60 QUESTÕES DE ÁREAS DOS POLIGONOS

Prévia do material em texto

Questão 01) 
Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, 
cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal 
forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração 
desse objeto, associa-se  , a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área 
da região delimitada pelo paralelogramo quando  = 90º é A. 
 
 
 
Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja 
2
A , o valor de  é, 
necessariamente, igual a 
 
a) 15º. 
b) 22,5º. 
c) 30º. 
d) 45º. 
e) 60º. 
 
Questão 02) 
No livro intitulado “Elementos”, do matemático grego Euclides de Alexandria (300 a.C), há 
um quadrado de lado a, a partir do qual Euclides procura encontrar a área de outro 
quadrado, destacado em cinza, na figura a seguir. 
 
 
 
Desse modo, a área do quadrado destacado em cinza na figura é obtida pela expressão: 
 
a) a2 = (a – b)2 + 2ab 
b) a2 = (a – b)2 – 2ab 
c) (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab 
d) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 
 
Questão 03) 
A imagem a seguir representa um cubo com aresta de 2 cm. Nele, destaca-se o triângulo 
AFC. 
 
 
 
A projeção ortogonal do triângulo AFC no plano da base BCDE do cubo é um triângulo de 
área y. 
O valor de y, em cm2, é igual a: 
 
a) 1 
b) 
2
3 
c) 2 
d) 
2
5 
 
Questão 04) 
Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se 
completar o polígono regular ABCDEFGH...A, que possui dois eixos de simetria indicados 
pelas retas r e s. 
Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB e FG, o número de lados do 
polígono ABCDEFGH...A é igual a: 
 
a) 18 
b) 20 
c) 24 
d) 30 
 
Questão 05) 
São dados: 
 
• uma circunferência S de centro O e raio 5; 
• quatro pontos X, Y, Z e W em S de tal forma que as retas tangentes a S nesses pontos 
formam um trapézio ABCD, como na figura; 
• e CD = 15. 
 
 
 
Determine: 
 
a) a medida de AB ; 
b) a medida de AW e AX ; 
c) a área da região delimitada pelo trapézio ABCD. 
 
Questão 06) 
No mosaico a seguir, os lados de cada figura medem 2 cm. 
 
 
 
Nessas condições, a área total do mosaico mede 
 
a) 112 cm2 
b) 106 cm2 
c) 96 cm2 
d) 128 cm2 
e) 116 cm2 
 
Questão 07) 
A icônica obra Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci, exposta no Museu do Louvre, possibilita 
pôr à prova as proporções matemáticas nela presentes. Partindo de um quadrado ABCD 
de lado 1, que delimita uma região abaixo da cabeça, pode-se obter um retângulo, que 
contém a cabeça da Mona Lisa, por meio da construção geométrica descrita a seguir. 
Seja O o ponto médio do segmento AB . Tome a circunferência de centro O e raio OD . 
Encontre o ponto E dado pela intersecção da circunferência com a semirreta BA . 
Considere o ponto F de modo a obter o retângulo de vértices EADF, como ilustrado na 
figura a seguir. 
 
 
 
Com base na construção geométrica fornecida e na figura, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, o comprimento do segmento EA . 
 
a) 
2
51− 
b) 
2
53− 
c) 
2
15 − 
d) 
2
15 + 
e) 
2
35 + 
 
Questão 08) 
Duas curvas planas c1 e c2 são definidas pelas equações 
 
c1 : 16x2 + 9y2 – 224x – 72y + 640 = 0; 
c2 : x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0: 
 
Sejam P e Q os pontos de interseção de c1 com o eixo x e R e S os pontos de interseção de 
c2 com o eixo y. 
A área do quadrilátero convexo de vértices P; Q; R e S é igual a 
 
a) 3715 + 
b) 3715 − 
c) 31415+ 
d) 31415− 
e) 31025+ 
 
Questão 09) 
Em um plano, considere um círculo cuja medida do raio é igual a 0,5 m, um quadrado Q 
circunscrito ao círculo e um quadrado q inscrito no mesmo círculo. Podemos afirmar 
corretamente que a medida, em m2, da área da região do plano interior a Q e exterior a q 
é 
 
a) 0,15  . 
b) 0,25  . 
c) 0,50. 
d) 0,35. 
 
Questão 10) 
Seja ABC um triângulo isósceles com base BC medindo 60cm e altura relativa a BC 
medindo 40cm. Suponha que nesse triângulo esteja inscrito um retângulo DEFG da 
seguinte forma: D é um ponto sobre o segmento AB; E e F estão sobre o segmento BC; G é 
um ponto sobre o segmento AC. Assinale o que for correto. 
 
01. A área do triângulo ABC é igual a 1, 2m2. 
02. O ângulo B̂ mede 60º. 
04. Se M é o ponto médio de BC, então AM divide DEFG em dois retângulos de mesma 
área. 
08. O perímetro do triângulo ABC é igual a 1,6m. 
16. Se D é o ponto médio de AB , então a área do quadrilátero DEFG é igual a 600cm2. 
 
Questão 11) 
Considere uma circunferência de raio 1cm, considere também A e C pontos dessa 
circunferência, de modo que o segmento AC é um diâmetro dela. Um quadrilátero 
convexo ABCD é formado escolhendo-se B e D sobre essa circunferência, de modo que, se 
B está em uma semicircunferência delimitada por A e C, o ponto D encontra-se na outra 
semicircunferência delimitada por A e C. Assinale o que for correto. 
 
01. O perímetro de qualquer quadrilátero ABCD construído como descrito acima é maior 
do que 4cm. 
02. O maior valor possível para o perímetro do quadrilátero ABCD é 24 cm. 
04. A área do quadrilátero ABCD é sempre maior do que  cm2. 
08. O quadrilátero ABCD possui sempre dois ângulos internos retos. 
16. Se o quadrilátero ABCD é um trapézio, ele necessariamente é um retângulo. 
 
Questão 12) 
O triângulo ABC, da figura, é isósceles de base BC = 12 cm e altura AR = 8 cm. Sabe-se que 
AQ = 4 cm e que P, Q e R são os pontos de tangência dos lados do triângulo ao círculo 
inscrito de centro O. Usando 3= , pode-se concluir que, para cada 7 cm2 da região 
pintada na figura, temos uma região correspondente não pintada de 
 
 
 
a) 9 cm2 
b) 8 cm2 
c) 7 cm2 
d) 6 cm2 
e) 5 cm2 
 
Questão 13) 
Os novos locatários de um prédio de escritórios solicitaram ao proprietário que as salas de 
um dos andares fossem divididas em duas partes de áreas iguais, que passariam a ser 
utilizadas como salas de reunião. Uma dessas salas está representada no plano cartesiano 
da figura, cujas medidas dos eixos são dadas em metros. 
 
 
 
A divisão será feita ao longo da linha reta tracejada indicada na figura, que é 
perpendicular ao eixo x. Essa linha está contida na reta de equação 
 
a) 19195x −= 
b) 20215x −= 
c) 13293x −= 
d) 14313x −= 
e) 9372x −= 
 
Questão 14) 
Deseja-se dividir um quadrado, de lado 24 cm, em 4 regiões triangulares, de acordo com a 
figura. 
 
 
 
Se nessa divisão desejamos que a área da região P seja 84 cm2 e que a soma das áreas das 
regiões Q e R seja igual a 218 cm2, a área da região R, em cm2, deverá ser: 
 
a) 50 
b) 90 
c) 130 
d) 170 
 
Questão 15) 
Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos baseados em figuras geométricas. Ela 
desenvolve um padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, serão bordados dois 
triângulos pretos e quatro triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã 
branca, conforme a figura. 
 
 
 
Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com hipotenusa 212 cm. Cada triângulo 
cinza é semelhante a um triângulo preto e possui dois lados de medida 10 cm. 
 
Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, em cm2, 
 
a) 344. 
b) 456. 
c) 582. 
d) 628. 
e) 780. 
 
Questão 16) 
Um terreno retangular com 100 metros de frente e x metros de lateral foi dividido entre 
dois amigos A e B de tal forma que a área de A ficou igual a uma vez e meia área de B. Na 
divisão, os dois mantiveram a medida x nas suas laterais de forma que a divisão se deu 
por um segmento de reta com uma extremidade na frente do terreno e outra no fundo. 
Determine o comprimento, em metros, da frente do terreno de B, sabendo que o 
comprimento do fundo do terreno de A é igual a 30 metros. 
 
a) 12 
b) 24 
c) 6 
d) 36 
e) 10Questão 17) 
A hipotenusa do triângulo retângulo de catetos )5 (4+ cm e )5 (4− cm é igual ao lado de 
um quadrado de área x cm2. Determine o valor de x. 
 
a) 34 
b) 20 
c) 81 
d) 42 
e) 54 
 
Questão 18) 
Uma escola pretende colocar lajotas para construir um pátio com o formato abaixo. A 
parte pintada vai ser onde deverá ser colocado as lajotas. Sabe-se que não será preciso 
cobrir dois quadrados de lado b, onde se plantarão algumas flores. A área total a ser 
coberta é de 73 m2 e o comprimento do lado a menos 1m é igual ao triplo do 
comprimento do lado b. Dessa forma, podemos afirmar que a área que será destinada ao 
plantio das flores é: 
 
 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
a) 4 m2 
b) 8 m2 
c) 49 m2 
d) 81 m2 
e) 98 m2 
 
Questão 19) 
Na figura a seguir há três quadrados, sendo 258cm2 a soma de suas áreas. Qual o 
perímetro do maior quadrado, em cm, sendo que o menor quadrado tem lado medindo 
5cm? 
 
 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
a) 36cm 
b) 32cm 
c) 60cm 
d) 52cm 
e) 40cm 
 
Questão 20) 
Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois prédios (com formato de paralelepípedos 
reto‐retângulos) que têm paredes laterais paralelas, instalando uma lona na forma de 
um quadrilátero, com pontas presas nos pontos A, B,C e D conforme indicação da figura. 
 
Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de altura e 28 m de largura, que a lateral do 
outro prédio tem 60 m de altura e 20 m de largura e que essas duas paredes laterais 
distam 15 m uma da outra, a área total dessa lona seria de 
 
 
 
a) 300 m2 
b) 360 m2 
c) 600 m2 
d) 720 m2 
e) 1.200 m2 
 
Questão 21) 
Após uma grande fabricante adotar o chamado entalhe (notch) para aumentar a área útil 
da tela dos celulares, essa técnica passou a estar presente em diversos modelos de 
diversas marcas. Comercialmente, o tamanho da tela de um celular é dado pela medida 
da sua diagonal em polegadas. Em um celular com entalhe, o procedimento é o mesmo, 
entretanto, a área real da tela será menor que a área de um celular sem entalhe, com a 
mesma diagonal. 
 
 
 
Considere um celular, cuja tela retangular é de 5 polegadas e possui medidas laterais na 
proporção de 18:9. Esse aparelho possui um entalhe retangular ocupando 2/3 da largura 
da tela por 0,3 polegadas de altura, conforme ilustrado na figura acima. 
 
Considerando 5,252  , então a área real da tela do celular em questão, em polegadas 
ao quadrado, é um valor entre 
 
a) 9,6 e 9,7. 
b) 9,5 e 9,6. 
c) 9,3 e 9,4. 
d) 9,4 e 9,5. 
e) 9,7 e 9,8. 
 
TEXTO: 1 - Comuns às questões: 22, 23 
Valentina pretende fazer um trabalho sobre a vida das abelhas e para isso fará um cartaz 
retangular em que desenhará cinco hexágonos regulares congruentes não sobrepostos, 
com 10 cm de lado. Ela deseja que a altura do cartaz seja exatamente igual a duas vezes a 
distância entre os lados paralelos dos hexágonos, como mostra a figura. A área em cinza 
será colorida e a área composta pelos cinco hexágonos ficará em branco para que ela 
possa escrever seu trabalho. 
 
 
 
Adote para as questões de números 1 a 3: 7,13 = 
 
Questão 22) 
Para colorir a área cinza do cartaz, ela utilizará canetinhas de mesma cor. Sabendo que 
cada canetinha colore uma área de 200 cm2, ela gastará, para pintar essa área, 
 
a) duas canetinhas completas e mais um oitavo de uma terceira canetinha. 
b) duas canetinhas completas e mais um quarto de uma terceira canetinha. 
c) duas canetinhas completas e mais a metade de uma terceira canetinha. 
d) três canetinhas completas e mais um oitavo de uma quarta canetinha. 
e) três canetinhas completas e mais a metade de uma quarta canetinha. 
 
Questão 23) 
A razão entre as áreas colorida e branca, nesta ordem, no cartaz, é igual a 
 
a) 
2
1 
b) 
3
1 
c) 
4
1 
d) 
5
1 
e) 
6
1 
 
TEXTO: 2 - Comum à questão: 24 
Uma arquiteta projetou a construção de uma piscina em formato circular. Em seu projeto, 
ela inscreveu um círculo em um quadrado com lados de 20 cm, como mostra a figura. 
 
 
Escala 1:100 
 
Questão 24) 
Com base nos dados apresentados, a área pintada na figura, em cm2, é igual a 
 
a) 200 - 100  . 
b) 200 - 200  . 
c) 400 - 100  . 
d) 400 - 200  . 
e) 400 - 400  . 
 
Questão 25) 
Suponha que um terreno retangular de área 4 225 km2 será delimitado para se tornar 
uma nova Reserva Extrativista. 
Se o comprimento do terreno excede em 100 km sua largura (x), uma equação que 
permite determinar essa largura (x) é 
 
a) x2 + 100 x + 4 225 = 0 
b) x2 – 100 x + 4 225 = 0 
c) x2 + 100 x – 4 225 = 0 
d) x2 + 4 225 x – 100 = 0 
e) x2 – 4 225 x + 100 = 0 
 
Questão 26) 
Certa empresa hospitalar reuniu uma equipe de marketing, com o objetivo de elaborar 
bottons personalizados para serem utilizados por seus funcionários, como forma de 
reforçar a identidade visual da instituição. 
Como proposta de redução com gastos destinados à aquisição de matéria-prima para a 
confecção dos bottons, a equipe sugeriu, conforme a figura seguinte, duas possibilidades 
diferentes para o formato: o hexagonal e o quadrangular, ambos inscritos em uma mesma 
circunferência. 
 
 
 
Pode-se concluir que a máxima economia e a correspondente redução percentual de 
gastos com matéria-prima será alcançada em: 
 
a) Prisma hexagonal com redução de 19%. 
b) Prisma hexagonal com redução de 36%. 
c) Prisma quadrangular com redução de 19%. 
d) Prisma quadrangular com redução de 36%. 
 
Questão 27) 
O professor de matemática lançou o seguinte desafio para seus alunos: calcular a área do 
quadro da sala de aula, que tinha um formato de um quadrado, sabendo-se apenas que o 
perímetro desse quadro media 6,0 m. Fazendo-se corretamente os cálculos, o valor 
encontrado será: 
 
a) 1,5 m2 
b) 2,25 m2 
c) 6,0 m2 
d) 12,0 m2 
e) 36,0 m2 
 
Questão 28) 
Sobre o plano cartesiano a seguir, encontra-se a logomarca de uma empresa do Tocantins 
dada pela figura hachurada. Considerando-se que a unidade dos eixos é dada em 
centímetros, qual é a área total da logomarca? 
 
 
 
a) (1 +  ) cm2 
b) (2 +  ) cm2 
c) (1 + 4  ) cm2 
d) (2 + 4  ) cm2 
 
Questão 29) 
Para realizar a reforma de um restaurante, uma das paredes será revestida com peças 
de cerâmica quadradas, formando padrões retangulares compostos por quatro dessas 
peças. Cada um desses padrões é formado por uma peça grande de cor cinza agrupada, na 
parte superior, a três peças pequenas de lados iguais, alternando-se as cores preta e 
cinza, conforme ilustra a imagem a seguir. 
Os padrões serão colocados na parede, da esquerda para a direita, iniciando-se pelo 
padrão formado por duas peças pretas. 
 
 
 
Sabendo-se que nove desses padrões foram aderidos à parede, apenas na direção 
horizontal, um ao lado do outro, cobrindo uma área total de 2700 cm2, logo a área total 
coberta pelas peças pretas é, em cm2, igual a 
 
a) 375. 
b) 350. 
c) 325. 
d) 225. 
 
Questão 30) 
Sobre uma malha quadriculada, com quadrículos de 1 cm de lado, foi feito o desenho de 
um hexágono não convexo. 
 
 
 
A área desse hexágono é 
 
a) 36 cm2. 
b) 38 cm2. 
c) 36,5 cm2. 
d) 37 cm2. 
e) 37,5 cm2. 
 
Questão 31) 
Se o lado de cada quadrícula da figura abaixo mede 4 m, a área do terreno representado 
mede: 
 
 
 
a) 448 m2 
b) 512 m2 
c) 380 m2 
d) 624 m2 
e) 566 m2 
 
Questão 32) 
Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são 
quadrados. 
 
 
 
Com base nessas informações, a medida do segmento VN é igual a 
 
a) 32 − 
b) 
3
3
2 − 
c) 
3
3
1− 
d) 13 − 
e) 
3
3 
 
Questão 33) 
Considere um terreno com a forma de um triângulo retângulo cuja medida dos dois 
menores lados são respectivamente 30 m e 40 m. Deseja-se cercar um quadrado no 
interior do terreno com um dos vértices sobre o maior lado e os demaissobre os outros 
lados do terreno. Nessas condições, a medida da área do quadrado, em m2, será, 
aproximadamente, igual a 
 
a) 294. 
b) 302. 
c) 290. 
d) 298. 
 
Questão 34) 
Um losango está circunscrito a uma circunferência cuja medida do raio é igual a 4,8 m. Se 
a medida da área do losango é igual a 96 m2, então, é correto concluir que o comprimento 
do lado desse losango, em metros, é igual a 
 
a) 9. 
b) 8. 
c) 11. 
d) 10. 
 
Questão 35) 
Considere o quadrado MNPQ, cuja medida do lado é igual a 5 cm. No interior desse 
quadrado, está o triângulo equilátero MJL, onde os vértices J e L estão respectivamente 
sobre os lados NP e PQ do quadrado. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente 
que a medida, em cm2, da área limitada pelo triângulo MJL é igual a 
 
a) –50 + 50 3 
b) 25 + 25 3 
c) –25 + 25 3 
d) –75 + 50 3 
 
Questão 36) 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
A área da região colorida de cinza, em relação ao retângulo 4m 5m, corresponde a 
aproximadamente: 
 
a) 28%. 
b) 36%. 
c) 41%. 
d) 56%. 
e) 60%. 
 
Questão 37) 
A medida da área do hexágono regular da figura abaixo é 324 cm2. As diagonais AD e BE 
definem dois losangos congruentes e simétricos inscritos no hexágono. 
 
 
 
Sabendo-se que as diagonais AD e BE medem 8 cm, assinale a alternativa correta que 
corresponde à área ocupada pelos losangos. 
 
a) 316 cm2 
b) 38 cm2 
c) 
3
316
cm2 
d) 318 cm2 
e) 36 cm2 
 
Questão 38) 
Em um Laboratório de Química, uma das peças de decoração tem forma de um tetraedro 
regular, representando um átomo de Carbono, cuja área total mede 34 u.a. 
Com base nessa informação, pode-se concluir que a soma das medidas, em u.c., de todas 
as arestas desse tetraedro, é 
 
01. 9 
02. 12 
03. 16 
04. 18 
05. 24 
 
Questão 39) 
Um vidraceiro é contratado para colocar uma porta de vidro que escorregará em uma 
canaleta de largura interna igual a 1,45 cm, como mostra a figura. 
 
 
 
O vidraceiro precisa de uma placa de vidro de maior espessura possível, tal que deixe 
uma folga total de pelo menos 0,2 cm, para que o vidro possa escorregar na canaleta, e no 
máximo 0,5 cm para que o vidro não fique batendo com a interferência do vento após a 
instalação. Para conseguir essa placa de vidro, esse vidraceiro foi até uma loja e lá 
encontrou placas de vidro com espessuras iguais a: 0,75 cm; 0,95 cm; 1,05 cm; 1,20 cm; 
1,40 cm. 
 
Para atender às restrições especificadas, o vidraceiro deverá comprar a placa de 
espessura, em centímetro, igual a 
 
a) 0,75. 
b) 0,95. 
c) 1,05. 
d) 1,20. 
e) 1,40. 
 
Questão 40) 
Considere os pontos da malha quadriculada da figura. 
 
 
 
Se a soma das áreas dos polígonos indicados em vermelho é igual a 16 cm2, então a 
medida do segmento de reta indicado em verde é igual a 
 
a) cm
4
23
 
b) cm 24 
c) cm
4
33 
d) cm
3
24 
e) cm
3
34 
 
Questão 41) 
O paralelogramo ABCD, indicado na figura, é tal que 
4
BC
BE = , 
3
AD
DF = e G é a 
intersecção de EF com AC . 
 
 
 
A área do triângulo GCE supera a do triângulo GAF em, aproximadamente: 
 
a) 27% 
b) 25% 
c) 21% 
d) 11% 
e) 6% 
 
Questão 42) 
Considere na imagem abaixo: 
 
• os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, respectivamente, S1 e S2; 
• o triângulo retângulo ABC; 
• o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa BC, que contém o ponto X. 
 
 
 
Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é igual a: 
 
a) 
2
SS 21 + 
b) 
3
SS 21 + 
c) 21SS 
d) 22
2
1 )S()S( + 
 
Questão 43) 
O terreno mostrado na figura abaixo, cujas medidas estão expressas em metros, foi 
dividido em dois lotes de mesma área. 
 
 
 
A medida x, em metros, é igual a: 
 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
Questão 44) 
O quadrado e o retângulo da figura abaixo foram montados com as mesmas 4 peças. A 
medida x é igual a: 
 
 
 
a) 152 − 
b) 15 − 
c) 15 + 
d) 253 − 
e) 
2
53 
 
Questão 45) 
A figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano. 
 
 
 
A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a 
 
a) 160. 
b) 175. 
c) 180. 
d) 170. 
e) 155. 
 
Questão 46) 
Os estudantes 1, 2 e 3 concorreram a um mesmo cargo da diretoria do grêmio de uma 
faculdade da UNESP, sendo que 1 obteve 6,25% do total de votos que os três receberam 
para esse cargo. Na figura, a área de cada um dos três retângulos representa a 
porcentagem de votos obtidos pelo candidato correspondente. Juntos, os retângulos 
compõem um quadrado, cuja área representa o total dos votos recebidos pelos três 
candidatos. 
 
 
 
Do total de votos recebidos pelos três candidatos, o candidato 2 obteve 
 
a) 61,75%. 
b) 62,75%. 
c) 62,50%. 
d) 62,00%. 
e) 62,25%. 
 
Questão 47) 
O retângulo ABCD da figura foi decomposto em seis quadrados. 
 
 
 
Sabendo que o quadrado EFGH tem área igual a 1 cm2, então a área do retângulo ABCD é, 
em centímetros quadrados, 
 
a) 64. 
b) 89. 
c) 104. 
d) 111. 
e) 205. 
 
Questão 48) 
O retângulo PQRS é formado por seis quadrados cujos lados medem 2 cm. O triângulo 
ABC, em seu interior, possui os vértices definidos pela interseção das diagonais de três 
desses quadrados, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Determine a área do triângulo ABC tomando como unidade a área de um quadrado de 
lado igual a 2 cm. 
 
Questão 49) 
Considere o quadrado ABCD, de lado 4 cm, e o retângulo EFGH, com EF = 2 cm, CF = 1 cm 
e os pontos B, G, C e F alinhados, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Sabendo que G é ponto médio do lado BC , que o ponto K pertence ao lado HE e que os 
pontos A, K e F estão alinhados, a área do quadrilátero FGHK é 
 
a) 3,5 cm2. 
b) 4,0 cm2. 
c) 4,5 cm2. 
d) 3,0 cm2. 
e) 2,5 cm2. 
 
Questão 50) 
Na figura, ABC é um triângulo retângulo, com BC = 1000 m, AB = 800 m e AC = 600 m. 
Sabe-se que D e F são pontos de BC , G é o ponto de AC , E é ponto de AB e DFGE é um 
retângulo. 
 
 
 
Se D dista 400 de B, então a área do retângulo DFGE, em m2, é igual a 
 
a) 90000. 
b) 112500. 
c) 125250. 
d) 85420. 
e) 67500. 
 
Questão 51) 
A figura abaixo representa um quadrado ABCD, que contém 9 pequenos quadrados todos 
iguais. 
 
 
 
A soma das áreas das partes sombreadas é igual a 36 cm2. Então, o lado do quadrado 
ABCD mede 
 
a) 10 cm 
b) 12 cm 
c) 14 cm 
d) 16 cm 
e) 20 cm 
 
Questão 52) 
A figura abaixo mostra um quadrado ABCD que é formado de um quadrado limitado por 4 
retângulos iguais. O perímetro de cada retângulo é 60 cm. 
 
 
 
Qual é a área, em cm2, do quadrado ABCD? 
 
a) 600 
b) 800 
c) 900 
d) 950 
e) 980 
 
Questão 53) 
De acordo com o teorema de Pick, se os vértices de um polígono simples estão sobre uma 
grade de pontos de coordenadas inteiras, sua área será igual a 1
2
p
i −+ , sendo i o número 
de pontos de coordenadas inteiras no interior do polígono e p o número de pontos de 
coordenadas inteiras no perímetro do polígono. Por exemplo, a área A do polígono 
INSPER, indicado na figura, é: 
 
5,151
2
7
13A =−+= unidades 
 
 
 
Um polígono simples possui área igual a 40 unidades e vértices sobre uma grade de 
pontos de coordenadas inteiras. Sabe-se que o número de pontos de coordenadas inteiras 
no perímetro desse polígono supera seu número de lados em 8, e que o número de 
pontos de coordenadas inteiras no interior do polígono supera seu número de lados em 
22. A soma dos ângulos internos desse polígono é igual a: 
 
a) 1 620º 
b) 1 800º 
c) 1 980º 
d) 1 440º 
e) 1 260º 
 
TEXTO: 3 - Comum à questão: 54 
A figura indica um icosaedro (20 faces) feito com encaixes de dobraduras em papel. A 
aresta do icosaedro mede 8 cm e cada face é composta por três pipas idênticas, a não ser 
por suas cores (amarelo, verde, laranja). Cada pipa é feita por meio de dobras em uma 
folhade papel colorido em forma de quadrado de lado medindo 15 cm. Em cada face 
triangular do icosaedro, o ponto comum às três pipas que a compõe é o incentro da face. 
 
 
 
Questão 54) 
Considerando que não houve sobras nem desperdício de papel na montagem desse 
icosaedro, o total de papel gasto, em m2, foi de 
 
a) 1,35. 
b) 0,055. 
c) 0,135. 
d) 0,55. 
e) 0,45. 
 
Questão 55) 
A prefeitura de uma cidade pretende fazer um pequeno espaço de convivência em um 
terreno retangular com medidas de 20 metros por y metros. Para isso, será necessário 
plantar grama no pentágono HGFBE, conforme figura abaixo. O valor de y, em metros, 
para que a área de grama a ser plantada seja de 180 m2, é 
 
 
 
a) 18 
b) 15 
c) 10 
d) 7,5 
e) 5 
 
Questão 56) 
No retângulo ABCD a seguir, estão marcados os pontos E, F e G de forma que o lado AB 
está dividido em 4 partes iguais e P é um ponto qualquer sobre o lado DC. 
 
 
 
A razão entre a área do triângulo PFG e a área do retângulo ABCD é 
 
a) 
8
1 . 
b) 
6
1 . 
c) 
4
1 . 
d) 
2
1 
e) 1 
 
Questão 57) 
A partir de um hexágono regular de lado unitário, constroem-se semicírculos de 
diâmetros também unitários, conforme indicados na figura abaixo. 
 
 
 
A medida da área sombreada é 
 
a) 
4
33 −
. 
b) 
4
 . 
c) 
4
33
. 
d) 
4
33 +
. 
e) 
2
33
. 
 
Questão 58) 
Uma praça de forma retangular, cujo lado maior mede o dobro do lado menor, tem uma 
área de 12.800 m2. Ao longo do perímetro dessa praça, foi construída uma pista para 
caminhadas. Se uma pessoa der exatamente cinco voltas completas nessa pista, 
percorrerá um total de 
 
a) 2,4 km 
b) 2,6 km 
c) 2,8 km 
d) 3,2 km 
e) 3,4 km 
 
Questão 59) 
Na decoração de uma loja para a Copa do Mundo de 2018, foram usados pentágonos 
regulares de lado l. Os pentágonos foram obtidos de um retângulo removendose quatro 
triângulos, um em cada canto, como mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
Sabendo que cos 18º = 0,95 e que sen 18º = 0,3, a soma das áreas dos quatro triângulos 
removidos é aproximadamente igual a 
 
a) 0,352l2 
b) 0,487l2 
c) 0,592l2 
d) 0,744l2 
e) 0,951l2 
 
Questão 60) 
A Prefeitura de Fortaleza comprou um terreno para a construção de uma areninha que, é 
composta de um campo de futebol, um vestiário e um espaço para lanchonetes. O 
terreno tem a forma de três quadrados conforme a figura abaixo. Se a soma das áreas dos 
quadrados é igual a 83 m2, qual é a área do quadrado maior? 
 
 
 
a) 30 m2 
b) 40 m2 
c) 49 m2 
d) 55 m2 
e) 60 m2 
 
GABARITO: 
1) Gab: C 
 
2) Gab: C 
 
3) Gab: C 
 
4) Gab: B 
 
5) Gab: 
a) Considere o segmento BE , paralelo ao segmento YW e seja =WÂB . 
 
No triângulo retângulo BEA: 
AB
10
5
3
AB
BE
sen =→= 
cm
3
50
AB = 
b) Considere os triângulos AOX e AOW: 
 
Note que AOWAOX  (caso cateto – hipotenusa) 
Então: 
2
)WÂO(med)XÂO(med

== e AW = AX. 
Das fórmulas trigonométricas: 
3
1
5
4
1
5
3
cos1
sen
2
tg =
+
=
+

=




  
No triângulo retângulo AOW: 
AW
OW
2
tg =




  
AW
5
3
1
= 
AW = 15cm 
As medidas são AW = AX = 15 cm. 
c) Das propriedades de potência de ponto, tem-se que 
CY = CZ, BY = BX, AX = AW e DZ = DW 
Fazendo BX = a, CY = b e lembrando que cm
3
50
AB = e CD = 15 cm, completamos a 
figura seguinte: 
 
A área da região delimitada pelo trapézio é dada por 
YW
2
AD)(BC
[ABCD] 
+
= 
10
2
)b15a
3
50
b(a
[ABCD] 
−+−++
= 
2cm
3
475
[ABCD]= 
 
6) Gab: A 
 
7) Gab: C 
 
8) Gab: C 
 
9) Gab: C 
 
10) Gab: 28 
 
11) Gab: 27 
 
12) Gab: A 
 
13) Gab: B 
 
14) Gab: D 
 
15) Gab: B 
 
16) Gab: E 
 
17) Gab: D 
 
18) Gab: B 
 
19) Gab: D 
 
20) Gab: C 
 
21) Gab: B 
 
22) Gab: A 
 
23) Gab: B 
 
24) Gab: C 
 
25) Gab: C 
 
26) Gab: D 
 
27) Gab: B 
 
28) Gab: B 
 
29) Gab: B 
 
30) Gab: C 
 
31) Gab: A 
 
32) Gab: A 
 
33) Gab: A 
 
34) Gab: D 
 
35) Gab: D 
 
36) Gab: A 
 
37) Gab: A 
 
38) Gab: 02 
 
39) Gab: D 
 
40) Gab: D 
 
41) Gab: A 
 
42) Gab: A 
 
43) Gab: E 
 
44) Gab: C 
 
45) Gab: C 
 
46) Gab: C 
 
47) Gab: C 
 
48) Gab: 
Se a base do triângulo ABC é BC, a altura é a distância hA do vértice A à reta que contém 
BC. Nesse caso, BC = 2 cm e hA = 2 cm. 
Então, a área desse triângulo é 2A cm2
2
22
2
hBC
S =

=

= . 
Como a unidade de área dada é 4 cm2, a área do triângulo é 0,5 unidade de área. 
 
49) Gab: A 
 
50) Gab: B 
 
51) Gab: B 
 
52) Gab: C 
 
53) Gab: D 
 
54) Gab: A 
 
55) Gab: B 
 
56) Gab: A 
 
57) Gab: A 
 
58) Gab: A 
 
59) Gab: D 
 
60) Gab: C