múltiplas empresas

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Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
TEORIA DOS JOGOS
Aula 5d_Ensaio
Multiplas _Empresas
Fonte
Fianni (2017)
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
O modelo de Cournot
FUNÇÃO DE MELHOR RESPOSTA
q*
2
= (a - Cmg) / 2b - q
1
/2
Esta é a função de melhor resposta para a firma 2
Isto nos dá a escolha de produto da firma 2 para qualquer nível 
de produto escolhido pela firma 1
Esta também é uma função melhor-resposta da firma 1
Exatamente pelo mesmo argumento ela pode ser escrita como
q*
1
= (a - Cmg) / 2b – q
2
/2
O equilíbrio 
Cournot-Nash requer que ambas as firmas usem suas funções de 
melhor-resposta.
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
Equilíbrio de Cournot-Nash
• Algebricamente, o equilíbrio é um par de 
quantidades (q*1, q*2) tal que as duas condições de 
1ª ordem são satisfeitas. 
• Resolvendo a equação, teremos:
( )
b
ca
Q
b
ca
qq
3
2
3
**
1
*
1
−
=→
−
==
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AULA 05: MODELO DE COURNOT
22
22
*
1*
2
*
2*
1
q
b
ca
q
q
b
ca
q
−
−
=
−
−
=
q*
1
= q*
2
(quando c
1
e c
2
são iguais, teremos)
∴ q*
2 
= (a - c ) /3b e ∴ q*
1 
= (a - c ) /3b
Q = q
1
+ q
2
∴ Q* = 2 (a - c ) /3b
Resolução da equação
Equilíbrio de Cournot-Nash
Dúvidas sobre esta 
transformação?
Veja aula 5...slide 19
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
q*
1
= q*
2
O equilíbrio Cournot-Nash requer que ambas as firmas 
usem suas funções de melhor-resposta.
Neste caso , a empresa escolhe a quantidade que ela ira 
produzir, sendo esta a melhor resposta à decisão que ela 
espera que a sua concorrente tome.
para atingir o equilíbrio de NASH, a quantidade produzida 
[q*] deve ser igual para ambas as 
empresas, isto é , q1*=q2*= q*.
∴ q*
2 
= (a - c ) /3b e ∴ q*
1 
= (a - c ) /3b
Q = q
1
+ q
2 
∴ Q* = 2 (a - c ) /3b
Equilíbrio de Cournot-Nash
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AULA 05: MODELO DE COURNOT
O modelo de Cournot
O Modelo de Cournot com mais de duas Empresas
Vamos agora observar o mesmo modelo 
com produtos homogêneos, para o caso 
não apenas duas, mas n empresas.
O preço de mercado neste caso é 
representado por uma função linear do 
tipo
P(q) = A – b ∑
n
j=1 qj
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O modelo de Cournot
O Modelo de Cournot com mais de duas Empresas
O preço de mercado neste caso é representado por 
uma função linear do tipo 
P(q) = A – b ∑
n
i=1 qi
Onde:
P(q) é o preço de mercado como função de 
quantidade total produzida e vendida q
∑
n
i=1 é a quantidade composta pelo somatório das 
quantidades produzidas por cada empresa q
i
Com i variando, de i =1 a n.
A e b são constantes
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O Modelo de Cournot com mais de duas Empresas
A Receita Total de uma empresa i qualquer é o preço de 
mercado pela quantidade produzida e vendida pela empresa. 
Desta forma, teremos:
P(q) = A – b ∑
n
i=1 qi e qi
RT
i
= p(q
i
) x q
i
RT
i
= p(q
i
) x q
i
= Aq
i
– Bq
i
2
– q
i
b∑
n
j≠i qj
∑
n
j≠i indica trata-se da produção de todas as empresas j que 
não a empresa i
Receita Total
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AULA 05: MODELO DE COURNOT
Para calcularmos a recompensa de cada empresa temos que 
subtrair, os custos das receitas.
Supondo que a função de custos das empresas seja C
i
Teremos a função de custos, C
i
= C
i
x q
i
Podemos escrever a função de Recompensa de uma empresa 
qualquer, como
𝜋
i
= RT – CT = (Aq
i
– Bq
i
2
– q
i
b∑
n
j≠i qj ) – Cqi
Derivando a expressão acima e igualando a zero para 
maximização, teremos a quantidade de equilíbrio:
q* = A – c A quantidade total será nq* = n (A – c )
b(n+1) b (n+1)
Recompensa (Lucro) 𝝅
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Assim, se continuarmos aumentando indefinidamente o 
número de empresas vamos obter uma característica do 
mercado perfeitamente competitivo
Assim, aumentando indefinidamente n em n/(n+1)
Chegamos ao limite 1. 
Desta forma a quantidade ficaria resumida a
q* = A – c quando n/(n+1) tende a 1
b
Com um número de empresas muito grande a quantidade 
produzida iguala-se à concorrência perfeita e os preços nos 
dois mercados também convergem
Recompensa (Lucro) 𝝅
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AULA 05: MODELO DE COURNOT
Vamos observar 
numericamente estas 
alterações?
O que acontece com o lucro das empresas
quando aumentamos o número de empresas
no mercado?
O que acontece com a quantidade de
equilíbrio?
O que acontece com o preço dos produtos 
neste tipo de aumento?
O Modelo de Cournot com mais de duas Empresas
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
VAMOS DEMONSTRAR a DIFERENÇA
ENTRE AS EMPRESAS
Competindo EM UM EQUILÍBRIO DE 
COURNOT 
MULTIEMPRESAS
COALIZAZÃO DE EMPRESAS – MAXIMIZAÇÃO DE SEUS LUCROS
Siga os 
passos...
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AULA 05: MODELO DE COURNOT
Considere 3 empresas em que a função demanda é 
dada por 
p = 100 – (∑ q
i
).
A função de custo das empresas 
C = 4 e
número de empresas = 3,
e com número de empresas = 23 ?
O que acontece com o lucro das empresas quando 
aumentamos o número de empresas no mercado?
O que acontece com a quantidade de equilíbrio?
O que acontece com o preço dos produtos neste 
tipo de aumento?
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1
0
CALCULE OS RESULTADOS DO 
MODELO com 3 empresas
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SOLUÇÃO
Passo 1 - a quantidade produzida pelas 3 empresas 
aplicando a curva de reação das empresas
q*= (A - c) / (n+1) b em P = A – b (∑ q
i
)
q*= (100 - 4) / 1(3 +1) = 96/4 = 24
teremos:
p = 100 – b(∑ q
i
) = 100 - 1 (3x24)
p = 100 - 1( 72)
p = 100 - 72 = $28,00
daí:
p = $28,00 <<<< logo: q= 24 <<<<<<
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Passo 2 - achar Receita Total
de cada empresa
2) RT = p x q*
RT = $28 x 24 = $672
Ultimo passo - calcula Lucro
3) Lucro = Receita total - Custo Total
Custo Total no enunciado = 4q1 daí 
Custo Total = $4 x 24 = $96
Lucro = (RT-CT) = (672 - 96) 
Lucro = (672 - 96) = $ 576 <<<<
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AULA 05: MODELO DE COURNOT
Considere um setor com 3 Empresas. Todas as Empresas produzindo produtos homogêneos
A Função Linear da Demanda dada é: F(P) = 100- 1( 3 x 24)
Sendo Q o total produzido no Setor
Temos o custo marginal das empresas...
Custo Marginal das Empresas $ 4
Custo Fixo das Empresas igual a $ 0
Para calcularmos a quantidade produzida pelas empresas, consideramos que produzirão no nível de 
equilíbrio. Tomamos a derivada de cada uma destas funções e igualamos a zero
Após a simplificação, teremos: q* = (A - c ) / b (n+1) e Q* = q* x Sij
Encontramos para q1 o valor de [24] e para Q*T a produção total do Setor igual a [72]
Como passo seguinte, podemos deduzir o preço, através da função de demanda: 
F(P) = 100- 1( 3 x 24). Desta forma, o preço será igual a $ 28
Podemos agora calcular a função lucro (Receita menos o Custo) de cada firma, partindo inicialmente das 
receitas das empresas.
Receita da Empresa individual será igual a (p x q1) = $ 672 e a receita do Setor será igual a (p x Q) = $ 2016
Finalizando, poderemos deduzir o lucro de cada empresa, retirando das receitas, os custos de cada 
empresa (custos variáveis x quantidade e , se existente, o custo fixo)
Lucro da Empresa1 será igual a $ 576 e o resultado geral do Setor, igual a $ 1728
(fonte: Modelador-Alfa Prof Isnard Martins)
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
2
0
CALCULE OS RESULTADOS DO 
MODELO com 23 empresas
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
SOLUÇÃO
Passo 1 - a quantidade produzida pelas 3 empresas 
aplicando a curva de reação das empresas
q*= (A - c) / (n+1) b em P = A – b (∑ q
i
)
q*= (100 - 4) / 1(1 +23) = 96/24 = 4
teremos:
p = 100 – b(∑ q
i
) = 100 - 1 (23x 4)
p = 100 - 1( 92)
p = 100 - 92 = $8,00
daí:
p = $8,00 <<<< logo: q= 4 <<<<<<
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
Passo 2- achar Receita Total
de cada empresa
2) RT = p x q*
RT = $8 x 4 = $32
Ultimo passo - calcula Lucro
3) Lucro = Receita total - Custo Total
Custo Total no enunciado = 4q1 daí 
Custo Total = $4 x 4 = $16
Lucro = (RT-CT) = (32 - 16) 
Lucro = (32 - 16) = $ 16 <<<<
Teoria dos jogos
AULA 05: MODELO DE COURNOT
DESCRIÇÃO DA SOLUÇÃO - MULTIEMPRESAS
Considere um setor com 23 Empresas. Todas as Empresas produzindo produtos homogêneos
A Função Linear da Demanda dada é: F(P) = 100- 1( 23 x 4)
Sendo Q o total produzido no Setor
Temos o custo marginal das empresas...
Custo Marginal das Empresas $ 4
Custo Fixo das Empresas igual a $ 0
Para calcularmos a quantidade produzida pelas empresas, consideramos que produzirão no nível de 
equilíbrio. Tomamos a derivada de cada uma destas funções e igualamos a zero
Após a simplificação, teremos: q* = (A - c ) / b (n+1) e Q* = q* x Sij
Encontramos para q1 o valor de [4] e para Q*T a produção total do Setor igual a [92]
Como passo seguinte, podemos deduzir o preço, através da função de demanda: 
F(P) = 100- 1( 23 x 4). Desta forma, o preço será igual a $ 8
Podemos agora calcular a função lucro (Receita menos o Custo) de cada firma, partindo inicialmente das 
receitas das empresas.
Receita da Empresa individual será igual a (p x q1) = $ 32 e a receita do Setor será igual a (p x Q) = $ 736
Finalizando, poderemos deduzir o lucro de cada empresa, retirando das receitas, os custos de cada 
empresa (custos variáveis x quantidade e , se existente, o custo fixo)
Lucro da Empresa1 será igual a $ 16 e o resultado geral do Setor, igual a $ 368
Teoria dos jogos
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3
0
COMPARE OS RESULTADOS 
OBTIDOS NOS DOIS CENÁRIOS
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MULTIEMPRESAS– CONCLUSÕES – CONFRONTO DE RESULTADOS
3 EMPRESAS
23 
EMPRESAS
DIFERENÇA 
POR 
EMPRESA
PRODUÇÃO 
POR 
EMPRESA
24 4
-20 
UNIDADES
PREÇO DE 
MERCADO
28 8 -$20
RECEITA POR 
EMPRESA
672 32 -$640
LUCRO POR 
EMPRESA
576 16 -$560