SOLUÇÕES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS FLORIANÓPOLIS 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA 
Prof. Luiz Arthur Dornelles – Email: luiz.dornelles@ifsc.edu.br 
SOLUÇÕES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
EDOS DE PRIMEIRA ORDEM - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS: 
Função Homogênea: F(kx,ky) = knF(x, y) 
ð Troca de variáveis: y = ux⇒ dy = udx + xdu ou x=vy⇒ dx = vdy+ ydv . Faça a substituição de u =
y
x
 ou v = x
y
 
EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A HOMOGÊNEAS - CASO 02: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A HOMOGÊNEAS - CASO 03: 
1) Confirmar condição Δ = m n
p q
≠ 0 ; 
2) Resolver o sistema: 
mx + ny+ a = 0
px + qy+ b = 0
!
"
#
 Solução=(x1, y1) 
3) Substituir na equação: 
x = u+ x1 → dx = du
y = v+ y1 → dy = dv
"
#
$
 
4) A equação se reduz a coeficientes homogêneos em X e Y; 
5) Substituir 
u = x − x1
v = y− y1
"
#
$
 
1) Confirmar condição Δ = m n
p q
= 0 ; 
2) Substituir: 
px + qy = v ⇒ dv = pdx + qdy
ou
mx + ny = v ⇒ dv =mdx + ndy
"
#
$
%
$
 
3) Encontrar dy em função de x e v. A equação é de variáveis 
separáveis; 
4) Resolva e equação 
5) Substituir v = px + qy ou v =mx + ny de acordo com a opção 
feita em (2) 
EQUAÇÕES EXATAS: EQUAÇÕES QUASE EXATAS: 
1) Testar: ∂M
∂y
=
∂N
∂x
 
2) Pesquisar a função u(x, y) =C usando o sistema 
∂u
∂x
=M
∂u
∂y
= N
!
"
##
$
#
# 
3) Escolhemos uma das equações do sistemas para resolver e 
aplicar o resultado obtido na outra. 
4) A solução geral da equação é dada por u(x, y) =C 
1) Testar: ∂M
∂y
≠
∂N
∂x
 
2) Determinar Fator Integrante λ = λ(x, y) para os casos: 
Caso 1: λ é a função só de x ⇒ λ = λ(x)⇒ λ = e
1
N
∂M
∂y
−
∂N
∂x
#
$
%
&
'
(dx∫
 
Caso 2: λ é a função só de y ⇒ λ = λ(y)⇒ λ = e
−
1
M
∂M
∂y
−
∂N
∂x
#
$
%
&
'
(dx∫
 
3) Testar e resolver como Equação Exata. 
LINEARES DE PRIMEIRA 
ORDEM: CASO I - HOMOGÊNEAS 
LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM: FATOR INTEGRANTE - CASO II – NÃO 
HOMOGÊNEAS 
y '+P(x)y = 0⇒ dy+P(x)ydx = 0⇒ f
⇒
dy
y
+P(x)dx = 0⇒
⇒
dy
y∫
+ P(x)dx∫ =C⇒
⇒ ln y+ P(x)dx∫ = lnC⇒
⇒ ln y− lnC = − P(x)dx∫ ⇒
⇒ ln y
C
= − P(x)dx∫ ⇒ y =Ce− P(x)dx∫
 
1) Deixe a equação na forma dy
dx
+P(x)y = h(x) ; 
2) Identifique P(x) e determine o fator integrante λ = e P(x)dx∫ ; 
3) Multiplique a equação obtida em (1) pelo fator integrante; 
e P(x)dx∫ dy
dx
+P(x)e P(x)dx∫ y = e P(x)dx∫ h(x)
 
4) O lado esquerdo em (3) é a derivada do produto entre o fator de integração e a variável 
dependente y; d
dx
e P(x)dx∫ y"#
$
%= e
P(x)dx∫ h(x) 
5) Integre ambos os lados da equação encontrada em (4). 
BERNOULLI 
1) Deixar a equação na forma dy
dx
+P(x)y = h(x)yn, n ∈ IR 
2) Multiplicar a equação por y−n ; 
3) Fazer mudança de variável: z = y1−n z ' = (1− n)y−ny ' y ' = z '
(1− n)y−n
 
4) Resolver a equação e substituir z = y1−n 
 
 
ED DE 2ª ORDEM – TIPOS ESPECIAIS: LINEARES DE SEGUNDA ORDEM: HOMOGÊNEAS 
TIPO I: y"= f (x) - Usar integração 
TIPO II: y"= f (x, y ') 
1) Fazer a substituição y ' = dy
dx
= p , sendo assim, y"= p ' 
2) Resolver a ED de primeira ordem em p e x; 
3) Substituir na solução o p por y’ e resolver ED. 
TIPO III: y"= f (y) e y"= f (y, y ') 
1) Fazer a substituição y ' = dy
dx
= p , sendo assim, y"= p dp
dy
 
2) Resolver a equação em p e y; 
3) Substituir na solução o p por y’ e resolver ED 
TIPO IV: y"= f (y ') 
1) Fazer a substituição y"= dy '
dx
= F(y ') , que é uma equação de 
variáveis separáveis em y’ e x; 
2) A solução desta equação encontrada em (1) é uma nova 
equação de 1ª ordem conhecida. 
ð CASO 01: Raízes reais e diferentes; 
Soluções particulares:
y1 = e
r1x y2 = e
r2x
y3 = e
r3x ! yn = e
rnx
!
"
#
$#
 
ð CASO 02: Raízes complexas conjugadas; 
Raízes: r1 = a+ bi e r2 = a− bi
Soluções particulares: y1 = e
(a+bi)x y2 = e
(a−bi)x{
 
Solução Geral: y = eax Acosbx +B.sen bx( ) 
ð CASO 03: Raízes múltiplas. 
Soluções particulares:
y1 = e
r1x y1 = e
(a+bi)x
y2 = xe
r1x y2 = e
(a−bi)x
y3 = x
2er1x y3 = xe
(a+bi)x
yn = x
n−1er1x y4 = xe
(a−bi)x
"
#
$
$$
%
$
$
$
 
3) Solução geral: y =C1y1 +C2y2 +...+Cnyn 
ROTEIRO - Método Variação de Parâmetros: 
1) Forma padrão: !!y +P(x) !y +Q(x)y = f (x) 
2) Determine a solução complementar yc da equação homogênea 
associada: yc =C1y1 +C2y2 +...+Cnyn 
3) Supor que a solução particular da equação não homogênea 
seja da forma: yp = u1(x).y1(x)+u2(x).y2(x)+...+un (x)yn (x) 
4) Usando a regra de Kramer, resolver o sistema: 
y1 y2 ! yn
!y1 !y2 ! !yn
! ! ! !
y1
(n−1) y2
(n−1) ! yn
(n−1)
#
$
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
!u1
!u2
!
!un
#
$
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
=
0
0
!
f (x)
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
 
!u1 =
W1
W
= −
y2 f (x)
W
 e !u2 =
W2
W
=
y1 f (x)
W 
 
Sendo: W =
y1 y2
!y1 !y2
 W1 =
0 y2
f (x) !y2
 W2 =
y1 0
!y1 f (x)
W é o determinante Wronskiano (ex. para 2a ordem)
 
5) Encontrados !u1 e !u2 , usar integração para determinar u1 e u2 
6) Obter a solução particular 
yp = u1(x).y1(x)+u2(x).y2(x)+...+un (x)yn (x) 
7) Obter a solução geral usando y = yc + yp 
 
Aplicações 
Crescimento e 
decrescimento 
dA
dt
= kA A(t0 ) = A0 
Lei do 
esfriamento/aquecimento 
de Newton 
dT
dt
= k(T −TM ) 
Altura da água em 
tanque cilíndrico 
dh
dt
= −
A0
Aw
2gh 
Mola: m d
2x
dt2
+ kx = 0
 
m d
2x
dt
+ c dx
dt
+ kx = 0
 
T = 2π
ω
 f = 1
T
 C = A2 +B2 φ=arc tg A
B
!
"
#
$
%
&
 
m ʹ́x + kx = F(t) 
m ʹ́x + c ʹx + kx = F(t) 
Circuitos 
€ 
L di
dt
+ R. i = E(t) 
€ 
R dQ
dt
+
Q
C
= E(t) 
€ 
L d
2Q
dt 2
+ R. dQ
dt
+
Q
C
= E(t)