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ÁLGEBRA LINEAR 
MODULO I 
1) DADO O CONJUNTO W = {(X,Y,Z) / Y = 0} PODEMOS AFIRMAR QUE: 
A) É UM ESPAÇO VETORIAL, POIS OBEDECE AS PROPRIEDADES DA ADIÇÃO E DA 
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR. 
POIS O CONJUNTO W É NÃO VAZIO. 
2) DADO O CONJUNTO V = {(X,Y,Z) / Z = 2Y – 1} PODEMOS AFIRMAR QUE: 
D) NÃO É ESPAÇO VETORIAL, POIS, NÃO POSSUI O VETOR (0,0,0) 
POIS NÃO EXISTE VALOR PARA Y NO QUAL Z SERÁ 0. 
3) 
EM RELAÇÃO AO ESPAÇO VETORIAL, ANALISE AS FRASES ABAIXO E ASSINALE A ALTERN
ATIVA CORRETA: 
 I - EXISTE UM ÚNICO VETOR NULO EM V. 
 II –
 PARA QUALQUER VETOR U, V E W, QUE PERTENCEM A V SE U + W = V + W, ENTÃO U = V. 
 III –
 PARA QUALQUER U E V PERTENCENTES A V, EXISTE UM E SOMENTE UM X, TAL QUE U + X 
= V 
A) TODAS AS AFIRMAÇÕES SÃO VERDADEIRAS. 
POIS SÃO PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL. 
4) 
C) 
5) 
D 
6) 
B 
7) NO ESPAÇO VETORIAL R
3
, O VETOR V = (-7, -15, 22) É UMA COMBINAÇÃO LINEAR DOS 
VETORES V1 = (2, -3, 4) E V2 = (5, 1, -2) PORQUE: 
B)V=4V1-3V2. 
POIS EXISTEM ESCALARES K1=4 E K2=-3, TAL QUE V=4V1-3V2. 
PORTANTO, (-7,-15,22)=4(2-3,4)-3(5,1,-2). 
8) DETERMINE O VALOR DE K PARA QUE O VETOR µ = (-1, K, -7) SEJA COMBINAÇÃO LINEAR 
DE V1 = (1, -3, 2) E V2 = (2, 4, -1) 
C)13 
TAL QUE TEMOS (-1,K,-7)=K1(1,-3,2)+K2(2,4,-1), ONDE EXISTE ESCALARES K1=-3 E K2=1, 
LOGO K=13. 
MODULO II 
1) DADOS OS SUBESPAÇOS S = {(X,Y,0) PERTENCENTE A R
3
} E T = {(Z,Z,Z) PERTENCENTE A 
R
3
} PODEMOS AFIRMAR QUE: 
A soma S+T=(x,y,0)+(z,z,z)=(x+z,y+z,0+z) e; 
A intersecção S=T, onde temos (x,y,z)=(z,z,z), logo x=0, y=0 e z=0, ou seja, (0,0,0). Portando, R³ é soma 
direta de S e T. 
2) DADOS OS SUBESPAÇOS S = {(0,Y,Z) PERTENCENTE A R
3
} E T = {(X,0,C) PERTENCENTE A 
R
3
} PODEMOS AFIRMAR QUE: 
B) S + T = (x, y, z + c) E S INTERSECÇÃO T = (0,0,c), portanto, R
3
 não é soma direta de S e T. 
A soma S+T=(0,y,z)+(x,0,c)=(x,y,c+z); 
A intersecção S=T, onde temos (0,y,z)=(x,0,c), logo x=0, y=0 e z=c, ou seja, (0,0,c). Portando, R³ não é 
soma direta de S e T. 
3) DADOS OS SUBESPAÇOS S = {(X,0,Z) PERTENCENTE A R
3
} E T = {(0,Y,2Y) PERTENCENTE A 
R
3
} PODEMOS AFIRMAR QUE: 
C) S + T = (X, Y, Z + 2Y) E S INTERSECÇÃO T = (0,0,0), PORTANTO, R
3
 É SOMA DIRETA DE S E T. 
SOMA S+T=(X,0,Z)+(0,Y,2Y)=(X,Y,2Y+Z) E; 
A INTERSECÇÃO S=T, ONDE TEMOS (X,0,Z)=(0,Y,2Y), LOGO X=0, Y=0 E Z=2Y=0, OU SEJA, 
(0,0,0). PORTANDO, R³ É SOMA DIRETA DE S E T. 
4) SENDO S = {(X, 2X, Z) EM R
3
} E T = {(0, Y, Z) EM R
3
}, A INTERSECÇÃO ENTRE S E T SERÁ: 
C) {(0, 0, Z) EM R
3
?} 
A INTERSECÇÃO S=T, ONDE TEMOS (X, 2X, Z)=(0, Y, Z), LOGO X=0, Y=2X=0 E Z=Z, OU SEJA, 
(0,0,Z) EM R³. 
5) SENDO U = {(X, 0, Z) EM R
3
?}, V = {(0, Y, 0) EM R
3
?} E W = {(0, 0, Z) EM R
3
?}, TEREMOS 
COMO ÚNICA ALTERNATIVA FALSA: 
E) V INTERSECÇÃO COM W = {(0, 0, Z)} 
ERRADO, POIS V INTERSECÇÃO COM W={(0,0,0)}. 
6) DADO O SUBESPAÇO U = {(X, Y, Z) DE R
3
 / X - 2Y = 0} PODEMOS ADMITIR COMO UM 
POSSÍVEL SISTEMA GERADOR DO SUBESPAÇO. 
E) [(2, 1, 0); (0, 0, 1)] 
ENTRE AS OPÇÕES DADAS, ESSAS COORDENADAS [(2,1,0);(0,0,1)] É GERADOR DO 
SUBESPAÇO U. 
7) DADO O SUBESPAÇO V = {(X, Y, Z) DE R
3
 / X - 2Y + 3Z = 0} PODEMOS ADMITIR COMO UM 
POSSÍVEL SISTEMA GERADOR DO SUBESPAÇO: 
A) [(2, 1, 0); (-3, 0, 1)] 
ENTRE AS OPÇÕES DADAS, ESSAS COORDENADAS [(2,1,0);(-3,0,1)] É GERADOR DO 
SUBESPAÇO V. 
8) DADO O SISTEMA GERADOR U = [(1, 0, 0, 0); (-1, 1, 0, 0); (1, 0, 2, 0); (0, 0, 0, 1)] TEREMOS O 
SUBESPAÇO U DEFINIDO POR: 
D) (X - Y + Z, Y, 2Z, W) 
O SISTEMA DEFINE O SUBESPAÇO U. 
MODULO III 
1) A)(3,3) 
T(1,2,3)=(1+2,3)=(3,3) 
2) A) T(A)=(0,0) e T(B)=(2,2) 
T(A)=(2*0,2*0)=(0,0) 
T(B)=(2*1,2*1)=(2,2) 
3) D) T não é linear pois não leva a origem (0,0) do domínio na origem do contradomínio; 
4) B) somente a transformação G é linear. 
5) E) A’(1,-1); B’(3,-1); C’(3,2); D’(1,2) 
A’(0,0)=(1,-1);B’(2,0)=(3,-1);C’(2,3)=(3,2);D’(0,3)=(1,2) 
6) B) A' (0, 0); B' (0, 3); C' (9, 3); D' (9, 0) 
A’(0,0)=(0,0);B’(-1,0)=(0,3);C’(-1,3)=(9,3);D’(0,3)=(9,0) 
7) D) Expansão 
8) C) Reflexão sobre o eixo y. 
COMPLEMENTAR I 
1) (Poscomp 2012) - Seja o espaço vetorial V = R
2
. Com relação a esse espaço, assinale a alternativa correta. 
E) V é soma direta de S1 = {(x, y) ∈ R2|(x, y) = (x, 0)} e S2 = {(x, y) ∈ R2|(x, y) = (0, y)} 
V = S1 ⊕ S2. 
2) Dados os vetores u = (2, 3, 4) e v = (-1, 4, 0) assinale a alternativa que indica o valor de k para o vetor W 
= (2, k - 3, 2) seja combinação linear de u e v. 
C) k=5,5 
Questão possivelmente errada, pois a resposta encontrada foi a seguinte. 
(2,k-3,2)=(2k1-k2,3k1+4k2,4k1) 
2k1-k2=2; 
3k1+4k2=k-3; 
4k1=2; 
Resolvendo o sistema temos que k1=1/2; k2=-1, assim k=1/2. 
3) (AL) Sendo R = {(x,y,0) pertencente a R
3
} e S = {(0,b,c) pertencente a R
3
} subespaços de R
3
, assinale a 
alternativa que indica R ∩ S 
E) R ∩ S = {(0,y,0) pertencente a R
3
} 
A intersecção R=S, onde temos (x, y, z)=(0, b, c), logo x=0,y=b e c=0, ou seja, (0,y,0) em R³. 
4) (AL) Sendo S = {(x,y,2x) pertencente a R
3
} e T = {(z+y,y,z) pertencente a R
3
}, assinale a alternativa que 
indica S ∩ T 
A) S ∩ T = {(x, -x, 2x) pertencente a R
3
} 
A intersecção S=T, onde temos (x, y, 2x)=(z+y, y, z), logo x=z+y=x ,y=-x e z=2x, portanto, (x,-x,2x) em R³. 
5) (AL) Sendo R = {(x,y,0) pertencente a R3} e S = {(0,b,c) pertencente a R3} subespaços de R3, assinale a 
alternativa que indica R + S: 
A) R + S = {(x, y + b, c) pertencente a R3 
 
R+S=(x,y,0)+(0,b,c)=(x+0,y+b,c+0)=(x,y+b,c) no R³. 
 
6) (AL) Sendo S = {(x,y,2x) pertencente a R3} e T = {(z+y,y,z) pertencente a R3}, assinale a alternativa que 
indica R+S (questão com enunciado errado) 
E) R+S = {(x + b + c, y + b, 2x + c) pertencente a R3 
 
R+S=(x,y,2x)+(z+y,y,z)=(x+y+z,y+y,2x+z)=(x+b+c,y+b,2x+c) no R³. 
 
7) (Metro - 2014) Para que S seja subespaço vetorial de V é necessário que, dados u e v pertencentes a S, e ß 
um número real, aconteçam três condições: 
I. (0,0) pertença a S. 
II. u + v pertença a S. 
III. ß.u pertença a S. 
Seja V = R
2
 um espaço vetorial, e S = {(x, x+1); x pertence a R} um conjunto, então, S não é um espaço 
vetorial de V. Das três condições necessárias para que S seja um subespaço de V, S: 
E) I, II e III não atendem 
 
8) (IFRS-2014) Analise as afirmações a seguir: 
I. seja V = R
3
 e W = {(a,b,0) / a,b pertencem a R}. Temos que W é subespaço de V. 
II. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o subespaço nulo e o próprio 
espaço vetorial V. 
III. No R
3
, os vetores (-1,2,0); (5,0,1) e (8,-6,1) são linearmente independentes 
É correto afirmar que: 
D) I, II e III são verdadeiras. 
 
I-W é um conjunto não vazio, o qual vale a soma e produto dadas pela definição de subespaço. 
II-O conjunto nulo S={θ} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V. 
III- é fato, pois k1=0, k2=0 e k3=0. 
 
9) Se U={(x,y,z); z = 0)} e W={(x,y,z); y - 2x = 0} são subespaços do espaço vetorial R3, é correto afirmar 
que as dimensões de U+W e U intersecção W, respectivamente: 
D) 3 e 1 
Temos que U+W=(x,y,0)+(x,2x,z)=(2x,2x+y,z)=(2x,2x,0)+(0,y,0)+(0,0,z)=x(2,2,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1), logo 
Dim(U+W)=3. 
U ∩ W, onde (x,y,0)=(x,2x,z), assim temos (x,2x,0)=x(1,2,0), logo Dim(U ∩ W)=1. 
COMPLEMENTAR II 
1) (IAL) Sendo u1 = (1,2,-3), u2 = (3,-1,-1) e u3 = (2,-2,0) do R3. Considerando este espaço munido do 
produto interno usual, assinale a alternativa que indica o vetor v tal que v.u1 = 4, v.u2 = 6 e v.u3 = 2. 
D) v(3,2,1) 
 
(v1,v2,v3)*(1,2,-3)=v1+2v2-3v3=4; 
(v1,v2,v3)*(3,-1,-1)=3v1-v2-v3=6; 
(v1,v2,v3)*(2,-2,0)=2v1-2v2=2; 
Resolvendo o sistema teremos, v1=3; v2=2; v3=1. Portando v(3,2,1). 
 
2) (IAL) O conjunto B = {(1,-1),(2,m)} é um a base ortogonal do R2 em relação ao produto interno 
(x1,y1).(x2,y2) = 2(x1x2 + y1y2). Podemos afirmar que : 
C)m=2 
Dado B = {(1,-1),(2,m)} ortogonal, então (x1,y1).(x2,y2) = 2(x1x2 + y1y2)=0, logo 2(2-m)=0, portanto 
m=2. 
3) (AL) Dado o subespaço S = {(x,y,z) / z = 2x + 3y} do espaço vetorial V = R3, assinalea alternativa que 
indica uma base e a dimensão do subespaço indicado. 
B) S = [ (1,0,2), (0, 1, 3) ] e dimensão 2. 
Dado o subespaço S = {(x,y,z) / z = 2x + 3y} do espaço vetorial V = R3, temos que 
S=(x,y,z)=(x,y,2x+3y)=(x,0,2x)+(0,y,3y)=x(1,0,2)+y(0,1,3), logo Dim(S)=2 com bases (1,0,2) e (0,1,3). 
4) Dado o conjunto de geradores de V = [ (1, -2, 3), (3, 2, -1), (4, 5, 3) ] contidos em R3 podemos afirmar: 
A) São Linearmente independentes e a dimensão de V é 3. 
Dado o conjunto de geradores de V = [ (1, -2, 3), (3, 2, -1), (4, 5, 3) ] contidos em R³ , temos que k1(1, -2, 
3)+k2(3, 2, -1)+k3(4, 5, 3)=(0,0,0) e como k1=k2=k3=0, logo V é Linearmente independente com Dim(v)=3 
 
5) (AL) Sendo U = {(x, x – z, z, t) pertencente a R4} e V = {(2y, y, t, t) pertencente a R4} assinale a 
alternativa que indica respectivamente a base de U, a dimensão de U, a base de V e a dimensão de V. 
A) BU = {(1, 1, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; dim U = 3; BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 2. 
 
Sendo U = {(x, x – z, z, t) pertencente a R4} e V = {(2y, y, t, t) pertencente a R4, temos que 
U=(x,y,z,t)=(x,x-z,z,t)=(x,x,0,0)+(0,-z,z,0)+(0,0,0,t)=x(1,1,0,0)+z(0,-1,1,0)+t(0,0,0,1), logo BU = {(1, 1, 0, 
0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} e dim U = 3, e seguindo, temos que 
V=(x,y,z,t,)=(2y,y,t,t)=(2y,y,0,0)+(0,0,t,t)=y(2,1,0,0)+t(0,0,1,1), logo BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}e dim V 
= 2. 
 
6) (AL) Sendo U = {(x, y, x - y, x - z) pertencente a R4} e V = {(2x - y, x, y, x - y) pertencente a R4} 
assinale a alternativa que indica respectivamente uma base de U e uma base de V. 
 
E) BU = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, -1, 0), (0, 0, 0, -1)] e BV = [(2, 1, 0, 1), (-1, 0, 1, -1)] 
 
Sendo U = {(x, y, x - y, x - z) pertencente a R4} e V = {(2x - y, x, y, x - y) pertencente a R4}, temos que 
U=(x,y,x-y,x-z)=(x,0,x,x)+(0,y,-y,0)+(0,0,0,-z)=x(1,0,1,1)+y(0,1,-1,0)+z(0,0,0,-1), logo BU = [(1, 0, 1, 1), 
(0, 1, -1, 0), (0, 0, 0, -1)] e, temos que V=(2x-y,x,y,x-y)=(2x,x,0,x)+(-y,0,y,-y)=x(2,1,0,1)+y(-1,0,1,01), logo 
BV = [(2, 1, 0, 1), (-1, 0, 1, -1)]. 
 
7) (AL) Sendo U = {(x - y + z, x, y - 2z) pertencente a R3} e V = {(x - y, 2x - y, x - 3y) pertencente a R3} 
assinale a alternativa que indica respectivamente uma base de U e uma base de V: 
 
D) BU = [(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 0, -2)] e BV = [(1, 2, 1), (-1, -1, 3)] 
 
Sendo U = {(x - y + z, x, y - 2z) pertencente a R3} e V = {(x - y, 2x - y, x - 3y) pertencente a R3}, temos 
que U=(x-y+z,x,y-2z)=(x,x,0)+(-y,0,y)+(z,0,-2z)=x(1,1,0)+y(-1,0,1)+z(1,0,-2), logo BU = [(1, 1, 0), (-1, 0, 
1), (1, 0, -2)] e, temos que V=(x-y,2x-y,x-3y)=(x,2x,x)+(-y,-y,-3y)=x(1,2,1)+y(-1,-1,-3), logo BV = [(1, 2, 
1), (-1, -1,-3)] 
 
8) E