Ainda, os investidores com menor aversão ao 
risco, no período de 1926-2000, investiram em ações e, por elas apresentarem 
maiores riscos, foram recompensados com retornos maiores. Contudo, esses 
cálculos utilizaram os dados históricos e, neste momento, é necessário começar 
a analisar os retornos e sua variância quando as informações disponíveis se 
referem a retornos futuros e suas probabilidades.
Iniciando pelo caso em que as probabilidades são diferentes e conhecidas, 
considere o exemplo a seguir que é bastante simplifi cado, mas que é útil para o 
entendimento dos cálculos. 
84
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Um especialista realizou uma análise da conjuntura econômica do país e 
atribuiu a existência de três possibilidades em relação à performance da economia 
no curto/médio prazo: recessão, taxa natural de crescimento e aceleração do 
crescimento. Neste caso, há três estados da economia, sendo os únicos cenários 
possíveis. Cada um dos cenários possui uma probabilidade de ocorrer, sendo 
que a recessão é de 25%, a taxa natural de crescimento 50% e a aceleração do 
crescimento em 25%.
Dado que o desempenho da economia pode afetar a rentabilidade dos 
investimentos, a tabela a seguir demonstra como o retorno esperado das opções 
de investimento A e B são afetados pelos estados da economia. Antes mesmo de 
realizar qualquer cálculo, é possível observar que o retorno do ativo B pode ser 
maior se comparado ao ativo A, mas a amplitude de seu retorno (40%-4%=36%) 
é maior, o que implica em maiores riscos. No entanto, devemos calcular o valor 
esperado do retorno médio e do desvio-padrão para tirar conclusões mais robustas.
Tabela 21 – Retornos esperados das opções A e B de investimento
Estados da Economia Probabilidade Retorno - A Retorno - B
Recessão 0,25 15% 04%
Tx. Natural de Crescimento 0,50 20% 23%
Aceleração do Crescimento 0,25 35% 40%
Fonte: O autor.
Iniciando pela taxa de retorno esperada do ativo A e sabendo que há três 
estados possíveis para o futuro da economia, logo n = 3, encontramos:
 
Portanto, o valor esperado do retorno do ativo A é de 22,5%. Da mesma 
forma, podemos calcular o valor esperado do retorno do ativo B, como segue:
 
0,25 0,15 0,25
E k k Pr
E k
A j jj
A
  = ×
  = ∗( ) + ∗
=
∑
1
3
00,35
 0,225
( )
  =E k A
 
0,25 0,
E k k Pr
E k
B j jj
B
  = ×
  = ∗
=
∑
1
3
004 0,50 0,23 0,25 0,40
 
( ) + ∗( ) + ∗( )
E k  =B 0,225
85
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Após os cálculos, os resultados sugerem que os ativos A e B possuem uma 
mesma taxa de retorno esperada, estimada em 22,5%. Então, devemos calcular 
o desvio-padrão para encontrar o risco de cada um dos ativos, visando saber qual 
possui menor risco, lembrando que o desvio-padrão do retorno esperado pode ser 
obtido a partir da seguinte fórmula:
Aplicando para o ativo A:
Para o ativo B:
Logo, o desvio-padrão do ativo B é maior que o do ativo A, o que implica que 
ele apresenta um maior risco. Podemos também calcular uma outra medida de 
variabilidade para determinados ativos, mais especifi camente o coefviciente de 
variação, que pode ser obtido como segue:
Aplicando para o ativo A:
σ k
A
j
j
n
jk E k Pr= −  ( ) ×
=
∑
1
2
σ k
A = −( ) ×  + −( ) ×  + −0,15 0,225 0,25 0,20 0,225 0,50 0,35
2 2
0 2, 225
2( ) × 
=
0,25
 0,001406σ k
A [[ ]+ [ ]+ [ ]0,000313 0,003906
 0,05625
 
σ k
A =
 0,075σ k
A =
σ k
B = −( )  + −( ) ×  + −( )0,04 0,225 0,23 0,225 0,50 0,40 0,225
2 2 2 ××


= [ ]+ [ ]+
0,25
 0,000013 0,σ k
B
0 008556, 0007656
 0,01
[ ]
=σ k
B
66225
 0,127σ k
B = 44
CV
E k
=
 
σ
CV
CV
=
=
0,075
0,225
0,3333
86
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Analisando o ativo B:
Efetuados os cálculos, observamos que o coefi ciente de variação é menor 
para o ativo A e ele apresenta menor risco que o ativo B, resultado que corrobora 
com a análise do desvio-padrão feita anteriormente. Contudo, o coefi ciente de 
variação é mais útil nos casos em que o comparativo é feito entre ativos com 
diferentes rentabilidades e desvios-padrão. Para compreender, acompanhe o 
novo exemplo sintetizado na tabela a seguir.
CV
CV
=
=
0,1274
0,225
0,5662
Tabela 22 – Coefi ciente de variação
Estatísticas Notação Ativo C Ativo D
Taxa de retorno esperada E k  0,10 0,18
Desvio-padrão esperado σ k 0,07 0,09
Coefi ciente de variação CV 0,70 0,50
Fonte: O autor.
Assuma que foram calculados os retornos esperados e desvios-padrão dos 
ativos C e D e os resultados foram apresentados na tabela anterior. Primeiramente, 
o ativo D apresenta uma maior taxa de retorno (18%), porém seu desvio-padrão 
(0,09) também é maior, o que sugere que ele possui maior risco. Entretanto, 
dividindo o desvio-padrão pela taxa de retorno esperada com o objetivo de calcular 
o coefi ciente de variação, percebemos que o coefi ciente de variação do ativo D 
é menor que o do ativo C, o que traz uma aparente dúvida sobre determinar qual 
ativo que possui menor risco. Não há, porém, nenhuma dúvida ou contradição 
nos resultados, uma vez que em comparações de ativos deve-se levar em conta 
a magnitude relativa do retorno, como é feito no coefi ciente de variação e, assim, 
pode-se afi rmar que o ativo D possui um menor risco. 
Supondo agora que as probabilidades sejam desconhecidas e assumindo 
que as distribuições de probabilidade dos investimentos seguem uma distribuição 
normal, podemos utilizar a curva normal para calcular a probabilidade da taxa de 
retorno esperada de um ativo estar em um certo intervalo. Com base na amostra 
histórica retratada na seção anterior, foi possível calcular o valor esperado da 
taxa retorno bem como seu o desvio-padrão considerando a carteira de ações 
de grandes empresas, o portfólio de ações de pequenas empresas, os títulos 
de longo prazo do governo, as letras de tesouro e a infl ação. Os resultados dos 
cálculos serão apresentados na tabela a seguir. 
87
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Tabela 23 – Probabilidades e intervalos
Investimentos / Infl ação E k  σ k Probabilidades Intervalos
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 33,4%
68,3% -16,1% a 50,7%
95,4% -49,5% a 81,1%
99,7% -82,9% a 117,5%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 20,2%
68,3% -7,2% a 33,2%
95,4% -27,4% a 53,4%
99,7% -47,6% a 73,6%
Títulos de longo prazo 5,7% 9,4%
68,3% -3,7% a 15,1%
95,4% -13,1% a 24,5%
99,7% -22,5% a 33,9%
Letras do Tesouro 3,9% 3,2%
68,3% 0,7% a 7,1%
95,4% -2,5% a 10,3%
99,7% -5,7% a 13,5%
Infl ação 3,2% 4,4%
68,3% -1,2% a 7,6%
95,4% -5,6% a 12,0%
99,7% -10,0% a 16,4%
Sabendo que a distribuição normal tem a propriedade de 68,3%, 95,4% 
99,7% dos resultados possíveis de uma variável aleatória estão, respectivamente, 
entre ±1, ±2 e ±3 desvios-padrão do seu valor esperado foi possível calcular 
os intervalospara os retornos esperados considerando as quatro opções de 
investimento, além da infl ação. Embora seja trivial, um exemplo do cálculo 
realizado para obter determinados intervalos é apresentado. Considerando 95,4% 
de probabilidade e analisando as ações das pequenas empresas, a taxa de 
retorno esperada em um determinado ano estará no seguinte intervalo: [17,3%–
(33,4% x 2)] a [17,3%+(33,4% x 2)].
Fica evidente que, entre as opções avaliadas, aquelas relacionadas com o 
mercado de ações são as mais arriscadas, pois a magnitude dos intervalos para 
a taxa de retorno esperada, em cada nível de confi ança, é maior que a estimada 
para os títulos do governo. Interpretando determinados intervalos para as ações 
de grandes empresas, a probabilidade de que seu retorno, em determinado ano, 
esteja no intervalo entre -7,2% e 33,2%, é de aproximadamente de 2/3. Dito de 
uma outra maneira, existem aproximadamente duas chances em três de que a 
taxa de retorno fi que fora do intervalo. 
88
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Por fi m, os cálculos desta seção consideraram apenas um ativo específi co. 
Entretanto, muitas vezes os investidores utilizam uma carteira de ativos, ou 
seja, eles possuem mais de um ativo simultaneamente. Como se trata de uma 
característica comum no mercado fi nanceiro, a próxima seção demonstra como 
podemos calcular o retorno e o risco de uma carteira.
RISCO E RETORNO DE UMA CARTEIRA DE 
ATIVOS
Um administrador fi nanceiro, em seu dia a dia, não avalia o risco de um ativo 
individual de maneira independentemente das outras opções de investimento 
disponíveis no mercado. Conforme destacou Gitman (2005), muitas vezes criar 
uma carteira de ativos é útil para maximizar o retorno do montante investido dado 
um nível de risco ou, de maneira análoga, para minimizar o risco dado a um 
determinado nível de retorno. Assim, é necessário apresentar como é possível 
medir o retorno e o risco de uma carteira de ativos. Intuitivamente, o cálculo do 
retorno de uma carteira de ativos é uma simples média ponderada dos retornos 
individuais dos ativos que compõem a carteira. 
Existem várias maneiras de realizar a ponderação dentro de uma carteira. 
A mais comum é utilizar o percentual correspondente que cada ativo tem sobre 
o valor total da carteira. Nesse caso, chamamos determinadas porcentagens de 
pesos da carteira, conforme destacaram Ross et al. (2013). Considere uma carteira 
composta pelos ativos A e B na qual foi investido $ 300 e $ 700, respectivamente, 
totalizando o valor da carteira em $ 1000. A ponderação dos ativos da carteira pode 
ser feita utilizando os pesos da carteira denotado por Wj, que são 0,3 (300/1000) 
para o ativo A e 0,7 (700/1000) para o ativo B. Obviamente, Σ j
n
jw= =1 1, ou seja, 
todos os ativos da carteira devem estar incluídos na ponderação, de modo que 
, sendo n o número de ativos da carteira.
 Assim, o retorno esperado da carteira p pode ser calculado utilizando a 
seguinte fórmula:
Sendo:
k p o retorno esperado da carteira p.
wj a proporção do valor total da carteira aplicada no ativo j.
k j é o retorno esperado do ativo j. 
k w kp j j
j
n
= ×
=
∑
1
89
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Para ilustrar como se pode utilizar a fórmula para calcular o retorno esperado 
de uma carteira de ativos, suponha que você recebeu probabilidades para os 
estados futuros da economia. A economia poderá entrar em uma expansão ou em 
uma recessão, além da rentabilidade das ações A, B e C associadas aos estados. 
A tabela a seguir sintetiza determinadas informações. 
Tabela 24 – Retornos das ações e estados
Estado da Economia Probabilidade Ação A Ação B Ação C
Expansão 0,70 13% 16% 25%
Recessão 0,30 8% 6% -5%
Fonte: O autor.
Assuma, ainda, que você investiu 60% do seu dinheiro na Ação C e o 
restante, 40%, foi dividido igualmente entre as Ações A e B. Assim, a questão 
iminente é encontrar o retorno esperado da carteira. No entanto, antes de calculá-
lo, devemos obter individualmente os retornos esperados de cada uma das ações, 
como segue:
 
 
0,7 0,13 0,3 0,08
E k k Pr
E k
A j jj
A
  = ×
  = ∗( ) + ∗(
=
∑
1
2
))
  =
  = ×
=
 0,115
 
E k
E k k Pr
A
B j jj 1
22
∑
  = ∗( ) + ∗( )
  =
E k
E k
B
B
0,7 0,16 0,3 0,06
 0,113
 
0,7 0,25 0,3 0,
E k k Pr
E k
C j jj
C
  = ×
  = ∗( ) + ∗−
=
∑
1
2
005
 0,16
( )
  =E k C
90
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Portanto, as ações A, B e C possuem um retorno esperado de, 
respectivamente, 11,5%, 13% e 16%. Utilizando a fórmula do retorno esperado 
de uma carteira e os valores recentemente calculados dos retornos esperados de 
cada uma das ações, além das ponderações assumidas, encontramos:
Logo, o retorno esperado da carteira é de 14,5%. No entanto, o cálculo do 
desvio-padrão de uma carteira não é uma simples ponderação direta dos desvios-
padrão dos ativos individualmente como foi feito para o retorno esperado da 
carteira. Para encontrar o desvio-padrão de uma carteira, é necessário calcular 
o retorno da carteira, os estados da economia (ks), além do retorno esperado 
da carteira que já foi calculado (kp= 14,5%). A expressão analítica para o cálculo 
do desvio-padrão de uma carteira é praticamente a mesma anteriormente 
apresentada, a diferença é que s é o estado da economia, sendo ela expressa da 
seguinte forma: 
Como não há o retorno da carteira para o período de expansão (e) ou 
recessão (r) da economia, é necessário calculá-los, como segue:
 
0,2 0,115 0,2 0,
k w k
k
p j
j
j
p
= ×
= ∗( ) + ∗
=
∑
1
3
113 0,6 0,16
 0,023 0,026 0,096
 
( ) + ∗( )
= ( ) + ( ) + ( )k p
 0,145k p =
σ k s p s
s
n
p
k k Pr= −( ) ×
=
∑
2
1
 
 0,2 0,13 0,2 0,16
k w k
k
e j j j
e
= ×
= ∗( ) + ∗
=Σ 1
3
(( ) + ∗( )
= ×
= ∗
=
0,6 0,25
 
0,2 0,
k w k
k
e j j j
e
Σ
1
3
008 0,2 0,06 0,6 0,05
 0
( ) + ∗( ) + ∗−( )
= −k r ,,002
91
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Assim, o desvio-padrão da carteira é de:
Logo, o desvio-padrão da carteira é de 9%. 
Infelizmente, mesmo calculando o retorno esperado de um ativo ou de uma 
carteira, não há garantias de que o retorno esperado será igual ao retorno real. A 
próxima seção abordará justamente o porquê de determinados desvios acontecerem. 
 
0,208 0,145
σ
σ
kp s p s
s
n
kp
k k Pr= −( ) ×
= −
=
∑
2
1
(( ) ×  + − −( ) × 
2 2
0,7 0,002 0,145 0,3
 0,0028 0,0065
 
σ kp = [ ]+ [ ]
 0,009
 0,09
σ
σ
kp
kp
=
=
MODELO DE FORMAÇÃO DE PREÇOS DE 
ATIVOS (CAPM)
De modo geral, o retorno real (efetivo) de qualquer ação comercializada nos 
mercados é constituído por duas partes: o retorno esperado e o inesperado. De 
acordo com Ross et al. (2013), o retorno esperado, que também é chamado de 
normal, é aquele que o mercado prevê e que é baseado nas informações que 
os acionistas têm sobre a ação e na compreensão do atual mercado acerca dos 
fatores que condicionarão a ação no futuro. Por outro lado, o retorno inesperado 
é o componente incerto que surge após a expectativa de retorno ter sido criada. 
Determinada parte arriscada deriva de várias fontes, tais como: pelo governo, ao 
divulgar dados surpreendentes sobre a economia (PIB, taxa de juros, câmbio), por 
novas regulamentações sobre o setor que a empresa atua, pelo desenvolvimento 
e pela divulgação de novas tecnologias, entre tantos outros determinantes.
Expressando matematicamente, o retorno real é dado por:
R E k I=   +
92
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo: R é o retorno real, E k  é o retorno esperado e I é o retorno 
inesperado. Assim, o retorno real será diferente do esperado sempre que o retorno 
inesperado for diferentede zero, explicando, assim, porque existe a diferença 
entre o retorno real e esperado. Observe que, se o retorno esperado é maior do 
que o retorno real, então o retorno inesperado é negativo. De maneira análoga, 
o retorno real é maior que o retorno esperado quando o retorno inesperado for 
positivo. Entretanto, na média, o retorno inesperado é zero, fazendo com que o 
retorno real seja igual ao retorno esperado, na média.
Aprofundando a análise do retorno inesperado, percebemos que ele está 
associado à divulgação de uma nova informação que infl uenciará o retorno da 
ação através de uma notícia ou de um anúncio. Entretanto, não é qualquer tipo 
de informação que terá impacto sobre a ação e, para compreender, é necessário 
saber que qualquer anúncio/notícia possui dois componentes: a parte prevista e a 
parte surpresa, sendo que apenas um deles afeta o retorno. 
O elemento previsto é aquela informação que o mercado já utilizou para 
estimar a expectativa de retorno da ação porque se considera que o mercado de 
capitais é efi ciente. Diferentemente, a parte surpresa não havia sido prevista e, 
assim, ela impacta diretamente no retorno inesperado da ação. Por exemplo: se 
havia uma previsão de crescimento do PIB de 8% e a divulgação do resultado, 
através de uma notícia, confi rmou o crescimento, então não há impacto sobre o 
preço da ação, pois o mercado já havia “precifi cado” o anúncio. No entanto, se a 
divulgação apresentasse um crescimento de 4% do PIB, então a notícia realmente 
seria uma novidade, impactando no retorno inesperado. 
Um mercado de capitais efi ciente é um mercado em que seus preços 
correntes refl etem totalmente as informações disponíveis. Ainda, nos mercados 
efi cientes os preços se ajustam imediatamente à divulgação ou ao anúncio de 
novas informações, fazendo com que o Valor Presente Líquido (VPL) de todos os 
investimentos disponíveis seja igual a zero.
Assim, o determinante do risco de um ativo se encontra em seu retorno 
inesperado, que, por sua vez, é resultante do surgimento de surpresas no 
mercado. As surpresas são classifi cadas em dois tipos: risco sistemático e não 
sistemático. De acordo com Ross et al. (2013), o risco sistemático, também 
chamado de risco não diversifi cável ou risco de mercado, é o risco relacionado 
a fatores de mercado que impactam em um grande número de ativos, sendo em 
cada um deles de maneira distinta. Já o risco não sistemático, também conhecido 
por risco diversifi cável, está associado a causas aleatórias que infl uenciam, no 
máximo, um número pequeno de ativos. 
93
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Alguns exemplos de riscos podem ser apresentados para fi car mais evidente 
a diferença entre ambos. Para o risco sistemático, guerras, PIB, taxa de juros, 
incidentes internacionais e ações governamentais são alguns exemplos. Greves, 
ações judiciais, decisões de agências reguladoras e perda de um cliente relevante 
são situações relacionadas ao risco não sistemático. 
Agora que se sabe que o retorno inesperado é determinado pela surpresa 
de mercado e determinada surpresa possui uma parte sistemática (m) e não 
sistemática (e), a fórmula do retorno real pode ser alternativamente expressa como:
Ao separar a surpresa em seus dois componentes, fi cou fácil de identifi car 
que o risco não sistemático (e) é, de certa forma, exclusivo a uma empresa, 
logo, o retorno da maioria dos outros ativos do mercado não são afetados pelo 
risco. Signifi ca que apenas o risco não sistemático pode ser mitigado através do 
processo de diversifi cação da carteira de ativos.
Gitman (2005) utilizou um gráfi co para auxiliar a compreensão dos riscos 
diversifi cável e não diversifi cável. A abordagem do autor também foi utilizada neste 
livro e pode ser observada na Figura 6. Nela, é possível observar o que acontece 
com o risco de uma carteira na medida em que são adicionados, aleatoriamente 
da população, novos ativos. Assim, um gráfi co é construído, no qual o eixo vertical 
mensura o risco total da carteira através do desvio-padrão do retorno, e o eixo 
horizontal apresenta o número de ativos da carteira. 
Observe que, na medida em que se adicionam novos artigos na carteira, 
o risco vai diminuindo somente até um determinado ponto, após, o risco não 
se reduz mais. Assim, conclui-se que parte do risco associado aos ativos 
individuais pode ser eliminado pela formação de uma carteira, entretanto a parte 
complementar não pode ser eliminada. A estratégia de distribuir um montante em 
vários artigos, estabelecendo uma carteira, é chamado de diversifi cação, sendo 
que a diversifi cação é capaz de eliminar do risco.
Através do gráfi co, a diversifi cação elimina a área entre a curva e a reta. 
Assim, dado um número de ativos na carteira, a distância entre o risco (desvio) 
estabelecido pela curva e o determinado pela reta, mensura o risco diversifi cável 
(não sistemático). Por outro lado, a distância entre o eixo vertical e a reta 
estabelece o risco não diversifi cável (sistemático). O risco não diversifi cável, por 
defi nição, afeta todos artigos e, assim, não pode ser eliminado pela diversifi cação, 
independentemente de quantos ativos forem adicionados na carteira. 
R E k m e=   + +
94
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Figura 10 – Diversifi cação e risco de uma carteira
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Resumidamente, conclui-se que o risco total de um investimento, mensurado 
pelo desvio-padrão de sua taxa de retorno, pode ser dividido como segue:
Risco total = Risco sistemático + Risco não sistemático
Visto que o risco não sistemático pode ser praticamente todo eliminado pela 
diversifi cação, devemos concentrar os esforços para entender melhor o risco 
sistemático e saber como mensurá-lo. 
O princípio do risco sistemático estabelece que a taxa de retorno esperada 
de um ativo com risco está condicionada apenas ao risco sistemático do ativo. 
A lógica da afi rmação é porque o risco não sistemático pode ser eliminado sem 
custos, não havendo uma contrapartida fi nanceira por assumir o risco. Conforme 
salientam Ross et al. (2013), os riscos desnecessários, como o risco não 
sistemático, não são premiados pelo mercado.
95
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Usualmente, o coefi ciente beta (βj) é o método utilizado para medir o risco 
sistemático de diferentes ativos. O coefi ciente beta avalia o quanto de risco 
sistemático um ativo com risco tem em relação a um ativo com risco médio. O 
ativo com risco médio, por defi nição, é aquele que apresenta um beta no valor 
de 1. Assim, ativos com beta igual a 0,25 tem um quarto do risco sistemático de 
um ativo médio, enquanto que um ativo com beta igual a 4 tem quatro vezes mais 
risco que o ativo médio.
 
O coefi ciente beta pode ser mensurado empiricamente através de diferentes 
métodos e modelos, o mais usual é através de um modelo de regressão. Assim, 
será necessário coletar os dados históricos dos retornos do ativo em análise e 
os dados do retorno histórico do mercado que estão amplamente disponíveis 
na internet para obter uma amostra. Após a coleta, podemos construir uma 
regressão e estimar o coefi ciente beta. Infelizmente, o processo, além de requerer 
um conhecimento mais avançado de estatística, vai além dos objetivos deste 
livro, entretanto, uma breve síntese de como é estimado o coefi ciente beta será 
apresentada. 
Um modelo de regressão padrão, para a estimação do coefi ciente beta, utiliza 
o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e pode ser representado 
da seguinte forma:
Sendo:
kj o retorno do ativo j.
km o retorno exigido da carteira de mercado na qual utiliza-se o Standard & 
Poor’s 500 Stock Composite Index como variável proxy.
ej o termo de erro aleatório que refl ete o risco diversifi cável ou não sistemático 
do ativo j, sendo e Nj ~ ,0
2σ( ) .
αj e βj os coefi cientes de interesse, sendo o primeiro o coefi ciente linear 
(intercepto) e, o segundo, o coefi ciente angular. 
Tendouma ideia de como podem ser obtidos, o mais importante é saber 
interpretar e representar em um gráfi co os betas, além de conhecer como aplicá-
los a carteiras. A tabela a seguir, retirada de Ross et al. (2013), demonstra alguns 
k k ej j j m j= + +α β
β
σj
j m
m
Cov k k
=
( ),
2
96
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
coefi cientes beta estimados para ações de um grupo de empresas americanas. 
De modo geral, os betas são positivos e estão no intervalo entre 0,5 e 2,0, embora 
eles possam estar fora do intervalo e até mesmo assumir números negativos. O 
beta das ações do Google é de 2,6, demonstrando que a ação tende a apresentar 
uma variação de 2,6% em seu retorno para cada ponto percentual de variação do 
retorno da carteira de mercado. Vale destacar que os valores apresentados na 
tabela a seguir não são uma verdade absoluta, pois eles dependem do método de 
estimação, da periodicidade e da frequência dos dados utilizados. Quer dizer que, 
conforme as escolhas do analista, ele poderá encontrar um valor muito diferente 
daqueles contidos na tabela para as mesmas empresas. 
Tabela 8 – Coefi cientes beta de algumas ações de empresas americanas
Ações Coefi ciente beta (βj)
The Gap 0,48
Coca-Cola 0,52
3M 0,64
ExxonMobil 1,14
Abercrombie & Fitch 1,28
eBay 2,13
Google 2,60
Fonte: Ross et al. (2013).
A fi gura a seguir demonstra a relação entre o retorno do ativo e o retorno 
de mercado para os ativos S e R. O eixo vertical mensura o retorno do ativo e o 
horizontal mede o retorno de mercado. Os pontos representam os pares, retorno 
do ativo e retorno de mercado para cada ano do período de 1996 a 2003, do ativo 
S. Não foram marcados os pontos para o ativo R, pois ele foi inserido na análise 
como base de comparação. A linha do Ativo S explica a relação entre retorno do 
ativo e de mercado, e ela pode ser estimada justamente pelo modelo de regressão 
supracitado. Ademais, o coefi ciente (βj) estimado pela regressão mede justamente 
a inclinação da reta. No caso do ativo S, a inclinação (coefi ciente beta) da curva é 
de 1,3, enquanto que para o ativo R a inclinação da curva é de 0,8. Comparando, 
percebemos que o coefi ciente beta do ativo S é mais alto ou, em outras palavras, 
ele possui uma curva mais inclinada, indicando que seu retorno é mais sensível a 
variações dos retornos de mercado. Logo, podemos afi rmar que o ativo R possui 
um menor risco que o ativo S.
97
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 11 – Representação gráfi ca do coefi ciente beta
Fonte: Gitman (2005).
Dispondo dos coefi cientes betas que o compõem, é muito fácil obter o 
coefi ciente beta de uma carteira de ativos. Novamente, a intuição do cálculo é 
ponderar os pesos que cada ativo tem sobre a carteira e multiplicar por seus re-
spectivos betas. O somatório das multiplicações será o beta da carteira. A fórmula 
para encontrar o coefi ciente beta da carteira p é representada por:
Sendo:
βp o coefi ciente beta da carteira p.
wj a proporção do valor total da carteira aplicada no ativo j.
βj o beta do ativo j.
β βp j j
j
n
w= ×
=
∑
1
98
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Para ilustrar, suponha que tenha uma carteira composta pelas ações das 
empresas The Gap, Coca-Cola, 3M, eBay e Google e que a proporção do valor 
total da carteira aplicada em cada um dos ativos é a mesma. Utilizando os coefi ci-
entes betas apresentados na tabela anterior, é possível obter o coefi ciente beta da 
carteira da seguinte forma:
O beta de uma carteira pode ser interpretado da mesma maneira que um 
ativo individual, ou seja, eles indicam a sensibilidade do retorno da carteira frente a 
variações do retorno da carteira de mercado. Para o beta obtido anteriormente (βp 
= 1,274), quando o retorno de mercado diminui 10%, o retorno da carteira reduz em 
12,74%. Obviamente, uma carteira com um percentual alto de coefi cientes betas 
maiores que 1 tenderá a ter um beta elevado.
A utilidade do coefi ciente beta já fi cou evidente, no entanto, ele ainda será 
útil para estudar uma teoria básica que é amplamente aceita na administração fi -
nanceira. Trata-se do modelo de formação de preços de ativos (Capital Asset Pric-
ing Model - CAPM), o qual associa o risco sistemático ao retorno de todos ativos. 
O modelo CAPM visa a encontrar o retorno esperado de um ativo e ele pode ser 
representado da seguinte forma:
Sendo:
E k j  o retorno esperado do ativo j.
RF a taxa de retorno livre de risco que, frequentemente, utiliza uma Letra 
do Tesouro dos Estados Unidos como variável proxy.
βj o coefi ciente beta.
E km[ ] o retorno de mercado esperado.
 β β
β
p j j
j
p
w= ×
=
=
∑
1
5
00,2 0,48 0,2 0,52 0,2 0,64 0,2 2,13 0,2 2,60
 
×( ) + ×( ) + ×( ) + ×( ) + ×( )
 0,096 0,104 0,128 0,426 0,520
 
βP = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
 1,274β p =
E k R E k Rj F j m F  = + × [ ]−( ){ }β
99
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Um olhar mais atento à equação do modelo CAPM sugere duas coisas:
• A taxa de retorno livre de risco (RF) é o valor do dinheiro no tempo, ou 
seja, é a taxa de juros livre de risco.
• O prêmio pelo risco de mercado, dado por ( E k Rm F[ ]− ), representa o 
prêmio que o investidor deve receber por assumir um risco sistemático 
médio associado a ter a propriedade da carteira.
Ainda, o modelo CAPM pode ser utilizado em ativos individuais e em 
carteiras de ativos. Não obstante, no modelo CAPM quanto maior for o beta ceteris 
paribus, maior será o retorno exigido. 
Como exemplo, suponha que você deseja descobrir o retorno esperado 
exigido da ação H. Considere que você sabe que o coefi ciente beta associado à 
ação H é de 1,8, que a taxa de juros livre de risco é de 10% e que o retorno da 
carteira de mercado é de 12%. Logo, RF = 10% e E km[ ] =12% . Aplicando os valores 
no modelo CAPM, obtemos:
Com o desenvolvimento do cálculo foram encontrados vários valores inter-
essantes. Um deles é que o prêmio de mercado é de 2% ( E k Rm F[ ]− ). Quando ele 
for ajustado pelo indicador de risco do ativo, β j m FE k R× [ ]−( ){ } , obtemos o prêmio 
de risco do ativo que é de 3,6%. Somando o prêmio de risco com a taxa de juros 
livre de risco, encontramos o retorno exigido para ação H, que é de 13,6%.
E k R E k R
E k
j F j m F
j
  = + × [ ]−( ){ }
  = + × −( ) 
β
 1,8
 
10 12 10
 1,8
 3,6
 
E k
E k
j
j
  = + ×( ) 
  = +[ ]
10 2
10
 13,6E k j  =
100
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
LINHA DE MERCADO DE TÍTULOS (SML)
A linha de mercado de títulos (SML) nada mais é que a representação 
gráfi ca do modelo CAPM. A SML, como será visto, é uma linha reta que refl ete o 
retorno exigido no mercado para diferentes níveis de risco sistemático (coefi ciente 
beta). Em seu gráfi co, o eixo vertical mede o retorno esperado exigido e, o eixo 
horizontal, o risco sistemático. A fi gura a seguir demonstra a linha de mercado de 
títulos para o exemplo mais recente, aquele que analisou a ação H. 
Na fi gura a seguir foi destacado o tamanho do prêmio de risco de mercado, 
que é de 2,0% (12,0 – 10,0), além da magnitude do prêmio de risco do ativo H, 
que é de 3,6% (13,6 -10,0). Determinados valores já haviam sido calculados 
anteriormente, mas o importante agora é visualizá-los no gráfi co. Não obstante, 
a inclinação da reta SML, assim como qualquer outra reta, é dada pelo seu 
coefi ciente angular. Para o caso da reta SML, a sua inclinação pode ser encontrada 
através da razão entre o prêmio e o risco.
Figura 12 – Linha de mercado de títulos (SML)
Fonte: O autor.
101
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Formalmente, a inclinação da reta SML é dada por:
Aplicando os valores na fórmula, encontramos:
Portanto, a inclinação da reta SML é igual a 2. Em outras palavras, a ação 
H tem uma recompensa de 2% por cada “unidade” de risco não diversifi cável. 
Vale destacar tambémque a reta SML pode ser traçada utilizando poucas 
informações. Primeiro, podemos marcar o coefi ciente linear dela, que é o local 
onde a reta cruza o eixo vertical. Para a reta SML, o coefi ciente linear é a taxa 
de juros livre de risco (RF) que, para a ação H, é de 10%. Após, podemos marcar 
o ponto referente à coordenada que representa o prêmio de risco de mercado, 
sendo (12 e 1), em que o primeiro elemento da coordenada é o retorno exigido e 
o segundo o coefi ciente beta. Por defi nição, o prêmio de risco de mercado sempre 
é igual a 1. Assim, ele não foi informado nem calculado. As duas marcações já 
são sufi cientes para traçar a reta SML, entretanto, pode-se demarcar ainda a 
coordenada que representa o prêmio por risco da ação H, dada por (13,6 e 1,8), 
desejando visualizar no gráfi co o prêmio por risco da ação H.
No entanto, a reta SML não é estática. Ela pode sofrer deslocamentos com 
o passar do tempo, em decorrência de mudanças nas expectativas infl acionárias 
ou no grau de aversão ao risco dos investidores, por exemplo. Determinadas 
mudanças podem deslocar paralelamente a curva SML ou alterar a inclinação da 
reta, dependendo do que provocou a alteração. 
Por fi m, conforme destacaram Ross et al. (2013), a razão entre retorno e 
risco deve ser igual para todos os ativos disponíveis no mercado, ou seja, todos os 
ativos devem ter a mesma reta SML. É verdade porque, em mercados efi cientes, 
uma eventual diferença entre duas linhas SML faria com que os investidores 
fossem atraídos para o ativo mais rentável entre eles. Contudo, faria com que o 
preço do ativo mais rentável subisse, o que, por sua vez, diminuiria seu retorno 
Inclinição
E k R
SML
j F
j
=
  −( )
β
Inclinição
Inclinição
SML
SML
=
−
=
13,6 10,0
1,8
 2
102
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
esperado. O ativo que era menos rentável sofreria o processo inverso. O ajuste 
ocorreria até que os dois ativos apresentassem a mesma linha SML. Formalmente, 
para dois ativos denotados por z e v, temos:
Reforçando, determinada relação é válida não somente para os ativos z e v, 
mas também para todos os outros ofertados no mercado, implicando que a razão 
entre retorno e risco sempre é a mesma, independentemente do ativo ofertado. 
De forma alternativa, se um ativo tem o triplo do risco sistemático que um outro 
ativo, então seu prêmio de risco será três vezes maior.
Muitos novos conceitos foram apresentados neste capítulo. Agora, foi 
elaborada a seguinte atividade de estudo para reforçar e testar a aprendizagem.
E k R
z
E k Rz F v F
v
[ ]( )
=
[ ]( )
β β
Atividade de Estudos:
1) Considerando as estratégias competitivas genéricas, leia 
cuidadosamente cada uma das afi rmações a seguir e assinale V 
para as que considerar verdadeiras e F para as que considerar 
falsas:
 
a) ( ) O risco é a probabilidade de ocorrer uma perda fi nanceira e 
a incerteza, originada pela variabilidade dos retornos de um 
ativo fi nanceiro nos mercados, é uma das responsáveis pelos 
ativos apresentarem risco.
b) ( ) Os investidores podem assumir dois tipos de comportamento 
em relação ao risco: o arrojado ou o conservador. 
c) ( ) Retorno é o ganho/perda originado (a) por um ativo e que 
pode ser dividido em dois componentes: aquele que se refere 
à renda de retorno do ativo e o outro à variação ocorrida no 
preço do ativo.
d) ( ) O valor esperado de um ativo é uma medida de variabilidade 
baseada nos desvios dos valores observados em relação a 
sua média.
e) ( ) As principais formas de mensurar o risco de um ativo são 
através do desvio-padrão de seu retorno e do meio do 
coefi ciente de variação. 
103
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
f) ( ) A distribuição de probabilidades de um ativo fi nanceiro fornece 
uma descrição dos prováveis retornos do ativo partindo de 
uma amostra da variável.
g) ( ) Se o retorno inesperado, em média, é zero, então o retorno 
real é igual ao retorno esperado, na média.
h) ( ) Uma carteira de ativos é um conjunto de ativos individuais, 
sendo que o cálculo do retorno de uma carteira de ativos é 
uma simples média ponderada dos retornos individuais dos 
ativos que compõem a carteira. 
i) ( ) O risco não sistemático está relacionado com fatores de 
mercado, nos quais impactam em um grande número de 
ativos.
j) ( ) O modelo de formação de preços de ativos (CAPM), que 
associa o risco sistemático ao retorno de todos ativos, não tem 
relação nenhuma com a linha de mercado de títulos (SML).
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Este capítulo teve como foco principal avaliar o risco de um ativo individual 
e de uma carteira de ativos. Devido à importância os conceitos apresentados, 
as considerações fi nais do capítulo apresentam um breve resumo dos principais 
pontos abordados. O primeiro é que o risco tem origem na variabilidade do 
retorno do artigo e podemos utilizar a amplitude, o desvio-padrão e o coefi ciente 
de variação da taxa de retorno para mensurá-lo, além das distribuições de 
probabilidade. Ademais, o risco total é dado pela soma do risco sistemático e 
não sistemático. Uma vez que o risco não sistemático pode ser eliminado pela 
diversifi cação em uma carteira de ativos, o foco da análise ocorre no risco 
sistemático, que é aquele que afeta praticamente todos ativos da economia. 
O risco sistemático é mensurado pelo coefi ciente beta. Mais especifi camente, 
o coefi ciente beta avalia o quanto de risco sistemático um ativo com risco tem 
em relação a um ativo com risco médio (de mercado). O modelo CAPM associa 
o risco sistemático ao retorno de todos ativos do mercado com o objetivo de 
encontrar o retorno esperado de um ativo. O CAPM pode ser desmembrado em 
dois componentes: a taxa de juros livre de risco, que é o retorno exigido de um 
ativo sem risco, e o prêmio pelo risco. O prêmio pelo risco é a recompensa que 
o investidor deve receber por ele ter assumido o risco. Por fi m, a representação 
gráfi ca do CAPM é denominada linha de mercado de títulos (SML). 
104
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
REFERÊNCIAS
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração fi nanceira. 10. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
ROSS, Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W.; JORDAN, Bradford D. 
Fundamentals of corporate fi nance. 6. ed. Alternate Edition. New York: 
McGraw−Hill Companies, 2002.
ROSS, Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W.; JORDAN, Bradford D.; LAMB, 
Roberto. Fundamentos de administração fi nanceira. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH Editora LTDA, 2013. 
SAMANEZ, Carlos P. Matemática fi nanceira: aplicações à análise de 
investimento. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2001.
CAPÍTULO 3
AVALIAÇÕES
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Dominar as características e os tipos de títulos.
 Entender os valores e os retornos dos títulos bem como o motivo da fl utuação.
 Estar ciente do impacto da infl ação sobre as taxas de juros.
 Compreender os direitos, os elementos e as características de ações ordinárias 
e preferenciais.
 Conhecer os diferentes modelos de crescimento.
106
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
107
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
CONTEXTUALIZAÇÃO
Infelizmente, embora o modelo CAPM seja muito intuitivo e fácil de ser 
implementado, nem sempre ele consegue explicar com êxito o retorno esperado 
de um ativo. O fracasso parcial fez com que surgisse um modelo teórico e empírico 
alternativo para abordar a precifi cação de ativos. A Teoria de Arbitragem de preços 
(Arbitrage Pricing Theory – APT), proposta pioneiramente por Ross (1976), nasceu 
justamente para preencher determinada lacuna. O principal pressuposto da APT é 
que não é possível haver preços diferentes para dois ativos com um mesmo fl uxo 
de caixa, pois quaisquer diferenças, caso ocorressem, seriam eliminadas pelo 
processo de arbitragem e a impossibilidade de arbitragem levaria a uma relação 
linear entre os retornos dos ativos.
Enquanto queo modelo CAPM mede a sensibilidade do ativo frente às 
fl utuações da carteira de mercado, a teoria APT é mais ampla porque consiste em 
um modelo de múltiplos fatores os quais podem levar em conta diversas fontes 
de risco da economia. Assim, o modelo CAPM pode ser considerado uma versão 
restrita do modelo APT. Por exemplo, além da carteira de mercado utilizada no 
modelo CAPM, no modelo APT outros fatores podem ser incorporados, tais como a 
infl ação, o PIB e a taxa de juros livre de risco, visando identifi car a maneira como um 
ativo se relaciona com os riscos de infl ação, de renda e de juros, respectivamente. 
Encerrada a apresentação das teorias de precifi cação de ativos, o restante do 
capítulo abordará como se pode encontrar o preço dos títulos de empresas e do 
governo, além das ações. Apesar de existirem algumas variações nos cálculos, tanto 
os títulos quanto as ações utilizam os conceitos de valor do dinheiro no tempo, mais 
especifi camente, utilizam os cálculos de valor presente nos fl uxos de caixa projetados 
com o objetivo de encontrar seu preço. Ainda, serão descritos os principais títulos do 
governo brasileiro que são ofertados e comercializados nos mercados.
TEORIA DE ARBITRAGEM DE PREÇOS
A teoria de arbitragem de preços (APT) é um modelo de precifi cação 
de ativos baseado na hipótese de que a taxa de retorno de um ativo pode ser 
prevista utilizando a relação entre ele e seus vários fatores de risco comuns. A 
teoria APT prevê uma associação entre os retornos de uma carteira e os retornos 
de um único ativo por meio de uma combinação linear de muitas variáveis 
macroeconômicas independentes, as quais dão origem ao risco sistemático. Em 
outras palavras, no modelo APT a taxa de retorno esperada de um ativo com risco 
é explicada por uma combinação linear de l fatores que estão correlacionados 
com eventos inesperados (risco sistemático) e, assim, são determinados fatores 
que determinam a volatilidade das taxas de retorno esperadas.
108
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Ademais, o modelo APT não especifi ca um número de fatores (l) que 
infl uenciam o processo de formação de preço intrínseco dos ativos, pois este 
número irá variar conforme o tipo de ativo, podendo haver apenas alguns ou até 
mesmo dezenas deles em um modelo. No entanto, os modelos empíricos têm 
demonstrando uma correlação positiva e direta entre o número de ativos e o 
número de fatores a serem estimados, de forma que dependerá diretamente do 
tamanho do conjunto de ativos estudados. Ainda, não existe a necessidade de que 
os fatores sejam os mesmos para todos os ativos. De modo geral, determinados 
fatores retratam indicadores de atividade econômica agregada, infl ação, taxa de 
juros livre de risco e taxa de câmbio, além de aspectos setoriais. 
Como o próprio nome já sugere, a APT tem como ponto nevrálgico a 
arbitragem. Em fi nanças, a arbitragem decorre da má precifi cação entre dois ou 
mais ativos. Dada a diferença indevida de preços, surge a oportunidade de algum 
investidor auferir facilmente lucros econômicos livres de risco. Por exemplo, 
no caso de duas carteiras com o mesmo grau de risco, mas que ofereçam 
retornos esperados diferentes, os investidores comprariam apenas a carteira que 
apresentar o maior retorno esperado e, assim, as taxas de retorno esperadas 
convergiriam para um mesmo valor através do ajuste de preços das ações, 
decorrentes do novo equilíbrio entre a oferta e a demanda de mercado.
Além dos fatores que mensuram o risco sistemático, na teoria APT o 
risco não sistemático também é considerado no modelo, sendo que ele é 
derivado de eventos aleatórios específi cos a cada ativo, logo, ele não infl uencia 
signifi cativamente a taxa de retorno dos demais ativos. O risco não sistemático 
entra no modelo através de um erro, que é uma variável aleatória.
Em termos mais técnicos, a teoria APT requer um conhecimento mais 
avançado de estatística e matemática para ser estimada, pois utiliza a análise 
fatorial. Embora o objetivo deste livro não seja demonstrar como o modelo APT 
pode ser estimado na prática, mas, sim, realizar apenas uma apresentação dos 
conceitos fundamentais da teoria, a seguir será apresentada uma breve síntese 
sobre o processo de estimação do modelo, iniciando pela análise fatorial. 
 A análise fatorial é uma técnica estatística multivariada que tem como objetivo 
principal reduzir o número de variáveis através da extração de fatores comuns 
que tenham a capacidade de explicar as variáveis originais de uma maneira mais 
reduzida e simples. De forma mais específi ca, a análise fatorial utiliza combinações 
lineares das variáveis observadas para obter os fatores comuns. 
109
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Neste modelo, a análise fatorial é utilizada não somente para determinar o 
número de fatores, mas também para obter os coefi cientes de sensibilidade de 
cada um dos ativos com relação aos fatores considerados. Após ter sido feito, 
deseja-se encontrar o prêmio de risco associado a cada fator estimado pela 
análise fatorial, sendo que pode ser realizado por meio de um modelo de regressão 
linear. Determinado modelo de regressão estabelece como variáveis explicativas 
os coefi cientes de sensibilidade estimados via análise fatorial. Salienta-se que a 
abordagem é apenas uma das várias existentes. 
Quando o modelo CAPM foi estendido para lidar com múltiplos riscos, 
originou-se a teoria APT. O modelo APT pode ser expresso da seguinte forma:
Sendo:
E[ki] o retorno esperado do ativo i. 
RF a taxa de retorno livre de risco.
Fl o fator comum l.
βl o coefi ciente beta do ativo i relacionado ao fator comum l.
l = 1,2,..., L, sendo L o número total de fatores no modelo.
Nesse caso, a sensibilidade a cada fator é representada pelos coefi cientes 
betas associados aos seus respectivos fatores. Ademais, cada fator representa 
o risco que não pode ser eliminado por meio da diversifi cação. Pode-se afi rmar, 
ainda, que quanto maior for o beta de um título em relação a um dado fator, maior 
será o seu risco. 
Como exemplo, considere um modelo APT com três fatores aleatórios nos 
quais descrevem os riscos sistemáticos que infl uenciam os retornos de ações. 
Suponha que os três fatores macroeconômicos são os seguintes: a infl ação (F1), o 
PIB (F2) e a taxa de juros (F3). Assim, o modelo APT torna-se:
E[ki] = RF + β1 F1 + β3 F3
Os betas (β1, β2 e β3) representam, respectivamente, os betas da infl ação, do 
PIB e da taxa de juros.
E k R Fi F l l
l
L
[ ] = +
=
∑β
1
110
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Uma vez que os pesquisadores ainda não chegaram a um consenso a 
respeito de qual é o conjunto ideal de fatores a ser inserido no modelo, a equação 
deve ser modifi cada para acrescentar um componente aleatório de erro que não é 
relacionado com os fatores do modelo. O componente de erro é representado por 
εina equação a seguir:
Na prática, a análise multifatorial da teoria APT é estimada partindo da 
relação entre risco e retorno, como segue:
Sendo:
E[ki] o retorno esperado da carteira de ativos i.
RF a taxa de retorno livre de risco.
βl o coefi ciente beta do fator comum l.
E[kl] o retorno esperado do ativo l.
Para ilustrar, suponha que os ativos A, B e C estão sendo avaliados e que os 
quatro fatores comuns a seguir foram identifi cados (sendo denotados por fPIB, fI, fO e fSP):
• Crescimento do PIB: fPIB = 4%.
• Taxa de infl ação: fI = 3%.
• Preços do ouro: fO = 5%. 
• Retorno de mercado, dado pelo índice S&P 500: fSP = 9%.
Suponha que a taxa livre de risco é de 2% ao ano, R F=2% , e que os 
coefi cientes beta de cada fator são os seguintes:
• Ativo A: βPIB = 0,6, βI = 0,8, βo = – 0,7 e βSP = 1,3.
• Ativo B: βPIB = 1,1, βI = 0,3, βO= – 0,2 e βSP = 0,9.
• Ativo C: βPIB = 0,3, βI = 1,4, βO = – 0,9 e βSP = 1,1.
Usando a fórmula APT, sem o componente de erro, o retorno esperado para 
o ativo A, B e C pode ser calculado, respectivamente, da seguinte forma:
E k R Fi F l l i
l
L
[ ] = + +
=
∑β ε
1
E k RE k Ri F l F l i
l
L
[ ]− = [ ]−( ) +
=
∑ β ε
1
111
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Portanto, o maior retorno é o do ativo A.
Assim como qualquer outro modelo, a teoria APT parte de pressupostos que 
nem sempre são observados no mundo real, fazendo com que ela também não 
seja uma teoria perfeita. Ocorre especialmente quando não é possível identifi car 
facilmente os fatores comuns que infl uenciam as taxas de retorno. Quando ocorre, 
a teoria APT não tem suporte empírico.
 E k R E k Ri F l F l
l
[ ]− = [ ]−( )
=
β
11
L
AE k
∑
[ ] = × −( )  + × −( )  + −0,02+ 0,6 0,04 0,02 0,8 0,03 0,02 0,77 0,05 0,02
 1,3
× −( ) 
+ × 00,09 0,02 0,110
0,02+ 1,1 0,04 0,02 0,3 0
−( )  =
[ ] = × −( )  + ×E kB ,,03 0,02 0,2 0,05 0,02
 
−( )  + − × −( ) 
 0,9 0,09 0,02 0,102
0,02 0,3 0,0
+ × −( )  =
[ ] = + ×E kC 44 0,02 1,4 0,03 0,02 0,9 0,05 0,02
 
−( )  + × −( )  + − × −( ) 
 1,1 0,09 0,02 0,090+ × −( )  =
MÉTODO DE AVALIAÇÃO DE TÍTULOS E 
AÇÕES
Como será visto nas seções seguintes, o método de avaliação de um título 
ou de uma ação envolve o conceito de valor. Conforme destacou Gitman (2005), a 
avaliação é um método de análise que considera o risco e o retorno para determinar 
o valor de um ativo. Assim, são necessárias informações relacionadas aos fl uxos 
de caixa (resultados), datas, risco e retorno exigidos. Independentemente se o 
ativo for um título ou uma ação, a avaliação ocorre através do cálculo do valor 
presente de todos os fl uxos de caixa esperados durante o período analisado. O 
modelo geral de avaliação pode ser escrito como: 
Sendo:
Vo o valor do ativo na data zero (data de análise).
FCt o fl uxo de caixa esperado para o fi nal do período t.
k o retorno exigido (taxa de desconto)
T o número de períodos, sendo t = 1, 2, ..., T.
V FC
k
FC
k
FC
ko
T
T= +( )
+
+( )
+ +
+( )
1
1
2
2
1 1 1
...
112
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Como trata-se de um cálculo de valor presente, podemos utilizar o fator de 
desconto, apresentado no Capítulo 1 deste livro, porém, ao invés de considerar 
o desconto por uma taxa de juros i, deve-se utilizar o retorno exigido k, visando 
simplifi car a fórmula anterior. Utilizando o fator de desconto, a fórmula passa a ser:
 
Como já é de conhecimento, determinadas equações produzem um mesmo 
resultado e podem ser usadas para terminar o valor de qualquer ativo. No entanto, 
a equação será adaptada para usos específi cos nas próximas seções, os quais 
envolvem o cálculo do valor de um título de dívida e do valor de uma ação.
V FC FD FC FD FC FDo k k T k T= ×( ) + ×( ) + + ×( )1 1 2 2, , ,...
AVALIAÇÃO DE TÍTULOS
Os títulos de dívida são chamados também de obrigações. As obrigações 
são instrumentos de dívida de longo prazo utilizados pelos governos e pelas 
empresas para captar recursos fi nanceiros no mercado. Quando as empresas 
tomam dinheiro emprestado e contraindo dívidas de longo prazo, as obrigações 
são chamadas debêntures. Há também um título muito emitido pelos bancos que 
é chamado no mercado nacional de Certifi cado de Depósito Bancário (CDB). O 
CDB é uma fonte importante de captação de recursos para os bancos e é emitida 
para fi nanciar suas atividades. Por outro lado, as obrigações emitidas pelo 
governo são chamadas de títulos públicos (Letras do Tesouro). 
Assim, percebemos que há uma variedade de títulos de renda fi xa, sendo que 
as principais opções comercializadas no mercado brasileiro são apresentadas na 
fi gura a seguir, separando aqueles que são títulos privados dos públicos. 
113
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Figura 13 – Títulos de renda fi xa
Fonte: O autor.
Frequentemente, um título de dívida privado paga um valor de juros 
periodicamente e o principal é quitado somente no fi nal do empréstimo. Os valores 
referentes aos juros periódicos são chamados de cupom, portanto, os cupons são 
os juros contratuais prometidos em um título de dívida. Ainda, se for dividido o 
valor do cupom periódico pago por um título de dívida pelo valor de face do título, 
então encontramos a taxa de cupom. O valor de face (ou valor nominal) é o valor 
pago ao fi nal do seu prazo. Por fi m, defi nimos como prazo de vencimento a data 
deliberada para que o valor de face de um título de dívida seja quitado. O modelo 
básico de preço para uma obrigação privada é dado pela equação a seguir:
B I
k
VF
ko d
t
t
T
d
T= × +( )








+ ×
+( )







=
∑ 1
1
1
11
114
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo:
Bo o valor do título na data zero.
l os juros pagos.
VF o valor de face do título.
kd a taxa de retorno exigida do título.
T o número de anos restantes para o vencimento. 
O valor dos títulos de dívida é determinado, na maioria das vezes, pelas 
taxas de juros já defi nidas por contrato, entretanto, a taxa de juros varia ao longo 
do tempo, o que altera o valor de face dos títulos. Assim, é necessário um exame 
mais profundo da taxa de juros, como será feito a seguir.
INFLAÇÃO VERSUS TAXA DE JUROS
Conforme destacou Gitman (2005), podemos dizer que a taxa de juros atua 
como um mecanismo regulador do dinheiro disponível na economia, pois é ela 
que controla a oferta e a demanda por poupança. Desde a adoção do regime de 
metas de infl ação, os países utilizam a taxa de juros visando a controlar a infl ação 
e o crescimento econômico. Geralmente, quanto menor for a taxa de juros, maior 
será o crescimento econômico, porém, pode provocar uma aceleração da infl ação 
na economia. Diferentemente, se o juro for alto, então é provável que a infl ação 
fi que sob controle, entretanto reduz as possibilidades de crescimento da economia, 
gerando o trade-off que é muito debatido pelos economistas até os dias de hoje. 
Para entender como funciona a determinação da taxa de juros, assuma que em 
uma economia não há infl ação, que as condições da economia são constantes ao 
longo do tempo e que os indivíduos não têm preferência por liquidez. Faria com que 
os consumidores, as empresas e o governo tivessem um único custo do dinheiro: a 
taxa de juros real. A taxa de juros real (r) é um instrumento que mantém o equilíbrio 
entre oferta de poupança e a demanda de investimentos em uma economia. A fi gura 
a seguir apresenta a taxa de juros real de equilíbrio da economia representada por 
ro, além da oferta (Q s) e da demanda (Q D) por poupança.
Muitos fatores podem alterar a taxa de juros real de uma economia. 
Quando algum dos fatores ocorre, ele pode atuar deslocando a curva de oferta 
ou de demanda, ou até mesmo ele pode alterar a inclinação das curvas. Em 
determinados casos, o novo equilíbrio acontecerá novamente no ponto de 
intersecção das curvas de oferta e de demanda.
115
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Figura 14 – Interação entre a oferta e demanda por poupança
Fonte: O autor.
A análise anterior foi útil para apresentar a intuição de como a taxa de juros 
pode ser determinada no mercado, mas o fato é que no mundo real há infl ação 
nas economias. Assim, dado que a taxa de juros representa o custo do dinheiro 
ao longo do tempo, uma economia com infl ação provoca uma perda no poder de 
compra do dinheiro, fazendo com que os investidores exijam uma recompensa. É 
necessário, então, que os investidores diferenciem a taxa de juros nominal da real. 
A taxa de juros real é aquela que foi ajustada pela infl ação da economia. 
Diferentemente, a taxa de juros nominal não leva em conta a infl ação, sendo uma 
taxa aparente. Implica que, de acordo com Ross et al. (2013), a taxa de juros 
nominal de um ativo ou título é a variação percentual do dinheiro, enquanto que a 
taxa de juros real é a variação percentual do poder de compra do dinheiro.
A relação entre taxas de juros reais e nominais é conhecida como efeito 
Fisher. O efeito Fisher pode ser escrito daseguinte forma:
Sendo:
j a taxa de juros nominal.
r a taxa de juros real.
h a taxa de infl ação.
1 1 1+( ) = +( )× +( )j r h
116
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Manipulando a equação anterior visando isolar a taxa de juros nominal, temos:
Como o terceiro termo (r x h) é pequeno, ele pode ser eliminado. A equação 
anterior defi ne, simplesmente, que a taxa de juros nominal é igual a taxa de juros 
real somada à infl ação, como segue:
Conhecendo as equações, podemos demonstrar rapidamente como a 
infl ação atua sobre os investimentos. Suponha que um investidor tenha comprado 
um título que proporciona uma taxa de juros nominal de 12% ao ano e que a 
infl ação da economia é de 8% ao ano. Utilizando a equação do efeito Fisher, 
podemos encontrar que a taxa de juros real de:
Logo, a taxa de juros real é aproximadamente 4% ao ano. Portanto, se o valor 
aplicado no título fosse de $ 1.000,00, então você receberia após um ano o montante 
de $ 120,00. Entretanto, se $ 120,00 fosse exatamente o custo da cesta de consumo 
de um indivíduo, avaliada no período em que o investidor comprou o título, quando 
ele fosse receber os $ 120,00 após um ano de investimento, o valor da cesta estaria 
aproximadamente cotado em $ 129,60. Assim, o investidor não conseguiria mais 
comprar a cesta, pois seu dinheiro perdeu poder de compra, sendo que seu ganho 
real no período, refl etido pela taxa de juros real, seria de $ 40,00. 
Por fi m, de acordo com Ross et al. (2013), a infl ação pode ser utilizada nos 
cálculos de valor presente, havendo duas alternativas: i) descontar os fl uxos de caixa 
nominais por uma taxa de juros nominal; ou ii) considerar os fl uxos de caixa reais, ou 
seja, deve-se deduzir a infl ação dos fl uxos nominais e, após, descontar por uma taxa de 
juros real. A resposta do cálculo de valor presente será a mesma, independentemente 
da alternativa escolhida. A seguir, serão analisados os títulos públicos.
j h r r h
j r h r h
= + + + ×( )  −
= + + ×( )
1 1
 
j r h≅ +
 
0,12 0,08
 0,04
j r h
r
r
≅ +
≅ +
≅
117
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
TÍTULOS PÚBLICOS
Os títulos públicos são emissões de dívida governamentais utilizadas 
para obter empréstimos, principalmente quando os governos necessitam de 
fi nanciamento de médio/longo prazo. É uma forma dos investidores “emprestarem” 
dinheiro para o governo. No mercado de títulos públicos brasileiro, primeiramente 
os títulos são emitidos pelo Tesouro Nacional e, após, eles são ofertados pelo 
Banco Central em um mercado que pode ser defi nido como primário. Neste estágio, 
o comércio é feito através de leilões eletrônicos e os potenciais compradores são 
as instituições fi nanceiras. Determinadas instituições, posteriormente, podem 
negociar determinados títulos com pessoas físicas ou jurídicas, estabelecendo um 
mercado secundário. 
Entretanto, as pessoas físicas podem adquirir títulos do governo brasileiro 
diretamente do Tesouro Nacional através de um sistema chamado Tesouro 
Direto. De modo geral, existem muitas opções de títulos disponíveis no mercado 
nacional, sendo que eles se diferenciam pelo prazo de vencimento e pela maneira 
que eles remuneram o investidor. Mais especifi camente, são ofertados títulos de 
curto, médio e longo prazo, sendo que o rendimento pode ser prefi xado ou pós-
fi xado. No caso dos pós-fi xados, o rendimento é indexado por índices de infl ação 
(IPCA e IGP-M) ou pela taxa básica de juros da economia (SELIC). Vale destacar 
também que, caso seja interesse do investidor, os títulos podem ser negociados 
antes dos seus vencimentos.
A principal diferença entre título do governo e de uma empresa é que o do 
governo não tem risco. Embora a questão já tenha sido debatida no capítulo 
anterior, ocorre porque os governos simplesmente podem emitir dinheiro para 
liquidar seus títulos, situação diferente das empresas. No entanto, caso seja 
preciso se desfazer de um título do governo antes do seu vencimento, ele pode 
apresentar um risco para o investidor, especialmente se os juros da economia 
subirem, pois aí o investidor perderia o rendimento. Para entender melhor como 
funciona, alguns títulos do governo brasileiro foram listados a seguir, separados 
por seu tipo, ou seja, prefi xados e pós-fi xados. 
a) Títulos prefi xados
A principal característica de um título prefi xado é que ele fornece exatamente 
a rentabilidade que deverá ser paga pelo governo, desde que o título seja mantido 
até a sua data de vencimento. Assim, determinado tipo de título é indicado para 
investidores que esperam que a taxa básica de juros da economia, a Selic, irá 
diminuir ao longo prazo. Entretanto, por disponibilizarem um cupom predefi nido, 
o rendimento dos títulos prefi xados é nominal, sendo necessário descontar 
118
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
a infl ação para encontrar o rendimento real. Os principais títulos prefi xados 
disponíveis no mercado brasileiro são os seguintes:
• LTN - Letra do Tesouro Nacional: 
Trata-se dos títulos que possuem os fl uxos de caixa mais simples do 
mercado. De forma específi ca, a LTN fornece um pagamento único que ocorre 
no vencimento do título, contemplando tanto o valor investido quanto sua 
rentabilidade. Assim, podemos dizer que é um título para quem não tem pressa 
em receber os rendimentos. Entretanto, apesar de se tratar de um título de renda 
fi xa, o investidor que decidir negociar esse tipo de título antes do seu vencimento 
receberá do governo o valor de mercado desse título e, assim, pode ocorrer perda 
com a liquidação antecipada, pois o valor do título dependerá das condições de 
mercado na data da antecipação. 
Caso o valor de mercado do título na hora da antecipação for menor que 
o valor pago na aquisição, então o investidor poderá ter uma perda fi nanceira, 
podendo concluir que há um certo risco. Por outro lado, um investidor mais 
paciente, que espere até a data de vencimento da LTN para ter seu rendimento, 
receberá o total da rentabilidade bruta defi nida no ato da compra, sem riscos. 
Ademais, outra forma de perda surge do fato que a LTN apresenta um rendimento 
nominal e, assim, se a infl ação do período for maior que o cupom prefi xado, então 
o investidor terá uma perda de poder aquisitivo, não havendo ganho real.
• NTN-F - Nota do Tesouro Nacional:
Tais títulos são indicados para investidores que desejam complementar sua 
renda imediatamente após a aplicação ter sido realizada, pois o cupom é pago 
de maneira semestral. Os fl uxos de caixa contemplam cupons semestrais, o que 
aumenta a liquidez e possibilita reinvestimentos. Na data de vencimento do título, 
seu valor de face é resgatado, além do recebimento do último cupom de juros. A 
NTN-F também é título com rentabilidade prefi xada e que é determinada por uma 
Taxa Interna de Retorno (TIR). 
b) Títulos pós-fi xados
Um título pós-fi xado parte da ideia de corrigir seu valor por meio de um 
indexador, geralmente pela infl ação (IPCA e IGP-M) ou pela Selic. Assim, o 
cupom possui dois componentes: uma taxa de juros predeterminada no momento 
da compra do título e um montante variável determinado por um indexador. 
Assim, determinados títulos são chamados de pós-fi xados, pois não fornecem 
diretamente sua rentabilidade. A rentabilidade dos pós-fi xados está condicionada 
aos indexadores, nos quais variam com as condições da economia. No mercado 
119
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
brasileiro, alguns títulos com determinadas características são ofertados, como os 
apresentados a seguir:
• LFT - Letra Financeira do Tesouro:
A LFT é sugerida para investidores conservadores que esperam que a Selic 
irá aumentar ao longo prazo, pois sua rentabilidade segue a variação da taxa 
Selic. Uma vez que o valor de mercado desse título varia pouco, é uma opção 
que mitiga as possíveis perdas, caso seja necessário a antecipação do título. O 
fl uxo de caixa da LFT é semelhante ao da LTN, sendo o cupom pago somente no 
vencimento e em conjuntocom o valor do título. 
De forma específi ca, a remuneração da LFT é determinada pela variação 
da taxa Selic diária registrada entre o período de liquidação (um dia útil após a 
compra) e o vencimento do título, acrescida de um ágio ou deságio no momento 
da compra, caso houver. O deságio/ágio da LFT é uma taxa utilizada para avaliar 
a rentabilidade do título conforme for sua demanda, sendo que ele é informado no 
momento da compra. Quando determinado título é ofertado no mercado, seu preço 
já está considerando a taxa de ágio/deságio. Em 01/07/2000, a data base, uma 
unidade da LFT, foi valorada em R$ 1.000,00. Desde então, o valor é atualizado 
pela variação da Selic diária até o dia em que a precifi cação da LFT ocorrer. 
• NTN-B e NTN-C - Nota do Tesouro Nacional:
Podemos dizer que esses títulos pagam uma taxa de juros real que é defi nida 
no momento de sua compra. Referimos o cupom como taxa de juros real porque 
a NTN-B proporciona como rendimento, além da taxa de juros, a variação do 
IPCA observada no período, de modo que os juros recebidos se tornam reais. De 
forma similar, a NTN-C modifi ca somente o indexador da infl ação, pois utiliza-se o 
IGP-M e não o IPCA.
c) O preço dos títulos prefi xados e pós-fi xados
Independentemente se os títulos são prefi xados ou pós-fi xados, eles podem 
ser classifi cados em outras duas categorias: títulos de cupom zero e títulos com 
taxa fl utuante. Entre os títulos do governo brasileiro aqui apresentados, os NTN-B 
e NTN-C são considerados títulos com taxa fl utuante, pois o rendimento de 
determinados títulos é indexado à infl ação, embora existam também títulos com 
taxa fl utuante indexados à Selic.
De forma contrária, as LTN são opções de investimento chamadas de títulos 
de cupom zero, ou seja, são títulos do governo que não fazem pagamento de 
cupom antes dos seus respectivos prazos de vencimentos. De modo geral, os 
120
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
títulos de cupom zero são cotados com um grande deságio no seu valor de face. 
Para títulos sem cupom, encontrar seu preço é muito simples, basta trazer para 
o valor presente o seu valor de face. Assim, o preço de um título prefi xado de 
cupom zero pode ser encontrado da seguinte forma:
Sendo:
PFcz o preço de um título prefi xado de cupom zero na sua data de aquisição.
VF o valor de face do título na data base.
kd a taxa de retorno exigida do título, sendo que utilizam-se, de modo geral, 
as taxas adotadas pelo mercado secundário, fazendo com que o valor do título se 
altere conforme varia seu valor de mercado.
du o número de dias úteis entre a data de liquidação da compra e a data de 
vencimento do título.
PF VF
k
cz
d
du=
+( )1 252
O número de dias úteis pode ser facilmente obtido através de 
sites, como: <www.dias-uteis.com>.
Na fórmula anterior, o número 252 se refere ao número de dias úteis em 
um ano, sendo que ele é utilizado para calcular a taxa diária correspondente à 
taxa anual cotada. Portanto, na equação que visa encontrar o preço de um título, 
o número 252 é fi xo. Se um título estabelece seu vencimento para daqui a 352 
dias úteis, então esse número que deve ser inserido na variável du. Por exemplo, 
suponha que uma LTN que tem valor de face de R$ 1.000,00 esteja a 352 dias de 
seu vencimento e que a taxa de mercado para determinada LTN seja de 9% ao 
ano. Qual o preço da LTN?
Inserindo os valores na formula de cálculo de preços de títulos de cupom 
zero, encontramos:
PF VF
k
cz
d
du=
+( )1 252
121
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Portanto, o preço da LTN é de R$ 886,587762. O valor foi expresso 
exatamente como os títulos públicos são cotados no Brasil, ou seja, com seis 
casas decimais. 
No entanto, quando se trata de um título pós-fi xado de cupom zero, como 
o caso da LFT, o cálculo de seu preço (PVcz) é ligeiramente diferente daquele 
utilizado para títulos prefi xados de cupom zero, pois se deve levar em conta no 
cálculo o valor projetado do indexador do título, neste caso a Selic. Assim, a 
expressão pode ser alterada para a seguinte forma: 
 Sendo:
PVcz o preço do título pós-fi xado de cupom zero na sua data de aquisição.
CVcz a cotação do título pós-fi xado de cupom zero.
VNA o valor nominal projetado/atualizado do título, informação disponível no 
site do Banco Central.
A cotação do título (CVcz) e o seu valor nominal atualizado projetado (VNA) 
podem ser obtidos, respectivamente, da seguinte forma:
PF
PF
PF
cz
cz
c
=
+( )
=
( )
1000,00
0,09
1000,00
1,09
 
352
252
1,396825
1
zz
czPF
=
=
1000,00
1,127920
886,587762
PV CV VNAcz cz= ×
 CV
tx
VNA VNA ms
cz du=
+( )
= × +( )



100
1
1
252
0
1
252
122
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo:
VNA0 o nominal atualizado do título na data da compra, valor divulgado no 
site do Banco Central.
tx o ágio ou deságio do título.
ms a meta para a taxa Selic defi nida pelo Banco Central no período, também 
disponível no site do Banco Central. 
Portanto, a precifi cação de um título pós-fi xado de cupom zero pode ser 
encontrada da seguinte forma:
Como exemplo, suponha que uma LFT tenha sido comprada em 01/10/2007, 
logo devemos considerar nos cálculos a sua data de liquidação, a qual ocorre 
sempre no dia útil seguinte após a compra que, neste caso, é em 02/10/2007, 
e seu vencimento ocorre em18/03/2009. Assim, corresponde ao número de 366 
dias úteis entre a data de liquidação e a data de vencimento. A taxa do título 
na data que ocorreu a compra foi de -0,01%, logo ocorreu um ágio. Por fi m, o 
valor nominal atualizado da LFT em 01/10/2007 é R$ 3.229,577978, e a meta de 
infl ação no período da compra é de 11,25% ao ano. Agora, considere que você 
deseja encontrar o preço da LFT em 02/10/2007 (dia que ocorre a liquidação). 
Utilizando a fórmula anterior, obtemos:
O cálculo determinou que o preço da LFT em 02/10/2007 é de R$ 3.321,41. 
Ademais, caso o investidor permaneça com determinado título com objetivo de 
resgatar seu valor somente no seu vencimento, o seu valor de resgate pode ser 
obtido corrigindo o valor nominal atualizado em sua data base pelo fator Selic até a 
PV
tx
VNA mscz du=
+( )










× × +( )









100
1
1
252
0
1
252
 PV
tx
VNA mscz du=
+( )










× × +( )100
1
1
252
0
1
2522
366
252
100
1
3229










=
+ −( ) 










×PVcz
0,0001
,, ,577978 1 0 1125
100
1
252× +( )









= 
0
PVcz
,,999855
3229,577978 1,000423
 




× ×( ) 
 1,000145 3230,944554
 
PVcz = [ ]×[ ]
 3231,413041PVcz =
123
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
véspera da data de interesse. Para o exemplo, a taxa base do título é 01/07/2000 
e seu valor é R$ 1000,00. Ainda, o fator Selic é 3,820745 e englobará o período 
entre 02/07/2000 e 17/03/2009, sendo que a informação é disponibilizada no site 
do Banco Central. Assim, para encontrar o valor de resgate de determinada LFT, 
basta corrigir seu valor nominal considerando a sua data base pelo seu respectivo 
fator Selic para o período analisado, como segue: 
Sendo:
VNAT o valor nominal da LFT em seu vencimento, valor de resgate projetado.
VNAb o valor nominal da LFT em sua data base.
Fs o fator Selic entre a data base e data de vencimento.
Aplicando:
Logo, o de resgate projetado da LFT é de R$ 3.820,74. 
Por outro lado, o cálculo do preço de um título com cupom semestral é 
mais complexo que o de um título com cupom zero porque todos os fl uxos de 
caixa que ocorrerão até o vencimento do título deverão ser trazidos para o valor 
presente. O preço de um título pós-fi xado com cupom semestral pode ser obtido 
da seguinte forma: 
Sendo:
PVcs o preço do título pós-fi xado de cupom semestral na sua data de aquisição.
tc o cupom semestral pago pelo título.
tx a taxa de desconto dada pela TIR.
dut refere-se aonúmero de dias úteis entre data de liquidação e a data de 
pagamento t-ésimo cupom, considerando que dut = 1, 2, ...,T e que T é a data fi nal 
de recebimento.
VNAt o valor nominal atualizado do título.
VNA VNA FT b s= ×
 
1000,00 3,820744
 3820,
VNA VNA F
VNA
VNA
T b s
T
T
= ×
= ×
= 774
PV
tc
tx
tc
cs du=
× +( ) −



+( )
+
× +( ) −



100 1 1
1
100 1 1
1
2
1
252
1
2
11
100 1 1
1
2
252
1
2
252+( )
+ +
× +( ) −



+( )







tx
tc
tx
du duT... 




×VNAr
124
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
No caso da NTN-B, seu VNAt é o valor nominal atualizado para o período t, 
sendo que o valor pode ser calculado considerando o valor nominal atualizado da 
data de compra e a projeção do IPCA para a data de liquidação. Determinada ação 
deve ser feita porque na data de compra o indexador do título não é conhecido. 
Assim, o valor nominal atualizado da NTN-B, partindo de sua data base, pode ser 
encontrado multiplicando o seu valor nominal base por indexadores atrelados ao 
IPCA da seguinte maneira: 
Sendo:
VNAt o valor nominal atualizado para a data de liquidação t.
VNAb o valor nominal no ano base.
IAIPCA o índice acumulado do IPCA entre sua data base e o 15º dia do mês 
anterior à liquidação.
IPIPCA o índice projetado do IPCA entre o 15º dia do mês anterior à liquidação 
e o dia 15º do mês da liquidação.
p a razão inserida na equação para calcular os juros proporcionais aos dias 
entre a liquidação e a correção do IPCA.
Determinada razão pode ser encontrada da seguinte maneira:
No caso da NTN-B, seu VNAb = R$1.000,00 e sua data base correspondem ao 
dia 15/07/2000. Os valores referentes ao IPCA acumulado podem ser obtidos no 
site do IBGE. 
O cálculo para a NTN-C é praticamente o mesmo que o realizado para 
NTN-B, só devemos alterar o indexador. Ainda, perceba que a lógica de cálculo é 
sempre a mesma, independentemente se o título é prefi xado ou pós-fi xado e se 
ele for com ou sem cupom semestral. Assim, fi naliza-se o conteúdo apresentado 
como pode-se calcular o preço da NTN-F, sem demonstrar exemplos de cálculo, 
apenas sua fórmula.
O preço da NTN-F e de qualquer outro título que seja prefi xado com cupom 
semestral é calculado da seguinte forma: 
VNA VNA IA IPt b IPCA IPCA
p= ×( )× +( )1
p n de dias corridos entre a data de liquidação e o dia= º 15 
 
do mês anterior à liquidação
n de dias corridos entre o dº iia do mês de liquidação e o dia do mês anterior à liq 15 15 uuidação
PF
VF tc
tx
VF tc
cs du=
× +( ) −



+( )
+
× +( ) −



+
1 1
1
1 1
1
1
2
1
252
1
2
ttx
VF tc
tx
du du
( )
+ +
× +( ) −



+( )









2
252
1
2
3
252
1 1
1
...



125
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Sendo:
PFCS o preço do título prefi xado de cupom semestral na sua data de aquisição.
tc o cupom semestral pago pelo título.
tx a taxa de desconto (TIR).
dut refere-se ao número de dias úteis entre data de liquidação e a data de 
pagamento t-ésimo cupom, considerando que dut = 1, 2, ...,T e que T é a data fi nal 
de recebimento.
VF o valor de face do título na data base.
Cabe destacar, ainda, que nas aplicações do Tesouro Direto há a incidência 
de Imposto de Renda (IR), incidindo a mesma tabela de IR dos demais títulos de 
renda fi xa. Não obstante, os impostos são cobrados nos rendimentos fi nanceiros 
(em caso de venda antecipada), nos pagamentos de cupons e no vencimento dos 
títulos. Além do custo do IR, podem existir outras taxas cobradas pelas instituições 
fi nanceiras ou pelo Tesouro Direto.
Finalmente, conforme destaca Ross et al. (2013), é mais difícil avaliar o preço 
de uma ação do que o valor de um título porque seus fl uxos de caixa futuros nem 
sempre são conhecidos, pois as ações não determinam um prazo de vencimento, 
ou seja, seu tempo de duração é infi nito e, por fi m, porque frequentemente não é 
possível observar, facilmente, a taxa de retorno exigida pelo mercado. A próxima 
seção deste capítulo apresenta como podemos calcular o preço de uma ação.
AÇÕES PREFERENCIAIS E ORDINÁRIAS
Devemos iniciar o estudo das ações conhecendo as diferenças entre capital 
de terceiros e capital próprio. De modo geral, o capital de terceiros são os 
empréstimos adquiridos pela empresa, enquanto que o capital próprio se origina 
dos proprietários das empresas. O capital próprio pode ser obtido internamente 
através da acumulação de lucros acumulados da própria empresa, ou 
externamente, através da venda de ações ordinárias ou preferenciais da empresa. 
Dadas as defi nições, existem várias diferenças entre o capital próprio e de 
terceiros, conforme destacou Gitman (2005). Os detentores do capital próprio 
são os proprietários da empresa, de forma que somente eles podem infl uenciar a 
tomada de decisão da empresa, fi cando os de terceiros à margem das decisões. 
Ainda, enquanto que o capital de terceiros estabelece um prazo determinado, 
o capital próprio não. Ademais, as diferenças também são signifi cativas 
considerando o tratamento fi scal que ambos recebem, pois no capital de terceiros 
é possível deduzir os juros e no próprio não é permitido. Por fi m, em termos 
de direitos sobre resultados e ativos, o capital de terceiros tem preferência em 
relação ao capital próprio. 
126
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Avançando sobre a defi nição de capital próprio, ele pode ser fechado 
quando a empresa pertence a uma pessoa ou a um grupo restrito de pessoas 
(muitas vezes a uma família), ou aberto, no caso em que há um amplo grupo 
de investidores e instituições, não relacionadas entre si, investindo na empresa. 
Assim, as pequenas empresas costumam ser sociedades de capital fechado com 
ações sendo negociadas esporadicamente e em quantidades limitadas, e as 
grandes são de capital aberto, com ações comercializadas nas principais bolsas 
de valores do mundo.
Uma forma da empresa se fi nanciar no mercado é através da venda de 
ações ordinárias ou preferenciais. Os acionistas ordinários, que são os detentores 
das ações ordinárias, são os verdadeiros proprietários da empresa. Não obstante, 
seus ganhos são residuais porque eles ocorrem somente após todos os direitos 
provenientes dos resultados e do ativo da empresa terem sido atendidos. Em 
contrapartida, sua perda está restrita ao valor aplicado na empresa.
Diferentemente, os acionistas preferenciais possuem uma garantia de 
dividendo periódico. Portanto, uma ação preferencial tem prioridade nos 
pagamentos de dividendos e na distribuição do ativo da empresa (em caso de 
liquidação), contrariamente ao que ocorre com as ações ordinárias. No entanto, 
a ação preferencial, muitas vezes, não dá ao acionista o direito de voto e, quando 
dá, comumente ele é restrito.
Quando os mercados são efi cientes, o preço de uma ação ordinária refl ete 
com precisão seu verdadeiro valor se baseando em seu risco e seu retorno. Na 
teoria, o verdadeiro valor é o valor de mercado, pois ele é resultado da interação 
entre a oferta e a demanda de ações no mercado de capitais, de modo que o 
preço defi nido pelo mercado deve ser considerado a melhor estimativa de valor 
possível para uma ação.
Diferentemente, nem todos participantes confi am que os mercados sejam 
efi cientes e, se for verdade, o comércio de uma ação ordinária ocorreria quando o 
investidor esperasse que seu verdadeiro valor fosse superior ao preço de mercado 
ou quando a ação estivesse com um preço superior ao verdadeiro valor de 
mercado. Na primeira situação o investidor compararia a ação e, na segunda, ele 
venderia. No entanto, independentemente das interpretações sobre o mercado, é 
necessário saber como podemos avaliar o preço de uma ação.
O modelo para avaliar o preço corrente de uma ação utiliza a técnica de valor 
presente que foi apresentada no Capítulo 1 deste livro. Mais especifi camente, o 
preço atual de uma ação é dado pela soma dos valores presentes de todosseus 
dividendos futuros. A taxa de desconto utilizada para trazer os dividendos para o 
valor presente refl ete o risco, de forma que fl uxos mais arriscados implicam em 
127
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
taxas de desconto mais altas. Assim, o preço de uma ação ordinária é dado pelo 
valor da participação do investidor na propriedade da empresa.
Embora os modelos de avaliação de ações sejam úteis para determinar 
o preço de uma ação, seus resultados não devem ser encarados como uma 
verdade absoluta, pois o modelo utiliza dividendos e taxas de desconto esperadas 
que nem sempre se concretizam no futuro. No entanto, estimar o preço da ação 
através de determinado modelo é melhor que não ter qualquer palpite sobre ele. 
Assim, a equação básica de avaliação de ações é a seguinte:
Sendo:
P0 o preço corrente (atual) da ação
Dt o dividendo esperado da ação no fi nal do período t.
ks a taxa de retorno exigida (esperada) da ação.
No entanto, se os dividendos forem infi nitos, o que realmente deve ser 
considerado, então não é possível utilizar a fórmula supracitada para calcular o 
preço da ação. Uma vez que a fórmula é uma versão geral do modelo de avaliação 
de ações, se o dividendo de cada ano for redefi nido em termos de seu crescimento 
esperado, então podemos derivar, da equação geral, três modelos úteis e que 
possibilitam obter o valor de uma ação, a saber: o modelo de crescimento nulo, o 
modelo de crescimento constante e o modelo de crescimento variável.
P D
k
D
k
D
ks s s
0
1 2
2
1 1 1
=
+( )
+
+( )
+ +
+( )
∞
∞...
MODELO DE CRESCIMENTO NULO
O modelo de crescimento nulo, como o próprio nome sugere, parte da 
premissa que não há crescimento no valor dos dividendos de uma ação ao longo 
do tempo, o que implica que ele é constante. Matematicamente, signifi ca que 
D D D
1 2
= = = ∞... . Sob determinada premissa, a equação geral pode ser reescrita 
da seguinte forma:
P D
ks
t
t
0 1
1
1
1
= ×
+( )=
∞
∑
128
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Que, após alguma manipulação algébrica, torna-se:
Signifi ca que o valor de uma ação com dividendos constantes é igual ao valor 
presente da perpetuidade de valor D1 deduzida da taxa de desconto ks. 
Como exemplo, se uma empresa apresentar um dividendo anual constante 
e com prazo indeterminado no valor de $ 400,00 por ação e o retorno esperado 
da ação for de 20% ao ano, então podemos obter o preço da ação substituindo os 
valores do exemplo na fórmula anteriormente, como segue:
Logo, o valor da ação é de $ 2.000,00.
P D
k
D
ks s
0 1
1
1
= × =
 
 
400,00
0,20
2.000,00
P D
k
P
P
s
0
1
0
0
=
=
=
MODELO DE CRESCIMENTO CONSTANTE 
Entre os três modelos apresentados, o modelo de crescimento constante 
é o mais comum. Nele, a hipótese inicial é que os dividendos crescerão com 
uma taxa constante (g), embora a taxa de crescimento deva ser menor que a 
taxa de desconto porque esta é uma condição necessária para a construção do 
modelo. Ainda, de acordo com Ross et al. (2013), a taxa de crescimento pode 
ser interpretada como sendo o retorno em ganhos de capital. O modelo de 
crescimento constante pode ser expresso da seguinte forma:
Sendo a notação nova g, que representa a taxa de crescimento dos dividendos 
da ação, e D0, que é o dividendo mais recente da ação decorrente de D1 = D0 x (1+ 
g). Realizando algumas manipulações algébricas na fórmula anterior, podemos 
reescrever o modelo de crescimento constate da seguinte maneira:
P
D
k
D
k
D
ks s s
0
0
1
0
2
2
0
1
1
1
1
1
1
=
× +( )
+( )
+
× +( )
+( )
+ +
× +( )
+( )
∞
∞
g g g
...
P D
ks
0
1=
−g
129
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Determinado modelo também é conhecido como modelo de Gordon. 
Ainda, observe que, com relação à fórmula do modelo de crescimento nulo, há, 
de novidade, apenas a taxa de crescimento. Ademais, dado que, por condição 
matemática necessária ks > g, o denominador da fração é positivo, porém, agora a 
taxa de desconto é reduzida pela taxa de crescimento. 
Considere o mesmo exemplo apresentado para o modelo de crescimento 
nulo, porém suponha agora que a empresa pagará um dividendo de $ 400,00 no 
próximo período, que o dividendo será pago por tempo indeterminado e que ele 
crescerá com uma taxa de 10% ao ano. Se for mantido o mesmo retorno exigido, 
ou seja, uma taxa de desconto de 20% ao ano, o preço da ação passa a ser: 
Portanto, o valor da ação passaria a ser de $ 4.000,00. Obviamente, o fato 
de adicionar um dividendo crescente com uma ação que possuía dividendo 
constante, ceteris paribus, faz com que o valor da ação aumente, refl etindo os 
maiores dividendos futuros que serão recebidos pelo investidor. 
 
g
P D
k
P
P
s
0
1
0
0
400 00
0 2 0 1
4 000 00
=
−
=
−
=
,
, ,
. ,
MODELO DE CRESCIMENTO VARIÁVEL
O modelo de crescimento variável permite que os dividendos variem ao longo 
dos anos sem estabelecerem uma única taxa de crescimento para eles. Torna-
se interessante principalmente porque permitirá que a taxa de crescimento dos 
dividendos seja maior que a taxa de retorno exigida, pelo menos por um certo 
período de tempo. 
No entanto, trabalhar com taxas de crescimento variável é mais complexo, 
no entanto podemos simplifi car as coisas assumindo que há apenas duas taxas 
de crescimento no modelo (g1 e g2), sendo que uma delas ocorrerá até o período 
de tempo θ e, a outra, iniciará no período seguinte, θ + 1, e será mantida até o 
infi nito. Determinada abordagem gera um modelo chamado de crescimento em 
dois estágios e sua fórmula de cálculo do preço de uma ação é a seguinte: 
P
D
k k
D
k
t
s
t
s st
0
0 1 1
11
1
1
1
1
=
× +( )
+( )
+
+( )
×
−








+
=
∑
g
gθ
θ
θ
130
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
O símbolo θ representa o último período de ocorrência da taxa de crescimento 
e g1 e Dθ+1 são os dividendos esperados a partir da vigência da taxa de crescimento 
g2. Observe que o primeiro termo do lado direito da equação representa o valor 
presente dos dividendos no período inicial de crescimento e o segundo descreve 
o valor presente do preço da ação no fi nal do período inicial de crescimento. Com 
determinada equação, a taxa de crescimento pode ser maior que a taxa de desconto 
no primeiro estágio de crescimento, porém no segundo não é possível. 
Para apresentar uma aplicação do modelo, foi utilizado o exemplo de Gitman 
(2005). Uma empresa que tem como dividendo corrente o valor de $ 1,50 por ação 
espera que seus dividendos cresçam com uma taxa de 10% ao ano nos próximos 
três anos. Após os três anos, o crescimento no valor dos dividendos, que tem prazo 
indeterminado, terá uma taxa de 5% ao ano. O retorno exigido da empresa é de 15% 
ao ano. O valor corrente da ação da empresa em questão pode ser obtido utilizando a 
equação anterior, mas antes é necessário encontrar o valor dos dividendos esperados 
a partir da vigência da taxa de crescimento g2, ou seja, o valor do dividendo no quarto 
período D4. O valor pode ser obtido através da seguinte fórmula:
Encontrando, primeiramente, o dividendo do período 3 e, após o do período 
4, temos:
Logo:
Portanto, o valor atual da ação é de R$ 17,96.
Para testar seu conhecimento sobre os conceitos desenvolvidos neste 
capítulo, foi elaborada a seguinte atividade de estudo.
D Dt
t= × +( )0 1 g
 
 
D
3
3
1 5 1 0 1= × +( ), ,
 D
3
2 00= ,
D
D
4
1
4
2 0 1 0 05
2 10
= × +( )
=
, ,
, 
P
t
t
t
0 3
1 5 1 0 1
1 0 15
1
1 0 15
2 10
0 15 0 05
=
× +( )
+( )
+
+( )
×
−








, ,
, ,
,
, ,==
∑
= + +




 + ×


1
3
0
1 65
1 15
1 82
1 32
2 00
1 52
1
1 52
21 P ,
,
,
,
,
, ,



= + +( ) + [ ] 
 
P
0
1 44 1 38 1 32 13 82, , , ,
 P
0
17 96= ,
131
AVALIAÇÕES Capítulo 3 
Atividade de Estudos:
1) Considerando as estratégias competitivas genéricas,leia 
cuidadosamente cada uma das afi rmações a seguir e assinale V para 
as que considerar verdadeiras e F para as que considerar falsas:
a) ( ) Enquanto que na teoria CAPM a taxa de retorno esperada de 
um ativo com risco é explicada por uma combinação linear 
de l fatores, a teoria APT utiliza apenas o retorno de mercado 
esperado como fator.
b) ( ) O método de avaliação de um título ou de uma ação envolve 
o conceito de valor do dinheiro no tempo. De um modo geral, 
devemos calcular o valor futuro dos fl uxos de caixa projetados 
de um título ou ação. 
c) ( ) Os valores referentes aos juros periódicos são chamados de 
cupom, portanto os cupons são os juros contratuais prometidos 
em um título de dívida.
d) ( ) A taxa de juros nominal de um ativo ou título é a variação 
percentual do dinheiro, enquanto que a taxa de juros real é a 
variação percentual do poder de compra do dinheiro.
e) ( ) Suponha que um investidor tenha comprado um título que 
proporciona uma taxa de juros nominal de 16% ao ano e que 
a infl ação é de 8% ao ano. Utilizando a equação do efeito Fisher, 
podemos dizer que a taxa de juros real é de aproximadamente 24%. 
f) ( ) O rendimento dos títulos prefi xados é real, pois ele leva em 
conta a infl ação do período. 
g) ( ) Um título pós-fi xado parte da ideia de corrigir seu valor por 
meio de um indexador, geralmente pela infl ação (IPCA e 
IGP-M) ou pela Selic.
h) ( ) Os títulos do governo brasileiro denominados NTN-B e 
NTN-C são considerados títulos com taxa fl utuante, pois seus 
rendimentos são indexados à infl ação.
i) ( ) As LTN são títulos emitidos pelo governo brasileiro que se 
caracterizam por serem títulos de cupom zero, ou seja, o 
governo que não faz pagamento de cupom antes do prazo de 
vencimento do título.
j) ( ) Os principais modelos existentes para calcular o preço de uma 
ação são os seguintes: o modelo de crescimento tradicional e 
modelo de crescimento exponencial.
132
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Este capítulo apresentou uma abordagem alternativa para a teoria CAPM, a 
Teoria de Arbitragem de Preços (APT). A teoria APT é um modelo de precifi cação 
de ativos no qual a taxa de retorno esperada de um ativo com risco é explicada 
por uma combinação linear de l fatores que são correlacionados com os riscos 
sistemáticos existentes. Tais fatores, por sua vez, impactam na volatilidade das 
taxas de retorno esperadas.
Verifi camos também que as taxas de juros e os retornos exigidos refl etem 
o custo do dinheiro no tempo, além de explicar como a infl ação pode reduzir o 
retorno de um ativo. Após, demonstramos como o preço de qualquer título ou 
ação pode ser calculado utilizando a técnica de valor presente de seus fl uxos de 
caixas considerando, como taxa de desconto, o retorno exigido. 
Os títulos de dívida são dívidas de longo prazo utilizados pelos governos 
e pelas empresas para se fi nanciar. Quando as empresas e os bancos tomam 
dinheiro emprestado no mercado, as obrigações são chamadas debêntures e 
CDB, respectivamente. As duas opções são consideradas títulos de renda fi xa, 
logo o investidor sabe exatamente o valor que irá receber no futuro. Quando as 
obrigações são emitidas pelo governo, elas são chamadas de títulos públicos. Os 
títulos públicos podem ser prefi xados ou pós fi xados.
Assim como nos títulos, os fl uxos de caixa esperados de uma ação, trazidos 
para o valor presente, determinam seu preço. No caso citado, a taxa de desconto 
utilizada no cálculo de valor presente refl ete o risco dos fl uxos previstos da ação, de 
forma que taxas mais altas de descontos refl etem fl uxos mais arriscados. Assim, o 
valor de uma ação ordinária da empresa é determinado por seus fl uxos esperados 
(retornos) e por seu risco (incerteza com relação aos fl uxos de caixa esperados). 
Foi constatado também que os títulos são opções fi nanceiras mais fáceis de 
avaliar do que as ações porque os títulos estabelecem contratualmente as datas 
dos fl uxos de caixa e os valores. Por fi m, um administrador fi nanceiro que deseja 
maximizar o preço de uma ação deve sempre avaliar corretamente a relação entre 
retorno e risco na tomada de decisão, pois somente assim ele conseguirá criar o 
máximo de valor para os acionistas da empresa. 
REFERÊNCIAS
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração fi nanceira. 10. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
ROSS, Stephen A. The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of 
economic theory, [S.l.], v. 13, n. 3, p. 341-360. 1976.
ROSS, Stephen A., WESTERFIELD, Randolph W., JORDAN, Bradford D. 
Fundamentals of corporate fi nance. 6. ed. Alternate Edition. New York: 
McGraw−Hill Companies, 2002.
ROSS, Stephen A., WESTERFIELD, Randolph W., JORDAN, Bradford D., LAMB, 
Roberto. Fundamentos de administração fi nanceira. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH Editora LTDA, 2013.