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Matemática Aplicada 
Fundamentos de Matemática 
Prof. Me. Jair Torres 
São José dos Campos, 06 de março de 2020 
Matemática Aplicada 
Conjuntos Numéricos 
Matemática Aplicada 
 A história dos números acompanha a história da civilização 
humana e a crescente necessidade de resolver os problemas de ordem 
prática surgidos na vida em comunidade. 
 
 Nos tempos primitivos, a contagem de animais deu origem aos 
números naturais. 
 
 Com o desenvolvimento do comércio entre os seres humanos, a 
necessidade de calcular créditos e débitos, deu origem aos números 
inteiros. Já a divisão de terras pode ter originado os números 
fracionários. 
Conjuntos: 
Matemática Aplicada 
 Com o tempo, para facilitar o estudo, os números foram 
reunidos em diferentes conjuntos. Para designar cada um dos conjuntos 
numéricos, usamos uma letra maiúscula convencionada como 
linguagem universal. 
Conjuntos: 
Matemática Aplicada 
 Na matemática, conjunto é uma coleção de elementos. 
 
• O conjunto de todos os alunos de uma sala (A); 
• O conjunto musical (M); 
• O conjunto dos números inteiros (Ζ); 
• O conjunto dos números naturais (Ν). 
 
 Por definição, qualquer conjunto é representado por uma letra 
do alfabeto, em maiúsculas: A, B, C, …, Z. 
 
Conjuntos: 
Matemática Aplicada 
 Elemento de um conjunto é qualquer coisa que pertença a um 
determinado conjunto. 
 
• 5 é um elemento do conjunto dos números inteiros (Ζ); 
• 11 é um elemento do conjunto dos números primos (P); 
• João é um elemento do conjunto dos alunos da sala (A); 
• 0,6 é um elemento do conjunto dos números reais (R). 
 
 Por definição, um elemento é representado por uma letra 
minúscula do alfabeto: a, b, c, …, z. 
 
Conjuntos: 
Matemática Aplicada 
 Pertinência é característica associada a um elemento, o qual faz 
parte de um conjunto. 
 
 Símbolo: ∈ 
 
• 1 pertence ao conjunto dos números naturais (N): 1 ∈ N; 
• João pertence ao conjunto dos alunos da sala: João ∈ A; 
• 0,5 pertence ao conjunto dos números reais: 0,5 ∈ R; 
• 13 pertence ao conjunto dos números primos: 13 ∈ P. 
 
Conjuntos: 
Matemática Aplicada 
 A representação, na matemática, é bastante simples. O conjunto 
é representado entre chaves ou, também, pode ser representado pela 
forma geométrica. 
 
1. A = {João, Paulo, Ana, Carla, …} 
2. N = {1, 2, 3, 4, 5, …} 
3. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} 
4. V = {a, e, i, o, u} 
Representação de Conjuntos na Matemática: 
 Um conjunto A também pode ser definido quando temos uma regra 
na qual podemos verificar se um dado elemento pertence ou não a A. 
1. {x | x é uma vogal} 
2. {x : x é um número inteiro} 
Matemática Aplicada 
 O diagrama de Venn é uma forma gráfica que representa os elementos de 
um conjunto. Para fazer essa representação utilizamos formas geométricas. 
 Para indicar o conjunto universo, normalmente usamos um retângulo e para 
representar subconjuntos do conjunto universo empregamos círculos. Dentro dos 
círculos são incluídos os elementos do conjunto. 
 Quando dois conjuntos possuem elementos em comum, os círculos são 
desenhados com uma área de intersecção. 
Diagrama de Venn-Euler: representação gráfica de Conjuntos 
Matemática Aplicada 
 O diagrama de Venn recebe esse 
nome em homenagem ao matemático 
britânico John Venn (1834-1923) e foi 
concebido para representar operações 
entre conjuntos. 
 
 Além de ser aplicado em 
conjuntos, o diagrama de Venn é 
empregado nas mais diversas áreas do 
conhecimento como por exemplo lógica, 
estatística, ciências da computação, 
ciências sociais, entre outras. 
Diagrama de Venn-Euler: representação gráfica de Conjuntos 
Matemática Aplicada 
 Quando todos os elementos de um conjunto A também são elementos de um 
conjunto B, dizemos que o conjunto A é subconjunto de B, ou seja o conjunto A é 
parte do conjunto B. 
 Indicamos este tipo de relação por A ⊂ B e lemos "A está contido em B". 
Podemos usar ainda B ⊃ A que representa "B contém A". 
 Para representar a relação de inclusão através do diagrama de Venn, 
colocamos um círculo dentro de um outro círculo para indicar que um conjunto é 
subconjunto do outro. 
Relação de inclusão entre conjuntos 
Exemplo: o conjunto B dos meses do ano que 
começam com a letra J é um subconjunto do 
conjunto A dos meses do ano. Assim, podemos 
representar esses conjuntos através do 
diagrama de Venn. 
Matemática Aplicada 
 Na matemática os conjuntos que representam a classe dos números são 
representados por 5 (cinco) grandes conjuntos: o conjunto dos números reais, 
representado pela letra R, e contém todos os outros conjuntos; o conjunto dos 
números irracionais, representado pela letra I, está contido no conjunto R; o conjunto 
dos números racionais, representado pela letra Q, também está contido no conjunto 
dos números reais; o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, e está 
contido no conjunto Q e no conjunto R; e, por fim, o conjunto dos números naturais, 
representado pela letra N, que, por sua vez, está contido nos conjuntos Z, Q, e R. 
Relação de inclusão entre conjuntos 
 Podemos dizer também que o conjunto dos números naturais N é subconjunto de 
Z, sendo Z subconjunto de Q que é subconjunto de R, logo N é subconjunto de Z, de Q, 
e de R. Essa analogia é válida para Z que é subconjunto de Q sendo Q subconjunto de 
R, logo Z é subconjunto de R. Apenas o conjunto dos números irracionais I é 
subconjunto, apenas, de R. 
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Relação de inclusão entre conjuntos 
 Um conjunto é subconjunto de outro quando seus elementos são também 
elementos deste outro conjunto, ou seja, quando todos os elementos de um pertencem 
ao outro. Por exemplo, os elementos de N também são elementos de Z, de Q e de R. 
 Podemos ver a relação de pertinência dos conjuntos. Assim, podemos representar 
dessa forma: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, analogamente também vale o seguinte, R ⊃ Q ⊃ Z ⊃ N; 
e I ⊂ R ou R ⊃ I. 
 
Símbolos: ⊂ (está contido), e ⊃ (contém) 
Matemática Aplicada 
Operações entre conjuntos 
- Diferença: A diferença entre dois conjuntos corresponde a operação de escrever um 
conjunto, eliminando os elementos que também fazem parte de um outro conjunto. 
 
 Essa operação é indicada por A - B e o resultado será os elementos que pertencem 
a A mas que não pertencem a B. 
 
 Para representar esta operação através do diagrama de Venn, desenhamos dois 
círculos e pintamos um deles excluindo a parte em comum dos conjuntos, como 
indicado abaixo: 
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Operações entre conjuntos 
- União: A operação de união representa a junção de todos os elementos que 
pertencem a dois ou mais conjuntos. Para indicar essa operação usamos o símbolo 
união. 
 
 No diagrama de Venn essa operação é indicada pintando-se todas a parte interna 
das circunferências que representam os conjuntos, de acordo com a imagem seguinte: 
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Operações entre conjuntos 
- União: A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos 
que pertencem a A ou a B. 
 
 Designamos a união de A e B por A ∪ B. O símbolo ∪ significa união ou reunião. 
 
 Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. 
 Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou a 
B, ou a ambos. 
 
C = {0, 1, 2, 3, 4, 6}, ou seja, C = A ∪ B 
Matemática Aplicada 
Operações entre conjuntos 
- Intersecção: A intersecção entre conjuntos significa os elementos comuns, ou seja, 
todos os elementos que pertençam ao mesmo tempo a todos os conjuntos. 
 
 Assim, dados dois conjuntos A e B, a intersecção entre eles será denotada por A 
intersecção B e indicada no diagrama de Venn pela pintura da parte comum, conforme 
indicado abaixo: 
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Operações entre conjuntos 
- Intersecção: A intersecção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos 
elementos que são comuns a A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e 
também pertencem a B. 
 
 Designamos a intersecção de A e B por A ∩ B. 
A ∩ B = {x | x∈ A e x ∈ B} 
 
 Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. 
 
 Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que são comuns a A e 
B, ou seja, pelos elementos que pertencem a A e que também pertencem a B. 
 
C = {0, 2, 4}, ou seja, C = A ∩ B. 
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Conjunto dos números naturais 
 O conjunto dos números naturais é representado pela letra N, contendo os 
números positivos incluindo o 0 (zero). 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 
 
 É um conjunto infinito, não dá para representar todos os números e, por isso, a 
reticência (…) indica que é um conjunto infinito. Também pode ser representado da 
seguinte forma: 
 
N = {x + 1; x >= 0} 
 
 Assim, x pode assumir qualquer valor que representa uma contagem inteira, maior 
que zero ou igual a zero. 
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Conjunto dos números inteiros 
 O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z, contendo todos os 
números naturais e os números negativos, que são os números opostos aos positivos. 
 
Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…} 
 
 Também é um conjunto infinito nas duas extremidades. 
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Conjuntos dos números racionais 
 O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, contendo os 
números inteiros, forma decimal exata, os números na forma periódica ou na forma de 
fração. 
 
 É um conjunto infinito também. 
 
 Números decimais na forma exata: Ex. {2,2; 5,432; 23,00009} 
 
 Números decimais na forma periódica: Ex. {3,2222…; 12,11111…; 40,12121212…} 
 
 Os números inteiros também são racionais, pois também podem ser expressos por 
uma fração, como por exemplo: 7/1 . 
Matemática Aplicada 
Conjuntos dos números irracionais 
 O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I, contendo todos os 
números decimais não exatos e não periódicos. 
 
 
 
 
 É um conjunto infinito. 
 
 Os números irracionais não podem ser representados por frações irredutíveis, 
tendo uma representação decimal infinita e não periódica. 
Matemática Aplicada 
Conjuntos dos números irracionais 
 O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I, contendo todos os 
números decimais não exatos e não periódicos. 
 
 
 
 
 É um conjunto infinito. 
 
 Os números irracionais não podem ser representados por frações irredutíveis, 
tendo uma representação decimal infinita e não periódica. 
Conjuntos dos números reais 
O conjunto dos números reais é representado pela letra R, contendo todos os 
conjuntos anteriormente citados. Assim, R é a união dos conjuntos N, Z, Q e I. 
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Número de elementos de um conjunto 
 O diagrama de Veen é uma ótima ferramenta para ser usada em problemas que 
envolvam reunião de conjuntos. Através do uso do diagrama, fica mais fácil identificar 
as partes comuns (intersecção) e assim, descobrir o número de elementos da união. 
Exemplo: Foi feita uma pesquisa entre 100 estudantes de uma escola sobre o 
consumo de três marcas de refrigerantes: A, B e C. O resultado obtido foi: 38 
estudantes consomem a marca A, 30 a marca B, 27 a marca C; 15 consomem a marca 
A e B, 8 as marcas B e C, 19 as marcas A e C e 4 consomem os três refrigerantes. 
Considerando os dados da pesquisa, quantos estudantes consomem apenas uma 
dessas marcas? 
Matemática Aplicada 
Exemplo: Foi feita uma pesquisa entre 100 estudantes de uma escola sobre o 
consumo de três marcas de refrigerantes: A, B e C. O resultado obtido foi: 38 
estudantes consomem a marca A, 30 a marca B, 27 a marca C; 15 consomem a marca 
A e B, 8 as marcas B e C, 19 as marcas A e C e 4 consomem os três refrigerantes. 
Considerando os dados da pesquisa, quantos estudantes consomem apenas uma 
dessas marcas? 
Solução: Para resolver esse tipo de questão, vamos começar desenhando um 
diagrama de Venn. Cada marca de refrigerante será representada por um círculo. 
Vamos começar colocando o número de estudantes que consomem as três marcas 
simultaneamente, ou seja, a intersecção da marca A,B e C. 
Note que o número que consome as três marcas também está embutido no número 
que consome duas marcas. Então, antes de colocar esses valores no diagrama 
devemos tirar esses estudantes em comum. Devemos fazer o mesmo para o número 
que consome cada marca, pois aí também está repetido as partes comuns. Todo esse 
processo está apresentado na imagem abaixo: 
Matemática Aplicada 
Exemplo: Foi feita uma pesquisa entre 100 estudantes de uma escola sobre o 
consumo de três marcas de refrigerantes: A, B e C. O resultado obtido foi: 38 
estudantes consomem a marca A, 30 a marca B, 27 a marca C; 15 consomem a marca 
A e B, 8 as marcas B e C, 19 as marcas A e C e 4 consomem os três refrigerantes. 
Considerando os dados da pesquisa, quantos estudantes consomem apenas uma 
dessas marcas? 
Nº de pessoas que consome apenas uma 
das marcas = 11 + 8 + 4 = 23 
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Potenciação 
Matemática Aplicada 
 A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a 
multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é 
multiplicado por ele mesmo várias vezes. Para escrever um número na forma de 
potenciação usamos a seguinte notação: 
Potenciação: 
Sendo a ≠ 0, temos: 
 
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo) 
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado) 
Matemática Aplicada 
Potenciação: 
 Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a 
terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se: 
 
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8 
 
Sendo, 
2: Base 
3: Expoente 
8: Potência (resultado do produto) 
Matemática Aplicada 
Potenciação: 
 Potência é todo número na forma an, com a ≠ 0. 
a é a base, n é o expoente e an é a potência. 
an = a * a * a * a *...a (n vezes) 
a1 = a 
a0 = 1 
a -n = 
1
𝑎𝑛
 
52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde: 
5 x 5 = 25 
Logo, 
A expressão 52 equivale a 25. 
 
33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde: 
3 x 3 x 3 = 27 
Logo, 
A expressão 33 equivale a 27. 
Matemática Aplicada 
Propriedades da Potenciação: 
• Toda potência com expoente igual a zero, o resultado será 1, por exemplo: 50=1 
 
• Toda potência com expoente igual 1, o resultado será a própria base, por exemplo: 
81 = 8 
 
• Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o resultado será 
negativo, por exemplo: (- 3)3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27. 
 
• Quando a base for negativa e o expoente um número par, o resultado será positivo, 
por exemplo: (- 2)2 = (- 2) x (- 2) = +4 
 
• Quando o expoente for negativo, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente 
para positivo, por exemplo: (2)- 4 = (1/2)4 = 1/16 
 
• Nas frações, tanto o numerador quanto o denominador ficam elevados ao expoente, 
por exemplo: (2/3)3 = (23 / 33) = 8/27 
Matemática Aplicada 
Propriedades da Potenciação: 
 Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os 
expoentes: 
ax . ay = ax+y 
 
52.53= 52+3= 55 
 
 Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os 
expoentes: 
(ax) / (ay) = ax-y 
 
(53) / (52) = 53-2 = 51 
 
Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de 
potência), mantém-se a base e multiplica-se os expoentes: 
 
(ax)y = ax.y 
(32)5= 32.5 = 310 
 
Matemática Aplicada 
Propriedades da Potenciação: 
I) am * an = am+n(conserva-se a base e somam-se os expoentes) 
 
II) am ÷ an = am-n(conserva-se a base e subtraem-se os expoentes) 
 
III) (am)n = amn (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes). 
 
IV) (ab)m = am * bm (distributiva da multiplicação) 
 
V) (
𝑎
𝑏
)m = 
𝑎𝑚
𝑏𝑚
(distributiva da divisão) 
 
Matemática Aplicada 
Exemplos: 
a) 53 * 54 = 53+4 = 57 
 
b) 36 ÷ 34 = 36-4 = 32 
 
c) (63)4 = 63*4 = 612 
 
d) (5ª)2 = 52a2 = 25a2 
 
e) (
5
3
)2 = 
52
32
 = 
25
9
 
 
Matemática Aplicada 
FraçõesO que é uma fração? 
É a parte de um inteiro 
Matemática Aplicada 
Toda fração está composta de duas partes. 
Quais são? 
Numerador e denominador 
Numerador 
Denominador 
Matemática Aplicada 
O QUE INDICA O DENOMINADOR? 
AS PARTES EM QUE SE DIVIDE O INTEIRO 
O QUE INDICA O NUMERADOR? 
AS PARTES QUE SE TOMAM DO INTEIRO 
Matemática Aplicada 
Que fração representa a seguinte imagem? 
5 
6 
Matemática Aplicada 
Que fração representa a seguinte imagem? 
5 
6 
Matemática Aplicada 
As frações se classificam em três tipos. 
Quais são? 
PRÓPRIAS 
IMPRÓPRIAS 
MISTAS 
SÃO AQUELAS EM QUE O NUMERADOR É MENOR QUE O 
DENOMINADOR. 
SÃO AQUELAS EM QUE O NUMERADOR É MAIOR OU IGUAL QUE O 
DENOMINADOR. 
SÃO AQUELAS QUE ESTÃO COMPOSTAS POR UMA PARTE INTEIRA 
E UMA FRAÇÃO. 
3 
5 
1 
2 
8 
15 
8 
8 
7 
5 
13 
10 
2 
7 
1 
 
3 
5 
8 
 
Matemática Aplicada 
Quais são as frações equivalentes? 
As que se escrevem diferente mas representam a 
mesma quantidade 
Como se comparam duas frações (o que se faz)? 
Se multiplica cruzado 
Matemática Aplicada 
- FRAÇÕES 
• Chamamos de fração o resultado da divisão de um todo em partes 
iguais. As frações são representadas por a/b ou a:b, sendo os 
termos a e b números naturais e sendo b≠0. O termo “a” 
representa o numerador e o termo “b”, o denominador. 
• Geralmente trabalhamos com a fração na sua forma irredutível. 
 Ex: 1/2 
 
– Adição E Subtração De Frações 
 Denominadores iguais: 
 Neste caso, basta somar ou subtrair o numerador: 
8
3
8
4
8
5
8
2

Matemática Aplicada 
- Denominadores Diferentes 
• Quando temos uma operação entre frações com 
denominadores diferentes, primeiramente temos que 
achar o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) entre os 
denominadores e transformar as frações em frações 
equivalentes com o denominador encontrado. 
 
• Somente após esta transformação, calcularemos os 
valores. 
40
19
40
415
10
1
8
3



Matemática Aplicada 
- Multiplicação de Frações 
 
 Para realizar a multiplicação de frações, deve-se multiplicar 
numerador com numerador e denominador com denominador. Se 
necessário, simplifique o produto. 
5
6
10
12
52
43
5
4
2
3




Matemática Aplicada 
Matemática Aplicada 
Radiciação 
4 
O que é uma Raíz?: uma Raíz é uma expressão que 
consta de um ÍNDICE, um símbolo de raíz e um 
RADICANDO. 
Índice, raíz, radicando? 
2 
4 
Índice 
Radicando 
(-5,3) 
8 






5
4
Símbolo 
de Raíz 
2 
Matemática Aplicada 
Elementos de uma Raíz 
m a 
n 
Expoente do 
radicando ÍNDICE 
RADICANDO 
Símbolo 
de Raíz 
Matemática Aplicada 
_ 
_ 
O que significa a Raíz? 
(-5,3) 
3 






5
4 = 
Obs: O Índice 2 
não se escreve. 
Uma Raíz é uma Potência com Exponente Fracionário. 
4 
2 
5 = 
5 
2 
_ 
4 
2 
5 4 
3 
(-5,3) 
_ 
2 
= 
3 
(-5,3) 
6 





5
4 7 7 
6 
Raíz Potência = 
3 
(-0,6) 
2 
= (-0,6) 
2 
3 
2 
_ 






7
2
= 
6 






7
2
7 7 
6 
Matemática Aplicada 
Transforme as seguintes Potências em Raízes 
Transforme as seguintes raízes em Potências 
4
37

5
3






3
7
4
3 5
3 47






3
2
3
5
5m
m nd
2
1
6
  2
5
3,0





 2
9
5
2
3
2
4







7
1
3
6
5
7
b
c
a
2
1
4
2
3
7
2
1
5
3






2
3
7
4






3
1
5
3
4
7
3
2
3
5






m
n
d
2
5
m
6
53,0
9
5
2






3 24
7
3
6
5
7

b ca
_ 
Importante: 
Leitura de uma Raíz. 
- Índice 2, Raíz Quadrada. Ex: 
- Índice 3, Raíz Cúbica. Ex: 
- Índice 4, Raíz Quarta. Ex: 
3 76
56
4 76
Em Geral 
a 
n b = 
b 
n a n b 
a 
0 = 0 
b a a 
1 = 1 
b 
a ≥ 2 
Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, 
que não é exata. Porque a melhor forma de 
representar é como . 
Raíz Quadrada 
4 já que 2 4
9 já que 3 33 9
16 já que 4 44 16
25 já que 5 55 25
2 ...1688724273095048804142135623,1
2 2
Isto acontece com muitas raízes quadradas 
que não dão um resultado exato. 
Raíz Cúbica 
3 8 já que 2  222 8
3 27 já que 3  333 27
3 64 já que 4  444 64
3 125 já que 5  555 125
3 3 ...6163831077907408382324422495703,1
3 3 3 3
Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, 
que não é exata. Porque a melhor forma de 
representar é como . 
Isto acontece com muitas raízes cúbicas que 
não dão um resultado exato. 
2 
2 
_ 
1 - Propriedade: 
O Índice Igual ao Expoente. 
Sabendo que: 
7 
2 
3 = 
3 
2 
7 3 7 
Qual será o resultado de? 
5 
2 
5 = 
5 
2 
_ 
5 5 5 
= 
_ a 
n = 
a 
n a n 
a a 
Em Geral: = n 
2 
1 
2 = 2 
1 
2 ) 
7 
5 ( 5 
9 
_ _ 
2 
2 
_ 
2 - Propriedade: 
Multiplicação de Raízes de Índice Igual. 
Sabendo que: 
7 
2 
3 = 
3 
2 
7 3 7 
Qual será o resultado de? 
9 
= 
9 
2 
2 
= 
a n = n x a Em Geral: 
5 
7 • 
2 • 
_ 
2 
2 ( ) 
1 
7 
_ 
• = 
9 
2 ( 
_ 
2 ) 
1 
5 • 
7 
2 
9 7 
• 5 
• m y a a n x • m 
y 
Resolver usando a Propriedade da Potência: 
a) 
b) 
c)  33
16
9
4
3
 33 366
 28
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
 5635 33
 3333 9243
     52,12,1


 3
2
3
5
4
3
2
3
2
 3 43 5 mm
 57 nn
 3 753 23 nnnn baba
6
4
4
3
15303 
6
 32,1
9
4
3m
6n
n3n4 ba
2 - Propriedade: 
Multiplicação de Raízes de Índice Igual. 
1 
2 ) ÷ (7 7 7 5 ( 5 
5 
_ _ 
2 
7 
_ 
3 - Propriedade: 
Divisão de Raízes de Índice Igual. 
Sabendo que: 
7 
2 
3 = 
3 
2 
7 3 7 
Qual será o resultado de? 
5 
= 
5 
2 
= 
a n = n x Em Geral: 
5 
7 ÷ 
7 
2 
_ 
7 
_ 
2 ) 
1 
= 
5 
_ 
2 ) 
1 
5 
7 
7 
5 7 
5 
m y a a n x m 
y 
÷ 
÷ 
÷ ( 
÷ ÷ 
Resolver usando a Propriedade da Potência: 
a) 
b) 
d) 

2
8

3
3
3
81

3 4
3 7
5
5c) 



83
281
3
3
e) 
f) 
h) 

02,0
08,0
 33
81
4
3
256



3 23 2
3 83 5
nm
nm
g) 
 3
6
5
3
4
3 2 d
a
b
d
a
b
2
3
5
2
3
2
12
2mn
b
a
3 - Propriedade: 
Divisão de Raízes de Índice Igual. 
2 
1 
• • 
( 
4 - Propriedade: 
Raíz de uma Raíz. 
( 7 7 
_ _ 
7 
Sabendo que: 
Qual será o resultado de? 
5 
5 
2 
= 
a = Em Geral: 
= 
1 
2 
_ 
2 
1 
= 7 
m n b•a m 
n 
) 
_ 
2 
5 _ 
4 
5 
7 
5 4 
( 7 7 
_ _ 
7 
5 
5 
3 
= 
= 
1 
2 
_ 
= 7 ) 
_ 
3 
5 _ 
6 
5 
7 
5 6 3 
b 
3 
2 
) 
3 
= 3 
6 
e 2 
_ 
7 
2 
3 = 
3 
2 
7 3 7 
a) 
b) 
c) 
e) 
d) 
f) 
16
3 7
3 4 5
48nm

3 3 18
3 24
x
x
3
6
12
y
x
2
6 7
12 5
nm2
y
x2
2x
4 - Propriedade: 
Raíz de uma Raíz. 
Resolver usando a Propriedade da Potência: 
Decomposição de uma Raíz 
nmnm Sabendo que: 
Resolver 
750x
6225 xx 
25
 732x


5
6216 xx 
4
16

2 x 6x
2 x
3x 2 x
3x
xx 25 3  xx 24
3
São termos semelhantes 
xx 29 3
2 x 6x





Outro exemplo 
45  20
São termos semelhantes 
54
80 125 
59  54 
59 
544  255 
54  544  255 
53 52 522  55

 





53 52 54 55  




Decomposição de uma Raíz 
Racionalização 
Racionalizar é ampliar uma fração onde o 
denominador representa uma Raíz, com a 
finalidade de que esta não apareça. 
O que devemos saber? 
ampliar: 
2
7

4
4
8
28
Multiplicar Raízes  82 41682 
 53 xx 4853 xxxx 
Potências 
Raíz como Potência 
Propriedade das Raízes: xxx n
n
n n 
Racionalizar Raízes Quadradas Simples da Forma 
aq
p

3
7

3
3
3
7

33
37

23
37
3
37

xm
n

x
x
xm
n

 xxm
xn

2xm
xn
mx
xn


7
52  


7
7
7
52  



77
752


27
7572
7
3572 

aq
p

a
a
aq
p

aaq
ap

2aq
ap
qa
ap
En Geral 
1) 
2) 
3) 

5
7
n

14
7
nn

nn4
7

n
n
nn2
7

nn
n
2
7
4) 3
7
n
n
Racionalize as seguintes Expressões 

11
7
11
7

a
ax
a
ax
52
15
52
15

a
ba
a
ba10
40
10
40 22

33 a
aa
a
aa

49
7
49
7

ab
ab


2
28


xyxy
yxxy
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
vii) 
viii) 
Racionalizar Raízes Quadradas da Forma 
n kaq
p


3 4
7

3 2
3 2
3
4
4
4
7

3 2
3
44
47

3 3
3
4
47
4
474

4 3xm
n


4
4
4 3 x
x
xm
n



4 3
4
xxm
xn



4 4
4
xm
xn
mx
xn4


3 2
3
a
aa  


3
3
3 2
3
3 a
a
a
aa  


3 2
33
3 aa
aaa


3 3
33 2
3 a
aaa
a
aaa
3
33 

 n kaq
p

 

n kn
n kn
n k a
a
aq
p





n knk
n kn
aaq
ap


 
n n
n kn
aq
ap
En Geral 
1) 
2) 
3) 
aq
ap n kn

 

3 74
7
4) 
3 6 44
7

 33 6 44
7

 32 44
7
.....
4
4
44
7
3 2
3 2
32


Racionalizar as seguintes Expressões 

33 11
7
11
7

3 23 2 52
15
52
15
a
ax
a
ax

3 2
2
3 2
2
10
40
10
40
a
ba
a
ba

3 2
3
3 2
3
ba
aab
ba
aab

33 49
7
49
7

3 5ab
ab


4 3
4 74 11
2
22


7 69
7 623
yx
yxx
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
vii) 
viii) 
Condições de Existência de Raízes Quadradas 
e Índice Par 
Como, por exemplo, 24  já que 422 
então 
e assim para todas as Raízes 
Quadradas de Números Positivos 
NÃO SE PODE OBTER A RAÍZ 
QUADRADA DE NÚMEROS 
NEGATIVOS 
Quer dizer: 
4 Não Existe 
2,0 Não Existe 
36
25
 Não Existe 
Em Geral, Esta condição é própria de 
todas as Raízes de ÍNDICE PAR. 
4 12,0 Não Existe 
8
36
25
 Não Existe 
As Raízes que têm ÍNDICE IMPAR 
Não têm restrição 
Quer dizer: 
283  já que  222 8
3273  já que  333 27
3
2
27
8
3  já que 
3
2
3
2
3
2
27
8

21287  já que  2222222 128
Condições de Existência de Raízes Quadradas 
e Índice Impar 
Equações Irracionais 
Uma Equação Irracional é determinar o valor da 
incógnita que se encontra abaixo das raízes. 
Exemplo de Equações Irracionais: 
73 x
xx 213 
13743  xxx
1375123  xx
Para resolvê-las os passos são 
muito simples: 
i) Se há mais de uma raíz, se 
deve isolar em um dos lados da 
equação. 
ii) Elevar ao quadrado ambos os 
lados da equação. 
Obs. Com rigor, a solução da equação 
deve estar no seguinte conjunto: 
Exemplo de Resolução de Equações Irracionais: 
642 x
 ,2
Evitamos o passo i) já que a raíz já está isolada 
em um dos lados da equação. 
642 x Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar 
ambos os lados da igualdade a 2. 
  22 642 x O elevar a raíz a 2, o Índice e o exponente 
se simplifiquem. 
3642 x
Se resolve como uma equação de 
primeiro grau com uma incógnita. 
20x
2/
Exemplo de resolução de equações irracionais: 
138  xx
Passo i) Isolar uma das raízes de um dos dos 
lados da equação. 
Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar 
ambos os lados da igualdade a 2. 
Ao elevar a raíz a 2, o índice e o expoente 
se simplificam e no outro lado da igualdade 
teremos que realizar o quadrado de um 
binômio. 
xx  318
2/
   22 318 xx 
xxx  33218
x 324 Devemos voltar ao passo i), raíz isolada e 
elevamos ao quadrado ambos os lados da 
igualdade. 
2/
 22 324 x
 x 3416
x41216 
x1
Daqui para frente a Equação Irracional se 
transforma em uma equação de primeiro grau 
com uma incógnita.