Prévia do material em texto

1. A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) 
e é tangente à reta de equação 𝑦 =
3
4
𝑥 + 2 tem equação 
dada por 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0. 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0. 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0. 
d) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0. 
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 = 0. 
 
2. Qual é a posição do ponto P(5, 3) em relação à 
circunferência de centro C(3, 1) e raio igual a 5 
unidades? 
a) Externo. 
b) Interno, não coincidente com o centro. 
c) Pertence à circunferência. 
d) Coincidente com o centro. 
e) Excêntrico. 
 
3. Considere a circunferência cuja equação, no plano 
cartesiano, seja dada por: 
 
𝐶: 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 4 = 0 
 
Sobre a circunferência C, é correto afirmar que 
a) está inteiramente localizada na reunião do 1º com o 2º 
quadrante. 
b) possui raio 4. 
c) possui raio 9. 
d) possui dois pontos em comum com o eixo das 
ordenadas. 
e) possui dois pontos em comum com o eixo das 
abscissas. 
 
4. O ponto P(1, 4) é _______________ à circunferência 
de equação (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 5)2 = 9 e é 
_______________ à circunferência de equação (𝑥 −
3)2 + (𝑦 − 5)2 = 16. 
a) exterior; exterior 
b) exterior; interior 
c) interior; exterior 
d) interior; interior 
 
5. A figura mostra uma criança brincando em um 
balanço no parque. A corda que prende o assento do 
balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança 
toma cuidado para não sofrer um acidente, então se 
balança de modo que a corda não chegue a alcançar a 
posição horizontal. 
 
 
 
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a 
trajetória do assento do balanço, no qual a origem está 
localizada no topo do suporte do balanço, o eixo 𝑋 é 
paralelo ao chão do parque, e o eixo 𝑌 tem orientação 
positiva para cima. 
 
A curva determinada pela trajetória do assento do 
balanço é parte do gráfico da função 
a) 𝑓(𝑥) = −√2 − 𝑥2 
b) 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 
d) 𝑓(𝑥) = −√4 − 𝑥2 
e) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 
 
6. Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface 
algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos 
devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando 
"tiros", seguindo trajetórias que devem passar pelos 
pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve 
escrever em uma janela do programa a equação 
cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que 
passa pelos pontos e pela origem do sistema de 
coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da 
circunferência, cada ponto diferente da origem que for 
atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da 
equação de uma reta, cada ponto diferente da origem 
que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, 
ainda restam os seguintes pontos para serem 
eliminados: 𝐴(0;  4),  𝐵(4;  4),  𝐶(4;  0),  𝐷(2;  2) e 
𝐸(0;  2). 
 
 
 
Passando pelo ponto 𝐴, qual a equação forneceria a 
maior pontuação? 
a) 𝑥 = 0 
b) 𝑦 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 = 16 
d) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 4 
e) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 8 
 
7. As posições dos pontos 𝐴 (1,  7) e 𝐵 (7,  1) em 
relação à circunferência de equação (𝑥 − 6)2 + (𝑦 −
2)2 = 16 são, respectivamente, 
a) interna e interna. 
b) interna e externa. 
c) externa e interna. 
d) externa e externa. 
 
8. Considere que os quarteirões de um bairro tenham 
sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem 
o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse 
bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras 
desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados 
de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do 
sistema. 
A seguir há uma representação dessa situação, em que 
os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos 
comerciais desse bairro. 
 
 
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, 
garante área de cobertura para todo estabelecimento que 
se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à 
inequação: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 31 ≤ 0. 
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma 
futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou 
uma inspeção para saber quais estabelecimentos 
estavam dentro da área de cobertura, pois estes 
conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. 
 
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são 
apenas 
a) A e C. 
b) B e C. 
c) B e D. 
d) A, B e C. 
e) B, C e D. 
 
9. Para apagar os focos 𝐴 e 𝐵 de um incêndio, que 
estavam a uma distância de 30 𝑚 um do outro, os 
bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de 
modo que a distância de um bombeiro ao foco 𝐴, de 
temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da 
distância desse bombeiro ao foco 𝐵, de temperatura 
menos elevada. 
 
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois 
bombeiros poderiam ter entre eles é 
a) 30. 
b) 40 
c) 45. 
d) 60. 
e) 68. 
 
10. Se (𝑝,  𝑞) são as coordenadas cartesianas do centro 
da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, então é 
correto afirmar que 5𝑝 − 3𝑞 é igual a: 
a) 7 
b) 10 
c) 13 
d) 16 
e) 19 
 
11. As coordenadas do centro e a medida do raio da 
circunferência de equação 𝑥2 − 4𝑥 + (𝑦 + 1)2 = 0 são, 
respectivamente: 
a) (– 2, 1) e 4 
b) (2, – 1) e 2 
c) (4, – 1) e 2 
d) (−1,2) e √2 
e) (2,2) e √2 
 
12. Em um plano munido com o sistema de 
coordenadas cartesianas usual, fixada uma unidade de 
comprimento (𝑢. 𝑐. ), a equação 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 2𝑦 + 1 =
0 representa uma circunferência com centro no ponto 
𝑃(𝑝,  𝑞) cuja medida do raio é 𝑟 𝑢. 𝑐. Assim, é correto 
afirmar que o valor da soma 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 é igual a 
a) 0. 
b) 3. 
c) 1. 
d) 2. 
 
13. No plano, com o sistema de coordenadas 
cartesianas usual, a distância do centro da circunferência 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 9 = 0 à origem é 
 
𝑢.  𝑐. ≡ 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
a) 3 𝑢.  𝑐. 
b) 6 𝑢.  𝑐. 
c) 5 𝑢.  𝑐. 
d) 4 𝑢.  𝑐. 
 
14. Um círculo tangencia a reta 𝑟, como na figura 
abaixo. 
 
 
 
O centro do círculo é o ponto (7,  2) e a reta 𝑟 é definida 
pela equação 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0. 
 
A equação do círculo é 
a) (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 2)2 = 25. 
b) (𝑥 + 7)2 + (𝑦 + 2)2 = 25. 
c) (𝑥 − 7)2 + (𝑦 + 2)2 = 36. 
d) (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 2)2 = 36. 
e) (𝑥 + 7)2 + (𝑦 − 2)2 = 36. 
 
15. No plano cartesiano, uma circunferência tem centro 
C(5,3) e tangencia a reta de equação 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0. 
A equação dessa circunferência é: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 25 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 36 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 49 = 0 
d) 𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0 
e) 𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0 
 
16. Determine a distância entre o centro da 
circunferência 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 − 6 = 0 e a reta 3𝑦 =
−4𝑥 − 1. 
a) 
12
5
 
b) 
4
5
 
c) 5 
d) 1 
e) 
1
5
 
 
17. Um fabricante de brinquedos utiliza material 
reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos 
despertou a atenção de um estudante de Geometria, por 
ser confeccionado da seguinte forma: amarra-se um 
barbante em um bico de garrafa pet cortada e, na 
extremidade, cola-se uma bola de plástico que, ao girar 
em torno do bico, forma uma circunferência. O estudante 
representou-a no sistema por coordenadas cartesianas, 
conforme a figura a seguir: 
 
 
 
Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades 
de comprimento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3,4), a 
equação que representa a circunferência é igual a 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 8𝑦 − 11 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 8𝑦 + 11 = 0 
d) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 11 = 0 
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 − 11 = 0 
 
18. Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa 
pelo centro da circunferência de menor raio, a equação 
da circunferência de maior raio é 
a) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 4𝑦 + 18 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 4𝑦 − 14 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 14 = 0 
d) 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 8𝑦 + 18 = 0 
 
19.Considerando a circunferência C de equação 
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas: 
 
1. O ponto P(4, 2) pertence a C. 
2. O raio de C é 5. 
3. A reta 𝑦 =
4
3
𝑥 passa pelo centro de C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
 
20. A equação da circunferência que tem um dos 
diâmetros com extremidades nos pontos 𝐴(−1,  3) e 
𝐵(3, −5) é dada por: 
a) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 20. 
b) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 20. 
c) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 80. 
d) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 80. 
e) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 20. 
 
21. Os produtos de plástico são muito úteis na nossa 
vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. 
Algumas empresas começaram a investir em alternativas 
para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas 
alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de 
embalagens, garrafas, componentes de celulares e 
autopeças. 
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma 
de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da 
base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa 
embalagem? 
a) 150√3. 
b) 1.500. 
c) 900√3. 
d) 1.800. 
e) 1.800√3. 
 
22. Considere um prisma regular reto de base 
hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a 
aresta lateral é 
√3
3
. Aumentando-se a aresta da base em 2 
cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma 
ficará aumentado de 108 cm3. O volume do prisma 
original é 
a) 18 𝑐𝑚3. 
b) 36 𝑐𝑚3. 
c) 18√3 𝑐𝑚3. 
d) 36√3 𝑐𝑚3. 
e) 40 𝑐𝑚3. 
 
23. A peça geométrica, desenvolvida através de um 
software de modelagem em três dimensões por um 
estudante do curso de engenharia e estagiário de uma 
grande indústria, é formada a partir de dois prismas de 
base hexagonal regular e assemelha-se ao formato de 
uma porca de parafuso. 
 
 
 
Considerando que o lado do hexágono maior mede 8𝑐𝑚; 
que o comprimento do prisma é igual a 35𝑐𝑚; e, que o 
lado do hexágono menor mede 6𝑐𝑚, então o volume da 
peça, de forma que se possa calcular, posteriormente, a 
quantidade de matéria-prima necessária à sua produção 
em massa em determinado período de tempo é, em 𝑐𝑚3: 
 
(Considere √3 = 1,7.) 
a) 1.064. 
b) 1.785. 
c) 2.127. 
d) 2.499. 
 
24. Um prisma reto de base hexagonal regular tem a 
mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo 
equilátero. Considere ℎ a medida da aresta da base do 
prisma hexagonal e 𝑡 a medida da aresta da base do 
prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo 
volume, então a razão 
ℎ
𝑡
 vale 
a) 
1
√6
. 
b) 
1
6
. 
c) 1. 
d) √6. 
e) 6. 
 
25. Uma caixa d’água em formato cúbico tem a 
capacidade de armazenar 8.000 litros de água. Devido a 
problemas nessa caixa d’água, foi realizada a troca por 
outra em formato de prisma hexagonal regular. 
 
Sabendo que altura e a capacidade das duas caixas não 
se alteraram, qual o perímetro da base desse novo 
reservatório? 
 
Considere √12
4
≅ 1,86. 
a) 4,54 metros. 
b) 6,44 metros. 
c) 8,54 metros. 
d) 7,44 metros. 
 
26. Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que 
sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da 
área de sua base. O volume deste prisma, em cm3, é: 
a) 27√3 
b) 13√2 
c) 12 
d) 54√3 
e) 17√5 
 
27. Um prisma reto de base triangular tem área de uma 
face lateral igual a 20 cm2. Se o plano que contém essa 
face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse 
prisma, em cm3, é igual a 
a) 18. 
b) 36. 
c) 48. 
d) 54. 
e) 60. 
 
28. Foram feitas embalagens de presente em forma de 
prisma regular de altura H = 6√3cm e base triangular de 
lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o 
custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o 
custo total de fabricação de cada unidade é : 
 
 
Dado: Considere √3= 1,7 
 
a) R$ 12,3 
b) R$ 13,60 
c) R$ 8,16 
d) R$ 15,20 
e) R$ 17,30 
 
29. Alguns objetos, durante a sua fabricação, 
necessitam passar por um processo de resfriamento. 
Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de 
resfriamento, como mostrado na figura. 
 
 
 
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos 
no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? 
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 
cm de altura. 
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm 
de altura. 
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm 
de altura. 
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. 
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 
 
30. Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de 
Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de 
sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na 
Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de 
tecnologia, mas conectada com a natureza. 
 
 
 
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão 
representadas na Figura 2 é 
a) tetraedro. 
b) pirâmide retangular. 
c) tronco de pirâmide retangular. 
d) prisma quadrangular reto. 
e) prisma triangular reto. 
 
31. Um tanque de água em formato de paralelepípedo 
retangular reto, que possui 4 m de comprimento, 1,5 m 
de largura e 3 m de profundidade, contém 12 mil litros. 
Após três dias de uso intenso, o volume de água caiu 
para 9 mil litros. 
 
É CORRETO afirmar que, nesses três dias de uso, a 
altura do nível da água sofreu uma redução de 
a) 48 cm 
b) 50 cm 
c) 53 cm 
d) 55 cm 
e) 60 cm 
 
32. Uma caixa d’água no formato de paralelepípedo reto 
retângulo, como ilustrado na figura abaixo, está 
inicialmente vazia. 
 
 
 
Abre-se um registro com capacidade de 100 
𝑐𝐿
𝑚𝑖𝑛
 para 
encher a caixa d’água. Quando ela está cheia, abre-se 
um ladrão com capacidade de esvaziá-la a 0,04 
ℎ𝐿
𝑚𝑖𝑛
 e 
fecha-se simultaneamente o registro. 
 
A diferença entre o tempo de encher e esvaziar a caixa 
d’água, nessa ordem, em horas, é 
a) menor que 10 
b) exatamente 10 
c) maior que 10 e menor que 20 
d) maior que 20 
 
33. Oito cubos, todos de aresta 1 cm, tiveram suas 
faces sobrepostas de maneira a formar um sólido 
vazado, conforme mostra a figura. 
 
 
 
A área total desse sólido vazado é 
a) 36 cm2. 
b) 32 cm2. 
c) 28 cm2. 
d) 40 cm2. 
e) 44 cm2. 
 
34. A figura mostra um sólido composto por 30 cubos 
idênticos. Quando os cubos destacados em cinza são 
retirados, a área total do sólido aumenta em 144 𝑐𝑚2. 
 
 
 
O volume do sólido original, sem a retirada dos cubos 
destacados em cinza, é igual a 
a) 1920 𝑐𝑚3. 
b) 2733,75 𝑐𝑚3. 
c) 3750 𝑐𝑚3. 
d) 4991,25 𝑐𝑚3. 
e) 6480 𝑐𝑚3. 
 
35. Uma artesã confecciona peças de parafina em 
formato de um prisma hexagonal regular. O hexágono de 
dentro é vazio, como mostra a figura 1. O segmento de 
reta AB = 32 cm une os pontos médios dos lados 
opostos do hexágono externo (figura 2), e o segmento de 
reta CD = 28 cm une os pontos médios dos lados 
opostos do hexágono interno (figura 3). 
 
 
 
Considerando que a altura do prisma é 10 cm, a 
quantidade de parafina, em centímetros cúbicos 
(volume), da peça é 
a) 1.200√3 b) 3.920√3 c) 5.120√3 d) 9.040√3 
 
36. Em um prisma hexagonal regular de 4√3 𝑐𝑚 de 
altura, a aresta da base mede 4 𝑐𝑚. As bases desse 
sólido foram pintadas de branco e 4 faces laterais 
pintadas de preto. Se 𝑆𝐵 e 𝑆𝑃 são as medidas das áreas 
pintadas de branco e preto, respectivamente, então 𝑆𝑃 −
𝑆𝐵 = ____ 𝑐𝑚
2. 
a) 8√3 b) 16√3 c) 24√3 d) 32√3 
 
37. Dona Zilah vai construir em sua casa uma piscina. 
Ela terá o formato de um paralelepípedo com 21.000 𝑑𝑚3 
de volume, 100 𝑐𝑚 de altura e 3,5 𝑚 delargura. Qual 
será a medida do comprimento da piscina? 
 
 
 
a) 6 𝑚 
b) 7 𝑚 
c) 8 𝑚 
d) 9 𝑚 
e) 10 𝑚 
 
38. Um processo de aeração, que consiste na 
introdução de ar num líquido, acontece do seguinte 
modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o 
faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do 
líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, 
ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele 
fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura. 
 
 
 
Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases 
retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento 
𝑐 e largura 𝐿, e a base de T2 tem comprimento 
𝑐
2
 e 
largura 2𝐿. 
Para finalizar o processo de aeração sem derramamento 
do líquido em T2, o responsável deve saber a relação 
entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, 
denotada por 𝑥, e a altura da coluna de líquido que 
chegou a T2, denotada por 𝑦. 
 
Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 
2015. 
 
 
A equação que relaciona as medidas das alturas 𝑦 e 𝑥 é 
dada por 
a) 𝑦 = 1,265𝑥 b) 𝑦 = 1,250𝑥 c) 𝑦 = 1,150𝑥 
d) 𝑦 = 1,125𝑥 e) 𝑦 = 𝑥 
 
39. Um recipiente transparente possui o formato de um 
prisma reto de altura 15 𝑐𝑚 e base quadrada, cujo lado 
mede 6 𝑐𝑚. Esse recipiente está sobre uma mesa com 
tampo horizontal e contém água até a altura de 10 𝑐𝑚, 
conforme a figura. 
 
 
 
Se o recipiente for virado e apoiado na mesa sobre uma 
de suas faces não quadradas, a altura da água dentro 
dele passará a ser de 
a) 4 𝑐𝑚. b) 3,5 𝑐𝑚. c) 3 𝑐𝑚. d) 2,5 𝑐𝑚. e) 2 𝑐𝑚. 
 
 
40. Dona Zilah vai construir em sua casa uma piscina. 
Ela terá o formato de um paralelepípedo com 21.000 𝑑𝑚3 
de volume, 100 𝑐𝑚 de altura e 3,0 𝑚 de largura. 
 
 
 
Qual será a medida do comprimento da piscina? 
a) 6 𝑚 b) 7 𝑚 c) 8 𝑚 d) 9 𝑚 e) 10 𝑚 
 
41. Dois cubos idênticos, de aresta igual a 1 𝑑𝑚, foram 
unidos com sobreposição perfeita de duas das suas 
faces. 𝑃 é vértice de um dos cubos, 𝑄 é vértice do outro 
cubo e 𝑅 é vértice compartilhado por ambos os cubos, 
conforme indica a figura. 
 
 
 
A área do triângulo de vértices 𝑃,  𝑄 e 𝑅 é igual a 
a) 
√6
2
 𝑑𝑚2 b) 
√6
3
 𝑑𝑚2 c) 
√3
2
 𝑑𝑚2 d) 
√6
6
 𝑑𝑚2 
e) 
2√3
3
 𝑑𝑚2 
 
42. Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas 
triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 
vértices, então o número de faces desse deltaedro é: 
 
Note e adote: 
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler 𝐹 − 𝐴 +
𝑉 = 2, em que F é o número de faces, A é o número de 
arestas e V é o número de vértices do poliedro. 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 
 
43. Um poliedro convexo de 32 arestas tem apenas 8 
faces triangulares e 𝑥 faces quadrangulares. Dessa 
forma, o valor de 𝑥 é 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 
 
44. Num octaedro regular, duas faces são consideradas 
opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em 
comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e 
uma de suas planificações, na qual há uma face colorida 
na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas. 
 
 
 
Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza 
escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da 
planificação dada? 
a) 1, 2, 3 e 4 b) 1 e 3 c) 1 d) 2 e) 4 
 
45. Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma 
face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do 
tipo 𝑃. Com base nessas informações, pode-se concluir 
que o polígono 𝑃 é um 
a) dodecágono. 
b) octógono. 
c) pentágono. 
d) quadrilátero. 
e) triângulo. 
 
46. Considere as seguintes afirmações: 
 
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares 
possui exatamente 18 vértices e 32 arestas. 
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 
arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual 
a 2.160°. 
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 
vértices. 
 
É(são) VERDADEIRA(S) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III. 
 
47. Um poliedro convexo tem oito vértices e apenas 
faces triangulares e quadrangulares. O número de faces 
triangulares é o quádruplo das quadrangulares. O 
número de arestas desse poliedro é 
a) 32 b) 20 c) 16 d) 10 e) 8 
 
 
48. No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu 
demonstrar a famosa relação para poliedros convexos 
que relaciona o número de suas faces (𝐹), arestas (𝐴) e 
vértices (𝑉): 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2. No entanto, na busca dessa 
demonstração, essa relação foi sendo testada em 
poliedros convexos e não convexos. Observou-se que 
alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e 
outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado 
na figura. Todas as faces que não podem ser vistas 
diretamente são retangulares. 
 
 
 
Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do 
poliedro apresentado na figura? 
a) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 b) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 − 1 
c) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 1 d) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 
e) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 3 
 
49. A figura abaixo corresponde à planificação de um 
determinado poliedro: 
 
 
 
O número de vértices desse poliedro é 
a) 12 b) 18 c) 21 d) 30 e) 36 
 
50. O hábito cristalino é um termo utilizado por 
mineralogistas para descrever a aparência típica de um 
cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um 
mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 
arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um 
modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção 
dos polígonos correspondentes às faces. 
 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de 
granada é convexo, então a quantidade de faces 
utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse 
cristal é igual a 
a) 10. b) 12. c) 25. d) 42. e) 50. 
 
51. Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, 
têm a forma de dodecaedros regulares. Se os 
dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, 
que coincidem perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Considere o número de vértices 𝑉, de faces 𝐹 e de 
arestas 𝐴 desse poliedro côncavo. 
A soma 𝑉 + 𝐹 + 𝐴 é igual a: 
a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 
 
52. Um poliedro convexo com 32 vértices possui 
apenas faces triangulares. O número de arestas deste 
poliedro é 
a) 100. b) 120. c) 90. d) 80. 
 
53. A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, 
atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 
peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de 
faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, e 
as outras, hexágonos, também regulares. Os lados dos 
pentágonos e dos hexágonos são iguais e costurados. 
Ao unirem-se os dois lados costurados das faces, 
formam-se as arestas. O encontro das arestas formam 
os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar a uma 
esfera. 
 
 
 
O número de arestas e o número de vértices existentes 
nessa bola de futebol são, respectivamente, 
 
Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-Euler, 𝐴 +
2 = 𝑉 + 𝐹 
a) 80 e 60 b) 80 e 50 c) 70 e 40 d) 90 e 60 
e) 90 e 50 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
O raio da circunferência deve equivaler à distância do 
centro à reta. Logo: 
𝑦 =
3
4
𝑥 + 2 ⇒ 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 
𝑅 =
|3 ⋅ 1 − 4 ⋅ (−1) + 8|
√32 + (−4)2
=
15
5
= 3 
 
Portanto, a equação da circunferência é igual a: 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 32 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 9 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
A distância do ponto 𝑃 ao centro 𝐶 da circunferência é 
igual a 
2 2d(P, C) (5 3) (3 1)
8.
= − + −
=
 
 
Portanto, como 𝑑(𝑃,  𝐶) = √8 < √9 = 3 < 5 = 𝑟, segue 
que 𝑃 é interno, não coincidente com o centro. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Equação reduzida da circunferência: 
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 4 = 0 
(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 22 
 
Logo, ela possui centro em (3, 0) e raio 2. 
 
Do seu gráfico abaixo, podemos perceber que ela possui 
dois pontos em comumcom o eixo das abscissas. 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Coordenadas do centro e comprimento dos raios das 
circunferências: 
𝐶1 = (−1,  5) 𝑒 𝑅1 = 3 
𝐶2 = (3,  5) 𝑒 𝑅2 = 4 
 
Distância do ponto P ao centro das circunferências: 
𝑑1 = √(1 + 1)
2 + (4 − 5)2 = √5 < 𝑅1 
𝑑2 = √(1 − 3)
2 + (4 − 5)2 = √5 < 𝑅2 
 
Portanto, o ponto P é interior a ambas as circunferências. 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da 
circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 4. Logo, sabendo que 𝑦 < 0, 
temos 𝑓(𝑥) = −√4 − 𝑥2, com −2 < 𝑥 < 2. 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Desde que 𝐴𝐵𝐶𝑂 é um quadrado, e como uma reta 
passando por 𝐴 pode atingir no máximo os pontos 𝐶 e 𝐷, 
podemos concluir que a maior pontuação é obtida com a 
circunferência de centro em 𝐷 = (2,  2) e raio 2√2, ou 
seja, 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = (2√2)2 ⇔ (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 8. 
 
Tal circunferência passa pelos pontos 𝐴,  𝐵 e 𝐶. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Seja 𝑓(𝑥,  𝑦) = (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 2)2 − 16. Logo, temos 
 
𝑓(1,  7) = (1 − 6)2 + (7 − 2)2 − 16 = 25 + 25 − 16 > 0, 
 
implicando em (1,  7) exterior à circunferência, e 
 
𝑓(7,  1) = (7 − 6)2 + (1 − 2)2 − 16 = 1 + 1 − 16 < 0, 
 
implicando em (7,  1) interior à circunferência. 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos 
estabelecimentos são: 
𝐴(5,4) 
𝐵(−3,1) 
𝐶(4,2) 
𝐷(−4, −3) 
 
Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de 
cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na 
equação: 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 31 ≤ 0 
𝐴 ⇒ 52 + 42 − 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 4 − 31 ≤ 0 ∴ −16 ≤ 0 ⇒ 𝑂𝐾! 
𝐵 ⇒ (−3)2 + 12 − 2 ⋅ (−3) − 4 ⋅ 1 − 31 ≤ 0 ∴ −19 ≤ 0
⇒ 𝑂𝐾! 
𝐶 ⇒ 42 + 22 − 2 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 − 31 ≤ 0 ∴ −27 ≤ 0 ⇒ 𝑂𝐾! 
𝐷 ⇒ (−4)2 + (−3)2 − 2 ⋅ (−4) − 4 ⋅ (−3) − 31 ≤ 0 ∴ 14 ≤
0 ⇒ 𝐹𝐴𝐿𝑆𝑂! 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sem perda de generalidade, tomemos 𝐴 = (0,  0) e 𝐵 =
(30,  0). Ademais, se 𝑃 = (𝑥,  𝑦) é a posição de um 
bombeiro qualquer, então 
 
𝑑(𝐴,  𝑃) = 2 ⋅ 𝑑(𝐵,  𝑃) ⇔ √𝑥2 + 𝑦2 = 2√(𝑥 − 30)2 + 𝑦2 
  ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 = 4(𝑥 − 30)2 + 4𝑦2 
  ⇔ (𝑥 − 40)2 + 𝑦2 = 202. 
 
Portanto, um bombeiro qualquer deve estar sobre uma 
circunferência de centro em (40,  0) e raio 20 𝑚. 
 
A maior distância entre dois bombeiros ocorre quando 
ambos estão em extremidades distintas de um mesmo 
diâmetro, ou seja, 40 m. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 ⇒ (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 32 
𝑝 = 2 
𝑞 = −1 
5𝑝 − 3𝑞 = 10 + 3 = 13 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Completando o quadrado, vem 
 
𝑥2 − 4𝑥 + (𝑦 + 1)2 = 0 ⇔ (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 22. 
 
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (2, −1) e 
seu raio é 2. 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Completando os quadrados, vem 
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0
⇔ (𝑥 + 1)2 − 1 + (𝑦 − 1)2 − 1 + 1 = 0 
 ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 1. 
 
Por conseguinte, sendo 𝑃 = (−1,  1) e 𝑟 = 1, temos 𝑝 +
𝑞 + 𝑟 = −1 + 1 + 1 = 1. 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Completando os quadrados, encontramos 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 9 = 0 ⇔ (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 16. 
 
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (3, −4) e, 
assim, a resposta é dada por 
 
√32 + (−4)2 = 5 u.c. 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
O raio da circunferência é dado por 
 
|3 ⋅ 7 − 4 ⋅ 2 + 12|
√32 + (−4)2
= 5. 
 
Logo, a equação da circunferência é (𝑥 − 7)2 + (𝑦 −
2)2 = 25. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
O raio da circunferência corresponde à distância de 
𝐶(5,  3) à reta 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0, isto é, 
 
|3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 3 − 12|
√32 + 42
= 3. 
 
Portanto, a equação da circunferência é 
 
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 3)2 = 32 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 25 = 0. 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
De 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 − 6 = 0, temos: 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 − 6 = 0 + 1 + 9 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 16 
 
𝐶(1, −3) é o centro da circunferência. 
De 3𝑦 = −4𝑥 − 1, temos: 
4𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 
 
Daí, sendo 𝑑 a medida da distância pedida, temos: 
𝑑 =
|4 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−3) + 1|
√42 + 32
 
𝑑 =
4
5
 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Equação da circunferência de centro 𝐶(3, 4) e raio 6. 
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2 = 62 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 25 − 36 = 0 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Sejam 𝐶1 = (4,  4) e 𝐶2 = (1,  1), respectivamente, os 
centros das circunferências maior e menor. O raio da 
circunferência maior corresponde à distância entre os 
centros das circunferências, ou seja, 
 
𝑑(𝐶1, 𝐶2) = √(4 − 1)2 + (4 − 1)2 = √18. 
 
Portanto, a equação da circunferência maior é 
 
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = (√18)2 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 −
8𝑦 + 14 = 0. 
 
Resposta da questão 19: 
 [E] 
 
1. Verdadeira, pois (4 − 3)2 + (2 − 4)2 = 5. 
2. Falsa. O raio é √5. 
3. Verdadeira, pois o centro C(3, 4) está na reta, pois 4 =
4
3
⋅ 3. 
 
Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
 
Resposta da questão 20: 
 [A] 
 
Como os pontos representam extremidades, a distância 
entre coordenadas representam o tamanho dos 
diâmetros, e assim, o dobro do raio. Assim temos: 
𝐷 = √(3 − (−1))2 + (−5 − 3)2 = √16 + 64 = √80 
 
E seu raio é de: 𝑅𝑎𝑖𝑜 =
√80
2
 
 
Dessa maneira, seu centro é dado pela metade da soma 
das entradas das coordenadas, ou seja: 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
;
𝑦1 + 𝑦2
2
) = (
−1 + 3
2
;
3 − 5
2
) = (1; −1) 
 
Aplicando a equação das circunferências ao ponto do 
centro temos: 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 ⇒ (𝑥 − 1))2 + (𝑦 + 1)2 = (
√80
2
)
2
 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 20 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
O volume da embalagem é dado por 
 
3⋅102⋅√3
2
⋅ 6 = 900√3 𝑐𝑚3. 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
 
 
Volume do prisma 1: 
6⋅𝑎2√3⋅ℎ
4
 
 
Volume do prisma 2: 
6⋅(𝑎+2)2√3⋅ℎ
4
 
 
Aumento do volume: 𝑉2 − 𝑉1 = 6√3 ⋅ (𝑎 + 1) ⋅
ℎ = 108 (𝐼) 
 
𝑎
ℎ
=
√3
3
⇒ ℎ = 𝑎√3 (𝐼𝐼) 
 
Substituindo (II) em (I), temos: 
 
6√3 ⋅ (𝑎 + 1) ⋅ 𝑎√3 = 108 
18(𝑎2 + 𝑎) = 108 
𝑎2 + 𝑎 = 6 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = – 3 ( 
não convém) ou a = 2. 
 
𝑎 = 2𝑐𝑚 ⇒ ℎ = 2√3𝑐𝑚, portanto, o volume do prisma 1 
será dado por: 
 
𝑉1 =
6⋅𝑎2√3⋅ℎ
4
=
6⋅22√3⋅2√3
4
= 36𝑐𝑚3 
 
Resposta da questão 23: 
 [D] 
 
O volume total da peça será dado por: 
𝑉𝑝𝑒ç𝑎 = 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ ℎ 
 
A área 𝑆 da base será dada por: 
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 
 
Pode-se calcular a área de cada um dos hexágonos 
regulares (maior e menor), por: 
𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑟𝑒𝑔 =
6 ⋅ 𝐿2 ⋅ √3
4
 
𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 =
6 ⋅ 82 ⋅ √3
4
→ 𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 96√3 
𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =
6 ⋅ 62 ⋅ √3
4
→ 𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 54√3 
 
Assim, a área 𝑆 da base será: 
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑆ℎ𝑒𝑥.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 → 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 96√3 − 54√3
→ 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 42√3 
 
Por fim, pode-se calcular o volume total da peça, em 
𝑐𝑚3: 
𝑉𝑝𝑒ç𝑎 = 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ ℎ → 𝑉𝑝𝑒ç𝑎 = 42√3 ⋅ 35 → 𝑉𝑝𝑒ç𝑎 = 2.499 𝑐𝑚
3 
 
Resposta da questão 24: 
 [A] 
 
Calculando: 
𝐻 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠 
𝑉ℎ = 6 ⋅
ℎ2 ⋅ √3
4
⋅ 𝐻 
𝑉𝑡 =
𝑡2 ⋅ √3
4
⋅ 𝐻 
𝑉ℎ = 𝑉𝑡 ⇒ 6 ⋅
ℎ2⋅√3
4
⋅ 𝐻 =
𝑡2⋅√3
4
⋅ 𝐻 ⇒ 6ℎ2 = 𝑡2 ⇒
ℎ
𝑡
=
1
√6
 
 
Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
Se 𝑎 é a medida da aresta do cubo, então 
𝑎3 = 8000 ⇔ 𝑎 = √8000
3
 
 ⇔ 𝑎 = 20𝑑𝑚. 
 
Portanto, sabendo que o prisma e o cubo têm a mesma 
capacidade e a mesma altura, temos 
3ℓ2√3
2
⋅ 20 = 8000 ⇔ ℓ2 =
800
3√3
 
  ⇔ ℓ2 =
800√3
9
 
  ⇒ ℓ =
20 √12
4
3
 
  ⇒ ℓ ≅ 12,4𝑑𝑚. 
 
A resposta é 6 ⋅
12,4
10
= 7,44 metros. 
 
Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
Resposta da questão 27: 
 [E] 
 
Sejam ℎ e ℓ, respectivamente, uma aresta lateral e uma 
aresta da base, de tal modo que ℓ ⋅ ℎ = 20 𝑐𝑚2, conforme 
o enunciado. Sabendo que a distância do plano que 
contém essa face até a aresta oposta é igual a 6𝑐𝑚, 
segue-se que essa distância corresponde à altura do 
triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado 
pedido é igual a6⋅ℓ
2
⋅ ℎ = 3 ⋅ ℓ ⋅ ℎ = 3 ⋅ 20 = 60 𝑐𝑚3. 
 
Resposta da questão 28: 
 [B] 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
O nível da água subiria 
2400
40⋅30
= 2𝑐𝑚, fazendo a água ficar 
com 25 − 5 + 2 = 22𝑐𝑚 de altura. 
 
Resposta da questão 30: 
 [E] 
 
A forma possui faces duas faces triangulares paralelas, 
portanto trata-se de um prisma triangular reto. 
 
Resposta da questão 31: 
 [B] 
 
A redução no volume de água no reservatório foi de 
12000 − 9000 = 3000 litros, isto é, 3 metros cúbicos. 
Logo, se ℎ é a redução sofrida no nível da água do 
reservatório, então 
4 ⋅ 1,5 ⋅ ℎ = 3 ⇔ ℎ = 0,5 m. 
 
A resposta é 50 centímetros. 
 
Resposta da questão 32: 
 [B] 
 
Vamos, inicialmente, calcular o volume da caixa em 
Litros. 
100 𝑐𝑚 = 10 𝑑𝑚 
0,02 ℎ𝑚 = 20 𝑑𝑚 
400 𝑚𝑚 = 4 𝑑𝑚 
 
Portanto o volume da caixa será dado por: 
𝑉 = 10 ⋅ 20 ⋅ 4 = 800 𝑑𝑚3 = 800 𝐿 
 
Capacidade do registro em Litros: 100 
𝑐𝐿
𝑚𝑖𝑛
𝐿
𝑚𝑖𝑛
 
Portanto, serão necessários 800 minutos para encher a 
caixa. 
 
Capacidade do ladrão: 0,04 
ℎ𝐿
𝑚𝑖𝑛
𝐿
𝑚𝑖𝑛
 
Portanto, serão necessários 200 minutos para esvaziar a 
caixa. 
 
A diferença pedida é de 600 minutos, ou seja, dez horas. 
 
Resposta da questão 33: 
 [B] 
 
Considerando a figura toda, temos: 
 
Área superior: 8 ⋅ 12 = 8 
Área inferior: 8 ⋅ 12 = 8 
Área interna: 4 ⋅ 12 = 4 
Área lateral: 12 ⋅ 12 = 12 
 
Portanto, a área total da figura será dada por: 
8 + 8 + 4 + 12 = 32 𝑐𝑚2 
 
Resposta da questão 34: 
 [E] 
 
Seja ℓ a medida da aresta dos cubos. 
Ao retirarmos os dois cubos indicados, o número de 
faces aumenta em 2 ⋅ 2 = 4 unidades. Desse modo, 
temos 
4ℓ2 = 144 ⇒ ℓ = 6𝑐𝑚. 
 
A resposta é 30 ⋅ 63 = 6480 𝑐𝑚3. 
 
Resposta da questão 35: 
 [A] 
 
Desde que o lado do hexágono maior mede 
32
√3
𝑐𝑚 e o 
lado do hexágono menor mede 
28
√3
𝑐𝑚, tem-se que o 
resultado pedido é 
2 2
3
3 32 3 28
3 10 3 10 5 3 (32 28) (32 28)
2 23 3
1200 3 cm .
   
   −    =  −  +   
   
=
 
 
Resposta da questão 36: 
 [B] 
 
Área das bases: 
𝑆𝐵 = 2 ⋅ 6 ⋅
42√3
4
 
𝑆𝐵 = 48√3 𝑐𝑚
2 
 
Área de 4 faces laterais: 
𝑆𝑃 = 4 ⋅ 4√3 ⋅ 4 
𝑆𝑃 = 64√3 𝑐𝑚
2 
 
Portanto: 
𝑆𝑃 − 𝑆𝐵 = 16√3 𝑐𝑚
2 
 
Resposta da questão 37: 
 [A] 
 
Sabendo que : 
Altura: 100 𝑐𝑚 = 10 𝑑𝑚 
Largura: 3,5 𝑚 = 35 𝑑𝑚 
Comprimento: 𝑥 
 
Temos: 
10 ⋅ 35 ⋅ 𝑥 = 21000 
𝑥 =
21000
350
 
𝑥 = 60 𝑑𝑚 
𝑥 = 6 𝑚 
 
Resposta da questão 38: 
 [A] 
 
O volume que saiu de 𝑇1 é dado por 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑥, enquanto 
que o volume que chegou em 𝑇2 é igual a 
𝑐
2
⋅ 2𝐿 ⋅ 𝑦 = 𝑐 ⋅
𝐿 ⋅ 𝑦. Portanto, segue que 
 
1,1 ⋅ 1,15 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑥 = 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑦 ⇔ 𝑦 = 1,265𝑥. 
 
Resposta da questão 39: 
 [A] 
 
Se ℎ é a altura da água com o recipiente virado, então 
15 ⋅ 6 ⋅ ℎ = 6 ⋅ 6 ⋅ 10 ⇔ ℎ = 4 𝑐𝑚. 
 
Resposta da questão 40: 
 [B] 
 
Sabendo que: 
Altura: 100 𝑐𝑚 = 10 𝑑𝑚 
Largura: 3,0 𝑚 = 30 𝑑𝑚 
Comprimento: 𝑥 
 
Temos: 
10 ⋅ 30 ⋅ 𝑥 = 21000 → 𝑥 =
21000
300
→ 𝑥 = 70 𝑑𝑚 → 𝑥 = 7 𝑚 
 
Resposta da questão 41: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se que 
 
𝑃𝑄
2
= 𝑃𝑆
2
+ 𝑄𝑆
2
⇒ 𝑃𝑄
2
= 12 + 22 
 ⇒ 𝑃𝑄 = √5𝑑𝑚. 
 
Ademais, é imediato que 𝑃𝑅 = √2𝑑𝑚 e 𝑄𝑅 = √3𝑑𝑚. 
 
Finalmente, como 𝑃𝑄
2
= 𝑃𝑅
2
+ 𝑄𝑅
2
, podemos concluir 
que o triângulo 𝑃𝑄𝑅 é retângulo em 𝑅 e, assim, a 
resposta é 
 
2
1 1
PR PQ 2 3
2 2
6
dm .
2
  =  
=
 
 
Resposta da questão 42: 
 [E] 
 
Tem-se que 
2𝐴 = 3𝐹 ⇔ 𝐴 =
3𝐹
2
. 
 
Portanto, se 𝑉 = 8, então, pela relação de Euler, temos 
𝐹 −
3𝐹
2
+ 8 = 2 ⇔ 𝐹 = 12. 
 
Resposta da questão 43: 
 [B] 
 
Como cada aresta está presente em 2 faces, devemos 
ter: 
32 =
8 ⋅ 3
2
+
𝑥 ⋅ 4
2
 
32 = 12 + 2𝑥 
∴ 𝑥 = 10 
 
Resposta da questão 44: 
 [E] 
 
A face de cor cinza escuro não possui nem arestas, nem 
vértices em comum com a face 𝑓𝐵𝐶𝐹 = 4. Note ainda que 
𝑓𝐴𝐶𝐷 = 1, 𝑓𝐶𝐷𝐹 = 2 e 𝑓𝐷𝐸𝐹 = 3. 
 
 
 
Resposta da questão 45: 
 [E] 
 
Seja 𝑛 o número de lados de cada polígono do tipo 𝑃. 
Se 𝑉 = 13 e 𝐹 = 19, então, pela Relação de Euler, vem 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 ⇔ 13 + 19 = 𝐴 + 2 
 ⇔ 𝐴 = 30. 
 
Por outro lado, temos 
2𝐴 = 18 ⋅ 𝑛 + 1 ⋅ 6 ⇔ 𝐴 = 9𝑛 + 3. 
 
Desse modo, encontramos 
9𝑛 + 3 = 30 ⇔ 𝑛 = 3, 
 
ou seja, 𝑃 é um triângulo. 
 
Resposta da questão 46: 
 [B] 
 
[I] É possível construir um poliedro com 16 faces 
quadrangulares, 16 vértices e 32 arestas. 
Observe o poliedro não convexo abaixo: 
 
 
 
Assim, a afirmação [I] é falsa. 
 
[II] Como o poliedro é convexo, é válida a relação de 
Euler, logo, 
𝑉 + 10 = 16 + 2 
𝑉 = 8 
 
Daí, 
𝑆 = (8 − 2) ⋅ 360° 
𝑆 = 2160° 
 
Assim, a afirmação [II] é verdadeira. 
 
[III] Se existe tal poliedro, segue que: 
2𝐴 = 3𝐹3 + 4𝐹4 + 5𝐹5+. . . ≥ 3𝐹3 + 3𝐹4 + 3𝐹5+. . . 
2𝐴 ≥ 3 ⋅ (𝐹3 + 𝐹4 + 𝐹5+. . . ) 
2 ⋅ 22 ≥ 3 ⋅ 15 
44 ≥ 45 (𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜!) 
 
Logo, a afirmação [III] é falsa. 
 
Portanto, apenas a afirmação [II] é verdadeira. 
 
Resposta da questão 47: 
 [C] 
 
Sejam 𝐹3 e 𝐹4, respectivamente, o número de faces 
triangulares e o número de faces quadrangulares. Logo, 
como 𝐹3 = 4𝐹4, temos 
2𝐴 = 3𝐹3 + 4𝐹4 ⇔ 2𝐴 = 3 ⋅ 4𝐹4 + 4𝐹4 
    ⇔ 𝐴 = 8𝐹4, 
 
em que 𝐴 é o número de arestas. 
Ademais, se 𝐹 é o número total de faces, então 
𝐹 = 𝐹3 + 𝐹4 = 4𝐹4 + 𝐹4 = 5𝐹4. 
 
Portanto pela Relação de Euler, temos 
𝐴 + 2 = 𝑉 + 𝐹 ⇔ 8𝐹4 + 2 = 8 + 5𝐹4 
 ⇔ 𝐹4 = 2. 
 
A resposta é 𝐴 = 8 ⋅ 2 = 16. 
 
Resposta da questão 48: 
 [E] 
 
Desde que 𝑉 = 16,  𝐹 = 11 e 𝐴 = 24, temos 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 +
3. 
 
Resposta da questão 49: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
𝐹𝑎𝑐𝑒𝑠 ⇒ 8 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 
𝐴𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 ⇒ 4 ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠 + 4 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 =
4 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3
2
= 18 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 ⇒ 𝑉 + 8 = 18 + 2 ⇒ 𝑉 = 12 
 
Resposta da questão 50: 
 [B] 
 
Sendo 𝑉 = 20 e 𝐴 = 30, pelo Teorema de Euler, segue 
que 
𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 ⇔ 20 − 30 + 𝐹 = 2 
 ⇔ 𝐹 = 12. 
 
Portanto, a quantidade de faces utilizadas na montagem 
do modelo ilustrativo desse cristal é igual a 12. 
 
Resposta da questão 51: 
 [D] 
 
Para o dodecaedro regular, temos: 
12 faces pentagonais. 
12⋅5
2
= 30 arestas. 
 
Utilizando a relação de Euler, temos: 
𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 ⇒ 2 + 30 − 12 ⇒ 𝑉 = 20 (vértices) 
 
Portanto, o poliedro formado terá: 
12 + 12 − 2 = 22 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 (𝐹 = 22) 
30 + 30 − 5 = 55 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 (𝐴 = 55) 
20 + 20 − 5 = 35 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 (𝑉 = 35) 
 
A soma pedida será dada por: 
𝑉 + 𝐹 + 𝐴 = 35 + 22 + 55 = 112. 
 
Resposta da questão 52: 
 [C] 
 
Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se 𝑉 =
32. Por conseguinte, sendo 𝐹 e 𝐴, respectivamente, o 
número de faces e o número de arestas, pelo Teorema 
de Euler, vem 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 ⇔ 32 + 𝐹 = 𝐴 + 2 ⇔ 𝐹 = 𝐴 − 30. 
 
Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, 
temos 3𝐹 = 2𝐴 e, portanto, 
3(𝐴 − 30) = 2𝐴 ⇔ 𝐴 = 90. 
 
Resposta da questão 53: 
 [D] 
 
Total de faces: F = 32 (12 pentagonais e 20 hexagonais) 
 
Total de Arestas: 𝐴 =
12⋅5+20⋅6
2
= 90 
 
Total de vértices (V): 
𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 
𝑉 − 90 + 32 = 2 
𝑉 = 60 
 
Portanto, 90 arestas e 60 vértices.