Livro Texto - Cálculo Diferencial e Integral IV

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1 Funções Reais de Várias 
Variáveis
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1 Funções Reais de Várias 
Variáveis
Neste capítulo, apresentaremos as funções reais de várias 
variáveis e faremos alguns esboços de gráficos com o au-
xílio das curvas de nível. Em seguida, apresentaremos a 
noção de limite para tais funções, um conceito fundamen-
tal do cálculo do qual decorrem outros, como a noção de 
continuidade e de derivadas parciais.
1.1 Funções de várias variáveis
Nos cursos de cálculo 1 e 2, estudamos funções reais de uma va-
riável real, isto é, funções da forma ( )y f x= com . 
No entanto, em situações reais, freqüentemente, temos que li-
dar com funções com mais de uma variável. Como um primeiro 
exemplo de tais funções citamos o volume de um cilindro reto, 
que é dado por 2V r h= , onde r é o raio e h é a altura. O volume 
V, neste caso, é uma função de duas variáveis, isto é,
( , )V V r h=
e está definida por
2( , )V r h r h= .
Outro exemplo a ser considerado é o de um circuito elétrico como 
o da figura 1.1,
R1 R2 R3
R4 R5E
Figura 1.1
16
onde E representa a tensão da fonte e iR , 1,2, ,5i =  , são os resis-
tores. Podemos dizer que a corrente desse circuito, dada por
1 2 3 4 5
EI
R R R R R
=
+ + + +
,
é uma função de cinco variáveis independentes, isto é,
1 2 3 4 5( , , , , )I I R R R R R= .
No primeiro exemplo, lidamos com pares ordenados de números 
reais, isto é, pares ordenados ( , )r h do plano 2 = ×   , confor-
me a figura 1.2.
r
h
(r,h)
Figura 1.2
No caso de lidarmos com ternas ordenadas do espaço tridimen-
sional 3 , por exemplo ( , , )x y z , a representação gráfica é feita 
como na figura 1.3,
z0
x0
y0
z
y
x
P
Figura 1.3
para um ponto 0 0 0( , , )P P x y z= . Para funções com mais de três 
variáveis (como no segundo exemplo, onde consideramos o espa-
ço 5 ), não é possível obter-se uma visualização gráfica.
17
1.2 Definições básicas
Assim como denotamos um ponto na reta real  por um nú-
mero real x, um ponto no plano 2 por um par de números 
reais ( , )x y e um ponto no espaço 3 por uma terna ordenada 
( , , )x y z , representamos um ponto no espaço n-dimensional n 
por uma n-upla de números reais, a qual é comumente denota-
da por 1 2( , , , )nP x x x=  . Em particular, se 1n = , P x= ; se 2n = , 
( , )P x y= ; se 5n = , 1 2 3 4 5( , , , , )P x x x x x= , e assim por diante.
Definição 1. O conjunto de todas as n-uplas de números reais é 
chamado de espaço numérico n-dimensional e é denotado por n . 
Cada n-upla 1 2( , , , )nx x x é chamada de um ponto no espaço 
n .
Definição 2. Seja A um conjunto do espaço n-dimensional n , isto 
é, os elementos de A são n-uplas ordenadas 1 2( , , , )nx x x de nú-
meros reais. Se a cada ponto P do conjunto A associarmos um 
único elemento z∈ , teremos uma função : nf A⊆ →  . Essa 
função é chamada função real de n variáveis reais. Denotamos
( )z f P= ou 1 2( , , , )nz f x x x=  .
O conjunto de todos os valores possíveis de P (no caso, o conjunto 
A) é chamado de domínio da função. O conjunto de todos os valo-
res possíveis para z é chamado de imagem da função.
Salientamos que, para que tenhamos uma função, cada ponto P 
do conjunto A deve ser associado a apenas um número real z. Ou 
seja, se 0 1( )f P z= e 0 2( )f P z= , e f é uma função, então obrigato-
riamente 1 2z z= .
Quando uma função é dada através de alguma expressão em 
termos de e nada é dito sobre seu 
domínio, entende–se que o domínio é o maior 
conjunto de no qual a expressão dada faz 
sentido como um número real.
18
Exemplo 1.1. Seja A o conjunto de pontos do 2 , representado na 
figura 1.4.
3 x
y
Figura 1.4
Solução. A cada ponto ( , )x y pertencente a 2A⊂  podemos 
fazer corresponder um número z∈ , dado por
2 29z x y= − − .
Neste caso, estamos diante de uma função de duas variáveis reais 
denotada por
2
2 2
:
( , ) ( , ) 9
f A
x y z f x y x y
⊂ →
= = − −
 
.
Esta função pode representar, por exemplo, a temperatura em 
uma chapa circular de raio 3. O conjunto 2A⊂  , isto é, o con-
junto de pontos 2( , )x y ∈ tais que 2 29 0x y− − ≥ ou 2 2 9x y+ ≤ é 
chamado o domínio dessa função, e é denotado por
2 2 2( ) ( ) {( , ) ; 9}D z D f x y x y= = ∈ + ≤ .
A imagem dessa função é o conjunto dos números z∈ , tais que 
0 3z≤ ≤ , e é denotada por
Im( ) Im( ) { ;0 3}z f z z= = ∈ ≤ ≤ ou Im( ) [0,3]z = .
Exemplo 1.2. Fazer uma representação gráfica do domínio da 
função ( , ) ln( )f x y x y= − .
Solução. A função ( , ) ln( )f x y x y= − é uma função de duas vari-
áveis. Portanto, o seu domínio é um subconjunto do 2 .
19
Sabemos que ln( )x y− é um número real quando 0x y− > ou 
x y> .
Assim, o domínio da função f é 2( ) {( , ) ; }D f x y x y= ∈ > .
A figura 1.5 mostra a região do 2 que representa graficamente 
esse domínio.
x
y
Figura 1.5
Exemplo 1.3. Fazer uma representação gráfica do domínio da 
função 2 2 2( , , ) 25g x y z x y z= − − − .
Solução. A função g é uma função de três variáveis independen-
tes, logo seu domínio é um subconjunto do 3 .
Para que 2 2 225 x y z− − − seja um número real, devemos ter que
2 2 225 0x y z− − − ≥ ou 2 2 2 25x y z+ + ≤ .
Assim, o domínio da função g é dado por
 
3 2 2 2( ) {( , , ) ; 25}D g x y z x y z= ∈ + + ≤
e é representado graficamente pela região esférica do 3 de raio 
r = 5, mostrada na figura 1.6.
z
y
x
5
Figura 1.6
20
Exercícios
1) Fazer uma representação gráfica do domínio da função 
2 2
xyz
x y
=
−
.
2) Dada a equação 2 2 2 2x y z a+ + = , *a +∈ , que representa uma 
esfera de raio a (ver figura 1.7), centrada na origem, definir fun-
ções de duas variáveis que representem os hemisférios e determi-
nar seus respectivos domínios.
z
y
x
a
Figura 1.7
3) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se co-a) 
locar em uma sala de largura a e comprimento b.
O volume de um paralelepípedo de dimensões b) x, y e z.
A distância entre dois pontos c) ( , , )P x y z e ( , , )Q u v w .
4) Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes 
funções:
a) 3z x y= − − .
b) 2 2 9z x y= + − .
c) 2 2( , ) 4f x y x y= + + .
21
1.3 Curvas de nível e esboços de gráficos
Da mesma forma que no estudo de funções de uma variável, a 
noção de gráfico desempenha um papel importante no estudo 
das funções de várias variáveis.
Definição 3. Se f for uma função de n variáveis, : nf A⊆ → , 
então o gráfico de f , denotado por ( )Graf f , é o conjunto dos 
pontos definidos por 
1
1 2 1 2 1 2( ) {( , , , , ) x ; ( , , , ) com ( , , , ) }
n n
n n nGraf f x x x z z f x x x x x x A
+= ∈ = = ∈    
1
1 2 1 2 1 2( ) {( , , , , ) x ; ( , , , ) com ( , , , ) }
n n
n n nGraf f x x x z z f x x x x x x A
+= ∈ = = ∈     .
 
Usaremos principalmente o caso onde a função tem duas variá-
veis independentes. O gráfico para essas funções, em geral, repre-
senta uma superfície no espaço tridimensional.
Exemplo 1.4. A equação 3 3 3x y z+ + = é a equação de um plano 
inclinado que corta os eixos coordenados em 3x = , 1y = e 1z = . 
Resolvendo essa equação para z em função de ( , )x y , obtemos a 
função 
1 (3 3 )
3
z x y= − − cujo domínio é todo o plano xy e cuja ima-
gem é todo o eixo z. A figura 1.8 representa a parte do plano que 
está no primeiro octante.
z
y
x
1
1
3
Figura 1.8
Neste caso,
3 2 33 3( ) {( , , ) ; , ( , ) } {( , , ) ; 3 3 3}
3
x yGraf f x y z z x y x y z x y z− −= ∈ = ∈ = ∈ + + =  
3 2 33 3( ) {( , , ) ; , ( , ) } {( , , ) ; 3 3 3}
3
x yGraf f x y z z x y x y z x y z− −= ∈ = ∈ = ∈ + + =  
22
Assim, o gráfico de f é o plano acima representado. Resumida-
mente, dizemos que o gráfico da função é descrito pela equação 
3 3 3x y z+ + = .
Exemplo 1.5. Fazer um esboço do gráfico da função
2 2( , )f x y x y= + .
Solução. O gráfico de f é uma superfície cuja equação é 
2 2z x y= + . Para se ter noção de como é essa superfície, preci-
samos identificar as intersecções dessa superfície com os planos 
coordenados xy, xz e yz.O traço dessa superfície sobre o plano xy é encontrado utilizan-
do-se a equação 0z = , juntamente com a equação da superfí-
cie. Obtemos 2 2 0x y+ = , equação que é satisfeita na origem 
( , ) (0,0)x y = .
Encontramos os traços sobre os planos xz e yz fazendo 0y = e 
0x = , respectivamente. Esses traços são, respectivamente, as pa-
rábolas 2z x= e 2z y= .
A intersecção da superfície com um plano z k= , paralelo ao plano 
xy, com 0k > , é uma circunferência com centro no eixo z e raio 
k .
Com essas informações obtemos a seguinte superfície, que é cha-
mada de parabolóide de revolução:
z
y
x
Figura 1.9
Salientamos o fato de que, dada uma superfície S no espaço, nem 
sempre ela representa uma função ( , )z f x y= . Uma superfície S 
só representará o gráfico de uma função ( , )z f x y= se qualquer 
23
reta paralela ao eixo z interceptar S no máximo em um ponto. Os 
exemplos 3.1 e 3.2 mostram superfícies do 3 que representam 
funções, enquanto que uma “casca” esférica no 3 não representa 
uma função.
Outro método similar de representar geo-metricamente uma função de duas va-
riáveis é à técnica utilizada pelos cartógrafos 
para a elaboração de mapas de relevo, que são 
representações de paisagens tridimensionais 
em mapas topológicos bidimensionais. Essa 
técnica consiste em determinar os conjuntos 
de pontos do domínio da função para os quais 
o valor da função permanece constante. Esses 
conjuntos de pontos são chamados curvas de 
nível da função.
Definição 4. Seja k um número real. Uma curva de nível k de uma 
função ( , )z f x y= é o conjunto de todos os pontos ( , ) ( )x y D f∈ 
tais que ( , )f x y k= . Denotamos por
{( , ) ( ); ( , ) }kC x y D f f x y k= ∈ = , 
e então kC representa a curva de nível k .
Na prática, intersectamos a superfície ( , )z f x y= com um plano 
z k= , paralelo ao plano xy, e projetamos a curva obtida sobre o 
plano xy, isto é, o plano 0z = .
Cada ponto da curva de nível corresponde a um ponto na super-
fície que está k unidades acima, se k for positivo, ou k unidades 
abaixo, se k for negativo.
Considerando diferentes valores para a constante k, obtemos um 
conjunto de curvas de nível chamado mapa de contorno. O con-
junto de todos os valores possíveis de k é a imagem da função f.
Em geral, as curvas de nível são mostradas para valores de z em 
intervalos constantes. Quando as curvas de nível estão próximas, a 
24
superfície é íngreme, e quando estão afastadas, a elevação da super-
fície é obtida considerando-se a distância entre as curvas de nível.
Exemplo 1.6. Para 2 2( , )f x y x y= + , as curvas de nível são cir-
cunferências com centro na origem. As curvas de nível para 
1,2,3z = estão representadas na figura 1.10.
As curvas de nível estão definidas para 0k > e são dadas por 
2 2 2{( , ); }kC x y x y k= + = .
y
x
+1 +2 +3
+1
+2
+3
-1-2-3
-1
-2
-3
z = 1
z = 2
z = 3
z = 1
z = 2
z = 3
z = 4
z = 5
-2
-2
-1
-1
x0
+1
+1
+2
+2
y
Exemplo 1.7. Para a função 2 2( , )f x y x y= + , as curvas de nível 
são circunferências com centro na origem. As curvas de nível 
para 1,2,3, 4,5z = estão representadas na figura 1.11.
Observando os exemplos 1.6 e 1.7 vemos que as curvas de nível de 
ambas as funções são circunferências com centro na origem. Isso 
significa que somente com as curvas de nível podemos ter dificul-
dades em esboçar um gráfico corretamente. Um recurso para dri-
blar essa dificuldade é determinar a intersecção do gráfico com os 
planos coordenados xz e yz.
A intersecção do gráfico de 2 2z x y= + com os planos xz e yz são 
as semi-retas z x= ± e z y= ± , respectivamente. Já a intersecção 
 Figura 1.10 Figura 1.11
25
do gráfico de 2 2z x y= + com os planos xz e yz são as parábolas 
2z x= e 2z y= , respectivamente. Com essas informações pode-
mos ver que o gráfico de 2 2z x y= + é o parabolóide representado 
na figura 1.9, e que o gráfico de 2 2z x y= + é o cone da figura 
1.12.
A imagem de um cone aparece se observarmos, na figura 1.12, 
que as curvas estão igualmente espaçadas.
z = 3
z = 2
z = 1
x
z
y
+3
+2
+1
-1
-2
-3
-3
+3
-2
+2
-1
+1
0
-1
+1
-2
+2+3
-3
Figura 1.12
Exemplo 1.8. Considerar a função 2( , ) 8 2f x y x y= − − . Fazer um 
mapa de contorno de f mostrando suas curvas de nível em 4, 2, 0 
e -2, e esboçar seu gráfico.
Solução. Temos que 28 2z x y= − − .
Vamos primeiro fazer a intersecção do gráfico da função f com os 
planos xy, xz e yz.
O traço no plano xy é obtido fazendo 0z = , e nos dá a parábola 
2 2 8x y+ = . Por outro lado, a intersecção do plano xz com a su-
perfície, produz a parábola 2 8x z+ = .
Fazendo 0x = , obtemos o traço no plano yz, que é a reta 2 8y z+ = .
Obtemos também que as curvas de nível, dadas pela intersecção da 
superfície com o plano z k= , são as parábolas 2 12 4
2
x y k = − − + 
 
, 
26
que têm seus vértices sobre a reta 2 8y z+ = , no plano yz, e que 
abrem-se para a esquerda.
As figuras 1.13 e 1.14 mostram, respectivamente, o mapa de con-
torno solicitado e um esboço gráfico da função f.
y
x
1
3
4
5
2
z = -2
z = 0
z = 2
z = 4
Figura 1.13
y
x
0
-2
4
8
2
z
4
Figura 1.14
27
Exercícios
1) Suponha que o número de unidades produzidas de certa 
mercadoria seja z e 6z xy= , onde x é o número de máquinas uti-
lizadas na produção e y é o número de pessoas/hora disponíveis. 
A função ( , )f x y definida por ( , ) 6f x y xy= é uma função de pro-
dução. Traçar o mapa de contorno de f mostrando as curvas de 
produção constantes para z igual a 6, 12, 18 e 24.
2) Desenhar as curvas de nível, kC , para as funções e para os 
valores de k dados:
a) 2 2z x y= − , 0,1,2,3k = ;
b) 2 2z y x= − , 0,1,2,3k = ;
c) 2 2
1
2
l m n= + , 2,3,4,5k = .
3) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico dos 
seguintes parabolóides:
a) 2 22 2z x y= +
b) 2 21z x y= − − ;
c) 2 22z x y= + .
28
1.4 Noções de limite e continuidade
Antes de estabelecermos uma definição de limite, precisamos co-
nhecer alguns conceitos básicos.
Definição 1.5. Dados 1 2( , , , )
n
nx x x x= ∈  e 
0 0 0
0 1 2( , , , )
n
nx x x x= ∈  , 
define-se a distância entre os pontos x e 0x como: 
0 2 0 2
0 1 1( ) ... ( ) .n nx x x x x x− = − + + −
Agora, dado um número positivo r, define-se a bola aberta 0( , )B x r , 
de centro em 0x e raio r, como sendo o conjunto de todos os pontos 
1 2( , , , )
n
nx x x x= ∈  cuja distância até 0x é menor que r, isto é,
0 0( , ) { ; }
nB x r x x x r= ∈ − < .
Podemos também denotar 0( , )B x r por 0( )rB x .
Exemplo 1.9. Em 2 , para 0 0 0( , )X x y= , a bola 0( , )B X r é o con-
junto de todos os pontos interiores à circunferência com centro 
em 0 0 0( , )X x y= e raio r, conforme a figura 1.15.
x0 x
y0 r
y
Figura 1.15
Em 3 , a bola aberta de centro em 0 0 0 0( , , )X x y z= e raio r é dada 
por
3 2 2 2
0 0 0 0( , ) {( , , ) ; ( ) ( ) ( ) }B X r x y z x x y y z z r= ∈ − + − + − <
e representa o conjunto dos pontos internos à esfera com centro 
no ponto 0 0 0 0( , , )X x y z= e raio r.
29
Seja A um conjunto de pontos do n . Dizemos que x A∈ é um 
ponto interior de A se existir uma bola aberta com centro em x 
totalmente contida em A. Se todos os pontos de A são pontos inte-
riores, dizemos que A é um conjunto aberto.
Dizemos que nx∈ é um ponto de fronteira de A se toda bola 
aberta centrada em x contiver pelo menos um ponto de A e pelo 
menos um ponto que não está em A. Se todos os pontos de frontei-
ra de A pertencem a A, dizemos que A é um conjunto fechado.
Definição 1.6. Sejam A um subconjunto do n e 1 2( , , , )
n
nx x x x= ∈  . 
Dizemos que x é um ponto de acumulação de A se toda bola aber-
ta com centro em x contiver pelo menos um ponto de A diferente 
de x, isto é, se para todo 0r > tivermos ( ( )rB x { })x A∩ ≠∅ .
Observe que, se x é um ponto de acumulação de A, podemos to-
mar pontos de A tão próximos de x quanto quisermos.
Uma noção oposta à de ponto de acumulação é a de ponto isola-
do. Dizemos quex A∈ é um ponto isolado de A se não pudermos 
aproximar x por pontos de A diferentes de x, isto é, x é um ponto 
isolado de A se existir 0r > tal que ( ) { }rB x A x∩ = .
O conjunto dos pontos de acumulação de A, que às vezes 
chamamos de derivado de A, é denotado por 'A . Assim, 
' { ; é um ponto de acumulação de }nA x x A= ∈ . Gostaríamos de 
observar que todos os pontos interiores de um conjunto A são 
também pontos de acumulação do conjunto A. Além disso, um 
ponto de acumulação de A não precisa estar em A. 
Exemplo 1.10. Seja a bola aberta 
do 2 , de raio 1, centrada e com um furo na origem. Então, o 
conjunto dos pontos de acumulação de A é a bola fechada do 2 
de raio 1, centrada na origem, ou seja, 1' ((0,0))A B= . Além de to-
dos os pontos interiores de A estarem em 'A , gostaríamos de ob-
servar que os pontos da circunferência 1(0,0)C e a origem (0,0) 
também estão, apesar destes últimos não pertencerem a A. Aqui 
.
30
Exemplo 1.11. 
Toda bola aberta é um conjunto aberto. Também, a união de a) 
abertos é um conjunto aberto. A interseção finita de abertos 
é um conjunto aberto.
São abertos de b)  : (0,1) , ( 1,1)− , 120,
2
 − 
 
, ( ,3)−∞ , (3, )+∞ , 
( , 3) (2,5)−∞ − ∪ , etc.
São fechados de c)  : [0,1] , [ 1,1]− , 120,
2
 −  
, ( ,3]−∞ , [ 3, )− +∞ , 
( , 3] [2,5]−∞ − ∪ , etc.
Não são nem abertos, nem fechados: d) [ 3,5)− , [ 2,0) (2,3]− ∪ , 
[ 2,0) [2,3)− ∪ , etc.
Em todos os exemplos acima os pontos das extremidades e) 
dos intervalos são de acumulação. Os pontos interiores tam-
bém. O interior de um intervalo é o intervalo aberto.
O único ponto de acumulação do conjunto f) 
1 1 11, , , ,
2 3 4
 
 
 
 
é o ponto 0x = de  . Todos os pontos desse conjunto são 
isolados.
O conjunto g) 
1 1 10,1, , , ,
2 3 4
 
 
 
 tem só um ponto de acumula-
ção que é 0x = . Os demais pontos são isolados.
O retângulo h) é um conjun-
to fechado de 2 . Um retângulo aberto do 2 é da forma 
.
O conjunto i) 2( , )R x y= ∈
2 2
1
2 4
x y 
+ < 
 
 é o interior da elip-
se 
2 2
1
2 4
x y
+ = e é, portanto, um conjunto aberto. Sua frontei-
ra é formada pelos pontos da elipse.
Enunciaremos agora a definição de limite de uma função . O conceito de 
limite é um dos mais importantes da matemá-
tica, e dá origem aos conceitos de derivada e 
integral.
31
Definição 1.7. Sejam : nf A⊂ →  e 0 'x A∈ . Dizemos que o li-
mite de ( )f x , quando x se aproxima de 0x em A, é o número real 
b, se, para todo 0 > , existe 0 > tal que ( )f x b − < , sempre 
que x A∈ e 00 x x < − < . Neste caso denotamos
0
lim ( )
x x
f x b
→
= .
Observação 1.1. Deve-se notar que  depende de  e possivel-
mente de 0x .
A figura 1.16 ilustra, no caso de uma função 3:f A⊂ →  , a 
definição de limite.
Se 00 x x < − < , então ( )f x b − < , para x A∈ .
x
z
y
w
δ x0
x
f (x)
b − ε
b + ε
b = lim f (x)
x → x0f
Figura 1.16
Exemplo 1.12. Usando a definição de limite, mostre que
 
3 ( , ) (3,1)
1
lim (2 3 ) lim (2 3 ) 9
x x y
y
x y x y
→ →
→
+ = + = .
Solução. Devemos mostrar que, 0∀ > , 0∃ > tal que 
( , ) 9f x y − < , sempre que ( , ) (3,1)x y − < , isto é, 
2 2( 3) ( 1)x y − + − < .
Com o objetivo de encontrar o  desejado, trabalharemos com a 
desigualdade que envolve  . Assim, usando propriedades do valor 
absoluto, temos:
32
( , ) 9 2 3 9f x y x y− = + −
( , ) 9 2 6 3 3f x y x y− = − + −
( , ) 9 2( 3) 3( 1)f x y x y− = − + −
( , ) 9 2 3 3 1f x y x y− ≤ − + −
2 2( , ) 9 5 ( 3) ( 1)f x y x y− ≤ − + −
( , ) 9 5f x y − < ,
uma vez que 2 23 ( 3) ( 1)x x y− ≤ − + − e
Portanto, se tomarmos 
5

 = , obteremos que
sempre que 2 2( 3) ( 1)x y − + − < .
Assim, de acordo com a definição de limite, demonstramos que 
( , ) (3,1)
lim (2 3 ) 9
x y
x y
→
+ = .
Exemplo 1.13. Usando a definição, mostre que
( ) ( ) 2 2, 0,0
2lim 0
x y
xy
x y→
=
+
.
Solução. Devemos mostrar que, 0∀ > , 0∃ > tal que, se 
2 2x y + < , então 
2 2
2xy
x y
<
+
.
Como 2 2x x y≤ + e 2 2y x y≤ + , para ( , ) (0,0)x y ≠ , temos 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 2
x y x y x yxy x y
x y x y x y
+ ⋅ +
= ≤ = +
+ + +
.
Assim, tomando 
2

 = , temos que
sempre que 2 2x y + < .
Logo, 
( ) ( ) 2 2, 0,0
2lim 0
x y
xy
x y→
=
+
.
2 21 ( 3) ( 1)y x y− ≤ − + −
( , ) 9 5
5
f x y  − < ⋅ =
2 2
2 2
2 2 2
2
xy x y
x y

≤ + < ⋅ =
+
33
Observamos que, nesse exemplo, o ponto (0,0) não pertence ao 
domínio da função. Porém, (0,0) é um ponto de acumulação do 
domínio da função, conforme exigido na definição de limite.
Daqui pra frente, sempre que nos referir-mos ao limite , fica explícito que 
 é um ponto de acumulação do domínio de f.
Para que o limite de ( )f x exista, ( )f x deve-se aproximar do mes-
mo valor b, seja qual for a forma pela qual nos aproximarmos de 
0x através de pontos de A. Temos a seguinte proposição:
Proposição 1. (Existência do Limite) Sejam 1A e 2A dois subcon-
juntos distintos de A, ambos tendo 0x como ponto de acumulação. 
Se ( )f x tem limites diferentes quando x tende a 0x através de 
pontos de 1A e de 2A , então 
0
lim ( )
x x
f x
→
 não existe.
Demonstração. Essa demonstração será feita por contradição.
Suponhamos que exista um número real b tal que 
0
lim ( )
x x
f x b
→
= . 
Então 0∀ > , 0∃ > tal que se x A∈ e 0x x − < , então 
( )f x b − < .
Resulta daí que o limite de ( )f x é igual ao valor b quando x ten-
de a 0x através de pontos de 1A e através de pontos de 2A . Isso 
contraria a hipótese que ( )f x possui limites diferentes quando x 
tende a 0x através de pontos de 1A e de 2A .
Portanto, concluímos que 
0
lim ( )
x x
f x
→
 não existe se ( )f x possui li-
mites diferentes quando x tende a 0x através de pontos distintos 
do domínio A.
Exemplo 1.14. Mostre que 2 2( , ) (0,0)
2lim
x y
xy
x y→ +
 não existe.
Solução. Vamos nos aproximar do ponto 2(0,0)∈ através de 
pontos do eixo x e através de pontos da reta y x= .
Nos aproximando pelo eixo x, temos
2 2 2 2 20 0 0 0
0
2 2 0 0lim lim lim lim 0 0
0x x x xy
xy x
x y x x→ → → →
→
⋅
= = = =
+ +
,
34
e nos aproximando pelos pontos da reta y x= , temos
2
2 2 2 2 20 0 0 0
0
2 2 2lim lim lim lim1 1
2x x x xy
xy x x x
x y x x x→ → → →
→
⋅
= = = =
+ +
.
Logo, 
( ) ( ) 2 2, 0,0
2lim
x y
xy
x y→ +
 não existe.
Exemplo 1.15. Seja 
2
4 2( , )
x yf x y
x y
⋅
=
+
 uma função definida em to-
dos os pontos do 2 , exceto em (0,0) . Mostre que 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
 
não existe.
Solução. Vamos nos aproximar do ponto 2(0,0)∈ através de 
pontos do eixo x e através de pontos da parábola 2y x= .
Nos aproximando pelo eixo x, temos
2
4 2 40 0
0
0lim lim 0
x x
y
x y
x y x→ →
→
= =
+
,
e nos aproximando pelos pontos da parábola, temos
2 2 2 4 4
4 2 4 2 4 4 40 0 0 0
0
1lim lim lim lim
( ²) 2 2x x x xy
x y x x x x
x y x x x x x→ → → →
→
⋅
= = = =
+ + +
.
Logo, 
( ) ( ), 0,0
lim ( , )
x y
f x y
→
 não existe, para 
2
4 2( , )
x yf x y
x y
⋅
=
+
.
Para que possamos operar com limites, é necessário conhecer al-
gumas propriedades. Nesse sentido, temos o seguinte resultado:
Proposição 1.2. (Propriedades do Limite) Sejam , : nf g A⊂ →  
e 0 'x A∈ . Se 
0
lim ( )
x x
f x b
→
= e 
0
lim ( )
x x
g x c
→
= , então:
a) 
0
lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x b c
→
+ = + ;
b) 
0
lim ( )
x x
f x b 
→
⋅ = ⋅ ;
c) 
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x b c
→
⋅ = ⋅ ;
d) 
0
( )lim
( )x x
f x b
g x c→
= , desde que 0c ≠ ;
35
e) 
0
lim[ ( )]n n
x x
f x b
→
= , para qualquer inteiro positivo n;
f) 
0
lim ( ) nn
x x
f x b
→
= , se 0b ≥ e n inteiro positivo, ou b qualquer se 
n inteiro positivo ímpar.
Demonstração. Demonstraremos o item (a) desta proposição com 
o sinal positivo.
Sejam 
0
lim ( )
x x
f x b
→
= e 
0
lim ( )
x x
g x c
→
= , e 0 > arbitrário. Va-
mos mostrar que existe 0 > tal que ( ) ( ) ( )f x g x b c + − + < , 
sempre que x A∈ e 0x x − < .
Como 
0
lim ( )
x x
f x b
→
= , 1 0∃ > tal que ( ) 2f x b − < , sempre que 
x A∈ e 0 1x x − < . Também, como 
0
lim ( )
x x
g x c
→
= , 2 0∃ > tal 
que ( )
2
g x c − < , sempre que x A∈ e 0 2x x − < .
Seja 1 2min{ , }  = . Então, ( ) 2
f x b − < e ( )
2
g x c − < , se 
x A∈ e 0x x − < . Logo,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
( )f x g x b c f x b g x c+ − + ≤ − + − ≤ + =   ,
sempre que x A∈ e 0x x − < . 
Dessa forma, 
0
lim ( ) ( )[ ]
x x
f x g x b c
→
+ = + .
A aplicação desta proposição nos permite transformar o limite de uma função de 
várias variáveis em uma expressão envolvendo 
limites de uma variável.
Exemplo 1.16. Calcule 
( , ) (2, 1)
lim ( , )
x y
f x y
→ −
, para 2 3( , ) 2 4f x y x y xy= − + .
Solução. Podemos escrever
2 3 2 3
2 2 1 2 1
1
lim( 2 4) lim lim 2lim lim 4 4 ( 1) 2 2 ( 1) 4 4
x x y x y
y
x y xy x y x y
→ → →− → →−
→−
− + = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − − ⋅ ⋅ − + =
2 3 2 3
2 2 1 2 1
1
lim( 2 4) lim lim 2lim lim 4 4 ( 1) 2 2 ( 1) 4 4
x x y x y
y
x y xy x y x y
→ → →− → →−
→−
− + = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − − ⋅ ⋅ − + = .
36
Falaremos agora do limite de funções compostas. Sejam 
: nf A⊆ →  e :g B ⊂ →  com ( )f A B⊂ , duas funções. 
Para que possamos calcular 
0
lim( )( )
x x
g f x
→
 , é necessário supor 
uma condição a mais sobre a função g.
Proposição 1.3. Suponha que g seja uma função de uma va-
riável contínua num ponto a, e suponha que f seja uma fun-
ção tal que 
0
lim ( )
x x
f x a
→
= , então 
0
lim( )( ) ( )
x x
g f x g a
→
= , ou ainda, 
0 0
lim ( ( )) (lim ( ))
x x x x
g f x g f x
→ →
= , onde ( )( )g f x é a função composta de 
g e f, isto é, ( )( ) ( ( ))g f x g f x= .
Demonstração. Seja 0 > . Como g é contínua em A, existe 
1 1( )  = , 1 0 > , tal que
 ( )u D g∈ e 1 ( ) ( )u a g u g a − < ⇒ − < . (1)
Como 
0
lim ( )
x x
f x a
→
= e 1 0 > , 2 0∃ > tal que ( )x D f∈ e 
0 2x x − < implica que 1( )f x a − < .
Assim, se ( )x D f∈ e 0 2x x − < , temos que ( )u f x= satisfaz a 
condição dada em (1) e, conseqüentemente, ( ( )) ( )g f x g a − < . 
Portanto, 
0
lim( )( ) ( )
x x
g f x g a
→
= .
Exemplo 1.17. Calcular 
0
2
lim sen( )
x
y
x y

→
→
+ .
Solução. Usando a proposição anterior, podemos escrever
0 0
2 2
lim sen( ) sen lim( ) sen 1
2x x
y y
x y x y
 

→ →
→ →
 
   + = + = =   
  
 
.
Passaremos agora a trabalhar o conceito de continuidade de fun-
ções de várias variáveis.
Definição 1.8. Sejam : nf A⊂ →  e 0 'x A A∈ ∩ . Dizemos que f 
é contínua em 0x se 
0
0lim ( ) ( )x x f x f x→ = . Mais precisamente, f é con-
37
tínua em 0x , se para todo 0 > , existe 0( , )x  = tal que, se x A∈ 
e 0x x − < então 0( ) ( )f x f x − < .
Notamos que o número , da definição de continuidade, depende de e possi-
velmente de . Observamos que, pela defini-
ção de continuidade, uma função f será con-
tínua se o limite de existir quando x se 
aproximar de algum ponto de acumulação 
e se esse limite for igual a . Isto significa 
que o limite de , em todas as direções e 
através de qualquer curva, é sempre o mesmo, 
e igual a .
Ainda observamos que se '0 \x A A∈ , isto é, 0x é um ponto isolado 
de A, então também se diz que f é contínua em 0x . 
Exemplo 1.18. Verificar se é contínua em (0,0) a função
2 2
2 , ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy x y
f x y x y
x y
 ≠= +
 =
.
Solução. No exemplo 1.12, mostramos que 
( ) ( ) 2 2, 0,0
2lim 0
x y
xy
x y→
=
+
. 
Logo, a função dada é contínua em (0,0) , pois 
( ) ( ) 2 2, 0,0
2lim (0,0)
x y
xy f
x y→
=
+
.
Das propriedades sobre limites decorrem algumas propriedades 
das funções contínuas, que são dadas no seguinte resultado:
Proposição 1.4. Sejam , : nf g A⊂ →  duas funções contínuas 
em 0x A∈ , e seja ∈ . Então:
a) f g± é contínua em 0x ;
b) f g⋅ é contínua em 0x ;
38
c) f é contínua em 0x e
d) 
f
g
 é contínua em 0x , desde que 0( ) 0g x ≠ .
Esta proposição permite-nos concluir que uma função polino-
mial de n variáveis é contínua em n , isto é, toda função que 
possa ser expressa como soma de termos da forma 1 21 2 n
mm m
ncx x x , 
onde c∈ e im , 1,2, ,i n=  , é um inteiro não negativo.
Proposição 1.5. Sejam : nf A⊂ →  e :g B ⊂ →  tais que 
( )f A B⊂ . Seja 0x A∈ , e suponhamos que f seja contínua em 0x e 
que g seja contínua em 0( )f x . Então, a função composta ( )g f é 
contínua em 0x .
Demonstração. Como g é contínua em 0( )f x , dado 0 > existe 
1 1( )  = , 1 0 > , tal que
 y B∈ e 0 1 0( ) ( ) ( ( ))y f x g y g f x − < ⇒ − < . (2)
Como f é contínua em 0x , para esse 1 existe 0 > tal que
 x A∈ e 0 0 1( ) ( )x x f x f x − < ⇒ − < . (3)
Usando (2) e (3), podemos escrever
x A∈ e 0 0( ( )) ( ( ))x x g f x g f x − < ⇒ − < .
Assim ( )g f é contínua em 0x .
Exercícios
1) Calcular o limite que se pede:
a) 2 2
( , ) (2,3)
lim (3 2 )
x y
x xy y
→
+ − .
 
b) 
( , ) (0,0)
lim
cos sen
x y
x y
e e
x x→
−
+
.
c) 
( , ) (2, 1)
3 2lim
4x y
x y
x y→ −
−
+
.
2) Encontrar um 0 > correspondente a qualquer 0 > , de for-
ma que a definição de limite seja válida:
a) 
( , ) (3,2)
lim (3 4 ) 1
x y
x y
→
− = .
 
 b) 2 2
( , ) (1,1)
lim ( ) 2
x y
x y
→
+ = .
c) 2 2 2 2
( , , ) ( 2,1,4)
lim (4 3 7 )
x y z
x y xyz y z
→ −
− + .
39
3) Mostrar que os seguintes limites não existem:
a) 
2
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
+
+
.
b) 
3 2
4 2 4( , , ) (0,0,0)
lim
x y z
x yz
x y z→
+
+ +
.
4) Determinar todos os pontos onde a função é contínua:
a) 
2
2( , ) 1
xf x y
y
=
−
.
b) ( , ) sen yf x y
x
 =  
 
.
c) 2 3 3 4 4( , )f x y x y x y x y= − − .
d) 
2( , )
( 2 2)( 1)
xf x y
xy x y y
−
=
− − + +
.
5) Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indi-
cados:
a) 
1sen , 0
( , ) , (0,0)
0, 0
x y
f x y Py
y
  
≠  =   
 =
.
b) 
3 2 , ( , ) (0,0)
( , ) , (0,0)
1, ( , ) (0,0)
x y x y
f x y P
x y
− ≠
=  =
.
c) 
3 2
2
3 2( , ) , (1, 2)
2 1
x xyf x y P
xy
− +
=
−
.
6) Calcular o valor de a, para que a função dada seja contínua 
em (0,0) . Qual o domínio de f ?
a) 
2 2
2
, y 0
( , ) 1 1
4, y 0
x y
f x y y
a

≠= + −
 − =
.
b) 
2 2
2 2
sen( + ) , ( , ) (0,0)
( , ) + 
, ( , ) (0,0)
x y x y
f x y x y
a x y

≠= 
 =
.
40
1.5 Derivadas parciais
Apresentamos aqui o conceito de derivada parcial para uma fun-
ção com mais de uma variável. A idéia é considerar apenas uma 
variável por vez, deixando as outras fixas, ou seja, tratamos uma 
função de n variáveis como uma função de uma só variável, n ve-
zes, considerando a cada vez uma variável diferente. Desse pro-
cedimento resulta a definição de uma derivada para cada uma 
das variáveis independentes. Essas derivadas são chamadas de 
derivadas parciais.
Definição 1.9. Seja
:
( )
nf A
x z f x
⊆ →
=
 
uma função de n variáveis, e seja 1 2( , , , )nx x x x A= ∈ . Definimos 
a derivada parcial de f no ponto x em relação a ix por 
1 1
0
( , , , , ) ( , , , , )( ) lim i n i n
h
i
f x x h x f x x xf x
x h→
+ −∂  =  ∂  
   
quando esse limite existir.
Exemplo 1.19. Aplicar a definição para achar 
f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
 para 
2( , ) 3 2f x y x xy= − .
Solução.
 2 2
0 0
( , ) ( , ) 3( ) 2( ) 3 2lim lim
h h
f f x h y f x y x h x h y x xy
x h h→ →
∂ + − + − + − +
= = =
∂
2 2 2 2
0 0
3 6 3 2 2 3 2 6 3 2lim lim
h h
x xh h xy hy x xy xh h hy
h h→ →
+ + − − − + + −
= = =
0
lim 6 3 2 6 2
h
x h y x y
→
= + − = −
e
2 2
0 0
( , ) ( , ) 3 2 ( ) 3 2lim lim
h h
f f x y h f x y x x y h x xy
y h h→ →
∂ + − − + − +
= = =
∂
2 2
0 0
3 2 2 3 2lim lim 2 2
h h
x xy xh x xy x x
h→ →
− − − +
= = − = − .
Assim, obtemos que 6 2f x y
x
∂
= −
∂
 e 2f x
y
∂
= −
∂
.
41
Definição 1.10. Seja
:
( )
nf A
x z f x
⊂ →
=
 
uma função de n variáveis e seja B A⊆ o conjunto formado por 
todos os pontos x tais que ( )
i
f x
x
∂
∂
 existe. Definimos a função deri-
vada parcial de 1ª ordem de f em relação a ix como a função que 
a cada x B∈ associao número ( )
i
f x
x
∂
∂
 dado por
1 1
0
( , , , , ) ( , , , , )( ) lim i n i n
h
i
f x x h x f x x xf x
x h→
+ −∂  =  ∂  
   
.
Observamos que outras notações costumam ser usadas para 
as derivadas parciais de 1ª ordem. É comum representar a de-
rivada ( )
i
f x
x
∂
∂
 também por 
i
f
x
∂
∂
, ( )
ix
D f x , ( )iD f x , ( ),ixf x 
, e se ( ).
i ix x
i
zf D f z f x
x
∂
∂ =
∂
Observação 1.2. Na prática, podemos obter as derivadas parciais 
usando as regras de derivação das funções de uma variável. Des-
se modo, para calcularmos 
i
f
x
∂
∂
 consideramos as outras variáveis 
como se fossem constantes. Os exemplos que se seguem ilustram 
esse procedimento.
Exemplo 1.20. Seja 
5 , se ( , ) (0,0)
2 3( , )
0, se ( , ) (0,0)
xy x y
x yf x y
x y
 ≠ += 
 =
, 
calcular 
f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
.
Solução. Nos pontos ( , ) (0,0)x y ≠ , podemos aplicar as regras de 
derivação. Assim, temos
2 2
2 2 2
5 (2 3 ) 5 (2) 10 15 10 15
(2 3 ) (2 3 ) (2 3 )
f y x y xy xy y xy y
x x y x y x y
∂ ⋅ + − ⋅ + −
= = =
∂ + + +
2
2 2
5 (2 3 ) 5 (3) 10
(2 3 ) (2 3 )
f x x y xy x
y x y x y
∂ ⋅ + − ⋅
= =
∂ + +
.
Para calcularmos as derivadas de f na origem, usamos a definição 
de derivada parcial, como no exemplo 1.18.
42
0 0
5 0 0(0 ,0) (0,0) 2(0,0) lim lim 0
h h
h
f f h f h
x h h→ →
⋅ − ∂ + − = = =  ∂    
 
0 0
5 0 0(0,0 ) (0,0) 3(0,0) lim lim 0
h h
h
f f h f h
y h h→ →
⋅ ⋅ − ∂ + − = = =  ∂    
 
.
Assim, obtivemos as derivadas parciais da função f com relação a x 
e com relação a y em todos os pontos ( , )x y do domínio.
Exemplo 1.21. Achar ( , )xf x y e ( , )yf x y para 
2 2 2 2( , ) 3 4 3 sen( )f x y x x y xy xy= − + + .
Solução. Tratando f como uma função de x e mantendo y constan-
te, obtemos 2 2 2( , ) 6 8 3 cos( )xf x y x xy y y xy= − + + .
Considerando f como uma função de y e mantendo x fixo, temos 
2 2( , ) 4 6 2 cos( )yf x y x xy xy xy= − + + .
Gostaríamos agora de obter uma visualização do comportamento 
das derivadas parciais, isto é, gostaríamos de propor uma inter-
pretação geométrica das derivadas parciais. Para isso, nos atere-
mos ao caso 2n = .
Suponhamos que 
2:
( , ) ( , )
f A
x y z f x y
⊂ →
=
 
possua derivadas parciais em 0 0( , )x y A∈ . O gráfico dessa função 
é uma superfície cuja equação é ( , )z f x y= .
Se y for mantido constante, digamos 0y y= , então 0( , )f x y é uma 
função de uma variável cujo gráfico é uma curva 
0y
C , contida no 
plano 
0y
 : 0y y= . Logo, a curva 0yC pode ser representada pelas 
equações 0y y= e ( , )z f x y= .
Desse modo 0 0( , )xf x y é a inclinação da reta tangente à curva 0yC 
no ponto 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y , e é dada por 0 0( , ) tg( )
f x y
x

∂
=
∂
, onde 
 pode ser visualizado na figura 1.17.
43
y0
x0
Cx0 Cy0
y
z
x α
β
Figura 1.17
De maneira análoga, a inclinação da reta tangente à curva 
0x
C
resultante da intersecção da superfície do 3 , ( , )z f x y= com o 
plano 
0x
 : 0x x= , é dada por 0 0tg ( , )
f x y
y

∂
=
∂
, onde  também 
pode ser visualizado na figura 1.17. 
Exercícios
1) Calcular as derivadas de 1ª ordem, usando a definição:
a) 2( , ) 5f x y xy x= − .
b) 2 2( , ) 10f x y x y= + − .
c) z xy= .
2) Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem:
a) 2 2( , ) 2 3 4f x y x xy x= + − .
b) 2 2( , ) 2g x y x y= + − .
c) ( , ) sen(2 )h x y x y= + .
44
3) Calcular f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
 para 2 2
2 , se ( , ) (0,0)
3 5( , )
0, se ( , ) (0,0)
xy x y
x yf x y
x y
 ≠ += 
 =
.
4) Calcular a derivada que se pede:
a) 
2
( , ) , ( , )x y xf x y e f x y= .
b) ( , ) cos( ), ( , )xf x y x y x f x y= − .
c) 2( ) , ( , )x y yz x y e z x y
+= + .
5) Determinar a inclinação da reta tangente à curva de intersec-
ção da superfície 2 2z x y= + com o plano 1y = , no ponto ( )2,1,5 . 
Faça um esboço do gráfico.
Resumo
Vimos, neste capítulo, o importante e delicado conceito de limi-
te de uma função real de várias variáveis. Conceito este que dá 
origem a um outro importante conceito, o de derivada parcial de 
uma função real de várias variáveis com consequências significa-
tivas e variadas aplicações.
2 Diferenciabilidade de 
Funções de Várias Variáveis
47
2 Diferenciabilidade de Funções 
de Várias Variáveis
Neste capítulo estudaremos a noção de diferenciabilidade 
de funções reais de várias variáveis, com a qual está re-
lacionada a existência de um plano tangente à superfície 
definida por tal função. Essa noção tem conseqüências im-
portantíssimas tanto no cálculo de várias variáveis como 
na diferenciação de sistemas dados implicitamente, assim 
como nas aplicações ao cálculo de máximos e mínimos lo-
cais de funções de várias variáveis.
2.1 Aproximação linear
Vamos iniciar o estudo da diferenciabilidade das funções reais de 
n variáveis, isto é, funções : nf A⊂ →  . Entretanto, para uma 
melhor visualização das aplicações geométricas, de início nos ate-
remos ao caso = 2n . Para isso, precisamos entender o significado 
geométrico das derivadas parciais de uma função de duas variá-
veis. Assim, suponha que 
2:
( , ) ( , )
f A
x y z f x y
⊆ →
→ =
 
possua derivadas parciais em 0 0( , )x y A∈ .
Para 0y y= , ( , )f x y é uma função de uma variável cujo gráfico é 
uma curva 
0y
C , resultante da intersecção das superfícies do 3 , 
: ( , )S z f x y= e o plano 
0 0
:y y y = .
A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva 
0y
C 
no ponto 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y é dado por 
0 0t g ( ) ( , ),
f x y
x

∂
=
∂
onde α pode ser visualizado na figura 2.1
48
De maneira análoga, a inclinação da reta tangente à curva 
0x
C , 
resultante da intersecção da superfície : ( , )S z f x y= com o plano 
0 0
:x x x = , é 
0 0t g ( ) ( , )
f x y
y

∂
=
∂
.
Intuitivamente, percebemos que as retas tangentes às curvas 
0x
C 
e 
0y
C no ponto 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y devem estar contidas no plano 
tangente à superfície S nesse ponto P.
Assim, se o plano
 : ( , )z h x y = (1)
tangente à superfície S no ponto P, for dado por
z ax by c= + + ,
conforme a equação geral de um plano, deveremos ter que:
a inclinação do plano tangente na direção do eixo x coincida a) 
com a inclinação da reta tangente à curva 
0y
C , isto é, 
 
0 0( , )
fa x y
x
∂
=
∂
; (2)
a inclinação do plano tangente na direção do eixo b) y coincida 
com a inclinação da reta tangente à curva 
0x
C , isto é, 
z
y
x
α
x0
y0
P
Cx0: z = f (x0 ,y)
Cy0: z = f (x ,y0)
S : z = f (x ,y)
Figura 2.1
49
 
0 0( , )
fb x y
y
∂
=
∂
; (3)
o ponto c) 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y satisfaça, simultaneamente, a 
equação do plano tangente (1) e a equação da superfície S, 
uma vez que P S ∈ ∩ , ou seja,
 0 0 0 0( , ) ( , )h x y f x y= . (4)
Agora, substituindo (2) e (3) em (1), obtemos
 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )
f fh x y x y x x y y c
x y
∂ ∂
= + +
∂ ∂
. (5)
Aplicando em 0 0( , ) ( , )x y x y= e usando (4), temos 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )
f ff x y x y x x y y c
x y
∂ ∂
= + +
∂ ∂
,
ou ainda, 
 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )
f fc f x y x y x x y y
x y
∂ ∂
= − −
∂ ∂
 (6)
Finalmente, substituindo (6) em (5), resulta que 
 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) [ ] ( , ) [ ]
f fz h x y f x y x y x x x y y y
x y
∂ ∂
= = + ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂
. (7)
Assim, se existir um plano tangente à superfície S no ponto 
0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y , ele será dado pela equação (7).
Exemplo 2.1. Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico 
2 22z x y= + no ponto (1,1,3) .
Solução. Seja 2 2( , ) 2f x y x y= + . Então,
( , ) 4 (1,1) 4x xf x y x f= ⇒ = ,
( , ) 2 (1,1) 2y yf x y y f= ⇒ = .
Portanto, por (7) temos que a equação do plano tangente no ponto 
(1,1,3) é dada por
3 4( 1) 2( 1)z x y= + − + −
4 2 3z x y= + − .
50
Assim,a função linear de duas variáveis ( , ) 4 2 3g x y x y= + − é uma 
boa aproximação de ( , )f x y quando ( , )x y está próximo de (1,1) . 
Por exemplo, no ponto (1,1;0,95) a aproximação linear fornece
(1,1;0,95) 4(1,1) 2(0,95) 3 3,33g = + − =
que é bastante próximo do valor verdadeiro de f, que é
2 2(1,1;0,95) 2(1,1) (0,95) 3 3,3225f = + − = .
Convém observar que ( , )g x y é uma boa aproximação de ( , )f x y 
apenas para ( , )x y próximos de (1,1) . Se tomarmos um ponto lon-
ge de (1,1) , como (2,3) , teremos (2,3) 11g = e (2,3) 17f = , ou seja, 
g não é mais uma boa aproximação de f.
2.2 Diferenciabilidade
Introduzimos, agora, o conceito de função diferenciável. Uma 
função f será diferenciável em 0 0( , )x y quando o plano tangen-
te, dado pela equação (7), nos propiciar uma “boa aproximação” 
para ( , )f x y em uma “vizinhança” de 0 0( , )x y . Temos, então, a 
seguinte definição.
Definição 2.1. Diremos que a função ( , )f x y é diferenciável em 
0 0( , )x y , quando as derivadas parciais 0 0( , )
f x y
x
∂
∂
 e 0 0( , )
f x y
y
∂
∂
 exis-
tirem e se
 
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
lim 0
( , ) ( , )x x
y y
f ff x y f x y x y x x x y y y
x y
x y x y→
→
 ∂ ∂
− + ⋅ − + ⋅ − ∂ ∂  =
−
onde 2 2( , )x y x y= + representa a norma euclidiana e 
0 0( , ) ( , )x y x y− representa a distância de ( , )x y a 0 0( , )x y .
Diremos que f é diferenciável num conjunto ( )A D f⊂ , se f for 
diferenciável em todos os pontos de A . Temos que o conceito de 
diferenciabilidade caracteriza funções que possuem gráfico sua-
ve. Isto pode ser visto na seguinte proposição: 
51
Proposição 2.1. Se f é diferenciável em 0 0( , )x y , então f é contí-
nua nesse ponto.
Demonstração. Mostraremos que 
0 0
0 0( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
= .
Com efeito, da definição de diferenciabilidade, seque que
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )
lim ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0
x y x y
f ff x y f x y x y x x x y y y
x y→
 ∂ ∂
− − ⋅ − − ⋅ − = ∂ ∂ 
e daí resulta que 
0 0
0 0( , ) ( , )
lim ( , ) ( , ) 0( )
x y x y
f x y f x y
→
− = , uma vez que
 
0 0 0 0
0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( ) lim ( ) 0
x y x y x y x y
x x y y
→ →
− = − = .
Exemplo 2.2. Provar que a função 2 2( , )f x y x y= + é diferenciável 
em 2 , usando a definição.
Solução. A função dada possui derivadas parciais em todos os 
pontos 20 0( , )x y ∈ , e elas são dadas por
0 0 0( , ) 2
f x y x
x
∂
=
∂
 e 0 0 0( , ) 2
f x y y
y
∂
=
∂
.
Assim, para mostrarmos que f é diferenciável em 2 , basta veri-
ficar, para qualquer 20 0( , )x y ∈ , se o limite dado na equação (8) 
é zero. Temos
0
0
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2
0 0
( 2 [ ] 2 [ ])lim
( ) ( )x xy y
x y x y x x x y y y
x x y y→→
+ − + + − + −
=
− + −
0
0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
2 2lim
( ) ( )x xy y
x xx x y yy y
x x y y→→
− + + − +
= =
− + −
0
0
2 2
0 0
2 2
0 0
( ) ( )lim
( ) ( )x xy y
x x y y
x x y y→→
− + −
= =
− + −
0
0
2 2
0 0lim ( ) ( ) 0x x
y y
x x y y
→
→
= − + − = .
Logo, f é diferenciável em 2 .
52
Exemplo 2.3. Verifique se a função 2 2( , )f x y x y= + é diferenci-
ável na origem.
Solução. Vamos verificar se a função dada tem derivadas parciais 
na origem. Usando a definição de derivada parcial, vamos verificar 
se existe o limite 
2
0 0
( ,0) (0,0)lim lim
x x
f x f x
x x→ →
−
= , usando os limi-
tes laterais. Temos que
2
0
lim 1
x
x
x+→
= e 
2
0
lim 1
x
x
x−→
= − ,
ou seja, o limite não existe. Concluímos então que (0,0)f
x
∂
∂
 não 
existe, logo f não é diferenciável na origem.
Exercícios
1) Determinar a equação do plano tangente à superfície no pon-
to indicado.
a) 2 2z y x= − , ( 4,5,9)− .
b) 2 29 6 3 5z x y x y= + + − + , (1, 2,18) .
c) ( , ) sen( )f x y x y= + , (1, 1,0)− .
2) Usando a definição de diferenciabilidade, verificar que as 
funções dadas são diferenciáveis em 2 , usando a definição.
a) 2 2( , ) 2f x y x y= − .
b) ( , ) 4f x y xy= .
3) Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:
a) 
6
2 2 , ( , ) (0,0)( , )
0, ( , ) (0,0)
x x y
f x y x y
x y

≠= +
 =
.
b) ( , ) 2f x y x y= + .
53
c) 
4 2 2 3
2 2 2
2 3 , ( , ) (0,0)
( , ) ( )
0, ( , ) (0,0)
y x y yx x y
f x y x y
x y
 + +
≠= +
 =
.
4) Identificar a região do 2 onde as funções dadas são diferen-
ciáveis:
a) 
2x yz e= .
b) 
2
2 2
x yz
x y
=
+
.
c) 2 2
2
( 2) ( 2)
z
x y
=
− + −
.
5) Dada a função 2 6, se 2 ou 2( , )
0 se 2 e 2
x y x y
f x y
x y
+ − = =
=  ≠ ≠
:
a) calcular (2, 2)f
x
∂
∂
.
 
b) calcular (2, 2)f
y
∂
∂
.
c) f é diferenciável em (2, 2) ?
54
2.3 Condição de suficiência para 
diferenciabilidade
Observamos, da definição de diferenciabilidade, que não é su-
ficiente a existência das derivadas parciais de uma função para 
garantir a sua diferenciabilidade. A proposição seguinte nos dará 
tal condição de suficiência.
Proposição 2.2. Seja 0 0( , )x y A∈ , sendo A aberto. Se f possui de-
rivadas parciais 
f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
 em A e se essas derivadas parciais são 
contínuas em 0 0( , )x y , então f é diferenciável em 0 0( , )x y .
Demonstração. Mostraremos que o limite em (8) existe e é zero. 
Com efeito, como A é aberto e 0 0( , )x y A∈ , existe 0r > tal que 
a bola aberta 0 0(( , ))rB B x y= está contida em A. Seja ( , )x y B∈ , 
temos que
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y f x y f x y f x y f x y f x y− = − + − . (9)
Agora, fixando y e aplicando o Teorema do Valor Médio para fun-
ções de uma variável, concluímos que existe x entre 0x e x tal 
que 
 
0 0( , ) ( , ) ( , ) ( )
ff x y f x y x y x x
x
∂
− = ⋅ −
∂
. (10)
Analogamente, existe y entre 0y e y tal que 
 
0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( )
ff x y f x y x y y y
y
∂
− = ⋅ −
∂
. (11)
Usando (10) e (11) podemos reescrever (9) como 
0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
f ff x y f x y x y x x x y y y
x y
∂ ∂
− = ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂
. (12)
Reescrevendo o limite (8), utilizando (12), obtemos
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 00 0
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
lim
( , ) ( , )( , ) ( , )
f f f fx y x x x y y y x y x x x y y y
x y x y
x y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂
⋅ − + ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −
∂ ∂ ∂ ∂
−→
ou ainda,
55
0 0
0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , )
0 0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
lim
( , ) ( , )x y x y
f f f fx y x y x x x y x y y y
x x y y
x y x y→
 ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ − + − ⋅ −   ∂ ∂ ∂ ∂   
−
Mas,
0 0
2 2
0 0 0 0
1
( , ) ( , ) ( ) ( )
x x x x
x y x y x x y y
− −
= ≤
− − + −
 
e
0 0
2 2
0 0 0 0
1
( , ) ( , ) ( ) ( )
y y y y
x y x y x x y y
− −
= ≤
− − + −
.
Agora, da continuidade de 
f
x
∂
∂
 e 
f
y
∂
∂
 em ( )0 0,x y , temos que
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0, ,
lim , , 0
x y x y
f fx y x y
x y→
 ∂ ∂
− = ∂ ∂ 
,
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0 0, ,
lim , , 0
x y x y
f fx y x y
y y→
 ∂ ∂
− = ∂ ∂ 
e, portanto, concluímos que o limite em (8) é zero.
Observação 2.1. Gostaríamos de observar que, ao contrário do 
que acontece com as funções de uma variável, a simples existên-
cia das derivadas parciais de primeira ordem em um ponto não 
implica na continuidade da função nesse ponto.
Exemplo 2.4. Mostrar que ( , )f x y é diferenciável em todos os 
pontos de 2 , exceto na origem, para 2 2( , )f x y x y= + .
Solução. As derivadas parciais da função f são dadas por
2 2
f x
x x y
∂
=
∂ +
 e 
2 2
f y
y x y
∂
=
∂ +
,
e existem para todos os pontos 2( , )x y ∈ , ( , ) (0,0)x y ≠ . Tam-
bém, são contínuas em todos os pontos de 2 , exceto na origem. 
Logo, f é diferenciável em 2 {(0,0)}− .
56
Vale a pena notar que existem funções di-ferenciáveis com derivadas não contínuas. 
Observamos também que a definição 2.1 de di-
ferenciabilidade pode ser estendida de modo 
análogo para uma função f de n variáveis.
Passamos agora ao conceito de diferencial de uma função de n 
variáveis. A diferencial ou derivada de uma função de n variáveis 
é uma transformação linear que melhor aproxima o acréscimo 
z∆ da variável dependente ( )zf x= . Por exemplo, no caso 3n = , 
0 0 0( , , ) ( , , )z f x y z f x y z∆ = − com 
3
0 0 0( , , ) e ( , , )x y z x y z ∈ . Temos a 
seguinte definição:
Definição 2.2. Seja 1 2( , , , )nf x x x um função diferenciável no 
ponto 0 0 01 2( , , , )nx x x . A diferencial de f em 
0 0 0
1 2( , , , )nx x x é defini-
da pela transformação linear
: nT →  ,
dada por
0 0 0
1 1 2 2( , , , )n nT x x x x x x− − − =
0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 1 1 2
1
( , , , ) ( , , , )n n n n
n
f fx x x x x x x x x x
x x
∂ ∂   = − + + −   ∂ ∂
   . (13)
Para o caso 3n = , podemos escrever
0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
f f fT h k l x y z h x y z k x y z l
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ,
onde 0h x x x= − = ∆ , 0k y y y= − = ∆ e 0l z z z= − = ∆ , ou ainda, 
0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
h
f f fT h k l x y z x y z x y z k
x y z
l
 
 ∂ ∂ ∂  =    ∂ ∂ ∂    
.
No caso n = 3, denotaremos a diferencial T de f em 0 0 0( , , )x y z por 
0 0 0( , , ).Df x y z Em nosso caso, a matriz que representa T é uma 
matriz 1×3 dada por:
0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )
f f fx y z x y z x y z
x y z
 ∂ ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ 
.
57
Os elementos dessa matriz são as componentes do vetor que cha-
mamos de gradiente e, em alguns contextos, ela é chamada de deri-
vada da função f no ponto 0 0 0( , , )x y z . Observamos que no caso de 
n qualquer, a definição de diferencial se dá de maneira análoga.
Observação 2.2. Numa notação clássica, definimos a diferencial 
das variáveis independentes x, y e z por dx x= ∆ , dy y= ∆ , dz z= ∆ 
e, assim, a diferencial de f em ( , , )x y z , relativa a esses acréscimos, 
é indicada por dw ou df, onde
 
( , , ) ( , , ) ( , , )f f fdf x y z dx x y z dy x y z dz
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
. (14)
A expressão (12) é também denominada diferencial total de
( , , )f x y z .
2.4 Plano tangente
Vimos na seção 2.1 que o plano tangente ao gráfico de uma função f é dado pela equa-
ção (7), quando o mesmo existir. No entanto, 
nem sempre o plano tangente dado por (7) 
existe e, mesmo que exista, poderá não ser tan-
gente ao gráfico de f. Uma condição suficiente 
para que o plano tangente exista e, de fato, tan-
gencie a superfície S é que f seja diferenciável.
Assim, temos a seguinte definição:
Definição 2.3. Seja 2:f →  diferenciável em 0 0( , )x y . Chama-
mos de plano tangente ao gráfico S de f no ponto 0 0 0 0( , , ( , ))x y f x y 
ao plano dado pela equação:
 
0 0 0 0 0 0 0 0: ( , ) ( , )( ) ( , )( )T
f fz f x y x y x x x y y y
x y

∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
. (15)
Exemplo 2.5. Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico 
da função 2 2( , ) 2f x y x y= + + no ponto (0,0, 2)P .
Solução. O gráfico de f é a superfície de um parabolóide circular 
com vértice em (0,0, 2) e concavidade para cima. A função f é 
58
diferenciável em 2 e suas derivadas parciais são dadas por 
2f x
x
∂
=
∂
 e 2f y
y
∂
=
∂
.
Substituindo as coordenadas do ponto (0,0, 2)P na equação (1), 
obtemos 2 0z − = , que é a equação do plano tangente ao gráfico 
de f no ponto (0,0, 2)P .
2.5 Regra da cadeia
Vamos agora nos dedicar a calcular a derivada de uma função 
composta.
A regra para derivar funções compostas é tradicionalmente denominada Regra da 
Cadeia, embora em português fosse mais intui-
tivo a denominação regra da corrente, tendo-se 
em vista a analogia da regra com a composição 
dos elos que formam uma corrente.
De início, trabalharemos com um caso mais simples e, depois, com 
um caso geral. Assim, sejam 2A⊂  e B ⊂  conjuntos abertos, 
2:f A⊂ →  uma função com derivadas parciais de 1ª ordem 
contínuas em A, :x B ⊂ →  e :y B ⊂ →  funções diferen-
ciáveis em B tais que ( ( ), ( ))x t y t A∈ , para todo t B∈ .
Podemos, então, enunciar o seguinte resultado:
Proposição 2.3. Considere a função composta
:
 ( ) ( ( ), ( )).
h B
t h t f x t y t
⊂ →
=
 
Então, a função composta h é diferenciável em B e sua derivada 
dh
dt
 é dada por
dh f dx f dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
,
ou ainda, 
 
'( )dh f g t
dt
= ∇ ⋅ , (16)
59
onde '( ) ,dx dyg t
dt dt
 =  
 
 e ,f ff
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
 é o vetor gradiente de f, 
sendo as derivadas parciais de f calculadas no ponto ( ( ), ( ))x t y t . 
Aqui 2:g B A⊂ → ⊂  é a função dada por ( ) ( ( ), ( ))g t x t y t= . 
Denota-se h f g=  .
Demonstração. Seja 0t B∈ , temos que 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
t t
h t h tdh t
dt t t→
−
=
−
.
Mas, 
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))h t h t f x t y t f x t y t
t t t t
− −
= =
− −
0 0 0 0
0 0
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))f x t y t f x t y t f x t y t f x t y t
t t t t
− −
= +
− −
.
 
(17)
Aplicando o teorema do valor médio para f como uma função de x, 
existe x entre 0 0( )x x t= e ( )x x t= tal que
 
0 0( ( ), ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ( ) )
ff x t y t f x y t x y t x t x
x
∂
− = ⋅ −
∂
. (18)
Analogamente, considerando f como uma função de y, existe y 
entre 0 0( )y y t= e ( )y y t= tal que 
 
0 0 0 0 0( , ( )) ( , ) ( , ) ( ( ) )
ff x y t f x y x y y t y
y
∂
− = ⋅ −
∂
. (19)
Agora, usando (18) e (19) em (17), obtemos
0 0 0
0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( , ( )) ( ( ), )h t h t x t x t y t y tf fx y t x t y
t t x t t y t t
− − −∂ ∂
= +
− ∂ − ∂ −
Mas, quando 0t t→ temos que 0x x→ e 0y y→ e, além disso, as 
derivadas parciais de f são contínuas em
0 0 0 0( , ) ( ( ), ( ))x y x t y t A= ∈ .
Portanto, fazendo 0t t→ em (20), obtemos
0 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim lim ( , ( )) lim lim ( ( ), ) lim
t t t t t t t t t t
h t h t x t x t y t y tf fx y t x t y
t t x t t y t t→ → → → →
 − − −∂ ∂ = ⋅ + ⋅  − ∂ − ∂ −   
,
60
ou ainda,
0 0 0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
dh f dx f dyt x y t x y t
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
.
Assim, 
dh f dx f dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
,
para todo t B∈ , uma vez que 0t foi escolhido arbitrariamente.
O caso geral da Regra da Cadeia para funções compostas pode 
ser assim formulado:
Proposição 2.4. (Regra da Cadeia) Seja nA⊂  , um conjunto aber-
to, e : mg A→ que a cada x A∈ associa 1( ) ( ( ), , ( ))mg x g x g x=  , 
sendo :ig A→ , que a cada x A∈ associa ( )i iy g x= , para 
1, ,i m=  . Suponha que g seja diferenciável em 0x A∈ e 
mB ⊂  , um aberto, com ( )g A B⊂ e :f B → diferenciável 
em 0( )g x . Então, a composta f g , que a cada x A∈ associa 
1( )( ) ( ( )) ( ( ), , ( ))mf g x f g x f g x g x= =  , é diferenciável em 0x e 
0 0 0( )( ) ( ( )) ( )D f g x Df g x Dg x=  .
Observação 2.3. A composição de duas transformações lineares 
corresponde ao produto de duas matrizes que as representam. 
Assim, a regra da cadeia pode ser reformulada dizendo que “a 
matriz 1 n× que representa a diferencial ( )D f g , matriz Jaco-
biana de f g no ponto 1( , , )nx x x=  , é o produto da matriz 
1 m× que representa a diferencial Df aplicada em ( )g x com a 
matriz m n× que representa a diferencial Dg aplicada em x, nesta 
ordem.” Desse modo, se h f g=  e ( )y g x= , então
1 1
1
1 2
1
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
( ) ( )
n
m
m m
n
g gx x
x x
f f fDh x g x g x g x
y y y
g gx x
x x
∂ ∂ 
 ∂ ∂  ∂ ∂ ∂  =  ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ 
 ∂ ∂ 

   

Desenvolvendo esse produto, obtemos que 
1
m
j
ji j i
gh f
x y x=
∂∂ ∂
=
∂ ∂ ∂∑ , onde 
j
f
y
∂
∂
 é aplicada em ( )y g x= , enquanto que j
i
g
x
∂
∂
 é aplicada em x.
A demonstração dessa 
proposição pode ser vista 
em Marsden & Hoffman, 
1993, p. 371.
61
Agora veremos a regra da cadeia em uma situação prática. Ilus-
traremos isso com o exemplo de uma função ( , , )w f x y z= , onde 
2 2 2( , , )f x y z x y z= + + ; e , ,x y z são dadas por suas coordenadas 
esféricas. Assim, temos
2 2 2w x y z= + + , e
 
(22)
Calculando as derivadas parciais de 1ª ordem da função w em 
relação a r,  e  , aplicando a regra da cadeia (21), da proposição4, obtemos:
w w x w y w z
r x r y r z r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
w w x w y w z
x y z   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
w w x w y w z
x y z   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
,
ou ainda, na forma matricial
 
x x x
r
w w w w w w y y y
r x y z r
z z z
r
 
   
 
 ∂ ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ 
    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
 ∂ ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ 
. (23)
De (22), calculando as derivadas parciais e substituindo em (23), 
obtemos
[ ]
cos( )sen( ) sen( )sen( ) cos( )cos( )
2 2 2 sen( )sen( ) cos( )sen( ) sen( )cos( )
cos( ) 0 sen( )
r r
w w w x y z r r t
r
r
     
     
 
 
− 
 ∂ ∂ ∂  =   ∂ ∂ ∂   − 
o que resulta em
2w r
r
∂
=
∂
, 0w

∂
=
∂
 e 2 22 (cos ( )(cos( ) sen( ) cos( )sen( ))w r     

∂
= + −
∂
.
Assim, para uma função composta
( ( , , ), ( , , ), ( , , ))w w x r y r z r     = ,
62
calculamos, utilizando a regra da cadeia, suas derivadas parciais 
w
r
∂
∂
, 
w

∂
∂
 e 
w

∂
∂
.
Exemplo 2.6. Considere a função 2 2 2( , )f x y x y x y= − + , onde 
cos( )x r = e sen( )y r = . Encontrar as derivadas parciais f
r
∂
∂
 e 
f

∂
∂
.
Solução. Usando a regra da cadeia (21) dada na proposição 4, 
temos
2(2 2 )cos( ) ( 2 )sen( )f f x f y xy x x y
r x r y r
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
e
2(2 2 )( sen( )) ( 2 ) cos( )f f x f y xy x r x y r
x y
 
  
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = − − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Exercícios
1) Verificar a regra da cadeia dh f dx f dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
 para as fun-
ções:
a) ( , ) cos(3 2 )f x y x y= − , sen( )x t= , cos( )y t= .
b) 
23( , ) x yf x y ye= , 3x t= , 2 1y t= + .
2) Determinar dz
dt
, usando a regra da cadeia.
a) 2 ( )xz e y= , 2x t= , 3y t= . b) z xy= , 
2 1x t= − , cos( )y t= .
3) Determinar as derivadas parciais z
u
∂
∂
 e 
z
v
∂
∂
, usando a regra 
da cadeia.
a) 3 2z x y= − , 2 1x u= − , 3y v= .
b) 2 2ln( )z x y= − , cos( )cos( )x u v= , sen( )cos( )y u v= .
4) Determinar as derivadas parciais f
r
∂
∂
 e 
f

∂
∂
, para a função 
2 2( , ) yf x y x y
x
= − − , com cos( )x r = e sen( )y r = .
63
2.6 Derivadas parciais de ordem superior
Se ( )z f x= , 1 2( , , , )
n
nx x x x= ∈  , é uma função de n variáveis 
reais, possuindo derivadas parciais de 1ª ordem em todas as suas 
variáveis, então, em geral, essas derivadas são também funções 
de n variáveis. Se, por sua vez, as derivadas parciais dessas deri-
vadas existirem, elas serão chamadas de derivadas parciais de 2ª 
ordem de f.
No caso de uma função ( , )z f x y= , definida no 2 , possuir de-
rivadas parciais de 2ª ordem, teremos quatro derivadas parciais, 
quais sejam:
2
2
f f
x x x
∂ ∂ ∂  = ∂ ∂ ∂ 
, 
2f f
y x y x
∂ ∂ ∂  = ∂ ∂ ∂ ∂ 
,
2f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂ ∂ 
, 
2
2
f f
y y y
 ∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂ 
.
Exemplo 2.7. Dada a função 3 4( , ) cos( )f x y x y x+2y= + , determi-
nar 
f
x
∂
∂
, 
2 f
y x
∂
∂ ∂
, 
f
y
∂
∂
 e 
2 f
x y
∂
∂ ∂
. 
Solução. Temos, aplicando as regras de derivação, 
2 43 sen( )f x y x+2y
x
∂
= −
∂
,
3 34 2sen( )f x y x+2y
y
∂
= −
∂
,
2
2 4 2 3(3 sen( )) 12 2cos( )f f x y x+2y x y x+2y
y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
,
e por sua vez,
2
3 3 2 3(4 2sen( )) 12 2cos )f f x y x+2y x y (x+2y
x y x y x
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
.
Observando as derivadas parciais de 2ª ordem, 
2 f
x y
∂
∂ ∂
 e 
2 f
y x
∂
∂ ∂
, que 
são chamadas mistas, vemos que as mesmas são iguais. Isso é uma 
conseqüência do Teorema de Schwarz que enunciaremos no con-
texto do espaço 2 . Antes porém, damos a seguinte definição:
64
Seja nA⊂  , um aberto, dizemos que ( )pf C A∈ , com p , p 1∈ ≥ , 
quando todas as derivadas parciais de f até a ordem p forem con-
tínuas em A . Dizemos, neste caso, que f é de classe pC em A .
Teorema 2.1 (Teorema de Schwarz). Seja 2A ⊂  , um aberto, e 
( , )z f x y= , com 2 ( )f C A∈ . Se isto acontece, então
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )
f fx y x y
x y y x
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
,
para todo 0 0( , )x y A∈ .
Demonstração. Seja 0 0(( , ), )B B x y r A= ⊂ uma bola aberta com 
centro em 0 0( , )x y e raio 0r > . Sejam 0h ≠ e 0 ≠ tais que 
0 0( , )x h y B+ + ∈ . Agora, definamos a função
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )F h k f x h y f x y f x h y f x y = + + − + − + +
e, para  fixado, definamos ainda a função
 0 0( ) : ( , ) ( , )p x f x y f x y= + − . (25)
Assim, temos
0 0( , ) ( ) ( )F h k p x h p x= + −
e como, no intervalo 0 0[ , ]x x h+ , a função p é contínua e dife-
renciável no aberto, então, pelo Teorema do Valor Médio, existe 
1 0 0( , )x x h ∈ + tal que
0 0 1( ) ( ) '( )p x h p x p h+ − =
e, portanto,
1( , ) '( )F h k p h= .
Calculando a derivada 1'( )p  , de (25), e a substituindo, resulta
 
1 0 1 0( , ) ( , ) ( , )
f fF h k y y h
x x
  
∂ ∂ = + − ∂ ∂ 
. (26)
Desse modo, consideremos a função 1( , )
f y
x

∂
∂
. Como f possui 
derivadas parciais de 2ª ordem contínuas em A, temos, pelo Teo-
65
rema do valor Médio aplicado aplicado à função 
f
x
∂
∂
 no intervalo 
0 0[ , ]y y + , que existe 1 0 0( , )y y ∈ + tal que
 
2
1 0 1 0 1 1( , ) ( , ) ( , )
f f fy y
x x y x
     
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂ ∂
. (27)
Substituindo (27) em (26), temos
 
2
1 1( , ) ( , )
fF h h
y x
   
∂
=
∂ ∂
. (28)
Retornando à (24), para h fixado, definimos
 0 0( ) : ( , ) ( , )q y f x h y f x y= + − , (29)
e, portanto, reescrevemos
0 0( , ) ( ) ( )F h k q y q y= + − .
Aplicando o Teorema do Valor Médio à função ( )q y no intervalo 
0 0[ , ]y y + , temos que existe 2 0 0( , )y y ∈ + tal que
0 0 2( ) ( ) '( )q y q y q  + − = ,
e, assim,
2( , ) '( )F h k q  = .
Calculando a derivada 2'( )q  , de (29), e a substituindo na expres-
são acima, obtemos
 
0 2 0 2( , ) ( , ) ( , )
f fF h k x h x
y y
  
 ∂ ∂
= + − ∂ ∂ 
. (30)
Aplicando novamente o Teorema do Valor Médio para a função 
f
y
∂
∂
 
no intervalo 0 0[ , ]x x h+ , obtemos; que existe 2 0 0( , )x x h ∈ + tal 
que:
 
2
0 2 0 2 2 2( , ) ( , ) ( , )
f f fx h x h
y y x y
   
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂ ∂
. (31)
Assim,
 
2
2 2( , ) ( , )
fF h k h
x y
  
∂
=
∂ ∂
. (32)
66
Agora, de (28) e (32), para e 0h  ≠ , resulta que
2 2
1 1 2 2( , ) ( , )
f f
y x x y
   
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
.
Fazendo ( , ) (0,0)h k → , temos que 1 2 0 e x  → e 1 2 0 e y  → , 
e como 
2 f
y x
∂
∂ ∂
 e 
2 f
x y
∂
∂ ∂
 são contínuas em 0 0( , )x y , resulta que
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )
f fx y x y
y x x y
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
.
2.7 Diferenciação implícita
Um dos teoremas mais importantes do Cálculo Diferencial no n 
é o Teorema da Função Implícita que tem grandes consequências 
na Análise, na Geometria Diferencial e no estudo das Equações 
Diferenciais. Para enunciarmos o Teorema da Função Implícita, 
consideremos uma função
1
:
( , ) ( , ) ( ( , ), , ( , ))
n m m
m
F A
x y F x y F x y F x y
⊂ × →
= 
  
onde 1 1( , , )e ( , , )n mx x x y y y= =  , tal que ( , ) 0F x y = , para al-
gum ( , )x y A∈ , ou seja,
1 1 1
1 1
( , , , , , ) 0
 
( , , , , , ) 0
n m
m n m
F x x y y
F x x y y
=


 =
 
 
 
Nosso objetivo é resolver este sistema de m equações para 
as m incógnitas 1, , my y em termos de 1, , nx x , isto é, 
1( ) ( , , ), 1i i i ny y x y x x i m= = ≤ ≤ .
Passamos agora ao enunciado do teorema:
Teorema 2 (Teorema da Função Implícita). Sejam A um aberto de 
n m×  e : mF A→ uma função de classe ( )pC A com 1p ≥ , e 
suponha que 0 0( , ) 0F x y = para algum 0 0( , )x y A∈ . Se 0 0( , ) 0x y∆ ≠ , 
onde 
67
1 1
1
1
1
1 ( , )
( , , )( , ) det ( , ) det ( , ) ,
( , , )
m
m
m
m m
m x y
F F
y y
F FFx y x y x y
y y y
F F
y y
∂ ∂
∂ ∂
   ∂∂
∆ = = =  ∂ ∂    ∂ ∂
∂ ∂


 


então existem nU ⊂ , vizinhança aberta de 0x , ( )V f U= vizi-
nhança aberta de 0y em 
m e uma única função :f U V→ , que 
a cada x U∈ associa ( ) my f x V= ∈ ⊂  , tal que
( , ( )) 0F x f x = , para todo x U∈ ,
e, além disso, ( )pf C U∈ .
Demonstração. Você pode encontrar a demonstração deste Teo-
rema em [16], p. 425.
Observação 2.4. À guisa de informação sobre a necessidade da 
hipótese 0 0det ( , ) 0
F x y
y
 ∂
≠ ∂ 
, vamos considerar a seguinte fun-
ção 2:F →  , ( , ) ( , )x y F x y , dada por 2 2( , ) 1F x y x y= + − , 
e a equação ( , ) 0F x y = que descreve o círculo unitário 1(0,0)C , 
dado por 2 21(0,0) : 1 0C x y+ − = . Se tentarmos explicitar y em fun-
ção de x, encontraremos duas possibilidades, que são 21y x= ± −
. Assim, ( )y f x= não é unicamente determinada. Por quê? Qual 
o problema? Investigando os pontos 0 0( , )x y que estão sobre o cír-
culo unitário 1(0,0)C , verificamos que ( )y f x= é diferenciável e 
unicamente determinada quando 1x < . Neste caso, 2( ) 1f x x= − 
se 0y > , ou 2( ) 1f x x= − − se 0y < . No entanto, derivando essas 
funções, verificamos que 
2
'( )
1
xf x
x
= ±
−
, 1x ≠ ± . Assim per-
cebemos que, qualquer que seja uma das expressões de ( )f x , 
f não é diferenciável em 1x = ± . Por outro lado, analisando os 
pontos em que 0F
y
∂
=
∂
, encontramos 2 0y = , o que nos dá 0y = e 
2( ,0) 1 0F x x= − = , nos fornece 1x = ± . Portanto, os pontos em que 
0F
y
∂
=
∂
 nos fornece os pontos “ruins” em que f não é diferenciá-
vel e na vizinhança dos quais f não é unicamente determinada. 
68
Logo, se não queremos os pontos “ruins”, devemos exigir 0F
y
∂
≠
∂
, 
o que justifica de algum modo a hipótese feita no Teorema da 
Função Implícita. Uma outra razão para tal hipótese pode ser vis-
ta, quando consideramos o caso em que 1m = , : nF × →   e 
1( , , , ) 0nF x x y = . Derivando esta equação em relação a ix , com 
o auxílio da regra da cadeia, obtemos 0
i i
F F y
x y x
∂ ∂ ∂
+ ⋅ =
∂ ∂ ∂
 e, por con-
seguinte, i
i
F
xy
Fx
y
∂
−
∂∂
=
∂∂
∂
, o que nos impõe 0F
y
∂
≠
∂
.
No caso geral, temos m equações da forma 
1 1( , , , ( ), , ( )) 0j n mF x x f x f x =  com 1 j m≤ ≤ .
Derivando em relação a ix , com auxílio da regra da cadeia, obte-
mos
1
1
0j j j m
i i m i
F F F ff
x y x y x
∂ ∂ ∂ ∂∂
+ ⋅ + + ⋅ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 , ou ainda
1
1
j j jm
i m i i
F F Fff
y x y x x
∂ ∂ ∂∂∂
⋅ + + ⋅ = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 .
Considerando as derivadas parciais j
i
f
x
∂
∂
, 1 j m≤ ≤ e 1 i n≤ ≤ , 
como funções incógnitas, isto dá ocasião ao seguinte sistema:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
m n n
m m m m m m
m n n n
F F f f F F
y y x x x x
F F f f F F
y y x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     ⋅ = −
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
  
     
  
ou ainda, se 0∆ ≠
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
n m n
m m m m m m
n m n n
f f F F F F
x x y y x x
f f F F F F
x x y y x x
−∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     = − ⋅
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
  
     
  
,
69
onde 1( )− denota a matriz inversa. Essa expressão nos dá as deri-
vadas parciais das m funções componentes dadas implicitamente.
Damos agora quatro situações particulares que ilustram o Teore-
ma da Função Implícita.
Caso 1) 1m n= =
Se ( , ) 0F x y = , para algum 0 0( , )x y A∈ ⊂ ×  , e 0
F
y
∂
≠
∂
 nes-
se ponto, então existirá uma única função ( )y f x= definida 
numa vizinhança U de 0x em  tal que 
F
dy x
Fdx
y
∂
−
∂=
∂
∂
.
Caso 2) 2, 1n m= =
Se 1 2( , ) ( , , ) 0F x y F x x y= = , para algum 
2
0 0( , )x y A∈ ⊂ × , 
e 0F
y
∂
≠
∂
 nesse ponto, então existirá uma única função 
1 2( , )y f x x= numa vizinhança U de 1 20 0 0( , )x x x= em 
2 tal 
que
1
1
F
xy
Fx
y
∂
−
∂∂
=
∂∂
∂
, 2
2
F
xy
Fx
y
∂
−
∂∂
=
∂∂
∂
.
Caso 3) 1n = , 2m =
Se 1 1 2( , , ) 0F x y y = e 2 1 2( , , ) 0F x y y = , para algum 
2
0 0( , )x y A∈ ⊂ ×  , e 
1 1
1 21 2
2 21 2
1 2
( , )det 0
( , )
F F
y yF FF
F Fy y y
y y
∂ ∂
∂ ∂  ∂∂
= = ≠  ∂ ∂∂ ∂ 
∂ ∂
, 
nesse ponto, então existirão únicas funções componentes 
1 1( )y f x= e 2 2 ( )y f x= numa vizinhança U de 0x em  tal 
que
1 2
21
1 2
1 2
( , )det
( , )
( , )det
( , )
F F
x ydy
dx F F
y y
 ∂
 ∂ = −
 ∂
 ∂ 
, 
1 2
12
1 2
1 2
( , )det
( , )
( , )det
( , )
F F
y xdy
dx F F
y y
 ∂
 ∂ = −
 ∂
 ∂ 
.
70
Caso 4) 2n m= =
Se 1 1 2 1 2 1( , , , ) ( , ) 0F x x y y F x y= = e 2 1 2 1 2 2( , , , ) ( , ) 0F x x y y F x y= = , 
para algum 2 20 0( , )x y A∈ ⊂ ×  , e 1 2
1 2
( , )det 0
( , )
F FF
y y y
  ∂∂
= ≠ ∂ ∂ 
, 
nesse ponto, então existirão únicas funções componen-
tes 1 1 1 2( , )y f x x= e 2 2 1 2( , )y f x x= numa vizinhança U de 
1 20 0 0
( , )x x x= em 2 tal que
 e
.
O Teorema da Função Implícita pode ser usado para justificar a existência de solu-
ção para um sistema de equações (ver [14]).
Exercícios
1) Dado o sistema 
2 2 0
2 0
x u v
y uv
 − − =

− =
, determinar:
As condições para que se tenha a) ( , )u u x y= e ( , )v v x y= defi-
nidas implicitamente e calcular suas derivadas parciais.
As funções b) u e v definidas implicitamente pelo sistema.
2) Se 2 3 3, 2 4xu v y yu xv x+ = − = , calcular:
a) u
x
∂
∂
. b) v
y
∂
∂
.
71
3) Calcular ( , )det
( , )
F G
u v
 ∂
 ∂ 
, se 
2 2 3( , ) 3 e ( , ) 2 .F u v u uv G u v uv v= − = +
4) Se 2 3 2 2, 2 2 ,F x y z G x yz e H z xy= + − = = − calcular 
( , , )det
( , , )
F G H
x y z
 ∂
 ∂ 
 no ponto (1, 1,0)− .
2.8 Extremos locais de funções de várias 
variáveis
Sabemos do cálculo diferencial de funções de uma variável que 
uma função :] , [f a b → diferenciável, com um máximo ou mí-
nimo local em 0x satisfaz a condição 0'( ) 0f x = . Além disso, se 
f for duas vezes continuamente diferenciável e 0''( ) 0f x < , então 
0x é um máximo local, e se 0''( ) 0f x > , então 0x é um mínimo 
local. Esses resultados podem ser generalizados para uma função 
: nf A⊂ →  .
Definição 2.4. Sejam A um aberto de n e :f A→ uma função. 
Se existir uma vizinhança do ponto 0x A∈ , 0xV , em que 0( )f x é 
um máximo, isto é, 
0( ) ( )f x f x≥ , 0xx V∀ ∈ ,
dizemos que 0x é um ponto de máximo local e 0( )f x é um valor 
máximo local. Similarmente, podemos definir um mínimo local 
de f. Um ponto é chamado de extremo se ele é ou um máximo lo-
cal ou um mínimo local para f. Um ponto 0x é um ponto crítico se 
f é diferenciável em 0x e 0( ) 0Df x = (“0” é a transformação linear 
nula representadada pelo vetor gradiente nulo do n ). Se f não é 
diferenciável em 0x também se diz que 0x é ponto crítico de f .
Teorema 2.3. Seja um aberto nA⊂  , :f A→ diferenciável e 
0x A∈ um ponto extremo de f, então 0( ) 0Df x = , isto é, 0x é um 
ponto crítico.
A demonstração se faz utilizando-se a definição de diferencial e 
as propriedades da diferencial como uma transformação linear, e 
72
supondo-se que a 0( ) 0Df x ≠ . Isto acarretará que 0x não pode ser 
nem um máximo local nem um mínimo local, ou seja, que 0x não 
pode ser um extremo de f.
Observação 2.5. A recíproca do teorema não é verdadeira.
Exemplo 2.8.
:f → a) com 3( )f x x= , então 0x = é um ponto crítico 
visto que '(0) 0f = . No entanto, 3 0x > para 0x > e 3 0x < 
para 0x < . Portanto, 0x = não é extremo de f.
2:f → b) com 2 2( , )f x y x y= − cujo gráfico é o pa-
rabolóide hiperbólico (sela de cavalo). A diferencial 
(0,0)
(0,0) (0,0) (2 , 2 ) (0,0)Df h f h x y h= ∇ ⋅ = − ⋅ = , 2h∀ ∈ . 
Logo, (0,0) 0Df = .
Assim, (0,0) é ponto crítico de f, entretanto em qualquer vizi-
nhança ( )0,0V do ponto (0,0) pode-se encontrar pontos em que 
0f > e 0f < . Portanto, (0,0) não é ponto de extremo local. Por 
exemplo, 2(0, ) 0f y y= − < e 2( ,0) 0f x x= > .
Definição 2.5. Um ponto crítico que não é um ponto extremo 
local é chamado de ponto de sela.
Observação 2.6. Embora a recíproca do Teorema nãoseja verda-
deira, queremos encontrar condições suficientes para a obtenção 
de extremos locais. Para isso, nos inspiramos nas funções de uma 
variável. Sabemos que se 0x é um ponto crítico tal que 0'( ) 0f x = 
e 0( ) < 0f x′′ , então 0( )f x é um valor máximo local o que significa 
que o gráfico de f é côncavo para baixo em uma vizinhança 
0x
V , 
ou ainda, que as inclinações '( )f x são decrescentes nessa vizi-
nhança. Necessitaremos de algumas definições.
Definição 2.6. Seja nA⊂  , aberto, 0x A∈ , e :g A→ de clas-
se 2C . A Hessiana de g em 0x é definida como a forma biline-
ar 
0
( ) : n nxH g × →   , dada pela diferencial segunda de g, ou 
seja,
0
2
0( )( , ) ( )( , )xH g x y D g x x y= .
Matriz Hessiana de uma 
função de n variáveis é 
a matriz quadrada n×n 
das derivadas parciais de 
segunda ordem da função.
73
Assim, a Hessiana representada como uma matriz é a matriz das 
derivadas parciais de segunda ordem, qual seja,
0
2 2
1 1 1
2 2
1
( )
n
x
n n n
g g
x x x x
H g
g g
x x x x
 ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
 =
 
∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂ 

 

onde as derivadas parciais de segunda ordem são todas calcula-
das em 0x .
Definição 2.7. Uma forma bilinear : n nB × →   é chamada de 
positiva definida se ( , ) 0B x x > para todo 0x ≠ em n , e é cha-
mada de positiva semidefinida se ( , ) 0B x x ≥ para todo nx∈ . 
Formas bilineares negativas definidas e negativas semidefinidas 
são definidas de maneira análoga. 
Teorema 2.4. Sejam A um aberto de n , 0x A∈ e :f A→ de 
classe 2C . Temos que:
Se i) 0x é um ponto crítico de f tal que 0 ( )xH f é negativa defi-
nida, então f possui um máximo local em 0x .
Se ii) f possui um máximo local em 0x , então 0 ( )xH f é negativa 
semidefinida.
No caso de um mínimo local em 0x , existe a versão análoga desse 
teorema apenas trocando-se a forma bilinear negativa por positi-
va. Observamos ainda que min( ) max( )f f= − .
Quando 1n = , o teorema anterior se reduz ao teste da segunda 
derivada para funções de uma variável, 0''( ) 0f x < . Se 0''( ) 0f x = , 
o teste falha, pois nesse caso pode-se ter um máximo ou mínimo 
local ou até mesmo um ponto sela.
Por exemplo, 4( )f x x= − tem um máximo local em 0 0x = , 
4( )f x x= tem um mínimo local em 0 0x = , e 
5( )f x x= tem um 
ponto de sela em 0 0x = , embora ''(0) 0f = para todas essas fun-
ções. Daí a importância da forma bilinear ser negativa definida 
(estritamente).
74
Exemplificaremos esse resultado considerando o caso 2n = , isto 
é, o caso em que 2:f A⊂ →  . Nesse caso, a matriz Hessiana 
0
( )xH f toma a forma:
0
2 2
2
1 1 2
2 2
2
2 1 2
( )x
f f
x x x
H f
f f
x x x
 ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ =
 ∂ ∂
  ∂ ∂ ∂ 
Para efeito de simplificação de notação consideremos a matriz 
simétrica 
a b
B
b d
 
=  
 
, devido ao teorema de Schwarz, uma vez 
que 2 ( )f C A∈ . Temos que, uma matriz n nB × é associada a uma 
forma bilinear B , da seguinte maneira: se , nx y∈ , 
1
n
i i
i
x x e
=
=∑ , 
1
n
j j
i
y y e
=
=∑ , onde 1{ }ni ie = é a base canônica do n , então
1 1 1 1
( , ) , ( , )
n n n n
i i j j i i j j
i j i j
B x y B x e y e x B e e y
= = = =
 
= = 
 
∑ ∑ ∑∑ .
Fazendo ( , )i j ijB e e b= , onde ijb são as entradas da matriz n nB × . 
Assim, teríamos que 
11 1 1
1
, 1
1
( , ) ( )
nn
i ij j n
i j
n nn n
b b y
B x y x b y x x
b b y=
  
  = =   
  
  
∑

   

,
ou seja, 
1
1( , ) ( )
T
n
n
y
B x y x x B xBy
y
 
 = = 
 
 
  .
Assim, dizer que uma forma bilinear é positiva definida corres-
ponde a dizer que a matriz n nB × que a representa satisfaz:
0TxBx > , nx∀ ∈ , 0x ≠ .
Portanto, em nosso caso, temos que mostrar que a matriz B, que 
representa a matriz Hessiana de f, para um vetor 2( , )x y ∈ com 
( , ) (0,0)x y ≠ , satisfaz
( ) 0
a b x
x y
b d y
  
>  
  
,
isto é, 2 2( ) 2 0
x
ax by bx dy ax byx dy
y
 
+ + = + + > 
 
.
75
Supondo isto verdadeiro para todo ( , ) (0,0)x y ≠ , tomamos 1x = e 
0y = , e obtemos que 0a > , e agora tomando 1y = , obtemos que 
2 2 0ax bx d+ + > , x∀ ∈ . Esse trinômio do 2º grau possui um mí-
nimo visto que 0a > , quando 2 2 0ax b+ = , isto é, quando bx
a
= − . 
Assim, impondo que 
2
2 0b ba b d
a a
   − + − + >   
   
, obtemos que 
2 0ad b− > . Deste modo demonstramos que a matriz B é positiva 
definida quando 0a > e o seu determinante 2 0ad b∆ = − > .
Podemos agora enunciar o seguinte resultado, para o caso em que 
2n = .
Teorema 2.5. Seja A um aberto de 2 , 0x A∈ e :f A→ de clas-
se 2C , sendo 0x um ponto crítico de f e 
22 2 2
2 2
1 2 1 2
f f f
x x x x
 ∂ ∂ ∂
∆ = − ∂ ∂ ∂ ∂ 
calculado em 0x . Então,
Se i) 0∆ > e 
2
2
1
0f
x
∂
>
∂
 (isto é, 
0
( )xH f é positiva definida), f pos-
sui um mínimo local em 0x .
Se ii) 0∆ > e 
2
2
1
0f
x
∂
<
∂
 (isto é, 
0
( )xH f é negativa definida), f pos-
sui um máximo local em 0x .
iii) Se 0∆ < , f possui um ponto de sela em 0x .
Exercícios
1) Investigar a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
a) 2 2( , )f x y x xy y= − + .
b) 2 2( , )f x y x xy y= − + − .
c) 2( , ) ( )f x y x y= − .
2) Achar os máximos e mínimos relativos de 
3 31 1( , ) 4 20.
3 3
f x y x y x y= + − − +
76
3) Uma caixa retangular sem tampa deve ter 34m . Quais devem 
ser suas dimensões, para que sua superfície total seja mínima?
4) Achar os extremos de ( , )z x y , na superfície 
2 2 21 3 6 2 16
2 2
x y z xy xy+ + − + = .
5) Achar três números positivos tais cuja soma seja no máxi-
mo 12 e o produto do primeiro pelo quadrado do segundo e pelo 
cubo do terceiro seja máximo.
Resumo
Acabamos de ver, neste capítulo, que a diferencial de uma função 
real de várias variáveis pode ser representado por uma matriz 
de ordem 1×n . Vimos condições suficientes para a sua existência, 
como também, o importantíssimo Teorema da Função Implícita 
com suas poderosas aplicações. Por fim, vimos as aplpicações da 
diferencial de uma função no cálculo de máximos e mínimos lo-
cais, utilizando-nos da matriz Hessiana.
Integrais Duplas e Triplas3
79
3 Integrais Duplas e Triplas
Neste capítulo apresentaremos as noções de integral dupla 
e tripla com suas aplicações ao cálculo de área e volume. 
Apresentaremos também a noção de mudança de variável 
que nos permite deformar regiões possibilitando-nos rea-
lizar a integração sobre novas regiões relacionadas com as 
regiões originais através do determinante Jacobiano que 
nos dá a medida de deformação da região.
3.1 Integral dupla
3.1.1 Definição
Consideremos uma função contínua de duas variáveis reais
2:f R ⊂ →  , onde o domínio R é um retângulo com lados pa-
ralelos aos eixos coordenados. O retângulo R é descrito em ter-
mos de dois intervalos fechados [ , ]a b e [ , ]c d , representando a 
projeção dos lados de R sobre os eixos x e y, respectivamente. Nes-
te caso, dizemos que R é o produto cartesiano de [ , ]a b e [ , ]c d que 
representamos por [ , ] [ , ]R a b c d= × .
Suponha que ( , ) 0f x y > em R e que o 
gráfico de ( , )z f x y= seja uma super-
fície contínua acima do retângulo R. 
Essa superfície, o retângulo R e os pla-
nos x a= , x b= , y c= e y d= formam 
uma região limitada V.
Definição 3.1. O volume da região aci-
ma do retângulo R e abaixo do gráfico 
de f é chamado de integral dupla de f 
sobre R o qual é denotado por
( , )
R
f x y dxdy∫∫ ou ( , )R f x y dA∫∫ .
R
dc
graf (z)
a
b
x
z
y
Figura 3.1
80
Exemplo 3.1. Seja ( , ) 1f x y x= − e [0,1] [0,1]R = × , então 
1( , )
2R
f x y dxdy =∫∫ ,
onde a integral é igual ao volume do sólido triangular mostrado 
na figura 3.2.
Considere a região sólida abaixo do gráfico de ( , )z f x y= , defi-
nida na região [ , ] [ , ]a b c d× , onde f é contínua e maior que zero. 
Temos dois cortes transversais a considerar: um obtido através da 
intersecção dessa região com um plano perpendicular ao eixo x e 
outro obtido através da intersecção dessa mesma região com um