EQUAÇÕES DIFERNCIAIS APLICADAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI 
Curso Ciência e Tecnologia 
 João Guilherme Souza Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERNCIAIS APLICADAS: MODELO DE MALTHUS E O 
OSCILADOR HARMÔNICO QUÂNTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Janaúba 
2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
João Guilherme Souza Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS: MODELO DE MALTHUS E O 
OSCILADOR HARMÔNICO QUÂNTICO 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao 
curso de Ciência e Tecnologia da Universidade 
Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, 
como requisito para conclusão de curso. 
 
Orientador: Prof. Dr. Jean Carlos Coelho Felipe 
 
 
 
 
 
 
 
 
Janaúba 
2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
João Guilherme Souza Lopes 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS: MODELO DE MALTHUS E O 
OSCILADOR HARMÔNICO QUÂNTICO 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao 
curso de Ciência e Tecnologia da Universidade 
Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, 
como requisito para conclusão de curso. 
 
Orientador: Prof. Dr. Jean Carlos Coelho Felipe 
 
Data de aprovação: ___/___/_______. 
 
 
______________________________________________________ 
Prof. Dr. Jean Carlos Coelho Felipe 
Instituto de Engenharia, Ciência e Tecnologia – UFVJM 
 
 
 
______________________________________________________ 
Prof. Dr. Paulo Alliprandini Filho 
Instituto de Engenharia, Ciência e Tecnologia – UFVJM 
 
 
 
______________________________________________________ 
Prof. Msc. Edson do Nascimento Neres Júnior 
Instituto de Engenharia, Ciência e Tecnologia – UFVJM 
 
 
 
 
 
 
Janaúba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Primeiramente agradeço a Deus, por todas as graças que me foram concedidas, oportunidades, 
saúde e força por sempre estar atingindo meus objetivos. 
 
Aos meus pais, José Edineto e Dilma, que com muito carinho, amor e apoio, não mediram 
esforços para que eu chegasse até esta etapa de minha vida. Ao meu irmão que amo tanto 
Daniel pelo apoio e companheirismo. 
 
A toda minha família, avós, tios, primos, pelo incentivo e capacidade de acreditar em mim, 
demonstrando que não estou sozinho nessa caminhada. 
 
Aos meus brothers da República “A casa Lá”, Eduardo, Paulo Henrique, Rodrigo, Ronaldo e 
todos amigos e agregados, pelo companheirismo e pelos momentos de diversão que vocês 
proporcionaram em minha vida. 
 
Ao meu orientador, professor Dr, Jean Carlos Coelho Felipe, pela paciência e por toda 
orientação e incentivo para realização deste trabalho. 
 
A todos os professores e servidores do IECT/UFVJM, que contribuíram diretamente ou 
indiretamente para a minha formação. 
 
Meu sincero “muito obrigado”! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
Equações Diferenciais tem aplicações nas mais diversas áreas das Ciências 
Naturais e Humanas, de maneira geral. Alguns exemplos onde podemos encontrar sua 
aplicação são na Biologia, Física, Economia, Termodinâmica, Ciências Sociais, dentre outras. 
Neste trabalho, particularmente, será feito um apanhado geral sobre as Equações Diferenciais, 
desde o contexto histórico de seu surgimento até exemplos concretos de suas aplicações, bem 
como alguns métodos para resolução das mesmas (aqui se usa o termo genérico “Equações 
Diferenciais” pois alguns problemas são modelados via Equações Diferenciais Ordinárias 
(EDO) enquanto outros são modelados via Equações Diferenciais Parciais (EDP)). 
Particularmente nesse trabalho serão apresentadas duas aplicações onde as Equações 
Diferenciais têm papel fundamental no processo de modelagem, porém em áreas distintas. A 
primeira aplicação consiste no tratamento do Modelo de Malthus, o qual está relacionado à 
questão do crescimento ou decrescimento de uma dada população de indivíduos. Como teste 
de validade, o modelo será empregado para se obter estimativas atuais e futuras (baseado em 
estimativas passadas) para o crescimento populacional dos municípios de Janaúba e Mato 
Verde, ambos situados na região Norte do estado de Minas Gerais. A segunda aplicação está 
relacionada ao estudo do Oscilador Harmônico Quântico. Para o tratamento do problema, 
foram analisadas as soluções da Equação Diferencial de Hermite de forma bem detalhada, 
desde a maneira como ela deve ser resolvida, da qual se originam os Polinômios de Hermite 
até o estudo de algumas de suas propriedades como, por exemplo: sua função geratriz, a 
Fórmula de Rodrigues e a relação de ortogonalidade dos polinômios. 
Palavras-Chave: Equações Diferenciais, Crescimento Populacional, Oscilador Harmônico 
Quântico, Polinômios de Hermite, Espaço de Funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Differential Equations have applications in several areas, for example, in Biology, 
Physics, Economy, Thermodynamics, Social Sciences and others. In this work, particularly, 
will be done a general discussion about Differential Equations, since the historical aspects 
until examples where they can be applied as well as some resolutions methods to Differential 
Equations (here we use the generical term to “Differential Equations” because some problems 
involving Ordinary Differential Equations (ODE) and others involving Partial Differential 
Equations (PDE)). Particularly, in this work will be showing two applications, in different 
areas of expertise, to Differential Equations. In the first application, we will treat the Malthus 
Model, which is related to the population growth and, as a test of validity; the model will be 
applied to check the population increase on the cities of Janaúba and Mato Verde, localized 
on the north region of the state of Minas Gerais. The second application is related to the 
Quantum Harmonic Oscillator and, to the resolution of the following model, were analyzed 
the Hermite Equation solutions in a detailed way. From the Hermite Differential Equation we 
can derive the Hermite Polynomials. In this sense, will be analyzed some properties of that 
polynomials as: the generation function, the Rodrigues Formula and the polynomials 
orthogonality properties. 
 
Keywords: Differential Equations, Population Growth, Quantum Harmonic Oscillator, 
Hermite Polynomials, Space of Functions. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
Figura 1- Gráfico representativo para os dados do IBGE e estimativa de Malthus para a 
cidade de Janauba MG.... ................................................................................................... ......41 
Figura 2- Gráfico representativo para os dados do IBGE e estimativa de Malthus para a 
cidade de Mato Verde MG......................................................................................................43 
Figura 3- Oscilado Harmônico ................................................................................................ 44 
Figura 4- Aproximação parabólica (curva tracejada) para um potencial arbitrário, em um 
ponto de mínimo local ............................................................................................................. 45 
Figura 5(a)- Molécula formada por dois átomosdiferentes de massa 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 e separados por 
uma distância 𝒓 além de suas posições de equilíbrio e (b) o modelo mecânico correspondente
 ................................................................................................................................................. 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTAS DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
 
EDO – Equação Diferencial Ordinária 
EDP – Equação Diferencial Parcial 
MG – Minas Gerais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 19 
2.OBJETIVOS ....................................................................................................................... 23 
2.1 Objetivos Gerais .............................................................................................................. 23 
2.2 Objetivos Específicos ....................................................................................................... 23 
3 REVISÃO TEÓRICA ........................................................................................................ 25 
3.1 Definições .......................................................................................................................... 25 
3.2 Importância das Equações Diferenciais ........................................................................ 27 
3.3 Problema de Valor Inicial ............................................................................................... 28 
3.4 Condições de Contorno ................................................................................................... 28 
3.5 Equações Separáveis ....................................................................................................... 29 
3.6 Equações Diferencias Parciais ........................................................................................ 30 
3.7 Equações Diferenciais Homogêneas ............................................................................... 33 
3.8 Série de Potências ............................................................................................................ 34 
4 MODELAGEM VIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................. 37 
4.1 Crescimento e decrescimento Populacional (Modelo de Malthus) .............................. 37 
4.1.1 Aplicação do modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional para as 
cidades de Janaúba e Mato Verde, localizadas na região norte do estado de Minas 
Gerais ...................................................................................................................................... 39 
4.1.1.1 Aplicação do Modelo para o Município de Janaúba-MG ...................................... 39 
4.1.1.2 Aplicando o Modelo para o Município Mato Verde-MG ...................................... 42 
4.2 Oscilador Harmônico Quântico ..................................................................................... 44 
4.2.1 Equação de Hermite ...................................................................................................... 54 
4.2.2 Ortogonalidade dos Polinômios de Hermite ............................................................... 58 
5.CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 65 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Os estudos das Equações Diferenciais começaram no século XVII com Isaac 
Newton (1642 -1727) e Gottfried Wilheim Leibniz (1646-1716). Formado no Trinity College, 
Newton cresceu no interior da Inglaterra e se tornou professor de Matemática, ocupando a 
cadeira Lucasiana, em 1669, que atualmente é ocupada pelo físico inglês Michael Cates. 
Suas descobertas de cálculo e as leis da Mecânica datam do ano de 1665, mas por ser muito 
sensível a críticas, Newton só começou a publicar seus escritos em 1687, com seu livro mais 
famoso intitulado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Nessa publicação, Newton 
classificou as equações de primeira ordem de acordo com as formas ( NEWTON, 2011) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 , (1) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑦 , (2) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 . (3) 
Leibniz, nascido em Leipzing na Alemanha, chegou à mesma formulação para o 
Cálculo Diferencial e Integral de forma independente e foi o primeiro a publicá-los, em 1684. 
A notação atual de derivada e integral são devidas a ele. Foi Leibniz o responsável em 
desenvolver o método de separação de variáveis no ano de 1691, a redução de equações 
homogêneas a equações separáveis em 1691 e o procedimento para resolver equações lineares 
de primeira ordem em 1694 (BOYCE e DIPRIMA, 2010). 
Outros importantes matemáticos que contribuíram muito para o desenvolvimento 
de métodos para resolução de Equações Diferenciais foram Jakob Bernoulli (1654-1705) e 
Johann Bernoulli (1667-1748) nascidos em Basel, onde mais tarde tornaram-se professores de 
matemática (Jakob em 1687 e Johann em 1705). Aumentaram o campo de aplicação das 
Equações Diferenciais, resolvendo diversos problemas em Mecânica (BOYCE e DIPRIMA, 
2010). 
Jakob foi o primeiro autor da palavra “integral” no sentido moderno. Já Johann 
tornou-se professor de matemática em 1705 e teve vários discípulos, dentre eles seu filho 
Daniel Bernoulli (1700-1782) o qual integrou a Academia de São Pertersburgo, seguindo a 
área do pai e focando principalmente nas Equações Diferenciais Parciais e suas aplicações, 
20 
 
ficando seu nome associado as Equações de Bernoulli em Mecânica dos Fluidos. Tais 
equações são da forma 
 
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, (4) 
sendo utilizadas para modelar o regime permanente incompressível e não viscoso de um 
fluido ao longo de um conduto, sendo as variáveis : P relacionada a pressão, 𝜌 densidade 
volumétrica, 𝑉 o volume, 𝑔 a gravidade e 𝑧 a altura (McDONALD e PRITCHARD). 
Outro matemático que contribuiu na área das Equações Diferenciais foi Leonhard 
Euler, discípulo de Johann Bernoulli. Euler foi um grande contribuinte no século XVIII para 
o estudo do Cálculo Das Variações, do qual originou o conjunto de Equações Diferenciais 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
−
𝑑
𝑑𝑥
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 0. (5) 
O conjunto de Equações Diferenciais mostradas na expressão (5) decorre do 
principio da Ação Mínima (conhecido como princípio de Halmiton) e são denominadas 
Equações de Euler-Lagrange, as quais decorrem da condição do entorno para o funcional 
 𝐼 𝑦 = 𝑓( 𝑦 𝑥 , 𝑦′ 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥,
𝑏
𝑎
 (6) 
o qual pode ser mínimo ou máximo, dependendo do problema a ser tratado (NETO, 2011). 
Segundo Boyce, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes, identificou a 
condição para que as equações diferenciais de primeira ordem sejam exatas e encontrou a 
solução geral para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes em 1743. Em 
torno de 1750, o mesmofez o uso de séries de potência para resolver equações diferenciais, 
além de contribuir com o desenvolvimento das equações diferenciais parciais, dando o 
primeiro tratamento sistemático do cálculo de variações, dentre outras contribuições 
(BOYER, 1993). 
Muitos outros matemáticos escreveram seu nome na historia das equações 
diferenciais. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) mostrou a solução geral de uma equação de 
ordem n é uma combinação linear com n soluções independentes bem como desenvolveu 
tudo sobre o método de variação dos parâmetros (BOYCE e DIPRIMA, 2010). 
 Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), embora também tenha sido importante no 
estudo da mecânica celeste, ficou popularmente conhecido pela formulação das 
Transformadas de Laplace (método útil na resolução de equações diferenciais). As equações 
de Laplace são fundamentais no ramo da Física Matemática, tendo o mesmo a estudado e 
21 
 
aprimorado o método de maneira exaustiva. Importante lembrar que a Transformada de 
Laplace teve sua aplicação encontrada em manuscritos bem antes do próprio Laplace, nos 
trabalhos de Euler (BOYCE e DIPRIMA, 2010). 
As equações diferenciais têm aplicações importantes em diversas áreas como 
Biologia, Física, Economia e Ciências Sociais. Tais áreas utilizam-se das Equações 
Diferenciais para análise de processos para modelagem de algum fenômeno o qual estejam 
estudando, embora nem sempre seja possível encontrar uma fórmula explícita para resolução 
de uma Equação Diferencial (STEWART, 2007). 
Os usos das equações diferenciais estão presentes em muitos problemas reais, tais 
como, crescimento populacional, movimento de um pêndulo, propagação de doenças, 
movimento de corpos celestes, circuitos elétricos, corpos em movimento harmônico simples, 
dentre outros (SIMÕES, 2014). 
Para uma melhor exposição dessa monografia, apresentaremos um breve 
panorama da mesma. No Capítulo 2, serão apresentados os objetivos deste trabalho. No 
Capítulo 3, será apresentada a revisão teórica deste trabalho onde serão definidos os diferentes 
tipos de equações diferenciais bem como alguns métodos para o tratamento das mesmas. O 
Capítulo 4 tratará das aplicações propostas neste trabalho. Na seção 4.1 será apresentado o 
Modelo de Malthus e sua aplicação para as cidades de Janaúba e Mato Verde e, na seção 4.2, 
a resolução do Oscilador Harmônico Quântico, a partir da Equação Diferencial de Hermite, 
definindo os Polinômios de Hermite e suas propriedades, tais como função geratriz, Fórmula 
de Rodrigues e a relação de ortogonalidade dos polinômios. Já no Capítulo 5 será apresentada 
uma breve conclusão sobre o trabalho desenvolvido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
2. /OBLETIVOS 
2.1 Objetivos Gerais 
 
 Estudar e compreender aspectos gerais sobre Equações Diferenciais bem como 
diferentes métodos de solução e sua aplicação em diferentes sistemas. 
 
2.2 Objetivos Específicos 
 Estudar o Método de Frobenius para resolução de equações diferenciais; 
 Estudar o Modelo de Malthus para estimar crescimento populacional atual (baseado 
em estimativas passadas) e futuro das cidades de Janaúba-MG e Mato Verde-MG; 
 Estudar o problema do Oscilador Harmônico Quântico a partir das Equações 
Diferenciais; 
 Partindo da análise do problema do Oscilador Harmônico Quântico, estudar e analisar 
as equações de Hermite, definindo os polinômios homônimos e algumas de suas 
propriedades como, por exemplo, as propriedades de ortogonalidade, relações de 
recorrência entre os polinômios e a função geratriz dos mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
3 REVISÃO TEÓRICA 
3.1 Definições 
 
 A partir de um dado contexto uma variável pode assumir duas condições: Ela 
pode ser uma variável independente ou dependente. Uma variável é chamada de independente 
quando ela pode apresentar qualquer valor sem depender de outra variável. Por exemplo, dada 
uma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, 𝑕), as variáveis 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, 𝑕 são variáveis independentes. A representação do 
conjunto de variáveis independentes é dada pela notação {x}, onde 𝑥 é uma variável do 
problema. Já para que uma variável seja dependente ela deve depender de alguma outra ou 
outras variáveis. Pode ser dito também que essa variável é uma função das variáveis a qual ela 
depende. Como exemplos de variáveis dependentes têm-se 
𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥, 𝑦), 𝑦(𝑥, 𝑡, 𝑧), 𝑓(𝑔, 𝑕), 𝑥(𝑦). Para representar todos os conjuntos de variáveis 
dependentes usamos a notação {𝑦 𝑥 } (MACHADO, 2004). 
 Uma Equação Diferencial é basicamente uma equação em que as incógnitas 
são funções e a equação envolve as derivadas dessas funções. Logo as equações 
 
 
𝑑2𝑦 
𝑑𝑥2
+ 𝑥𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
2
= 0 (7) 
 
 
𝑑4𝑥
𝑑𝑡4
+
5𝑑2𝑥
𝑑𝑡 ²
+ 3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (8) 
 
 
 𝑑3𝑦
𝑑𝑧3
+
𝑦𝑑2𝑥
𝑑𝑧2
= 𝑙𝑛𝑧 (9) 
 
 
𝜕𝑣
 𝑑𝑠
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 𝑣 (10) 
 
 
 𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
−
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 
3
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 (11) 
 
são exemplos de Equações Diferenciais (MACHADO, 2004). 
26 
 
Como se pode notar nas equações (7) a (11), existem equações diferenciais de 
vários tipos, que são classificadas de acordo com os critérios pré- estabelecidos (primeira 
ordem, segunda ordem, terceira ordem, homogênea, não homogênea, etc.) (MACHADO, 
2004). 
Quando uma equação diferencial baseia-se na derivada de uma ou mais variáveis 
dependentes em relação a uma variável independente apenas, é chamada Equação Diferencial 
Ordinária (EDO). São exemplos de Equações Diferencias Ordinárias as equações (7), (8) e 
(9). Se uma equação diferencial baseia-se na derivada de uma ou mais variáveis dependentes 
em relação a mais de uma variável independente a mesma é chamada Equação Diferencial 
Parcial (EDP). São exemplos de Equações Diferenciais Parciais as equações (10) e (11) 
(MACHADO, 2004). 
Por definição a derivada de maior ordem na equação diferencial dita a ordem da 
equação. Logo as equações (7) e (11) são de segunda ordem, a equação (8) de quarta ordem, a 
equação (9) de terceira ordem e a equação (10) de primeira ordem (ZILL e CULLEN, 2001). 
As equações diferenciais podem ainda ser classificadas quanto a linearidade. 
Nesse contexto, elas podem ser classificadas em dois tipos: equação linear e não-linear. Uma 
equação linear pode ser escrita da seguinte forma (ZILL e CULLEN, 2001) 
 
 𝑎𝑛 𝑥 𝑑”
𝑦
𝑑𝑥𝑛
+
𝑎𝑛−1 𝑥 𝑑
𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ +
𝑎1 𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥). (12) 
 
Analisando a equação (12), podemos observar as seguintes propriedades: 
 A variável dependente 𝑦 e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, 
potência de cada termo envolvendo 𝑦 é 1. 
 Cada coeficiente 𝑎𝑗 𝑥 com 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑛 depende apenas da variável 𝑥. 
Quando uma equação não segue as propriedades acima ela é classificada não-
linear. Como exemplo de equação não-linear tem-se as equações (9) e (11) (ZILL e CULLEN, 
2001). 
 
27 
 
3.2 Importância das Equações Diferenciais 
 
As equações diferenciais são muito importantes não só do ponto de vista 
matemático mas também do ponto de vista físico, uma vez que as mesmas são usadas para 
modelar determinados fenômenos, descrevendo os primeiramente na forma qualitativa e 
posteriormentede forma quantitativa (MACHADO, 2004). 
Em termos das soluções, as equações diferenciais podem ser classificadas como 
explicitas ou implícitas. 
A solução explícita de uma equação diferencial consiste de uma função 𝑦 =
𝑓 𝑥 do conjunto das variáveis independentes, a qual, e transformada em uma igualdade 
quando é substituída na equação diferencial. Como um exemplo, vamos analisar a equação 
diferencial ordinária 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑥. (14) 
Sua solução explícita e dada por 
 𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒2𝑡 (15) 
em que 𝐶e uma constante Real, se substituirmos 𝑥 𝑡 dada pela equação (15) na equação (14) 
teremos, 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑥 (16) 
 
𝑑
𝑑𝑡
 𝑐𝑒2𝑡 = 2 𝑐𝑒2𝑡 (17) 
 2𝑐𝑒2𝑡 = 2𝑐𝑒2𝑡 , (18) 
onde na equação (15) 𝑐 e uma constante a ser determinada pelas condições iniciais do 
problema que se quer tratar. (MACHADO, 2004). 
 A solução implícita de uma equação diferencial e dada por 𝑔({𝑦}, {𝑥}) do 
conjunto das variáveis dependentes e independentes, a qual reproduz a equação diferencial 
inicial através das derivações implícitas. Como exemplo, tomemos a seguinte função 
 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 25 = 0 (19) 
a qual é uma solução implícita da equação diferencial 
 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0. (20) 
Tomando-se a derivada implícita de 𝑓 𝑥, 𝑦 dada na equação (20), temos 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥2 + 𝑦2 − 25 = 0 (21) 
28 
 
 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 (22) 
 𝑥 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0. (23) 
 Como queríamos demonstrar, a equação (19) é de fato uma solução implícita da equação 
(20), como pode ser visto da equação (23) (MACHADO, 2004). 
 
3.3 Problema de valor inicial 
 
 Em inúmeras situações para a descrição de um determinado fenômeno, além da 
Equação Diferencial precisamos determinar certas condições iniciam previamente 
estabelecidas. As condições iniciais são relativas à função incógnita e suas derivadas dadas 
para o mesmo valor da variável independente (SIMÕES, 2014). 
O problema de valor inicial (PVI) ou problema de Cauchy pode ser definido pelas 
equações (SIMÕES, 2014) 
 𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑥 ′ , 𝑥", … , 𝑥𝑛 ) = 𝑔(𝑡) (24) 
 𝑥 𝑡0 = 𝑥0, 𝑥
′ 𝑡0 = 𝑥1 , …, 𝑥
𝑛−1
 𝑡0 = 𝑥𝑛−1. (25) 
 
O objetivo neste tipo de problema é encontrar a solução da equação diferencial 
que satisfaça o conjunto de condições iniciais num dado instante 𝑡0 (SIMÔES, 2014). 
3.4 Condições de contorno 
 
Alguns fenômenos descritos por equação diferenciais podem apresentar o que 
chamamos de condições de contorno. Como exemplo, tomemos um corpo em queda livre. O 
movimento do mesmo é descrito pela equação diferencial (MACHADO, 2004) 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
= −𝑔 (26) 
com as seguintes condições iniciais 
 𝑦 0 = 𝑦0 (27) 
e 
29 
 
 𝑦 2 = 𝑦2 (28) 
Assim possuímos um problema de condições de contorno, aplicadas para instantes 
de tempo de 𝑡 = 0 e 𝑡 = 2. Problemas com condições de contorno nem sempre possuem 
soluções, mesmo se a equação sozinha, sem o uso da condição de contorno, possuir uma 
solução. A solução esta vinculada do tipo de condição de contorno ao qual o problema este 
vinculado (MACHADO, 2004). 
3.5 Equações Separáveis 
 
Equações Separáveis decorrem de uma equação diferencial de primeira ordem na 
qual dy/dx pode ser fatorada como uma função de 𝑥 vezes uma função de y. Algebricamente 
ela se apresenta da forma (STEWART, 2007) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 𝑓 𝑦 . (29) 
O nome separável é devido o fato de a expressão à direita poder ser separada 
como uma função de x e uma função de y. Sendo assim, se 𝑓(𝑦) ≠ 0, temos 
 
 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔 𝑥 
𝑕 𝑦 
 (30) 
onde 𝑕 𝑦 =1/f (y). Para sua resolução, reescrevemos a equação (30) na forma 
 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 (31) 
onde a equação (31) define y implicitamente como uma função de x (STEWART, 2007). 
Para o melhor entendimento da resolução pelo método de variáveis separáveis 
vamos analisar o seguinte exemplo (BIDURIN e GELFUSO, 2015) 
 Seja a equação diferencial 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. (32) 
Nesta equação diferencial, temos uma função que depende apenas da variável 𝑥. 
Assim é simples isolar de um lado da igualdade os termos associados a y e do outro lado os 
termos associados apenas a variável x. Dessa maneira tem-se que 
30 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥. (33) 
 Como cada lado é dependente apenas de uma variável, facilmente conseguimos encontrar sua 
solução geral integrando ambos os lados da equação, da forma: 
 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 (34) 
 𝑦 + 𝑐1 = 𝑥
1
2 𝑑𝑥 (35) 
 𝑦 + 𝑐1 =
2
3
𝑥
3
2 + 𝑐2 (36) 
 𝑦 + 𝑐1 =
2
3
 𝑥3 + 𝑐2 (37) 
 𝑦 =
2
3
 𝑥3 + 𝑐2 − 𝑐1. (38) 
Como 𝑐1 e 𝑐2 são constantes de valor qualquer, podemos redefini-la como uma nova 
constante 𝑐2 − 𝑐1 = 𝑐, de modo que a solução geral é 
 𝑦 =
2
3
 𝑥3 + 𝑐. (39) 
3.6 Equações Diferencias Parciais 
 
Como apresentado na seção 3.1, vamos entender como resolver uma EDP. Para 
isso vamos tomar como exemplo a equação de Schrödinger que aparece naturalmente na 
modelagem de problemas em Mecânica Quântica. A função 𝜓(𝑥, 𝑡), a qual descreve o estado 
de uma partícula em um sistema quântico, é solução da equação de Schrödinger dependente 
do tempo dada pela expressão 
 𝑖ℏ
𝑑𝜓
𝑑𝑡
= −
ℏ2
2𝑚
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 𝑉𝜓. (40) 
Onde as variável 𝑚 representa a massa, 𝑉 o potencial, ℏ a constante de Planck e 
𝑖 numeros complexos. O próximo passo consiste em procurar por uma solução para EDP 
dada pela equação (40). Como a função𝜓 𝑥, 𝑡 depende de duas variáveis, o método da 
31 
 
separação de variáveis se torna útil para resolução da EDP dada pela equação (40), pois 
podemos observar da equação (40) que a mesma toma as derivadas tanto da posição quanto 
do tempo para 𝜓 𝑥, 𝑡 . Logo, seria natural procurar uma solução para 𝜓 𝑥, 𝑡 que possa ser 
descrita como uma combinação de uma função somente de 𝑥 e outra função somente de 𝑡. 
Assim, vamos escrever a solução como um produto de duas soluções independentes da forma 
 𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝑔 𝑥 𝑓 𝑡 , (41) 
onde 𝜓 é uma função somente da variável 𝑥, e 𝑓 é uma função somente da variável 𝑡. 
Aplicando a solução dada pela equação (41) na equação de Schrödinger independente do 
tempo dada pela expressão (40) teremos (GRIFFITHS, 1994). 
Parte temporal: 
 
𝜕𝜓
𝜕𝑡
= 𝜓
𝑑𝑓
𝑑𝑡
. (42) 
 Parte espacial: 
 
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2
=
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
𝑓. (43) 
Substituindo as expressões (42) e (43) na equação de Schrödinger independente do tempo 
dada pela expressão (40), teremos que 
 𝑖ℏ𝜓
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= −
𝑕2
2𝑚
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
𝑓 + 𝑉𝜓𝑓. (44) 
Agora, dividindo a equação (44) pela solução dada pela equação (41), obtemos que 
 𝑖ℏ
1
𝑓
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= −
ℏ2
2𝑚𝜓
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 𝑉. (45) 
Pode-se observar que na expressão (45), o lado esquerdo é uma função somente 
de 𝑡 e o lado direito é descrito em termo de uma função somente de 𝑥 lado. Isso será verdade 
se, e somente, ambos forem iguais a uma constante. Escolhendo essa constante como 𝐸, 
temos que igualando a mesma ao lado esquerdo da equação, teremos (GRIFFITHS, 1994) 
 𝑖ℏ
1
𝑓
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 𝐸, (46) 
32 
 
Vemos que a equação (46) é uma Equação Diferencial Ordinária, cujo método de 
solução já conhecemos. Assim, resolvendo a equação teremos que 
 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= −
𝑖𝐸
ℏ
 𝑓 (47) 
 
𝑑𝑓
𝑓
= −
𝑖𝐸
ℏ
 𝑑𝑡 → 
𝑑𝑓
𝑓
= −
𝑖𝐸
𝑕
 𝑑𝑡. (48) 
Logo, integrando ambos os lados expressão (48) ter-se-á o resultado 
 𝑓 𝑡 = 𝑐𝑒
−𝑖𝐸𝑡
ℏ . (49) 
Já para o lado direito da equação (45), teremos a seguinte expressão 
 −
ℏ2
2𝑚𝜓
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 𝑉 = 𝐸. (50) 
Multiplicando a expressão (50) por 𝜓 teremos que 
 −
ℏ2
2𝑚
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 𝑉 𝜓 = 𝐸 (51) 
Onde 𝑉 𝜓 dado na expressão (51) é o potencial ao qual a partícula fica 
submetida que dependerá do problema a ser estudado. 
Através do exemplo, onde se desenvolveu o método de resolução para a equação 
de Schrödinger, transformou-se uma Equação Diferencial Parcial que, a princípio não 
saberíamos resolver em duas equações diferenciais ordinárias, a qual se conhece bem a forma 
de resolução. Assim a solução geral dada pela expressão (41) fica da forma 
 𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝑐𝑒
−𝑖𝐸𝑡
ℏ 𝜓 𝑥 , (52) 
com 𝜓(𝑥) a ser definida pela solução da equação diferencial dada em (51). 
 
 
33 
 
3.7 Equações Diferenciais Homogêneas 
 
Para considerarmos o conceito de equação diferencial homogênea e a sua solução, 
precisamos primeiramente conhecer de perto a natureza de uma função homogênea, a qual e 
dada pela definição: 
 Se 𝑓 é uma função que satisfaz 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) para algum número real 
𝑛, então podemos dizer que 𝑓 e uma função homogênea de grau 𝑛 (ZILL & 
CULLEN, 2001). 
Como exemplo de uma equação tomemos 
 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 . (53) 
A equação (53) pode ser escrita na forma 
 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑥 2 − 3 𝑡𝑥 𝑡𝑦 + 𝑡𝑦 2 (54) 
 = 𝑡2𝑥2 − 3𝑡2𝑥𝑦 + 𝑡2𝑦2 (55) 
 = 𝑡2 = 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑡2𝑓 𝑥, 𝑦 . (56) 
 A partir da definição dada expressão (56) nota-se que a equação (53) é uma 
função homogênea de grau dois (ZILL & CULLEN, 2001). 
 Com o conceito de função homogênea colocado, podemos agora definir uma 
equação homogênea: 
 Uma equação diferencial da forma 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 é dita 
homogênea se ambos os coeficientes 𝑀e 𝑁 são funções homogêneas de mesmo 
grau (ZILL & CULLEN, 2001). 
 A equação diferencial homogênea 
 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (57) 
pode ser resolvida por substituição algébrica, especificamente, substituindo 𝑦 = 𝑢𝑥 ou 𝑥 =
𝑣𝑦 na equação (57) de forma que 𝑢 e 𝑣 são agora as novas variáveis independentes. Isso 
transformará a equação (57) em uma equação diferencial de primeira ordem separável como 
vimos no tópico anterior, cuja solução pode ser da forma 𝑦 = 𝑢𝑥. Assim temos que 
34 
 
 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢. (58) 
Substituindo os valores encontrados tem-se que 
 𝑀 𝑥, 𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑢𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0. (59) 
Pela propriedade de homogeneidade podemos escrever da equação (59) que 
 𝑥𝑛𝑀 1, 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥𝑛𝑁 1, 𝑢 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0 (60) 
ou 
 𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁 1, 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥𝑁 1, 𝑢 𝑑𝑢 = 0. (61) 
Uma vez que 𝑥𝑛 ≠ 0,assim fazendo a divisão da equação (61) por 𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁 1, 𝑢 𝑥 
teremos: 
 
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑁 1,𝑢 𝑑𝑢
𝑀 1,𝑢 +𝑢𝑁 1,𝑢 
= 0. (62) 
 A expressão obtida em (62) poderia ser igualmente obtida e tivéssemos 
substituído 𝑥 = 𝑣𝑦. Qualquer uma leva na expressão separável dada em (62) (ZILL e 
CULLEN, 2001). 
3.8 Série de Potências 
 
Para lidar com uma classe muito maior de equações diferenciais é necessário 
crescer nosso leque de soluções além das funções elementares mais usadas no cálculo. A 
ferramenta mais interessante e principal que podemos utilizar é a representação da solução de 
uma equação diferencial descrita uma por uma série de potências. A idéia central consiste em 
supormos que a solução de uma equação diferencial dada pode ser escrita como uma série de 
potências, da forma (BOYCE e DIPRIMA, 2010) 
 𝑦 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 .∞𝑛=0 (63) 
Cujos coeficientes 𝑎𝑛 são obtidos substituindo 𝑦(𝑥) na equação diferencial que se pretende 
resolver. 
35 
 
Uma função 𝑓(𝑥), continua e diferenciável, pode ser escrita em termos de uma 
série de potências da forma 
 𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥
0 + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎2𝑥² + 𝑎3𝑥³ + ⋯ = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 ,∞𝑛=0 (64) 
onde os coeficientes 𝑎𝑛 são constantesindependentes de 𝑥 (ARFKEN e WEBER, 2005). 
Um ponto importante a ser colocado aqui é que uma vez que a solução de uma 
equação diferencial pode ser descrita em termos de uma série de potências, faz se necessário 
que a série tenha sua convergência assegurada. A equação (64) pode ser testada de imediato 
para convergência pelo teste da raiz de Cauchy ou pelo teste da razão de d’Alembert (há 
outras formas de se testar a convergência de uma série mas vamos nos ater a esses dois como 
exemplos). A convergência de 𝑦(𝑥) e garantida se, e somente se (ARFKEN e WEBER, 2005) 
 lim𝑛→∞ 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
 = 𝑅−1 . (65) 
A série converge para o entorno −𝑅 < 𝑥 < 𝑅, conhecido como raio de 
convergência. Uma vez que os testes da raiz e da razão falham quando o limite é a unidade, as 
extremidades do intervalo requerem especial atenção. Por exemplo, 
Se 𝑎𝑛 = 𝑛
−1, então 𝑅 = 1, a série converge para 𝑥 = −1 mas diverge para 𝑥 = 1. 
Se 𝑎𝑛= n!, então 𝑅 = 0 e a série diverge para todo 𝑥 ≠ 0. 
Partindo pelo teste da razão vamos demonstrar para quais valores a série 
 𝑛! 𝑥𝑛∞𝑛=0 é convergente (STEWART, 2007). 
Se 𝑥 ≠ 0, teremos 
 lim𝑛→∞ 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
 = lim𝑛→∞ 
 𝑛+1 !𝑥𝑛+1
𝑛 !𝑥𝑛
 = lim𝑛→∞ 𝑛 + 1 𝑥 = ∞. (66) 
Usando o teste da razão, a série será divergente quando 𝑥 > 1, convergente 
quando 𝑥 < 1 e inconclusivo para 𝑥 = 1 (STEWART, 2007). 
Como outro exemplo de aplicação do teste da razão vamos descobrir para quais 
valores de 𝑥 a série dada pela expressão (67) convergirá (STEWART, 2007). A série é dada 
pela expressão 
 
 𝑥−3 𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 (67) 
36 
 
Seja 𝑎𝑛 = 𝑥 − 3 
𝑛/𝑛, então 
 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
 = 
 𝑥−3 𝑛+1
𝑛+1
∗
𝑛
 𝑥−3 𝑛
 
=
1
1+
1
𝑛
 𝑥 − 3 → 𝑥 − 3 quando 𝑛 → ∞ (68) 
Pelo teste da razão pode–se concluir que a série dada pela expressão (68) é 
absolutamente convergente, e, portanto converge, quando 𝑥 − 3 < 1 e diverge quando 
 𝑥 − 3 > 1. Agora 
 𝑥 − 3 < 1 ↔ −1 < 𝑥 − 3 < 1 ↔ 2 < 𝑥 < 4. 
Assim a série converge quando 2 < 𝑥 < 4 e diverge quando 𝑥 < 2 ou 𝑥 > 4 
(STEWART, 2007). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
4 APLICAÇÕES COM USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 Muitas das descobertas matemáticas decorreram de tentativas em resolver 
problemas aplicados, envolvendo cálculo de áreas, cobrança de juros em transações 
financeiras, cálculo de probabilidades, entre outros. Esta realidade também se aplica as 
equações diferenciais, pois as mesmas são utilizadas na modelagem de vários tipos de 
problemas matemáticos (ALITOLEF, 2011). 
As aplicações das equações diferenciais na área da Física são também de grande 
importância uma vez que vários problemas são modelados via Equações Diferenciais. Neste 
tópico vamos trabalhar com duas aplicações das equações diferenciais. A primeira delas será 
o estudo e a modelagem do Modelo de Malthus, o qual será aplicado na análise do 
crescimento populacional dos municípios de Janaúba e Mato Verde, ambos os municípios 
localizados na região norte do estado de Minas gerais. Como uma segunda aplicação, 
estudaremos e modelaremos o problema do Oscilador Harmônico Quântico, o qual é resolvido 
via Equações Diferenciais de Hermite, bem como analisar algumas propriedades das soluções 
dessa equação. 
4.1 Crescimento e decrescimento Populacional (Modelo de Malthus) 
 
Malthus é conhecido por sua formulação a respeito do futuro da humanidade, 
quanto ao crescimento populacional. Sua teoria baseava-se nas seguintes ideias (DANTAS et 
al, 2011) 
 Se não houvesse guerras, epidemias, desastres naturais, entre outros, a 
população tenderia a duplicar-se a cada 25 anos. Portanto, ela cresceria em 
progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 32...) assim cresceria sem parar. E outras 
palavras constituiria uma fator variável. 
 O crescimento da proposição de alimentos acorreria em progressão aritmética 
(2, 4, 6, 8, 10...) e haveria um limite de produção, por depender de um fator 
fixo: o próprio limite territorial dos continentes. 
De acordo com Malthus, pessoas deveriam ter filhos somente quando estas 
tivessem terras cultiváveis para sustentá-los. Mas como podemos ver hoje, as teorias de 
Malthus não se concretizaram, pois a população dobra a cada 50 anos, e o cultivo de 
alimentos e mais que suficiente para alimentar a população. O motivo das pessoas passarem 
38 
 
fome não é a quantidade de pessoas no planeta, mas outros fatores não relacionados a esta 
pesquisa. Porém essas teorias deram base ao modelo de crescimento e decrescimento 
populacional ou Modelo de Malthus, o qual será modelado da forma a seguir (ALITOLEF, 
2011). 
Seja 𝑃 uma população qualquer e 𝑡 o tempo, onde a razão entre a variação da 
população 𝑃 e a variação do tempo (𝑡) é proporcional à população atual. Algebricamente, 
essa proposição é modelada pela equação diferencial (ALITOLEF, 2011). 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃, (69) 
onde k e uma constante. Assim, pode-se observar que se k é uma constante positiva a 
população crescerá (lei do crescimento natural) e se k for uma constante negativa a população 
diminuirá (lei do decrescimento, lembrando que ela pode diminuir mas sem nunca alcançar o 
zero). (STEWART, 2007). 
Assim o modelo de Malthus pode ser empregado para o estudo de vários 
fenômenos diferentes. Manipulando a equação (69) temos: 
 𝑑𝑃 = 𝑘𝑃𝑑𝑡. (70) 
Utilizando o conceito de separação de variáveis e integrando a equação (70), 
temos: 
 
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡 (71) 
 ln 𝑃 + 𝑙𝑛𝐶2 = 𝑘𝑡 + 𝑙𝑛𝐶1, (72) 
onde 𝐶1e 𝐶2 são constantes arbitrárias, logo: 
 ln 𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝑙𝑛𝐶, (73) 
onde 𝑙𝑛𝐶 = 𝑙𝑛𝐶1 − 𝑙𝑛𝐶2. Colocando os dois lados na base 𝑒, tem-se: 
 𝑒 ln|𝑃| = 𝐶𝑒𝑘𝑡 . (74) 
 Da expressão (74) obtém-se que 𝑃(𝑡) fica descrito como 
 𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 (75) 
39 
 
onde renomeando a constante 𝐶 pela constante 𝑃0. Logo, a expressão (80) adquire o formato 
final 
 𝑃 𝑡 = 𝑃0𝑒
𝑘𝑡 , (76) 
Onde, na equação (76) 𝑃0 é a população inicial. 
4.1.1 Aplicação do modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional para as 
cidades de Janaúba e Mato Verde, localizadas na região norte do estado de Minas 
Gerais 
 
Visando a aplicação das Equações Diferencias buscamos contextualizá-la em um 
estudo formal. Analisamos os dados populacionais registrado pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística – IBGE, nos anos de 2000, 2007 e 2010 para as cidades de Janaúba e 
2007, 2010 e 2016 para a cidade de Mato Verde, ambas situadas no norte de Minas Gerais. 
Podemos ressaltar que os dados de 2007 são da contagem populacional e os de 2000 e 2010 
são do censo demográfico, ou seja, dados bem próximos da população real que ali residiam. 
Já os dados de 2016 para Mato Verde são uma estimativa, logo podem não ser valores exatos. 
Outro ponto a ser observado são acontecimentos extraordinários como a alocação 
de indústrias ou algunsfenômenos naturais, os quais podem fazer com que a população de 
uma dada região tenha crescimento ou decrescimento (maior ou menor) que o testado no 
modelo. 
4.1.1.1 Aplicação do Modelo para o Município de Janaúba-MG 
 
Para aplicação do modelo será considerado primeiramente os dados da cidade de 
Janaúba-MG a qual segundo dados do IBGE (2017) possui área territorial de 2.181,319 km². 
Foram usados para isso os anos de 2000 e 2007 e os cálculos foram feitos inicialmente para 
verificar se o crescimento desse período iria condizer com a população no ano de 2010. 
Segundo o IBGE (2017) a população de Janaúba no ano 2000 era de 61.651 
habitantes e em 2007 era de 65.387. 
Se considerarmos 2000 como tempo 𝑡 = 0 e a população inicial de 61651 
habitantes, podemos aplicar o modelo da seguinte forma: 
40 
 
 𝑃 𝑡 = 61651𝑒𝑘𝑡 . (77) 
Considerando 𝑡 = 7 para o ano de 2007, teremos que 𝑃 𝑡 = 7 = 65387. Logo, a 
equação (75) fica descrita da forma 
 65387 = 61651𝑒7𝑘 . (78) 
Isolando a exponencial na expressão (78) e aplicando o logaritmo neperiano em 
ambos os lados da equação, temos 
 𝑒7𝑘 =
65387
61651
 (79) 
 𝑙𝑛 𝑒7𝑘 = ln 
65387
61651
 . (80) 
Logo 
 7𝑘 = 0,058834011. (81) 
Do resultado da expressão (81), obtemos o valor da constante 𝑘 = 0,0084. 
Assim podemos concluir que a função que representa a população da cidade de 
Janaúba como função do tempo será da forma: 
 𝑃 𝑡 = 61651𝑒0,0084𝑡 . (82) 
Como consideramos o ano de 2000 como 𝑡 = 0 e o ano de 2007 𝑡 = 7 então o ano 
de 2010 será considerado 𝑡 = 10, assim 
 𝑃 = 61651𝑒0,0084∗10 . (83) 
Logo 𝑃 10 = 67053 habitantes. 
.Dessa forma, podemos observar que em 2010, de acordo com o modelo de 
Malthus a população de Janaúba seria de 67053 habitantes. Por outro lado segundo o senso 
Demográfico de 2010 a população da mesma foi de 66803 habitantes, dando uma diferença de 
250 habitantes ou em termos porcentuais de 0,37% entre os dados fornecidos pelo modelo e 
os dados fornecidos pelo IBGE. 
 Para melhor demonstração desses dados podemos observar o gráfico da (figura 
1), onde a linha laranja representa o crescimento populacional de acordo com os dados do 
41 
 
IBGE para cidade de Janaúba, e a linha verde representa a estimativa do Modelo de Malthus 
para a mesma. 
Figura 1- Gráfico representativo para os dados do IBGE e estimativa de Malthus 
para a cidade de Janauba MG 
 
Fonte: Autor. 
 
Baseado no modelo apresentado que representa o crescimento populacional na 
cidade de Janaúba, faremos uma estimativa para ano de 2020. 
Nessa estimativa, o ano 2000 será tempo inicial (𝑡 = 0) e o ano de 2020 será o 
tempo final (𝑡 = 20). Aplicando os dados na equação (82) temos: 
 𝑃 20 = 61651𝑒0,0084∗20 (84) 
Logo 𝑃 20 = 72929 habitantes. 
Sendo assim, é possível estimar a população de Janaúba no ano de 2020, em 
72929 habitantes. 
Na próxima seção, aplicaremos o mesmo modelo para a o município de Mato 
Verde-MG. 
 
 
42 
 
4.1.1.2 Aplicando o Modelo para o Município Mato Verde-MG 
 
O município de Mato Verde-MG segundo dados do IBGE (2017) possui território 
de 472, 245 km², sendo bem diversificada quando se olha do aspecto de biomas, sendo uma 
mistura de Cerrado, Catinga e Mata Atlântica. O município localiza-se no norte de Minas 
Gerais, as margens da BR 122. 
De acordo com dados do IBGE (2017), no ano 2007 a população de Mato Verde-
MG era de 12.666 habitantes e em 2010 a população passou a ser de 12.684 habitantes. 
Vamos aplicar o modelo de Malthus para estimar a população da cidade para o ano de 2016 e 
comparar com a estimativa do IBGE do mesmo ano. 
Para fazer o uso do modelo de Malthus vamos considerar 2007 o tempo 𝑡 = 0 e 
𝑃0 = 12666, logo 
 𝑃 𝑡 = 12666𝑒𝑘𝑡 . (85) 
Para o ano de 2010 o tempo será 𝑡 = 3 e 𝑃 = 12684, assim 
 12684 = 12666𝑒3𝑘 → 𝑒3𝑘 =
12684
12666
 . (86) 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação (86) e fazendo o 
isolamento da constante k temos: 
 ln 𝑒3𝑘 = ln 
12684
12666
 . (87) 
Da expressão (87), conclui-se que o valor de 𝑘 = 0,00047. Assim podemos 
expressar o crescimento populacional da cidade de Mato Verde da seguinte forma 
 𝑃 = 12666𝑒0,00047 𝑡 . (88) 
Considerando o ano 2016, teremos 𝑡 = 9. Então teremos que 
 𝑃 = 12666𝑒0,00047∗9 (89) 
Dessa forma, podemos concluir que em 2016 de acordo com o modelo de 
Malthus, a população de Mato Verde estava com o quantitativo de 12.719 habitantes. Por 
outro lado segundo a estimativa do IBGE (2017), em 2016 a população foi de 12871 
43 
 
habitantes, mostrando uma diferença entre o previsto pelo modelo e o medido pelo IBGE de 
152 habitantes ou um porcentual de 1,18% em comparação. 
Para melhor demonstração desses dados podemos observar o gráfico da (figura 2), 
onde a linha laranja representa o crescimento populacional de acordo com os dados do IBGE 
para cidade de Mato Verde, e a linha verde representa a estimativa do Modelo de Malthus 
para a mesma. 
 
Figura 2- Gráfico representativo para os dados do IBGE e estimativa de Malthus 
para a cidade de Mato Verde MG 
 
Fonte: Autor. 
 
Conforme o modelo de Malthus, a população cresce na forma de Progressão 
Geométrica, acompanhando uma Determinada taxa. Logo se pode prever em qual época a 
população de um determinado local irá dobrar. Algebricamente significa mostrar que, para 
uma dada população inicia 𝑃 0 , a população dobrará quando 𝑃 = 2 ∗ 𝑃 0 (ALITOLEF, 
2011). 
Se colocarmos esses dados na equação (88) que representa o modelo populacional 
de Mato Verde pode-se descobrir em quanto tempo sua população do ano 2007 que é nosso 
ano inicial se duplicará. Teremos que 
 2𝑃0 = 𝑃0𝑒
0,00047 𝑡 . (90) 
44 
 
Dividindo os membros da equação (90) por 𝑃0 tem-se 
 𝑒0,00047 𝑡 = 2. (91) 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação (80) e isolando 𝑡 
temos 
 0,00047𝑡 = ln 2 (92) 
 𝑡 =
0,69314718
0,00047
 , (93) 
o que nós da 𝑡 = 1474,78 anos. Assim, baseado no modelo de Malthus, a população do 
município de Mato Verde terá seu dobro aproximadamente no ano de 2007 + 1474,78 ≈
3482. 
4.2 Oscilador Harmônico Quântico 
 
O estudo do Oscilador Harmônico faz se necessário, tendo em vista tamanha 
utilidade de suas aplicações. A maioria dos sistemas físicos podem ser modelados via 
Oscilador Harmônico, desde tais sistemas apresentem pequenas oscilações em torno da 
posição de equilíbrio. Dessa forma a aproximação de um determinado sistema via Oscilador 
Harmônicopodem ser aplicadas em problemas que envolvem cinética de moléculas estáveis, 
vibrações em estrutura cristalinas, oscilações em cavidades ópticas, oscilações torcionais de 
moléculas, etc. (COHEN-TANNOUDJI et al., 1977). 
Quando falamos de oscilador harmônico clássico, logo vem a idéia de uma massa 
𝑚 ligada a uma mola de constante elástica 𝑘, como pode ser visto na (Figura 3). 
 
Figura 3- Oscilado Harmônico 
 
 
Fonte: MUNDO EDUCAÇÃO 
 
45 
 
Essa visão do oscilador harmônico nos é apresentada desde quando começa-se a 
freqüentar os cursos de Física Básica na graduação. No curso de Física 1 (Fenômenos 
Mecânicos), o primeiro modelo baseado na idéia do oscilador harmônico que é apresentado é 
o pêndulo simples o qual consiste numa massa presa na ponta de um corda o qual pode oscilar 
livremente em torno de um ponto de equilíbrio. Para pequenas oscilações em torno da posição 
de equilíbrio, tal problema pode ser modelado via oscilador harmônico. 
O Oscilador Harmônico está sujeito a um potencial do tipo 
1
2
𝑘𝑥², ou seja, o 
potencial é parabólico. O ponto principal é que apesar de não termos um oscilador perfeito, 
qualquer potencial pode ser aproximadamente parabólico em torno de um mínimo local. Se 
aproximarmos o potencial 𝑉(𝑥) em uma serie de Taylor em torno de um mínimo como na 
(figura 4) teremos 
Figura 4- Aproximação parabólica (curva tracejada) para um potencial arbitrário, em um 
ponto de mínimo local. 
 
 
 Fonte: GRIFFITHS, 1994. 
 
 na vizinhança de um ponto 𝑥 = 𝑎: 
 𝑉 𝑥 = 𝑉 𝑎 + 𝑉 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +
1
2
𝑉 ′′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯ (94) 
Para que 𝑉 𝑥 tenha um mínimo em 𝑥 = 𝑎, teremos que 𝑉 ′ 𝑎 = 0. Deslocando-
se, então a origem para a posição em que 𝑉 𝑎 = 0, temos que a primeira contribuição não 
nula de 𝑉 𝑥 será (NETO, 2011) 
46 
 
 
 𝑉 𝑥 =
1
2
𝑉 ′′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯ (95) 
a qual representa de fato, o potencial parabólico que descreve oscilador harmônico em torno 
do mínimo 𝑥 = 𝑎. A quantidade 𝑉 ′′ (𝑎)/𝑚, será positiva uma vez que 𝑉 𝑥 é mínimo em 
𝑥 = 𝑎 comparamos, com a expressão para o porcentual do oscilador que 𝑉"(𝑎) representa a 
constante elástica da mola. Deve-se observar que chegamos a essa conclusão sem conhecer a 
forma explicita da função 𝑉 𝑥 . Este resultado é a razão de muitas figuras representando a 
interação entre os átomos de uma molécula sendo modeladas como partículas ligadas por uma 
pequena mola. Um exemplo de tal representação pode ser visto na (Figura 5) ( NETO, 2011). 
Figura 5(a) – Molécula formada por dois átomos diferentes de massa 𝑚1 e 𝑚2 e separados 
por uma distância 𝑟 além de suas posições de equilíbrio e (b) o modelo mecânico 
correspondente. 
(a) (b) 
Fonte: Silva, (2006). 
 
Em analogia com a versão clássica, a versão quântica para o oscilador harmônico 
resume-se a resolver a equação de Schrödinger para uma partícula de massa 𝑚, movendo-se 
ao longo do eixo 𝑥, sujeita à energia potencial 
1
2
𝑚𝜔2𝑥2 (vamos considerar aqui o caso 
unidimensional por simplicidade) ( NETO, 2011). 
A equação de Schrödinger independente do tempo para esse este sistema é dada 
pela expressão 
 
 −
ℏ²𝑑2𝜓
2𝑚𝑑 𝑥2
+
1
2
𝑚𝜔2𝑥2𝜓 = 𝐸𝜓 (96) 
47 
 
 
e o objetivo principal consiste em encontrar a solução 𝜓(𝑥) bem com as energias permitidas 
para o modelo, uma vez que ao contrário do sistema clássico, para o caso quântica as energias 
são quantizadas, ou seja, múltiplos de uma certa quantidade pré-definida (fundamental), não 
podendo assumir portanto valores contínuos (somente discretos). 
Para a resolução da equação (96), algumas condições devem ser consideradas. A 
primeira condição de contorno é que a função 𝜓(𝑥) deve ser um vetor do espaço de Hilbert, o 
qual consiste do espaço onde as funções apresentam um produto interno bem definido em 
todo o espaço ou em certas regiões limitadas por um espaço maior e as funções nesse espaço 
são quadrado integráveis no sentido que ao integrarmos o módulo quadrado de uma função no 
espaço de Hilbert por todo o espaço, seu valor será finito. Outra característica importante é 
que nos limites assintóticos, a funções nesse espaço tendem a zero (por assintótico quero dizer 
nos limites de mais ou menos infinito). Claro que há muito mais a dizer sobre o Espaço de 
Hilbert, porém, para o propósito deste trabalho, essas informações serão suficientes. Somente 
com essa informação, de que o estado da partícula é descrito por um vetor que mora no 
Espaço de Hilbert, poderemos descrevê-lo corretamente. Neste sentido, precisamos verificar 
as soluções assintóticas, ou seja, soluções tais que 𝜓(𝑥) → 0, quando 𝑥 → ∞. 
Para resolver a equação (96) façamos primeiramente a seguinte troca de vaiáveis 
(NETO, 2011). 
 𝜉 = 
𝑚𝜔
ℏ
𝑥. (97) 
Isolando 𝑥 na expressão (97), teremos que 
 𝑥 = 𝜉 
ℏ
𝑚𝜔
. (98) 
Precisamos agora encontrar o elemento 𝑑²𝜓/𝑑𝜉² da equação (96) o que nos leva 
derivada de uma função do tipo 
 𝜓 = 𝑥 𝜉 . (99) 
Aplicando a regra da cadeia na expressão (99), tem-se 
 
𝑑𝜓
𝑑𝑥
=
𝑑𝜓
𝑑𝜉
𝑑𝜉
𝑑𝑥
, (100) 
48 
 
 
𝑑𝜉
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑚𝜔
ℏ
𝑥 , (101) 
 
𝑑𝜉
𝑑𝑥
= 
𝑚𝜔
ℏ
. (102) 
Substituindo a equação (102) na equação (100), obtém-se que 
 
𝑑𝜓
𝑑𝑥
=
𝑑𝜓
𝑑𝜉
 
𝑚𝜔
ℏ
, (103) 
e, de maneira análoga, realizando a segunda derivada em relação a 𝑥 teremos 
 
𝑑𝜓 ′
𝑑𝑥
=
𝑑𝜓 ′
𝑑𝜉
𝑑𝜉
𝑑𝑥
, (104) 
 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
=
𝑑
𝑑𝜉
 
𝑑𝜓
𝑑𝑥
 
𝑚𝜔
ℏ
 (105) 
 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
=
𝑑
𝑑𝜉
 
𝑑𝜓
𝑑𝜉
 
𝑚𝜔
ℏ
 
𝑚𝜔
ℏ
, (106) 
 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥²
=
𝑑2𝜓
𝑑𝜉2
𝑚𝜔
ℏ
 (107) 
Substituindo as equações (98) e (107) na equação (96), obtém-se a seguinte 
expressão 
 −
ℏ²
2𝑚
𝑑2𝜓
𝑑 2
𝜉
𝑚𝜔
ℏ
+
1
2
𝑚𝜔²
𝜉2ℏ
𝑚𝜔
𝜓 = 𝐸𝜓, 
(108) 
e fazendo algumas simplificações, a equação (96) fica reescrita da forma 
 
𝑑2𝜓
𝑑𝜉2
+ 
2𝐸
ℏ𝜔
− 𝜉2 𝜓 = 0. (109) 
Analisando a equação (109), vemos que para um valor muito grande de 𝜉, o 
termo em 𝜉² domina o termo 2𝐸/𝑕𝜔. Assim, esse último pode ser desprezado de modo que a 
equação (109) fica reescrita da forma 
49 
 
 
𝑑2𝜓
𝑑𝜉2
= 𝜉²𝜓. (110) 
Vemos que na equação diferencial apresentada em (110) é tal que quando aplicada 
a uma função, a derivada segunda dessa função fornece como resultado ela própria. Tal 
resultado sugere que a expressão para 𝜓 𝜉 seja da forma 
 𝜓 𝜉 = 𝐴𝑒−
1
2
𝜉2 + 𝐵𝑒
1
2
𝜉2 ,(111) 
onde, analisando a condição de que a equação (111) seja um vetor do espaço de Hilbert (ou 
seja que 𝜓 𝜉 → ±∞ = 0), chega-se a conclusão que o parâmetro 𝐵 = 0. Assim, a solução 
do problema será dada pela expressão 
 𝜓 𝜉 → ±∞ = 𝑒−
1
2
𝜉2 , (112) 
a qual e compatível com a definição de um vetor no espaço de Hilbert. Assim, podemos 
escrevera solução dada pela equação (110) da forma mais geral 
 𝜓 𝜉 = 𝑒−
1
2
𝜉2𝑣 𝜉 . (113) 
Uma vez que a expressão (113) é solução da equação de Schrödinger, podemos substituí-la 
na mesma. Antes precisamos fazer a derivada primeira e segunda da mesma. Procedendo 
dessa maneira, obtemos os seguintes resultados 
𝑑𝜓
𝑑𝜉
=
𝑑𝑣
𝑑𝜉
𝑒−
1
2
𝜉2 − 𝜉𝑣 𝜉 𝑒−
1
2
𝜉2 (114) 
𝑑𝜓
𝑑𝜉
= 
𝑑𝑣
𝑑𝜉
− 𝜉𝑣 𝑒−
1
2
𝜉2 (115) 
𝑑2𝜓
𝑑𝜉2
= 
𝑑2𝑣
𝑑𝜉2
− 2𝜉
𝑑𝑣
𝑑𝜉
+ 𝜉2 − 1 𝑣 𝑒−
1
2
𝜉2 (116) 
Agrupando os termos e substituindo a equação (116) na equação (109) teremos que 
𝑑2𝑣
𝑑𝜉2
− 2𝜉
𝑑𝑣
𝑑𝜉
+ 
2𝐸
ℏ𝜔
− 1 𝑣(𝜉) = 0, (117) 
50 
 
 onde a equação (117) agora se torna o foco da nossa resolução. Para simplificar o tratamento 
da mesma, substituiremos o termo por 2𝐸/𝑕𝑚-1 por 𝜆, ficando equação (117) reescrita da 
forma 
𝑑2𝑣
𝑑𝜉2
− 2𝜉
𝑑𝑣
𝑑𝜉
+ 𝜆𝑣 = 0. (118) 
 Olhando para equação (118) não fica claro qual tipo de função venha a ser sua 
solução. O que será feito é supor que a função 𝑣 𝜉 tenha uma solução que possa ser expressa 
como uma série de potências (esse método de resolução para equações diferenciais é 
conhecido como Método de Frobenius). Assim, tomemos a função 𝑣 𝜉 como sendo da forma 
 𝑣 𝜉 = 𝑎𝑘𝜉
𝑘 .∞𝑘=0 (119) 
Uma vez que admitimos uma solução da forma dada por (119), faremos a 
substituição da mesma na equação diferencial (117). Para isso precisamos das derivadas de 
primeira e segunda ordem de 𝑣 em relação à 𝜉, ou seja 
 
𝑑𝑣
𝑑𝜉
= 𝑘𝑎𝑘𝜉
𝑘−1 ∞𝑘=1 , (120) 
 
𝑑²𝑣
𝑑𝜉²
= 𝑘(𝑘 − 1)𝑎𝑘𝜉
𝑘−2 ∞𝑘=2 , (121) 
Para substituir as equações (120) e (121) em (117), temos que ajustar os 
somatórios para que comecem sempre do mesmo lugar. Assim, na equação (121) temos que 
fazer a seguinte troca de variáveis, 
 𝑘 − 2 = 𝑘′ → 𝑘 = 𝑘′ + 2 . (122) 
Com 𝑘′ = 0 podemos reescrever a equação (121) da seguinte forma 
𝑑²𝑣
𝑑𝜉²
= (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2𝜉
𝑘 . ∞𝑘=0 (123) 
Na equação (120), podemos começar a soma em 𝑘 = 0 sem perda de generalidade 
uma vez que mesmo fazendo 𝑘 → 𝑘 − 1, o primeiro termo da série sempre será o mesmo. 
Agora, tem-se que analisar uma importante questão. Como se trata de uma solução em série 
de potências, para afirmar que a mesma seja uma solução de fato, temos que garantir que a 
51 
 
série convirja para um valor definido. Isso será analisado em seqüência. O próximo passo será 
substituir as equações (119), (120), (123) na equação (117). Ajustando os termos para que 
todos fiquem com a mesma potência 𝜉𝑘 , podemos escrever a equação (117) da forma 
 (𝑘′ + 2)(𝑘′ + 1)𝑎𝑘′+2𝜉
𝑘 − 2 ∞𝑘=0 𝑘𝑎𝑘𝜉
𝑘 ∞𝑘=0 +
 𝜆 𝑘𝑎𝑘𝜉
𝑘∞
𝑘=0 . (124) 
Ajustando as potências e igualando a zero a expressão (124), teremos que 
 𝜉𝑘 ∞𝑘=0 
(𝐼)
 𝑘′ + 2 𝑘′ + 1 𝑎𝑘 ′ +2 − 2 𝑘𝑎𝑘 + 𝜆𝑘𝑎𝑘 
(𝐼𝐼)
= 0. (125) 
Para que a equação (125) se anule precisamos que ou o termo (I) se anule ou então 
que o termo (II) seja nulo. Como o termo (I) deve ser arbitrário, teremos que o termo (II) será 
nulo, ou seja, 
 𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝑎𝑘+2 − 2𝑘𝑎𝑘 + 𝜆𝑎𝑘 = 0, (126) 
obtendo a seguinte relação 
 𝑎𝑘+2 =
2𝑘−𝜆
 𝑘+2 𝑘+1 
𝑎𝑘 , (127) 
Vê-se então que a expressão (127) surge como uma relação de recorrência para os 
coeficientes da série. 
Analisando a expressão de recorrência, temos duas seqüências possíveis: uma 
para valores pares do índice 𝑘 e outra para valores ímpares do índice 𝑘. A seqüência par será 
dada pelos termos da forma 
𝑘 = 0 → 𝑎2 = −
𝜆
2
𝑎0 
𝑘 = 2 → 𝑎4 =
4 − 𝜆
4 × 3
𝑎2 = −
𝜆 4 − 𝜆 
4!
𝑎0, 
𝑘 = 4 → 𝑎6 =
8 − 𝜆
6 × 5
𝑎4 = −
𝜆 4 − 𝜆 8 − 𝜆 
6!
𝑎0 
etc... (128) 
52 
 
Já a seqüência ímpar será fornecida pelos termos da forma 
𝑘 = 1 → 𝑎3 =
2 − 𝜆
3!
𝑎1 , 
𝑘 = 3 → 𝑎5 =
6 − 𝜆
5 × 4
𝑎3 =
(2 − 𝜆) 6 − 𝜆 
5!
𝑎1, 
 
𝑘 = 5 → 𝑎7 =
10 − 𝜆
7 × 6
𝑎5 =
(2 − 𝜆) 6 − 𝜆 10 − 𝜆 
7!
𝑎1 , 
etc... (129) 
Substituindo os resultados obtidos em (128) e (129) na equação (119), obtém-se a seguinte 
expressão 
𝑣 𝜉 = [−
𝜆
2
𝑎0 +
4−𝜆
4×3
𝑎2 +
8−𝜆
6×5
𝑎4 +
2−𝜆
3!
𝑎1 +
6−𝜆
5×4
𝑎3 +
10−𝜆
7×6
𝑎5]. (130) 
Das expressões (128) e (129) podemos observar que os coeficientes podem ser descritos em 
termos de dois coeficientes: e 𝑎0 e 𝑎1. Assim, escrevendo 𝑣 𝜉 em termos desses dois 
coeficientes, obteremos que 
𝑣 𝜉 = 𝑎0 1 −
𝜆
2
𝜉2 −
𝜆 4 − 𝜆 
4!
𝜉4 −
𝜆 4 − 𝜆 8 − 𝜆 
6!
𝜉6 − ⋯ 
 
𝑣0 𝜉 
 
+𝑎1 𝜉 +
2 − 𝜆
3!
𝜉3 +
 2 − 𝜆 6 − 𝜆 
5!
𝜉5 +
(2 − 𝜆) 6 − 𝜆 10 − 𝜆 
7!
𝜉7 + ⋯ 
 
𝑣1 𝜉 
 
= 𝑎0𝑣0 𝜉 + 𝑎1𝑣1 𝜉 . (131) 
Percebe-se que o resultado tem a forma esperada da solução geral de uma equação 
Diferencial Ordinária de segunda ordem. Como na idéia inicial, tanto 𝑣0 𝜉 como 𝑣1 𝜉 
devem ser convergentes por se tratarem de uma solução em série, precisamos realizar essa 
53 
 
análise. Para verificar o critério de convergência, vamos utilizar o teste da razão. O mesmo se 
baseia na idéia que a soma 
 𝑆 = 𝑢𝑛
∞
𝑛=0 (132) 
será convergente caso o 
 lim𝑛→∞
|𝑢𝑛+1|
|𝑢𝑛 |
< 1 (133) 
A mesma será divergente caso o limite seja maior do que 1. Caso o limite seja 
igual a 1 outro critério de convergência deve ser adotado, pois para o teste da razão, tal 
resultado é inconclusivo (que geralmente é feito pela comparação de séries conhecidas). 
Neste caso, tanto a expressão dada por 𝑣0 𝜉 quanto a expressão dada por 𝑣1 𝜉 teremos que, 
analisando a relação de recorrência apresentada em (126) que 
 lim𝑘→∞
2𝑘−𝜆
 𝑘+2 𝑘+1 
𝜉𝑘+2
𝜉𝑘
= lim𝑘→∞
𝑘(2−
𝜆
𝑘
)
𝑘2 1−
2
𝑘
 (1+
2
𝑘
)
, (134) 
Aplicando o limite, obtemos que 
 2 lim𝑘→∞𝜉2
𝑘
= 0 (135) 
Logo se percebe que a série converge para qualquer valor fixo de 𝜉. Entretanto, 
para 𝜉 variável a série pode divergir. Logo observando a equação (113), temos que 𝜓 𝜉 
divergiria para 𝜉 → ∞. Assim a condição de contorno para 𝜓 𝜉 ser um vetor no espaço de 
Hilbert seria perdida. E tudo que fizemos ate o momento séria perdido (NETO, 2011). 
Uma forma de evitar este problema vem através da quantidade 𝜆 (que está 
relacionada à energia da partícula). Se escolhermos 𝜆 = 2𝑛, sendo 𝑛 um número inteiro 
positivo, a relação de recorrência para 𝑎𝑘 fica da forma 
 𝑎𝑘+2 =
2𝑘+2𝑛
 𝑘+2 𝑘+1 
𝑎𝑘 (136) 
 𝑛 = 0 → 𝑎𝑘+2 =
2𝑘
 𝑘+2 𝑘+1 
𝑎𝑘 → 𝑘 = 0 → 𝑎2 = 0 (137) 
 𝑛 = 1 → 𝑎𝑘+2 =
2𝑘+2
 𝑘+2 𝑘+1 
𝑎𝑘 → 𝑘 = 1 → 𝑎3 = 0. (138) 
54 
 
 Ou seja, pode-se observar das expressões (137) e (138) que para todo termo maior que 𝑎𝑛+2, 
os coeficientes serão nulos. Dessa forma em vez de séries infinitas, teremos polinômios 
finitos, resolvendo assim o problema da divergência. Como conseqüência, observamos que a 
energia do Oscilador Harmônico deve ser quantizada, sendo a expressão da forma 
 
2𝐸
ℏ𝜔
− 1 = 2𝑛 → 𝐸 = 𝑛 +
1
2
 𝑕𝜔. (139) 
Essa resultado é muito importante e merece ser enfatizada. A quantização da 
energia o Oscilador Harmônico veio da necessidade de se ajustar a solução do problema à 
condição de que 𝜓(𝜉) deve ser, de fato, um vetor no espaço de Hilbert ( NETO, 2011). 
Agora a equação diferencial (118) passa ser escrita da forma 
 
𝑑2𝑣
𝑑𝜉2
− 2𝜉
𝑑𝑣
𝑑𝜉
+ 2𝑛𝑣 = 0, 𝑛 = 0,1 , 2 … , (140) 
a qual é conhecida na literatura como equação de Hermite. Sua solução é descrita em termos 
de uma classe de polinômios chamados Polinômios de Hermite, os quais serão apresentados 
mais detalhadamente na próxima Seção. 
 4.2.1 A Equação de Hermite 
 
A expressão (140) é conhecida como Equação de Hermite, a qual surge ao se 
tentar resolver o problema do Oscilador Harmônico 1-D. Sua solução e dada pelos Polinômios 
de Hermite ( BARATA, 2017). 
Para definir os polinômios de Hermite (𝐻𝑛(𝑥)), vamos utilizar a seguinte função 
(GOUVEIA, 2014) 
 𝜓 𝑥, 𝑡 ≡ 𝑒−𝑡
2+2𝑡𝑥 = 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 , (141) 
Conhecida como função geratriz dos polinômios de Hermite. Tal definição e útil, 
pois possibilita a derivação das relações de recorrência dos polinômios de forma muito 
simples. Uma dessas relações e obtida derivando a equação (141) com relação e variável 𝑡, da 
forma 
 
𝜕𝜓
𝜕𝑡
= 2𝑥 − 2𝑡 𝜓. (142) 
55 
 
Assim podemos escrever 
 2𝑥 − 2𝑡 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 = 
𝑡𝑛−1
 𝑛−1 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 , (143) 
e fazendo a distributiva dos termos, obtêm-se que 
2𝑥 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 − 2 
𝑡𝑛+1
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 
(𝐼)
= 
𝑡𝑛−1
 𝑛−1 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 
(𝐼𝐼)
 (144) 
e substituindo 𝑛 → 𝑛 + 1 em (𝐼) temos 
 
𝑡𝑛
𝑛−1
∞
𝑛=0 𝐻𝑛−1 𝑥 (145) 
Agora, fazendo-se em (𝐼𝐼) a substituição 𝑛 − 1 → 𝑛, tem-se que 
 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛+1 𝑥 . (146) 
Portanto 
𝜕𝜓
𝜕𝑡
= 2𝑥 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 − 2 
𝑡𝑛
𝑛−1
∞
𝑛=0 𝐻𝑛−1 𝑥 =
 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛+1 𝑥 . (147) 
Comparando as potências de 𝑡, temos 
 𝐻1 𝑥 = 2𝑥𝐻0 𝑥 (148) 
𝐻𝑛+1 𝑥 = 2𝑥𝐻𝑛 𝑥 − 2𝑛𝐻𝑛−1 𝑥 , 𝑛 = 1,2,3 … (149) 
A expressão (147) nos permite obter qualquer função 𝐻𝑛 𝑥 conhecendo apenas 
𝐻0 𝑥 . Como 𝜓 𝑥, 0 = 1, teremos que 𝐻0 𝑥 = 1, logo pode-se calcular os primeiros 
polinômios de Hermite (GOUVEIA, 2014) : 
𝐻0 𝑥 = 1 
𝐻1 𝑥 = 2𝑥 
56 
 
 𝐻2 𝑥 = 4𝑥
2 − 2 
𝐻3 𝑥 = 8𝑥
3 − 12𝑥 
 𝐻4 𝑥 = 16𝑥
4 − 48𝑥2 + 12. (150) 
Para encontrar uma nova relação de recorrência podemos derivar a função geratriz 
dada pela equação (141) em função da variável 𝑥 da forma 
 
𝜕𝜓
𝜕𝑥
= 2𝑡𝜓 (151) 
logo, 
 2 
𝑡𝑛+1
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 = 
𝑡𝑛
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻
′
𝑛 𝑥 
 𝐼 
. (152) 
Substituindo 𝑛 + 1 → 𝑛 em 𝐼 fica 
 
𝑡𝑛+1
 𝑛+1 !
∞
𝑛=0 𝐻
′
𝑛+1 𝑥 , (153) 
Desta forma teremos 
 2 
𝑡𝑛+1
𝑛 !
∞
𝑛=0 𝐻𝑛 𝑥 = 
𝑡𝑛+1
 𝑛+1 !
∞
𝑛=0 𝐻
′
𝑛+1 𝑥 . (154) 
Fazendo a comparação das potências de 𝑡 temos: 
𝐻′ 0 = 0 
 
2
𝑛 !
𝐻𝑛 𝑥 =
1
 𝑛+1 !
𝐻′ 𝑛+1 𝑥 (155) 
A qual pode ser escrita da forma 
 2 𝑛 + 1 𝐻𝑛 𝑥 = 𝐻
′
𝑛+1 𝑥 . (156) 
Substituindo 𝑛 + 1 → 𝑛 em (156) teremos: 
57 
 
 2𝑛𝐻𝑛+1 𝑥 = 𝐻
′
𝑛 𝑥 , 𝑛 ≥ 1. (157) 
Observe que, substituindo a equação (157) na recorrência (147) teremos, 
 𝐻𝑛+1 𝑥 = 2𝑥𝐻𝑛 𝑥 − 𝐻
′
𝑛 𝑥 (158) 
derivando (158) em relação a 𝑥 temos 
 𝐻′𝑛+1 𝑥 = 2𝐻𝑛 𝑥 + 2𝑥𝐻
′
𝑛 𝑥 − 𝐻
′′
𝑛 𝑥 (159) 
Substituindo (156) em (159) encontramos 
 2 𝑛 + 1 𝐻𝑛 𝑥 = 2𝐻𝑛 𝑥 + 2𝑥𝐻
′
𝑛 𝑥 − 𝐻"𝑛 𝑥 (160) 
 simplificando equação (146) 
 𝐻"𝑛 𝑥 − 2𝑥𝐻
′
𝑛 𝑥 + 2𝑛𝐻𝑛 𝑥 = 0 (161) 
Que é a equação de Hermite. 
Outra formula de obtermos os Polinômios de Hermite é a formula de Rodrigues. 
Para demonstrar a mesma usaremos a equação (141) que parte da expansão em série de Taylor 
para 𝜓(𝑥, 𝑡) na vizinhança de 𝑡0. Temos que (GOUVEIA, 2014) 
𝐻𝑛 𝑥 =
𝜕𝑛𝜓(𝑥 .𝑡)
𝜕𝑡𝑛
|𝑡=0 = 𝑒
𝑥2 
𝜕𝑛
𝜕𝑡𝑛
𝑒− 𝑥−𝑡 
2
 
𝑡=0
 (162) 
Fazendo a substituição de variáveis 𝑧 = 𝑥 − 𝑡 e usando o fato que 
𝜕
𝜕𝑡
= −
𝜕
𝜕𝑧
 em 
𝑡 = 0 corresponde a 𝑧 = 𝑥, logo a equação (162) resulta em: 
 −1 𝑛𝑒𝑥
2
 
𝑑𝑛
𝑑𝑧𝑛
𝑒−𝑧
2
 = −1 𝑛𝑒𝑥
2
 
𝑑𝑛
𝑑𝑧𝑛
𝑒𝑥
2
 , (163) 
o que nos fornece a Fórmula de Rodrigues para os polinômios de Hermite, permitindo a 
definição dos polinômios de mesmo nome, 
 𝐻𝑛 𝑥 = −1 
𝑛𝑒𝑥
2
 
𝑑𝑛
𝑑𝑧𝑛
𝑒𝑥
2
 . (164) 
58 
 
4.2.2 Ortogonalidade dos Polinômios de Hermite 
 
Para demonstrar que os polinômios de Hermite são ortogonais, temos que provar 
que (GOUVEIA, 2014) 
 𝐻𝑚 𝑥 𝐻𝑛 𝑥 
∞
−∞
𝑒−𝑥²𝑑𝑥 = 2𝑛𝑛! 𝜋 𝛿𝑚 ,𝑛 , (165) 
sendo que 
 𝛿𝑚 𝑛 = 
1 𝑚 = 𝑛;
0 𝑚 ≠ 𝑛;
 (166) 
representa o delta de Kronecker. 
Pode-se dizer que, duas