Aula 12- Poligonal e Coordenadas

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Aula 12 – Poligonais e Cálculo de Coordenadas Parciais e Totais 
1 Levantamento por Poligonal
O método de levantamento por poligonal é o mais empregado na Topografia atual, uma vez que:
· Ocorre uma relativa rapidez para se atingir as distâncias;
· Facilita a amarração de detalhes nos lados da poligonal.
2 Poligonal
2.1 Definição
Seqüência de retas definidas por uma estaca no início e outra no final de cada reta.
2.2 Operação de levantamento da poligonal
São medidos os lados (linhas) e os ângulos formados entre tais linhas
2.3 Tipos de poligonais
a. f
E
P
M
=
Aberta - Poligonal que inicia em um determinado ponto não conhecido e chega a outro ponto também não conhecido.
b. A
Fechada - Poligonal que começa em um ponto e retorna para este mesmo ponto.
c. ,
.
2
1
2
1
-
-
=
l
P
e
C
y
Y
Amarrada – Poligonal que parte de um ponto e chega a outro ponto com coordenadas conhecidas.
Dentro de um mesmo trabalho de levantamento as poligonais podem ser:
d. Poligonal principal
É uma poligonal fechada materializada próxima aos limites da propriedade. Esta é calculada e ajustada antes de outras poligonais existentes.
e. Poligonal secundária
É aquele que inicia e finaliza em pontos (estacas) da poligonal principal.
2.4 Erros Cometidos
Nas medições efetuadas sempre existirão os erros, assim nas poligonais teremos os erros angulares e os erros lineares, os quais irão causar distorções da poligonal.
Precisão das medidas:
· Levantamento com os teodolitos: erro angular de ´01 segundo´ produz um deslocamento de 1cm à distância de 2km (200.000cm), ou seja um erro de 1:200.000;
· Levantamentos com trena ou taqueômetros apresentam erro médio de 1: 1.000 ou 
 1: 2.000;
· Levantamentos com os distanciômetros eletrônicos trouxeram maior grau de precisão nas medidas lineares, apresenta erro médio de 1: 10.000 ou até 1: 50.000.
3 Seqüência de Cálculo e de Ajuste da Poligonal fechada
· Correções dos comprimentos;
· Determinação do erro de fechamento angular pelos rumos ou azimutes;
· Determinação do erro de fechamento angular pela somatória dos ângulos internos;
· Distribuição do erro de fechamento angular obtendo-se os rumos definitivos;
· Cálculo das coordenadas parciais (x, y);
· Determinação dos erros de fechamento linear;
· Distribuição dos erros das abscissas e das ordenadas;
· Cálculo das coordenadas totais (X, Y);
· Cálculo da área do polígono.
4 Coordenadas Parciais
4.1 Definição
São chamadas de coordenadas parciais as projeções de um lado do polígono, nos eixos norte-sul e leste-oeste.
Abscissa de AB = XA-B = L. sen.(rumo)
Ordenada de AB = YA-B = L. cós.(rumo)
Onde,
XA-B = abscissa parcial de AB
YA-B = ordenada parcial de AB
As coordenadas parciais são indispensáveis para a seqüência do cálculo de uma poligonal, pois, através delas, é que conseguiremos apurar:
· O erro de fechamento linear;
· A distribuição deste erro; e
· O cálculo da área do polígono.
4.2 Planilha de cálculo para obtenção de coordenadas por funções naturais
	Linha
	Rumo
	Com-primen-to.
	Seno do Rumo
	Cosseno do Rumo
	Coordenadas parciais
	
	
	
	
	
	X
	Y
	
	
	
	
	
	E
	W
	N
	S
	1-2
	75o20´ 
S W
	58,08
	0,9674
	0,2532
	
	58,08 x 0,9674= 56,19
	
	58,08 x
0,2532=
14,71
	2-3
	49o50´ 
S W
	51,54
	0,7642
	0,6450
	
	51,54 x
0,7642= 39,39
	
	51,54 x
0,6450=
33,24
	3-4
	21o00´ 
S E
	48,95
	0,3584
	0,9336
	48,95 x
0,3584=
17,54
	
	
	48,95 x
0,9336=
45,70
	4-5
	69o30´ 
S E
	51,75
	0,9367
	0,3502
	51,75 x
0,9367=
48,48
	
	
	51,75 x
0,3502=
18,12
	5-6
	41o40´ 
N E
	82,61
	0,6648
	0,7470
	82,61 x
0,6648=
54,92
	
	82,61 x
0,7470=
61,71
	
	6-1
	26o30´ 
N W
	56,20
	0,4462
	0,8949
	
	56,20 x
0,4462=
25,08
	56,20 x
0,8949=
50,30
	
	
	Σ l =349,13
	
	Soma =
	120,94
	120,66
	112,01
	111,77
	
	
	Diferença:
	eX = 0,28
	ey = 0,24
4.2.1 Erro nas abcissas 
eX = 0,28 → partindo da estaca ´1´, andando 120,94m para leste e voltando (para oeste) apenas 120,66m, não chegando até ´1´, paramos a uma distância de 0,28m deste ponto.
4.2.2 Erro nas ordenadas
ey = 0,24 → partindo da estaca ´1´, andando 112,01 para norte e voltando (para sul) apenas 111,77m, não chegando até ´1´, mas paramos a uma distância de 0,24m deste ponto.
4.3 Gráficos das Coordenadas Parciais
Gráfico com os valores de ´x´
4.3.1 Gráfico com os valores de ´y´
4.4 Erro de fechamento linear
O gráfico abaixo representa os erros em ´x´ e ´y´, e o erro de fechamento que é a hipotenusa do triângulo retângulo:
Podemos comparar o ´ef ´ com o comprimento do polígono ´P´ (somatória dos comprimentos dos lados), ou seja:
Ef → P
1m → M 
onde, M = expressão do erro relativo 1: m, ou 1/M. Ou seja, foi cometido um erro de ´1´ metro para ´M´ metros de perímetro.
Do exemplo, tem-se:
∑ D = P = 349,13, então:
6
,
943
37
,
0
13
,
349
=
=
M
O erro cometido equivale a dizer: 1m de erro corresponde a 943,6m do perímetro.
4.5 Tolerância dos erros
· Quando os levantamentos forem realizados com diastímetro e os ângulos com trânsito, a tolerância do erro de fechamento linear relativo é de 1:1000;
· Quando os levantamentos forem realizados com corrente ou trena e os ângulos com bússola, a tolerância é maior, 1: 500.
4.6 Distribuição do erro de fechamento linear
· Quando o erro for superior ao limite aceitável deve-se refazer o trabalho;
· Quando o erro é aceitável, deve ser distribuído para o polígono fechar e podermos calcular sua área.
Como não se sabe em que segmento o erro foi cometido, a maneira mais racional de distribuir deste erro de fechamento é corrir diretamente nas coordenadas parciais.
4.6.1 Correções das abcissas parciais
P
e
l
C
x
x
=
-
-
2
1
2
1
2
1
.
2
1
-
=
-
l
P
e
C
x
x
Exemplo:
ex = erro em x = ∑xE - ∑xW = 0,28;
l1-2 = comprimento do lado 1-2 = 58,08;
P = perímetro (somatório dos comprimentos dos lados) = 349,12m
m
x
C
x
04658
,
0
08
,
58
000802
,
0
08
,
58
.
12
,
349
28
,
0
2
1
=
=
=
-
O x1-2 corrigido será 56,19 + 0,05 = 56,24 → a correção foi somada porque a somatória de xW (120,66) é menor do que a somatória de xE (120,94). No caso contrário, será subtraído nos valores de xE.
4.6.2 Correções das ordenadas parciais
Da mesma forma se corrigem as ordenadas parciais., ou seja:
,
2
1
2
1
P
e
l
C
y
Y
=
-
-
onde,
ey/P é a constante de correção para as ordenadas, que deve ser multiplicada por cada um dos comprimentos dos lados, para se ter a correção das ordenadas.
Exemplo:
m
x
l
P
e
C
y
Y
04007
,
0
08
,
58
000690
,
0
08
,
58
.
13
,
349
24
,
0
.
2
1
2
1
=
=
=
=
-
-
A ordenada parcial y1-2 corrigada será: 14,71 + 0,004 = 14,75m. (O valor da correção foi somado porque a somatória dos YS é menor que a somatória dos YN. 
A tabela abaixo apresenta as coordenadas parciais e os valores das correções:
	Linha
	X
	X
	Y
	
	
	E
	Correções
	W
	Correções
	N
	Correções
	S
	Correções
	1-2
	
	
	56,19
	0,07
	
	
	14,71
	0,02
	2-3
	
	
	39,39
	0,05
	
	
	33,24
	0,04
	3-4
	17,54
	0,02
	
	
	
	
	45,70
	0,05
	4-5
	48,48
	0,05
	
	
	
	
	18,12
	0,02
	5-6
	54,92
	0,06
	
	
	61,71
	0,06
	
	
	6-1
	
	
	25,08
	0,03
	50,30
	0,05
	
	
	
	120,94
	
	120,66
	
	112,01
	
	111,77
	
A tabela abaixo apresenta as coordenadas parciais corrigidas:
	Linha
	Coordenadas parciais corrigidas
	
	X
	Y
	
	E
	W
	N
	S
	1-2
	
	56,26
	
	14,73
	2-3
	
	39,44
	
	33,28
	3-4
	17,52
	
	
	45,75
	4-5
	48,43
	
	
	18,14
	5-6
	54,86
	
	61,65
	
	6-1
	
	25,11
	50,25
	
	
	120,11
	120,11
	111,90
	111,90
5 Cálculo das Coordenadas Totais
5.1 Definição
As coordenadas totais são as acumulações algébricas das coordenadas parciais, tomando-se um ponto qualquer como origem.
	Linha
	Coordenadas parciais corrigidas
	
	X
	Y
	
	E
	W
	N
	S
	1-2
	
	56,26
	
	14,73
	2-3
	
	39,44
	
	33,28
	3-4
	17,52
	
	
	45,75
	4-5
	48,43
	
	
	18,14
	5-6
	54,86
	
	61,65
	
	6-1
	
	25,11
	50,25
	
Gráfico das Coordenadas Parciais:
Para o cálculo das coordenadas totais, partiu-se do ponto ´3´ (pontomais a oeste) cujos valores são X = 0 e Y = 0:
A tabela abaixo mostra os valores das abscissas e ordenadas totais:
	Estaca
	Coordenadas Totais
	
	X (abscissas totais)
	Y (ordenadas totais)
	3
	0
	0
	4
	0 (abscissa total de 3) + 17,52 (abscissa parcial 3-4) = +17,52
	0 (ordenada total de 3) – 45,75 (ordenada parcial 3-4) = - 45,75
	5
	17,52 (abscissa total de 4) + 48,43 (abscissa parcial 4-5) = +65,95
	-45,75 (ordenada total de 4) – 18,14 (ordenada parcial 4-5) = - 63,89
	6
	65,95 (abscissa total de 5) + 54,86 (abscissa parcial 5-6) = +120,81
	-63,89 (ordenada total de 5) + 61,65 (ordenada parcial 5-6) = - 2,24
	1
	120,81 (abscissa total de 6)
- 25,11 (abscissa parcial 6-1) = +95,7
	-2,24 (ordenada total de 6) + 50,25 (ordenada parcial 6-1) = + 48,01
	2
	95,7 (abscissa total de 1) – 56,26(abscissa parcial 1-2) = +39,44
	48,01 (ordenada total de 1) – 14,73 (ordenada parcial 1-2) = 33,28
	3
	39,44 (abscissa total de 2) – 39,44 (abscissa parcial 2-3) = 0
	33,28 (ordenada total de 2) – 33,28 (ordenada parcial 2-3) = 0
Gráfico das Coordenadas Totais:
XA-B
YA-B
comprimento
rumo
B
N
S
W
E
A
C
D
Coordenadas Parciais
Erro em x = 0,28
1
4
3
2
D
6
5
C
E
56,19m
39,39m
17,54m
48,48m
54,92m
25,08m
A
1
1´
� EMBED Equation.3 ���
25,08m
54,92m
48,48m
ex=0,28
39,39m
ey=0,24
5
6
2
3
4
1
Erro em Y = 0,24
ef = 0,37
B
F
E�
D
C
B
A
F
NV
A
(xA, YA)
Az
F
(xF, YF)
E
D
C
B
1
y 6-1 (50,25)
y 5-6 (61,65)
y 4-5 (18,14)
y 3-4 (45,75)
y 2-3 (33,28)
y 1-2 (14,73)
x 6-1 (25,11)
x 5-6 (54,86)
x 4-5 (48,43)
x 3-4 (17,52)
x 2-3 (39,44)
5
6
2
3
4
x 1-2 (56,26)
1
y 6 (-2,24)
y 5 (-63,89)
y 4 (-45,75)
y 3-4 (45,75)
y 2 (33,28)
y 1 (48,01)
x 6 (120,52)
x 5 (65,95)
x 4 (17,52)
x 2 (39,44)
5
6
2
3 (0,0)
4
x 1 (95,7)
Y
X
Cx (1-2) = correção na abscissa do lado 1-2;
ex = erro em x = ∑xE - ∑xW em módulo (não interessa o sinal);
l1-2 = comprimento do lado 1-2;
P = perímetro (somatório dos comprimentos dos lados).
� EMBED Equation.3 ���
_1101756727.unknown
_1101757159.unknown
_1101800437.unknown
_1101800637.unknown
_1101800362.unknown
_1101757015.unknown
_1101755702.unknown
_1101755529.unknown