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BARRAS COMPRIMIDAS Uma barra comprimida entra em colapso de 3 maneiras ou pela interação delas: 1. Por Escoamento 2. Por Flambagem Local 3. Por Flambagem Global ESCOAMENTO Ocorrerá escoamento quando a tensão na barra atingir a tensão de escoamento. O colapso por escoamento puro se dá em perfis muito curtos (com esbeltez - KL/r - menor que 20) e com paredes muito espessas. Com o auxílio do diagrama tensão-deformação, ao lado, ilustra-se o colapso por escoamento: o perfil, ao ser comprimido, por ser robusto atinge a tensão de escoamento sem flambar. Na prática do dia-a dia será muito difícil que um perfil entre em colapso por escoamento puro, pois a grande característica dos perfis é que eles são esbeltos. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 O colapso por flambagem local ocorre em um ou mais elementos (paredes) que formam o perfil. A flambagem local pura só se dará em perfis muito curtos (com esbeltez menor que 20) e com paredes muito finas (relação largura/espessura das paredes grandes). Um perfil com essas características, ao ser comprimido por uma ação crítica, apresentará ondulações em seus elementos: é a flambagem local. FLAMBAGEM LOCAL FLAMBAGEM GLOBAL A flambagem global apresenta-se de três formas: • Flambagem por flexão • Flambagem por torção • Flambagem por flexo-torção Descreveram-se, acima, outros modos de colapso dos perfis de aço comprimidos – por escoamento puro e por flambagem local pura. Estes modos de ruína dificilmente ocorrerão isolados nos perfis de uma estrutura metálica, porém o escoamento e a flambagem local serão componentes da flambagem global, ocorrendo em conjugação com a flambagem por flexão, por torção e por flexo-torção. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 FLAMBAGEM POR FLEXÃO Ocorre em perfis duplamente simétricos ou de seção cheia. A Flambagem por Flexão se carateriza por apresentar a deformada do perfil deformado idêntica à deformada de uma peça fletida (translação ) δ δ FLAMBAGEM POR FLEXÃO POSIÇÃO ORIGINAL POSIÇÃO DEFORMADA CORTE 1-1 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 FLAMBAGEM POR TORÇÃO Ocorre em perfis duplamente simétricos em forma de cruz. A Flambagem por Torção se carateriza por apresentar a deformada do perfil deformado idêntica à deformada de uma peça que sofreu torção, i.e., o perfil flambado tem sua seção rotada, mantendo seu eixo na posição original. POSIÇÃO ORIGINAL POSIÇÃO DEFORMADA FLAMBAGEM POR TORÇÃO CORTE 1-1 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 FLAMBAGEM POR FLEXO-TORÇÃO Ocorre em perfis com um ou nenhum eixo de simetria. δ δ FLAMBAGEM POR FLEXO-TORÇÃO POSIÇÃO DEFORMADA POSIÇÃO ORIGINAL Como o próprio nome diz, o perfil que flamba por flexo-torção sofre uma flambagem por flexão, transladando seu eixo para a posição deformada e uma flambagem por torção, rotando sua seção em torno do centro de corte. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 FLAMBAGEM LOCAL Seja uma placa retangular comprimida, na direção do seu comprimento, com largura b e comprimento a, apoiada em todo o seu contorno: ao flambar a placa apresentará uma deformada como a da figura ao lado. Esse comportamento pode ser expresso por meio da seguinte equação diferencial: onde: E – módulo de elasticidade do aço E =200000 MPa t - espessura da chapa ν – coeficiente de Poisson ; para o aço ν = 0,3 ω – deslocamentos perpendiculares da placa fx – tensão de compressão na direção x 02 2 2 4 4 22 4 4 4 = ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂∂ ∂+ ∂ ∂ xD tf yxxx x ωωωω ( )2 3 112 υ− = tED Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 A forma deformada da placa, se m e n forem o número de semi-ondas nas direções X e Y, respectivamente, pode ser representada por : Com as condições de contorno ω = 0 para x =0, a e para y = 0 , b . Outras condições de contorno: nos quatro lados da placa e porque os apoios são rótulas e os momentos são nulos, também satisfazem a equação. b yn sen a xm senA m n mn ππω ∑∑ ∞ = ∞ = = 1 1 0 22 =∂∂ x/ω 022 =∂∂ y/ω Resolvendo a equação diferencial com auxílio do que foi estabelecido se obtém: 0 1 1 2 222 2 2 2 2 4 = − +∑∑ ∞ = ∞ = b yn sen a xm sen a m D tf b n a m A m n x mn ππππ Manipulando-se vem: 0 22 2 2 = + == b a m n a b m tw D ff xcr π O menor valor se terá quando n=1, quando se tem uma só semi onda na direção y. Então onde: sendo k o coeficiente de flambagem de placa. 2 2 tw kD fcr π= 22 + = b a m n a b mk Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Substituindo-se o valor de D obtém-se a clássica expressão da tensão crítica elástica de uma placa ( )( )22 2 112 t/b E kfcr υ π − = O valor de k é obtido graficamente para várias relações de a/b fazendo-se varia m. Ao se repetir esta operação, mudando-se as condições de contorno e carregamento obtem-se valores de k que podem ser tabelados: Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Valores teóricos do coeficiente de flambagem de pla ca k Caso Tipo de apoio ( Condições de Contorno ) Tipo de Solicitação Valor de k Meio-Comprimento de onda 1 Compressão 4,0 Lfl = b 2 Compressão 6,97 Lfl = 0,66 b 3 Compressão 0,425 0,675 Lfl = ∞ Lfl = 2 b 4 Compressão 1,277 Lfl = 1,636 b 5 Compressão 5,42 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 FLAMBAGEM LOCAL Analogia perfil real e perfil composto por placasa poiadas PLACA AA PLACAS AL Perfil Real : composto por 3 elementos soldados Perfil Análogo : formado por 3 placas Elementos AA : são os elementos que são ligados, em ambas as bordas, a outros elementos (enrijecidos) que são paralelos à tensão de compressão, que o enrijecerão Elementos AL : são os elementos que são ligados, em uma das bordas, a um outro elemento (não-enrijecidos) paralelo à tensão de compressão. Das definições acima conclui-se que existem tres tipos de perfis, com relação à flambagem local: Perfil totalmente não enrijecido Perfil Misto Perfil Totalmente enrijecido Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 A NBR 8800 considera a flambagem local por meio de um coeficiente – Q - chamado Fator de Forma, que reduzirá a resistência de cálculo dos perfis. No Anexo F tem-se as orientações para a determinação de Q, que será: Para elementos AL Q = Qs ( Q de tensão por ser uma relação entre 2 tensões) Para elementos AA Q = Qa ( Q de área por ser uma relação entre 2 áreas) Para os perfis “mistos” Q = Qs Qa F.2 Elementos comprimidos AL Os valores de Qs a serem usados são os seguintes: -elementos (cantoneiras) do grupo 3 da tabela F.1: elementos (perfis I, U) do grupo 4 da tabela F.1, pertencentes a perfis laminados: y y s yy y s f E , t b para , t b f E, Q f E , t b f E 0,45 para , E f t b ,,Q 910 530 910760341 2 > = ≤<−= yy y s f E , t b f E 0,56 para , E f t b ,,Q 0317404151 ≤<−= y y s f E , t b para , t b f E, Q 031 690 2 > = Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 - Elementos (perfis I, U) do grupo 5 da tabela F.1, pertencentes a perfis soldados: cy y c s cycyc y s k/f E , t b para , t b f kE, Q k/f E , t b k/f E 0,64 para , Ek f t b ,,Q 171 900 1716504151 2 > = ≤<−= O coeficiente kc, é dado por: • Para perfis I: w c th 4 k = , sendo 76,035,0 ≤≤ ck Onde: h = altura da alma; tw = espessura da alma. • Para outras seções: kc = 0,76 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 - Elementos (perfis T) do grupo 6 da tabela F.1: y y s yy y s f E , t b para , t b f E, Q f E , t b f E 0,75 para , E f t b ,,Q 031 690 0312219081 2 > = ≤<−= Onde: b e t são a largura e a espessura do elemento, respectivamente (ver tabela F.1). Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 F.3 Elementos comprimidos AA F.3.1 O fator de redução Qa das seções transversais com elementos comprimidos AA, cuja relação entre a largura e espessura ultrapassa os valores indicados na Tabela F.1, é definido como: onde Ag é a área bruta e Aef é a área efetiva da seção transversal dada por: b E tb ,E t,bef ≤ −= σσ 380 1911 bef é a largura efetiva de um elemento comprimido AA F.3.2 A largura efetiva dos elemento AA é igual a: Para mesas ou almas de seções tubulares retangulares e b E tb ,E t,bef ≤ −= σσ 340 1911 para todos os outros elementos. σ é a tensão que pode atuar no elemento analisado, tomado igual a σ= χfy tomando-se Q=1,0. Opcionalmente, de forma conservadora, σ=fy g ef a A A Q = ( )∑ −−= tbbAA efgef Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Tabela F.1 – Valores de λ r yf E 40,1 yf E 49,1 E l e m e n t o s G r u p o Descrição dos elementos Alguns exemplos com indicação de b e t λ r A A 1 - Mesas ou almas de seções tubulares ou retangulares - Lamelas e chapas de diafragmas entre linhas de parafusos ou soldas 2 - Almas de seções U, I, H, caixão - Chapas contínuas de reforço de mesas Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 yf E 45,0 yf E ,560 )k/f( E 64,0 cy yf E 75,0 Valores de λ r E l e m . G r u p o Descrição dos elementos Alguns exemplos com indicação de b e t λr = (b/t)lim A L 3 - Abas de cantoneiras simples - Abas de cantoneiras duplas providas de chapas de travejamento 4 - Mesas de seções U, I, H e T - Abas de cantoneiras ligadas continuamente - Enrijecedores de alma 5 - Almas de seções T Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Exercício 2-1 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Exercício 2-2 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Exercício 2-3 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 FLAMBAGEM GLOBAL RESISTÊNCIA DE CÁLCULO A força normal de compressão resistente de cálculo, Nc,Rd, de uma barra, considerando os estados limites de flambagem por flexão, por torção ou flexo-torção e de flambagem local, deve ser determinada pela expressão: Onde: χχχχ é o fator de redução associado à flambagem, dado em 5.3.3; Q é o coeficiente de flambagem local, cujo valor deve ser obtido do anexo F; Ag é a área bruta da seção transversal da barra; fy é o limite de escoamento do aço. 5.3.3 Fator de redução χχχχ O fator de redução associado à resistência à compressão, χ é dado por: para λo≤ 1,5 para λo> 1,5 11, fAQ N yg Rd,c χ = 2 877,0 oλ χ = 2 658,0 oλχ = O índice de esbeltez reduzido, λo, para barras comprimidas é dado por: onde: Ne é a força normal de flambagem elástica da barra, obtida conforme segue: e yg o N fAQ =λ Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Seções com dupla simetria ou simétricas em relação a um ponto A força normal de flambagem elástica Ne de um perfil com dupla simetria ou simétrico em relação a um ponto é dada por: a) para flambagem por flexão em relação ao eixo principal de inércia x: b) para flambagem por flexão em relação ao eixo principal de inércia y: c) para flambagem por torção em relação ao eixo longitudinal z onde: KxLx é o comprimento efetivo de flambagem por flexão em relação ao eixo x; rx é o raio de giração da seção transversal em relação ao eixo x; KyLy é o comprimento efetivo de flambagem por flexão em relação ao eixo y; ry é o raio de giração da seção transversal em relação ao eixo y; KzLz é o comprimento efetivo de flambagem por torção; 2 2 )LK( EI N xx x ex π = 2 2 )LK( EI N yy y ey π = += GJ LK EC r N zz w ez 2 2 2 0 )( 1 π Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 E é o módulo de elasticidade do aço; Cw é a constante de empenamento da seção; G é o módulo de elasticidade transversal do aço; Ag é a área bruta da seção transversal; J é o momento de inércia à torção uniforme; r0 é o raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de torção, dado por: 2 0 2 0 22 0 yxrrr yx +++= x0 ; y0 são as coordenadas do centro de torção na direção dos eixos principais x e y, respectivamente, em relação ao centróide da seção. Seções monossimétricas A força normal de flambagem elástica Ne de um perfil com seção monossimétrica, cujo eixo x é o eixo de simetria, é o menor valor dentre os obtidos por a) e b) seguintes: a) força normal de flambagem elástica por flexão em relação ao eixo y: b) força normal de flambagem elástica por flexo-torção 2 2 )LK( EI N yy y ey π = + − −− − + = 2 2 00 2 00 14 11 12 )NN( ])r/x([NN ])r/x([ NN N ezex ezexezex exz Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudoda NBR 8800:2008 Tabela E.1 - Parâmetro de flambagem K para barras i soladas A linha tracejada indica a linha elástica de flambagem Valores teóricos de Kx e Ky 0,5 0,7 1,0 1,0 2,0 2,0 Valores recomendados 0,65 0,80 1,2 1,0 2,1 2,0 Código para condição de apoio Rotação e translação impedidas Rotação livre, translação impedida Rotação impedida, translação livre Rotação e translação livres O coeficiente de flambagem por torção , Kz, função das condições de contorno, deve ser determinado por análise estrutural, ou, simplificadamente, tomado igual a: a) 1,00, quando ambas as extremidades da barra possuírem rotação em torno do eixo longitudinal impedida e empenamento livre; b) 2,00, quando uma das extremidades da barra possuir rotação em torno do eixo longitudinal e empenamento livres e, a outra extremidade, rotação e empenamento impedidos. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Exercício 2-4 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Exercício 2-5 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 PERFIS COMPOSTOS Os perfis compostos são largamente utilizados no Brasil, sobretudo em estruturas leves, por serem eficientes e por conduzirem a estruturas mais leves. Entretanto, se usados de maneira inadequada, podem causar problemas e por isso valem a pena alguns comentários sobre eles. Definição : Dois ou mais perfis, unidos entre si por meio de uma ligação não contínua - solda ou travejamento em quadro [1] ou em treliça - que trabalham como se fossem um só perfil, são conhecidos por Perfis Compostos. L1 L L1 TRAVEJAMENTO PLACA DE COMPOSTOL1 PERFIL CORTE 1-1 Perfil Composto por duas cantoneiras travejadas entre si [2] [1] Embora a NBR 8800:2008 refira-se, explicitamente, que esse tipo de travejamento não é previsto, a consagração do seu uso, em todo o país, justifica sua apresentação [2] Um regra importante : Sempre travejar as duas extremidades de um perfil composto. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 No caso de perfis compostos, a NBR 14762:2001 estabelece: • A esbeltez máxima do conjunto, (KL/r)max, não pode ser maior que 200; • A esbeltez máxima de cada perfil componente da barra deve ser inferior: a) à metade do índice de esbeltez máximo do conjunto, para o caso de presilhas (chapas separadoras); b) ao índice de esbeltez máximo do conjunto, para o caso de travejamento em treliça. Neste caso, o índice de esbeltez das barras do travejamento deve ser inferior a 140. • O travejamento em quadro – formado por chapas regularmente espaçadas – não é previsto na norma. Quando o travejamento em quadro for utilizado, deve ser levada em conta a redução da resistência de cálculo devida à deformação por cisalhamento. Para a determinação da resistência de cálculo dos perfis compostos devem-se verificar: a) Flambagem do perfil isolado. O perfil isolado - um dos perfis que formam o perfil composto - flamba, em torno do seu eixo de menor inércia, tendo como comprimento de flambagem a distância entre elementos de travejamento “L1”. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 b) Flambagem global do perfil composto O perfil composto criado terá 2 eixos principais de inércia. Um dos eixos será paralelo ao(s) plano(s) de travejamento, e o outro eixo, perpendicular. É costume compor os perfis de tal maneira que se travejem planos paralelos ao eixo de maior inércia. Assim será obtido um perfil com inércia bem aumentada em torno do eixo paralelo ao de menor inércia dos perfis simples. A inércia desse perfil, em torno do eixo paralelo aos planos de travejamento, será determinada somando as inércias de cada perfil isoladamente. (É claro que é caso de simples soma se o eixo principal da composição coincidir com o eixo principal do perfil isolado; caso contrário, se deverá obter a inércia da composição pelo Teorema de Steiner.) A inércia do perfil composto em torno do outro eixo principal, perpendicular ao plano de travejamento, terá um valor intermediário entre a inércia que se calcula pelo Teorema de Steiner e a que se avalia considerando os dois perfis isolados. Os elementos de travejamento, por serem descontínuos, não oferecem uma união tão eficiente como uma ligação contínua entre os perfis, e essa deficiência deve ser considerada na avaliação dessa inércia ou esbeltez, como orientam as normas. Adota-se o procedimento da norma NB14/68, que é uma adaptação da norma DIN 4114, considerando somente o caso de travejamento em quadro. Supondo que o eixo perpendicular ao plano de travejamento seja o eixo Y, a esbeltez final será uma esbeltez ideal λyi 2 1 2 2 λλλ myyi += Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 esbeltez do perfil composto em torno do eixo perpendicular ao plano de travejamento, considerando inércia cheia em torno desse eixo esbeltez do perfil simples em torno do eixo de menor inércia (eixo 1) sendo: L1 a distância entre placas de travejamento e m = número de perfis simples que formam o perfil composto. A norma DIN 4114 orienta que se deve dispor os elementos de travejamento: • pelo menos, nos terços do perfil composto, i.e., a cada L/3; e • de que o afastamento entre as placas de travejamento, L1, ser menor que 50 rmin. y yy y r LK =λ 1 11 1 r LK =λ PLACAS DE TRAVEJAMENTO Na formulação da flambagem elástica de um perfil (uma equação diferencial, cuja solução é a clássica Carga Crítica de Euler) a deformação por corte é negligenciada, já que pouquíssima influência faria no resultado final. Entretanto, quando se têm dois ou mais perfis comprimidos unidos entre si por meio de ligações não-contínuas (travejamento) a deformação por corte não pode ser desprezada. a. b. c. Deformação por corte em Perfis Compostos Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Para esse caso, a formulação rigorosa, considerando a deformação por corte, é trabalhosa e de difícil uso profissional. Para contornar essa dificuldade, usa-se o artifício de imaginar uma força cortante, fictícia, agindo transversalmente ao perfil composto, que deve ser neutralizada pelo dispositivo de travejamento, dada por Qi = 0,20 A onde Qi é a força cortante fictícia em kN A é a área bruta do perfil composto em cm2 No caso dos perfis estarem afastados entre si mais que e > 20 r1 , a força cortante fictícia ficará: Qi = 0,20 A [ 1 + [5 ( e / r 1 - 20 )] / 100 ] onde: e é a distância entre os baricêntricos dos perfis r1 é o raio de giração, em torno do eixo de menor inércia, de um perfil isolado Estabelecida a força cortante, por equilíbrio, obtém-se a solicitação na placa de travejamento: T = Qi L1 / e Solicitações nas placas de travejamento Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Exercício 2-6 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 bh b e 6 3 2 + = ( )bhtI t 23 3 +⋅= bh bhtbh Cw 6 32 12 32 + += h b t e C.C. Perfil U ANEXO CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS PARA TORÇÃO 2 1 311 223 3 11 22 12866 863 hbbbhbhh bbhbh be −+++ −+ = ( )1 3 22 3 bbh t I t ++= ( ) ++ −+++ +−−+= 2 3 1 2 1 1 222 11 1 22 3 22 62 22 32 eb b h bh bb eh h b b eb e b b bh tCwb e t h b1 C.C. Perfil U enrijecido Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 2 1 3 11 223 3 11 22 12866 863 hbbbhbhh bbhbh be ++++ −+= ( )1 3 22 3 bbh t I t ++= ( ) ++ ++++ −−−+= 2 3 1 2 1 1 222 11 1 22 3 22 62 22 32 eb b h bh bb eh h b b eb e b b bh tCw b e t h b1 C.C. Perfil Cartola ( )1 3 42 3 bb t I t += ( )hbbhbhbtbCw 2121231 2 1268 24 +++= b h b1 C.C. 2 perfis U opostos pelas mesas ( )hbbhbhbtbCw 2121231 2 1268 24 −++=( )1 3 42 3 bb t I t += 2 perfis U opostos pelas almas b h b 1 C.C. Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 24 32tbh Cw = ( )htbtbtI wt 32321313 1 ++= ( )322311 3 2 3 121 2 12 btbt bbtth Cw + = ( )hbtI t += 23 3 + += hb hbbth Cw 2 2 12 32 ( )332 3 1 wt thtbI += h b tw t C.C. h t1 b C.C. t2 e tw h b t C.C. Perfil I Perfil I assimétrico Perfil Z Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008 ( )33 2 2 23 707,0 baa ba abe −− −= ( )batI t += 33 2 ( )33 34 2 34 6 baa babta Cw −− += 4 2 0 a x = 00 =y 0=wC b a t e a t C.C. a t I t 3 3 = Cantoneira Enrijecida Perfil Cantoneira Dimensionamento de Perfis Laminados e Soldados Estudo da NBR 8800:2008
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