Aula 2 - Juros simples

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Matemática Financeira
Aula 2 – Juros Simples
Prof: Helder Ferreira 
Juros Simples
Juros é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: juros simples e juros compostos.
	Neste momento trataremos do regime simples, que é um regime de caráter mais teórico, sendo utilizado mais para fins didáticos do que para fins práticos. 
	No dia-a-dia, a maioria das operações realizadas pelas instituições financeiras ocorrem segundo o regime de juros compostos (ex.: poupança, aplicação em CDB, compra de títulos públicos, empréstimos e financiamentos para casa própria etc.)
	Continuemos com o exemplo em que você contratou um empréstimo junto ao banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros simples.
	Para ilustrar, imagine que você pegou um montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 5 meses?
	Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e quinto meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 parcelas de 100 reais, totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais referem-se aos juros (“preço” que você paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma muito comum de designar o capital inicialmente obtido
Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo:
J = P.i.n  ou  J = C.i.n
 
J = juros
P = principal ou C = capital
I = taxa
N = tempo
No exemplo temos:
J = ?
C = 1.000,00
I = 10% am
N = 5 meses 
 J = 1.000,00 x 0,10 x 5 = 500,00
Montante: será a soma do principal (capital) da aplicação com o seu juro:
 
M = P + J ou M = C + J 
 
M = P + P.i.n ou M = C + C.i.n
 
Colocando o fator comum P em evidência, teremos:
 
M = P.(1 + i.n)   ou    M = C.(1 + i.n)
No exemplo:
 M = 1.000,00 + 500,00 = 1.500,00
Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e o Capital inicial:
 
 J = M – C
 e C = M - J
 
CESGRANRIO Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de:
a) 68.085,10
b) 66.000,00
c) 65.000,00
d) 64.555,12
e) 63.656,98
Exemplo:
CESGRANRIO Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de:
a) 68.085,10
b) 66.000,00
c) 65.000,00
d) 64.555,12
63.656,98
Solução
M = C x(1+ j x t )
80000 = C x(1+ 0,035 x 5)
80000 = C x(1+ 0,175)
80000 = C x (1,175)
C = 80.000
 1,175 
C = 68085,10
Exemplo: Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros simples de 5% ao mês? Dê a resposta em anos e meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
i = 5% = 5/100 = 0,05
o montante é o dobro do capital  → M = 2.C
A resposta deverá ser calculada substituindo os dados do problema na fórmula:
 
M = C.(1 + i.n)
2C = C.(1 + 0,05.n)
Simplificando o fator C temos:
2 = 1 + 0,05.n
2-1 = 0,05.n
n = 1÷0,05
n = 20 meses = um ano e oito meses
 JUROS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS
Quando temos que trabalhar com prazos expressos em dias, precisamos saber como converter uma taxa de juros expressa em outra unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa diária.
 Temos três formas básicas de fazer isso:
 
1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 dias, conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste caso, estamos trabalhando com juros exatos.
 Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano,
 em juros exatos, é igual a 10% = 0, 02739% ao dia
  365 
2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste caso, estamos trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano é igual a 10% = 0, 0277% ao dia
  360 
3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o prazo de aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se dos juros bancários.
Exercício:
(FCC ) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é
(A) R$ 37,50
(B) R$ 30,00
(C) R$ 22,50
(D) R$ 15,00
(E) R$ 7,50
RESOLUÇÃO:
Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês possui 30 dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês. Deste modo, os juros da aplicação seriam:
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (1/6) = 232,5 reais
 
 
Já ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de dias de cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias correspondem a 5/31 mês. Os juros da aplicação seriam:
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais
 
 
A diferença entre as duas formas de cálculo é de 232,5 – 225 = 7,5 reais.
Resposta: E
Equivalência de taxas
 
Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diferentes, são equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. Veja que, nesse caso, a equivalência é caracterizada por resultados finais iguais.
 Fórmula : vamos escolher uma aplicação para desenvolver a fórmula de cálculo das  taxas equivalentes. Focalizando um caso prático, calculemos a equivalência entre uma taxa anual e outra mensal. A questão prática tem a seguinte estrutura:
 
“determine as taxas de juros anual e mensal equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro simples”.
 
	Para o desenvolvimento dessa fórmula vamos trabalhar com a seguinte nomenclatura:
 
·         i­a = taxa de juros unitária anual
·         im = taxa de juros unitária mensal
 
·         número de períodos: um ano, para a taxa anual, ou doze meses, para a taxa mensal.
 
                                          M = P.(1+ i­a.1)     e      M = P.(1 + im.12)
 
Como os montantes e os principais são iguais, teremos:
 
                  1 + i­a.1 = 1 + im.12, portanto:       i­a = 12.im  
Chegamos, portanto, à conclusão de que, como no juro simples, as taxas são proporcionais aos períodos, os cálculos das taxas equivalentes são efetuados por meio de simples proporcionalidades (“regras de três”). Em linguagem simples podemos dizer que se o ano tem doze meses, a taxa anual é doze vezes sua mensal equivalente.
  
 
 
Exemplos:
 
1) Um capital de R$1.000,00 foi aplicado a juro simplesexato por 40 dias, a uma taxa de 20% ao ano. Calcule o valor do juro obtido por essa aplicação.
 
i = 20% ao ano (÷ 365) = 0,0548% ao dia ou 0,000548 ao dia.
J = C.i.n = 1000.0,000548.40 = 21,92
 
2) Considere o mesmo caso acima e calcule o juro obtido adotando o critério do prazo comercial.
 
i = 20% ao ano (÷ 360) = 0,05556% ao dia ou 0,0005556 ao dia.
J = C.i.n = 1000.0,0005556.40 = 22,22
 
 
 
Exercícios
1)  O montante de um capital de R$ 500,00, aplicado a juros simples de 5% ao mês, durante quinze meses, será:
A) R$875,00
B) R$758,00
C) R$675,00
D) R$958,00
E) R$975,00
 
2)  Para obter R$ 670,00 de montante, à taxa de juro simples de 5% ao mês, o capital aplicado, por dois anos, será:
A) R$284,55
B) R$204,55
C) R$304,55
D) R$404,55
E) R$384,55
3) A taxa de juro simples mensal a que devo aplicar um capital de R$ 1.000,00 para obter R$ 1.800,00 de montante em um ano e meio será de: 
 
A)3,44%a.m.
B)4,44%a.m.
C)4,44%a.a.
D)3,44%a.a.
E)5,44%a.m.
Exercícios
4) A taxa de juros simples a que ficou aplicado um capital durante dez meses para render de juros a metade do seu valor é de:
A) 1%a.m.
B) 5%a.a.
C) 5%a.m.
D) 10%a.a.
E) 15%a.a.
5) Podemos afirmar que o valor dos juros que um capital de R$15.000,00 rende, aplicado a juros simples de 30% aa, em três anos e quatro meses será de:
A) R$15.000,00
B) R$15.555,35
C) R$16.555,35
D) R$17.555,35
E) R$16.000,00
6)  Uma instituição financeira remunera as aplicações de seus clientes à taxa de juros simples de 2% ao mês. Se um cliente deixar o seu capital aplicado nessa instituição por um período de um ano e meio, a sua remuneração, em termos porcentuais, será equivalente a:
A)20%
B) 30%
C)36%
D)26%
E) 28%
Exercícios
7)  Um estudante aplica R$500,00 de sua verba em um banco que paga juros simples de 15% ao ano, durante cem dias. Sabendo que o cálculo foi feito a juro exato, podemos afirmar que o montante por ele recebido foi:
A) R$520,55
B) R$550,55
C) R$570,55
D) R$470,55
E) R$580,55
8)  Um investidor agressivo compra ações na Bolsa aplicando R$100.000,00. Depois de certo tempo esse investidor vende essas ações e apura R$150.000,00. Sabendo que essas ações tiveram um rendimento médio, calculado a juros simples, de 5% ao mês, podemos afirmar que  o prazo dessa operação foi:
A) um ano
B) quinze meses
C) dez meses
D) oito meses
E) onze meses
 
Exercícios
9)  Uma “factoring”, tipo de empresa financeira que “comercializa” capitais junto às empresas, não fornece a taxa de juros a que faz seus cálculos. Sabendo que uma construtora financia R$1.000,00 para pagar R$1.800,00 depois de um ano e meio, podemos afirmar que a taxa mensal de juros simples praticada pela financeira é:
A) 6,44% ao mês
B) 12,44% ao ano
C) 5,44% ao trimestre
D) 4,44% ao mês
E) 3,44% ao mês
10) Um investidor aplica em um determinado banco R$10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a
A) R$12.862,00
B) R$12.750,00
C) R$12.650,00
D) R$12.550,00
E) R$12.535,00
Exercícios
11)  Um capital de R$1.500,00 foi aplicado em 22/03 e o resgate se deu em 08/09 do mesmo ano. A taxa de juro simples que remunerou a aplicação foi de 73% aa. O juro exato auferido nessa operação foi de:
A) R$514,04
B) R$507,00
C) R$510,00
D) R$517,08
E) R$520,12
12) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é
A) R$7,50
B) R$15,00
C) R$22,50
D) R$30,00
E) R$37,50