Elementos da Trigonometria e Funções Elementares

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2008
Tópicos de Matemática Elementar I
Disciplina na modalidade a distância
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 1 13/3/2008 17:38:58
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 2 13/3/2008 17:39:00
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Tópicos de 
Matemática Elementar I.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma 
e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados 
à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática 
e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a 
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se de que sua caminhada, nesta disciplina, será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica 
caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou 
para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e 
instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem 
à disposição diversas ferramentas e canais de acesso, tais como: 
telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem, 
que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e 
recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. 
Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe 
atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 3 13/3/2008 17:39:00
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 4 13/3/2008 17:39:00
Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
Christian Wagner
Palhoça
UnisulVirtual
2008
Design Instrucional 
Carolina Hoeller da Silva Boeing
Tópicos de Matemática Elementar I
Livro didático
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 5 13/3/2008 17:39:00
510
F62 Flemming, Diva Marília
 Tópicos de matemática elementar I : livro didático / Diva Marília Flemming, 
 Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Carolina Hoeller da 
 Silva Boeing. – Palhoça : UnisulVirtual, 2008.
 256 p. : il. ; 28 cm.
 Inclui bibliografia.
 1. Matemática. 2. Funções (Matemática). I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, 
 Christian. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva . IV. Título.
Edição – Livro Didático
Professores Conteudistas
Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
Christian Wagner
Design Instrucional 
Carolina Hoeller da Silva Boeing
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Delinea Design Soluções Gráficas e Digitais LTDA 
Leniza Wallbach e Silva
Marcelo A. Gorniski
Revisão
B2B
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © UnisulVirtual 2008
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
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Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unidade 1 – Revisão de conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Unidade 2 – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Unidade 3 – Função do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Unidade 4 – Função do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Unidade 5 – Funções polinomiais e racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Unidade 6 – Funções exponencial e logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Unidade 7 – Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 223
Sumário
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Tópicos de Matemática Elementar I.indb 8 13/3/2008 17:39:01
Palavras dos professores
Prezados alunos,
Neste texto apresentamos conteúdos da disciplina de Tópicos 
de Matemática Elementar I que estão de acordo com a ementa 
do projeto pedagógico do seu curso. Os objetos matemáticos 
discutidos são considerados básicos, pois traduzem alicerces 
necessários para a discussão de objetos mais específicos e práticos.
Todos os conteúdos apresentados ao longo desse livro são 
assuntos tratados no ensino fundamental e médio; entretanto, 
a contextualização em situações reais é uma característica 
específica deste texto. Criamos dois personagens: Ted e Mad 
(amigos de infância que se tornaram microempresários). Eles 
irão dialogar e resgatar situações do dia-a-dia que os levarão a 
compreender importantes conceitos matemáticos.
Para facilitar a leitura e o aprofundamento das representações 
gráficas, optamos por uma metodologia que valoriza o uso de 
recursos computacionais na resolução de problemas.
Considerando que estamos trabalhando com a modalidade 
a distância, adotamos uma linguagem que estimule as suas 
estruturas mentais de modo que as diferentes representações 
semióticas sejam estabelecidas e trabalhadas para que o 
processo de aprendizagem significativa se concretize.
Nós, autores e tutores dessa disciplina, nos colocamos à disposição 
para atendê-lo. Iremos interagir com você através das ferramentas 
disponíveis no ambiente virtual do seu curso. As ferramentas 
promovem uma dinâmica de socialização que lhe permitirá um 
verdadeiro caminhar para a conquista de novos conhecimentos.
Mãos à obra!
Profa. Diva Marília Flemming, Dra. 
Profa. Elisa Flemming Luz, Dra. 
Prof. Christian Wagner, Msc.
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Tópicos de Matemática Elementar I.indb 10 13/3/2008 17:39:01
Plano de estudo
O plano de estudo visa a orientá-lo no desenvolvimento da 
disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer 
o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de 
estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se 
complementam, portanto, a construção de competências 
se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das 
diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
livro didático; „
Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); „
as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de „
auto-avaliação); 
Sistema Tutorial. „
Ementa
Conjuntos numéricos. Operações elementares. Função: 
conceitos, propriedades, características e representações 
gráficas. Funções elementares: polinomiais, exponenciais, 
logarítmicas e trigonométricas.
Objetivos 
Geral:
Discutir e refletir conceitos básicos da Matemática.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 11 13/3/2008 17:39:02
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Específicos:
revisar conjuntos numéricos; „
trabalhar funções polinomiais, racionais, exponenciais, „
logarítmicas e trigonométricasa partir de representações 
gráficas e resolução de problemas;
motivar o estudo de conteúdos de Matemática a partir do „
uso das novas tendências da Educação Matemática;
compreender o conceito de telecomunicações e „
informática.
Carga horária
A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula. 
Conteúdo programático/objetivos 
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação. Neste 
sentido, veja a seguir as unidades que compõem o livro didático 
desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. 
Unidades de estudo: 7
Unidade 1 – Revisão de conjuntos numéricos
Nesta unidade, apresenta-se uma revisão dos conjuntos 
numéricos, ampliando-se as idéias inicias com conceitos e 
propriedades operatórias.
Unidade 2 – Funções
Nesta unidade, as funções são apresentadas como objetos 
matemáticos e como elementos fundamentais para a resolução 
de problemas do dia-a-dia. A análise das representações 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 12 13/3/2008 17:39:02
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Matemática
gráficas permitirá o desenvolvimento de hábitos de boa leitura 
e visualização de propriedades e características dos diferentes 
tipos de funções.
Unidade 3 – Função do primeiro grau
As funções do primeiro grau serão amplamente discutidas 
nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica, a modelagem 
de problemas práticos e a resolução de equações e sistemas de 
equações.
Unidade 4 – Função do segundo grau
As funções do segundo grau serão discutidas possibilitando 
aspectos interdisciplinares na modelagem de problemas 
práticos em diversas áreas.
Unidade 5 – Funções polinomiais e racionais
Nesta unidade, as funções polinomiais e racionais serão 
apresentadas em diferentes representações (gráficas e 
algébricas).
Unidade 6 – Funções exponencial e logarítmica
Nesta unidade, amplia-se o conceito de modelagem com o uso 
das funções exponenciais e logarítmicas em diferentes tipos 
de problemas práticos. O contexto financeiro é destacado com 
problemas reais de juros e crescimento exponencial.
Unidade 7 – Funções trigonométricas
As funções trigonométricas serão discutidas partindo-
se da resolução de triângulos retângulos. A análise das 
representações gráficas dará a oportunidade de resgatar os 
conceitos de domínio, imagem, periodicidade dentre outros.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Agenda de atividades/ Cronograma
Verifique com atenção o EVA, organize-se para „
acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso 
nos seus estudos depende da priorização do tempo 
para a leitura, da realização de análises e sínteses do 
conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor.
Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço „
a seguir as datas com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividades „
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias 
Demais atividades (registro pessoal)
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1UNIDADe 1Revisão de conjuntos 
numéricos
Objetivos de aprendizagem
Identificar conjuntos numéricos em diferentes „
situações-problema.
Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem „
os números reais.
Aplicar propriedades dos números reais na resolução „
de problemas.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução
Seção 2 Conjuntos numéricos
Seção 3 Adição de subtração com números reais
Seção 4 Multiplicação e divisão com números reais
Seção 5 Resolução de equações
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16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Ted e Mad programam uma viagem nas férias:
– Acho que uma viagem para o Nordeste seria ótimo!
– Nordeste?! Mas tudo por lá é muito caro, 
principalmente na alta temporada. Tudo bem que as 
praias são maravilhosas, mas eu estava com vontade 
de fazer alguma coisa diferente.
– Alguma coisa diferente?
– É, que tal uma pescaria?
– Será, cara? Não vamos cair numa roubada?
– Acho que não, sugiro o Pantanal!
– Legal, então já vou consultar os valores para 
programar a nossa economia.
– Combinado então. Depois acertamos os detalhes!
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Seção 1 - Introdução
A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Em 
vez de usar símbolos para representar os números, utilizava-se a 
comparação de conjuntos. 
A noção matemática de conjunto é praticamente a 
mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo 
que agrupamento, classe ou coleção.
Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de 
alguma coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto. Veja como 
é possível escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros 
localizados na região Sul:
A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}.
Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos:
B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pare! Revise!
O conjunto A é dito finito pois possui três elementos, 
já o conjunto B é dito infinito pois possui um número 
infinito de elementos.
Pare! Observe!
Perceba que no conjunto B usamos reticências (...) para 
representar os números pares positivos maiores do que 
10 que não foram explicitados. esta representação nos 
auxilia quando se trata de conjuntos muito grandes ou 
mesmo infinitos, como neste caso.
Se for necessário, um conjunto pode ser representado 
especificando-se as propriedades comum dos elementos. Para os 
conjuntos A e B teremos:
A = {x | x é um estado da região Sul do Brasil}.
B = {y | y é um número par positivo}.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Cada membro que compõe o conjunto é chamado elemento. Um 
elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um 
nome etc. É possível estabelecermos relações entre elementos 
e conjuntos usando-se símbolos que indicam se um elemento 
“pertence” ou “não pertence” ao conjunto. Acompanhe o exemplo.
Se C = { 1, 3, 5, 7, 9 }, podemos dizer que:
1 ∈ C, ou seja, o número 1 pertence ao conjunto C;
2 ∉ C, ou seja, o número 2 não pertence ao conjunto C;
3 ∈ C, ou seja, o número 3 pertence ao conjunto C;
4 ∉ C, ou seja, o número 4 não pertence ao conjunto C.
Pare! Revise!
Um conjunto que possui apenas um elemento é dito 
unitário e um conjunto que não possui elementos é 
um conjunto vazio, representado por ∅ ou { }.
As relações de pertinência auxiliam a entender a noção de subconjunto, 
que também é interessante quando trabalhamos com conjuntos.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e 
somente se, todo elemento de A pertencer também 
a B.
Linguagem simbólica
A ⊂ B, ou seja, A está contido em B
ou ainda
B ⊃ A, ou seja, B contém A.
Pare! Observe!
O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Sempre 
que comparamos dois conjuntos podemos usar a 
relação de inclusão.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 18 13/3/2008 17:39:03
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Sejam os conjuntos A = {a,b,c} e B = {a,b,c,d,e}, 
podemos dizer que:
A ⊂ B, ou seja, A está contido em B;
B ⊃ A, ou seja, B contém A;
B ⊄ A, ou seja, B não está contido em A.
Dois ou mais conjuntos podem ser reunidos usando-se uma 
operação conhecida por união ou reunião de conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de reunião de 
A e B ou união de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B.
Linguagem simbólica
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Uma outra operação que pode ser definida é a intersecção entre 
conjuntos.Veja:
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de intersecção 
de A com B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e a B.
Linguagem simbólica
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
{a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d}
{a,b} ∪ {a,b,c,d} = {a,b,c,d}
{a,b,c} ∪∅ = {a,b,c}
∅∪∅ = ∅
{a,b} ∩ {a,b,c,d} = {a,b}
{a,b} ∩ {c,d} = ∅
{b,c} ∩∅ = ∅
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 19 13/3/2008 17:39:04
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos 
formados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial, 
o conjunto dos números reais irá embasar o estudo dos diferentes 
tipos de funções. Então, veja como se chegou até estes números 
reais estudando a próxima seção!
Seção 2 - Conjuntos numéricos
O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da 
humanidade e, por incrível que pareça, já nascemos com ela. 
Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos 
de seres e objetos. Já consegue reunir num único grupo 
objetos análogos e percebe se falta algo a um desses conjuntos 
familiares. 
Por exemplo, se você entrega ao bebê nesta idade 
quatro brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois 
deles, certamente ele sentirá falta. Não que já saiba 
contar, mas porque já possui uma noção de número 
em sua formação individual.
Para fins de padronização, criou-se uma notação comum para 
representar os números. Utilizam-se os algarismos hindu-
arábicos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Apesar de ouvirmos sons diferentes, dependendo do idioma, 
se não houvesse uma padronização, imagine a confusão que 
seria!
Olhando o passado! 
Já há algum tempo, sabe-se que determinadas 
espécies animais também são dotadas de um tipo 
de percepção direta sobre os números. Inúmeras 
experiências demonstraram que os rouxinóis, as pegas 
e os corvos eram capazes de distinguir quantidades 
concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo:
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 20 13/3/2008 17:39:04
21
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
“Um castelão decidiu matar um corvo que fez seu 
ninho na torre do castelo. Já tentara várias vezes 
surpreender o pássaro, mas ao se aproximar, o corvo 
deixava o ninho, instalava-se numa árvore próxima 
e só voltava quando o homem saía da torre. Um dia, 
o castelão recorreu a uma artimanha: fez entrar dois 
companheiros na torre. Instantes depois, um deles 
desaparecia, enquanto o outro ficava. Mas, em vez 
de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do 
segundo para voltar a seu lugar. Da próxima vez ele 
fez entrar três homens, dos quais dois se afastaram 
em seguida: o terceiro pôde então esperar a ocasião 
para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou 
ainda mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, 
recomeçou-se a experiência com quatro homens, 
sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema 
teve sucesso com cinco pessoas, pois o corvo não 
conseguia reconhecer mais que quatro homens ou 
quatro objetos...”
(extraído de: IFRAH, Georges. Os números: história de uma 
grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. p. 20.)
Conjunto dos números naturais
Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números 
conhecidos pela humanidade. Sua representação é dada por 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.
Perceba que este é um conjunto infinito, pois é possível sempre 
acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um 
sucessor.
Pare! Revise!
Quando utilizamos a notação N* representamos a 
exclusão do zero:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 21 13/3/2008 17:39:04
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Olhando o passado! 
O número zero tem uma história interessante. em 662 
d.C. o bispo sírio Severus Sebort referiu-se aos nove sinais, 
num trabalho público, mas não fazia referência ao zero. 
O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito 
bem sobre a sua origem. Dizem que a sua origem está 
no mundo grego.
Sua forma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus 
(ovo de ganso) ou gregos (letra grega ômicron, que é a 
primeira da palavra Ouden, que significa vazio).
Conjunto dos números inteiros
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P1 – Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês de 
julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria. 
Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$ 130,00 
D. O que isto significa?
Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros. 
Veja por que!
Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica 
débito. Isto significa que na conta havia 130 reais negativos, ou 
seja, –R$ 130,00, estavam faltando R$ 130,00.
Veja como é importante o estudo dos números não positivos 
ou negativos. Desde a época em que o comércio passou a fazer 
parte da sociedade, inicialmente com o sistema de trocas até que 
se instituísse uma moeda, a noção de números negativos já é 
amplamente utilizada.
Para representar estes números, usa-se o conjunto numérico 
chamado de conjunto dos números inteiros:
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 22 13/3/2008 17:39:04
23
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Conjunto dos números racionais
Além dos números naturais e inteiros, perceba que em seu dia-
a-dia você utiliza também números fracionários. Ao comer uma 
fatia de um bolo dividido em oito partes iguais, por exemplo, 
além de ter água na boca, você pode dizer que estará comendo 
uma parte do todo. Estará comendo 1
8
 do bolo.
No nosso sistema monetário usamos frações decimais do real. 
Por exemplo:
R$ 0,50 – cinqüenta centavos é a metade de um real; „
R$ 0,25 – vinte e cinco centavos representa „ 1
4
 de um 
real.
Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os 
inteiros que você já estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, 1
2
 
ou entre 3 e 4 o número 3,25.
As frações são representadas na forma m
n
, n ≠ 0, m, n ∈ Z e 
formam o conjunto dos números racionais, denotado por:
Q x x m
n
m n Z n= = ∈ ≠

| , ,. . e 0
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 23 13/3/2008 17:39:07
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja alguns exemplos:
3
4 
10
7 
−1
2 
9
5
Veja como se faz a leitura de frações:
1
2
 Um meio
1
8
 Um oitavo
1
3
 Um terço
1
9
 Um nono
1
4
 Um quarto
1
10
 Um décimo
1
5
 Um quinto
1
11
 Um onze avos*
1
6
 Um sexto
1
12
 Um doze avos
1
7
 Um sétimo
1
20
 Um vigésimo
*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que 
possuem denominador maior que dez.
Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal. Veja como 
se faz:
1
2
0 5= ,
3
4
0 75= ,
1
3
0 3333= , …
2
7
0 285714285714= , …
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 24 13/3/2008 17:39:11
25
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Pare! Observe!
Algumas frações possuem representação decimal 
exata e outras uma representação decimal periódica.
51
99
= 0, 5151515151...
31
90
= 0, 3444444444...
 ⇒ são dízimas periódicas.
1
2
0 5
20
4
5
=
=
,
 ⇒ são decimais exatos.
Para encontrar a forma decimal você pode realizar as 
divisões no papel ou mesmo em uma calculadora.
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P2 – em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em dez 
fatias iguais. Se Mario comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 
1/5, quantas fatias sobraram?
Para saber quantas fatias sobraram, veja como é possível 
raciocinar:
Se Mario comeu a metade da pizza, então ele comeu a „
metade de 10 fatias, ou seja, 10
2
5= fatias.
Sua namoradacomeu „ 1
5
 da pizza, então comeu 1
5
 de 10 
fatias, ou seja, 1
5
 de 10 10
5
2= = fatias.
Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias. 
Portanto, sobraram 10 – 7 = 3 fatias.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 25 13/3/2008 17:39:12
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe!
Todos os números inteiros são também números 
racionais, pois podem ser escritos na forma de uma 
fração. Veja:
4 =
4
1
7 =
7
1
.
Olhando o passado! 
Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria 
no século III. Pouco se sabe sobre a sua vida, mas 
existe uma charada que, dizem, teria sido gravada 
em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou 
um sexto da sua vida como menino. Um doze avos 
da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um 
sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após 
nasceu seu filho, com quem conviveu metade da 
sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 
anos antes de morrer.” Você sabe quantos anos viveu 
Diofanto? 
Fonte: <http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm>
Conjunto dos números reais
Para definir o conjunto dos números reais, é necessário considerar 
os números que não podem ser escritos na forma de m
n
 com n 
≠ 0 e m, n ∈ Z. Estes números formam o conjunto dos números 
irracionais, que pode ser denotado por Q .
São exemplos de números irracionais: π = 3,141592653..., 
e =2,718281828..., 2 1 41= , ...
É comum dizer que o conjunto dos números reais é o 
resultado da união do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais.
R = ∪Q Q .
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 26 13/3/2008 17:39:13
27
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Os números reais são representados geometricamente por uma 
reta numerada, denotada por reta real.
Olhando o passado! 
Você não imagina a consternação no seio dos 
pitagóricos quando descobriram a existência de 
grandezas que não guardam entre si uma relação de 
inteiro para inteiro. Isto aconteceu quando verificaram 
a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal 
de um quadrado de lado igual a uma unidade de 
comprimento. 
Acredita-se que os pitagóricos guardaram este 
segredo por muitos anos, pois esta constatação 
significava a existência de seres disformes no seu 
mundo regido pelos números. Hoje já se sabe que 
este ser disforme é a raiz quadrada de dois. 
O número Pi 
A história do número π está ligada à história da vida de muitos 
matemáticos da Antigüidade. É importante relembrar, para ser 
justo, do nome de Arquimedes, famoso matemático e astrônomo 
que nasceu em Siracusa, mais ou menos 287 a.C. 
No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam 
que o comprimento de uma circunferência é igual 
a um número um pouco maior que três vezes o seu 
diâmetro.
Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar 
o valor exato desse número um pouco maior que 3 que hoje é 
conhecido como número Pi, simbolizado por π.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 27 13/3/2008 17:39:14
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Vários métodos geométricos demonstram que o valor 
do Pi é π = 3,141592653...
Você pode encher a tela do seu computador com as casas 
decimais do número Pi.
O número e
A origem do número e está associada à origem dos logaritmos. 
As tábuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os 
cálculos, pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir 
multiplicações e divisões em simples adições e subtrações. É 
usual se falar “número neperiano” em homenagem ao matemático 
John Napier, que em 1614 apresentou uma maneira prática para 
definir o logaritmo de e.
Além de servir de base para um sistema de logaritmos, o 
número e é um número útil em toda a Matemática e ciências 
afins. Por exemplo, é muito usado em Economia, Estatística, 
Probabilidades etc.
Nos dias de hoje, não se usam as tábuas de logaritmos porque as 
calculadoras fazem todos os cálculos. No entanto, não se pode 
dispensar esse número de nossas vidas. Vários fenômenos são 
modelados por uma fração que envolve o número e, por exemplo, 
o crescimento populacional, o aumento de capital e juros.
Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e!
e = 2,718281828...
Conjunto dos números complexos
Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece 
acham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa 
pode não ser bonito, mas não causa “mal-entendido” porque ele 
tem um único significado.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 28 13/3/2008 17:39:14
29
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número 
complexo” tal como é usado em Matemática. E isto causa um 
mal-entendido! Entretanto, é importante lembrar:
Quando uma palavra é definida precisamente e tem 
apenas um significado, não há mais razões para 
criticar seu uso.
Logo, um número imaginário ou complexo é uma idéia 
matemática precisa.
Olhando o passado! 
Cardano, um grande matemático do século XVI, foi 
o primeiro a reconhecer a verdadeira importância 
desses números. Na sua obra “Ars Magna” discute a 
álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de 
uma equação e ao cálculo com números complexos.
O conjunto dos números complexos é formado por todos os 
números reais e pelas raízes de ordem par de números negativos, 
e pode ser representado por:
C z z a b a b R= = ( ) ∈{ }| , , ,
Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na 
forma algébrica:
z i i= − = = + = ( )4 2 0 2 0 2,
z i= + − = + = ( )2 9 2 3 2 3,
Ao olhar para o par ordenado (a,b) fica simples visualizar a parte 
real e a parte complexa ou imaginária do número complexo:
a „ é a parte real;
b „ é a parte imaginária.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 29 13/3/2008 17:39:15
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Revise! 
Lembre-se de que i = −1 . Assim, tem-se que:
i i
i
× = −
= −
− = −( )
1
1
1 1
2
2
.
Pare! Observe!
− = − = =( ) ( )1 1 1 12 2 está INCORRETO.
Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números 
reais, sendo enfatizados diferentes representações, algoritmos e 
métodos de tratamento adequados a cada situação identificada.
Seção 3 - Adição e subtração com números reais
Para discutir as operações de adição e subtração com números 
reais, veja inicialmente algumas propriedades da adição:
Comutativa a + b = b + a
Associativa (a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro
a + 0 = 0 + a = a
0 é o elemento neutro da adição.
Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades 
em situações que envolvem a adição com números reais.
 1) Efetue as seguintes operações:
a) 2
3
+
4
5
=
10 +12
15
=
22
15
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 30 13/3/2008 17:39:16
31
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Pare! Observe!
É possível estabelecer uma regra prática para calcular 
a adição ou subtração com números fracionários. 
Considere as expressões 
a
b
 e 
c
d
 escritas de forma que 
b e d são diferentes de zero:
a
b
c
d
ad bc
bd
± = ±
b) 1
2
10
7
7 20
14
27
14
+ = + =
c) 1
9
2
3
1 6
9
7
9
+ = + =
Perceba que esta mesma operação pode ser feita usando-se uma 
calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da 
configuração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, 
você pode visualizar:
0 7777
0 777777
0 77777777
0 77777777778
,
,
,
, .
d) 20 45+
Com uma calculadora, é possível determinar os valores 
aproximados para 20 e 45 :
20 4 472135955
45 6 708203932
20 45 11 180339887
≅
≅
+ ≅
,
,
, .
O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende 
de cadatipo de calculadora. É possível resolver esta adição 
usando propriedades da radiciação. Na Unidade 6 você verá um 
breve resumo de algumas destas propriedades.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 31 13/3/2008 17:39:18
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
e) 3
4
0 3 0 75 0 3 0 45− = − =, , , ,
Perceba que o número fracionário foi escrito em sua forma 
decimal para que a operação fosse realizada. Uma outra opção é 
escrever o número decimal como um número fracionário:
3
4
0 3
3
4
3
10
30 12
40
18
40
9
20
0 45− = − = − = = =, ,
f) 1
5
2
3
3 10
15
7
15
− = − = −
g) − + = − =0 2 0 37 0 37 0 2 0 17, , , , ,
 2) Um mergulhador passou da profundidade de –6m para 
–4m. Neste caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros?
Perceba que o número – 6 é menor que o número –4. Assim, 
quando o mergulhador passa de – 6m para –4m ele aumenta duas 
unidades.
Isto significa que ele subiu 2m, pois -6m é mais fundo que -4m.
 3) Imagine três pizzas de mesmo tamanho, cortadas de 
forma diferente: a primeira em duas partes, a segunda 
em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana 
come um pedaço de cada uma, quanto terá comido?
Para saber quanto Joana comeu, é possível representar cada 
pedaço usando números fracionários:
1 pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) = „ 1
2
;
1 pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) = „ 1
4
;
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 32 13/3/2008 17:39:19
33
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
1 pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) = „ 1
6
.
Podemos escrever,
1
2
1
4
1
12
6 1 3 1 1 1
12
10
12
+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Assim, Joana comeu 10
12
, ou quase uma pizza inteira!
 4) Um bondoso homem doou 1
5
 da sua fortuna para 
menores carentes, e 2
3
 para um asilo de idosos.
a) Que fração de suas posses ele doou?
 Ele doou 1
5
2
3
3 10
15
13
15
+ = + = .
b) Que fração sobrou?
 Se ele doou 13
15
, então sobrou um inteiro menos esta 
fração:
1
13
15
1
1
13
15
15 13
15
2
15
− = − = − =
As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras 
aplicações que envolvem a modelagem matemática. Na próxima 
seção você poderá revisar as operações de multiplicação e divisão 
dos números reais.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 33 13/3/2008 17:39:21
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 4 - Multiplicação e divisão com números reais
Assim como nas operações de adição e subtração, veja algumas 
propriedades da multiplicação:
Comutativa a x b = b x a
Associativa (a x b) x c = a x (b x c)
Elemento neutro
a x 1 = 1 x a = a
1 é o elemento neutro da multiplicação.
Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão. 
Imagine que Ted e Mad foram pescar no Pantanal. Em 
determinado momento, cansados de esperar, eles conversam:
– Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez 
que nós dois não pegamos peixes.
– Nosso saldo está devedor. Já gastamos seis iscas.
Como representar esta situação matematicamente?
(+ 3) x (– 2) = – 6
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 34 13/3/2008 17:39:22
35
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Outras situações poderiam ser modeladas por outras 
multiplicações. Por exemplo: 
(+ 3) x (+ 2) = + 6
(– 3) x (– 2) = + 6
(– 3) x (+ 2) = - 6
Observando essas operações é possível escrever:
A multiplicação de números de sinais diferentes 
apresenta resultado negativo e números de sinais 
iguais apresentam resultado positivo.
Resumindo simbolicamente as regras de sinais:
Divisão Multiplicação
(+) ÷ (+) = (+) (+) x (+) = (+)
(–) ÷ (+) = (–) (–) x (+) = (–)
(+) ÷ (–) = (–) (+) x (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+) (–) x (–) = (+)
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P3 – Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo 
de zero, variando por volta de –18oC. Sabendo-se que a temperatura 
baixou o mesmo número de graus a cada dia, quantos graus teria 
abaixado por dia?
Para modelar esta situação, é possível escrever:
(– 18) ÷ (+ 6 ) = (– 3)
Isto significa que a temperatura baixou 3oC por dia, até que 
chegasse a –18oC.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 35 13/3/2008 17:39:22
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Revise!
Quando uma divisão tem resto zero, trata-se de uma 
divisão exata. Por exemplo, 12 : 6 = 2. Isto é verdade, pois 
2 x 6 = 12. Da mesma forma, 35 : 5 = 7, pois 7 x 5 = 35.
Veja a regra prática para a multiplicação que envolve frações, 
sendo b e d números diferentes de zero:
a
b
c
d
a c
b d
⋅ = ⋅
⋅
 1) Resolva as operações indicadas:
a) 1
4
1
3
1 1
4 3
1
12
⋅ = =.
.
b) 5
8
1
4
5 1
8 4
5
32
⋅ − = − = −.
.
c) 1
2
10
5
1 10
2 5
10
10
1⋅ = = =.
.
d) 0,25 x 1,3 = 0,325
c) 0,721 x 3,69 = 2,66049
 2) Se 350 corresponde ao valor total, calcule 1
2
 e 3
5
 deste valor.
 Para resolver este problema multiplique o valor total por 
suas frações:
1
2
 de 350 → ⋅ = =1
2
350 350
2
175
3
5
 de 350 → ⋅ = =3
5
350 1050
5
210 .
 3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas. 
Uma pessoa comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo 
ela comeu? 
Uma (1) fatia representa a sétima parte do bolo ou 1
7
.
A metade de 1 fatia representa 1
14
 do bolo, ou 1
7
1
2
1
14
× = .
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 36 13/3/2008 17:39:25
37
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Assim, a pessoa comeu 1
14
 do bolo.
 4) Se no bolo do problema anterior, dividido entre sete 
pessoas, cada pedaço custasse R$ 0,80, quanto custariam 
três pedaços do bolo?
1 pedaço do bolo → →1
7
R$ 0,80
3 pedaços do bolo → →3
7
3 X R$ 0,80 = R$ 2,40
Assim três pedaços do bolo custariam R$ 2,40. 
Olhando o passado! 
Matemático tem cada idéia!
Veja o problema histórico criado para justificar a regra 
de sinais .
(–) x (–) = (+)
“eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas 
as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 
vezes a dívida de 4 moedas. Assim, fiquei 12 moedas 
mais rico”.
“perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas”  (– 3) x (– 4) = 12.
Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando 
a primeira fração pelo inverso da segunda.
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
÷ = ⋅ = com b, d e c diferentes de zero.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 37 13/3/2008 17:39:25
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Resolva as operações indicadas:
 a) 2
3
5
4
2
3
4
5
2 4
3 5
8
15
÷ = ⋅ = =.
.
 b) 
1
2
3
5
1
2
5
3
1 5
2 3
5
6
= ⋅ = =.
.
 c) 5
9
5
6
5
9
6
5
5 6
9 5
30
45
6
9
2
35
5
3
3
÷ − = ⋅ − = − = − − −
÷ =
÷ =
÷ =
÷ =
= =. .
Pare! Revise!
Você não pode fazer uma divisão por zero. Por 
exemplo, não é possível dividir dois por zero: 2 ÷ 0 
pois se 2 ÷ 0 = x, então x . 0 = 2. Não existe número 
que multiplicado por zero seja igual a 2.
Após tratar das operações de multiplicação e divisão com 
números reais, é possível introduzir um importante conceito, 
utilizado em diversas situações de nosso dia-a-dia: a 
porcentagem.
É comum você se deparar com expressões do tipo:
a inflação no último mês foi de 4% (quatro por cento); „
promoção: descontos de 30% à vista; „
o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 0,2%. „
Mas o que isso significa?
A porcentagem é uma forma de comparar números usando a 
proporção direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão 
centesimal a um valor. Como o nome já diz é por 100 ou sobre 
100.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 38 13/3/2008 17:39:2639
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a, à razão 
x
100
, é x
100
 x a. 
Indica-se a expressão x
100
 por x%.
Para entender melhor, veja a aplicação deste conceito nos 
exemplos apresentados.
Exemplos
 1) Calcule 10% de 500.
A razão centesimal é dada por
10% = 10
100
. Portanto, 
10% de 500 → ⋅ = =10
100
500
5000
100
50 .
 2) Calcule 25% de 210.
Neste caso, a razão centesimal é dada por
25% = 25
100
. Portanto,
25% de 210 → ⋅ = =25
100
210
5250
100
52 5, .
 3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4?
Equacione a taxa indicada como
x
x
x
x
x
100
3
4
4 3 100
4 300
300
4
75
=
= ⋅
=
=
= .
Então a taxa é de 75%.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 39 13/3/2008 17:39:28
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
 4) Uma loja divulga uma promoção de 10% sobre o preço 
de suas mercadorias vendidas a vista. Se uma camisa 
custa R$ 90,00, qual será o seu valor com o desconto?
O desconto de 10% será sobre o valor de R$ 90,00. 
Assim teremos:
10% de 90 → ⋅ = =10
100
90
900
100
9 .
Isto significa que a camisa custará R$ 9,00 a menos. 
Portanto, o preço a ser pago é de 
 R$ 90,00 – R$ 9,00 = R$ 81,00.
Parada recreativa
Você lembra do matemático Diofanto? Que tal calcular quantos anos 
ele tinha quando morreu? Veja de novo o que estava em seu túmulo:
“Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como 
menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu 
um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu 
filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu 
filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.”
Vamos identificar por V o tempo de vida de Diofanto, medido 
em anos. O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das 
frações indicadas. Assim, temos:
V V V V V= + + + + +
6 12 7
5
2
4
Resolvendo a soma de frações, teremos:
V V V V V
V V V V V
V V V V V
6 12 7 2
9
6 12 7 2 1
9
14 7 12 42 84
84
9
+ + + − = −
+ + + − = −
+ + + − = −
−− = −
=
9
84
9
84
V
V .
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 40 13/3/2008 17:39:29
41
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Determinando o valor de V, já é possível saber que Diofanto 
viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos:
Menino
84
6
14= anos Até 14 anos
Rapaz
84
12
7= anos 14 aos 21 anos
Antes de casar
84
7
12= anos 21 aos 33 anos
Filho nasceu 5 anos depois de casar 33 + 5 = 38 anos
Conviveu com o filho
84
2
42= anos 38 aos 80 anos
Morreu 4 anos depois da morte do filho 80 + 4 = 84 anos
Seção 5 - Resolução de equações
Quando você está diante de um problema, pode resolvê-lo 
usando mais de um caminho ou estratégia. Se o problema requer 
o uso de objetos matemáticos, a solução pode ser obtida a partir 
do envolvimento de algoritmos numéricos, resolução de equações 
ou sistemas de equações. Para cada situação, usa-se a ferramenta 
matemática adequada, que poderá ser simples ou de nível mais 
complexo, como é o caso de derivadas e integrais (objetos 
matemáticos não estudados nesta disciplina).
Os problemas considerados da área econômica, em geral, são 
modelados através de expressões algébricas resultando fórmulas 
práticas. Ao aplicar os dados, você fica diante de uma equação 
ou de um sistema de equações. É importante que neste momento 
você faça uma breve revisão sobre a resolução de equações do 1o 
e 2o graus, pois estes conceitos serão amplamente aplicados no 
estudo das funções nas próximas unidades.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 41 13/3/2008 17:39:30
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Equação do 1o grau
A resolução de uma equação do 1o grau consiste na determinação 
da incógnita x, “isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para 
tal, você precisa relembrar dois princípios:
princípio aditivo da igualdade „ : adicionando (ou 
subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo 
número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, ao 
passar um número que está somando (ou subtraindo) para 
o outro lado da igualdade, deve-se inverter seu sinal;
princípio multiplicativo da igualdade „ : multiplicando 
(ou dividindo) os dois membros de uma igualdade pelo 
mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras 
palavras, um número que está multiplicando passa para 
o outro lado da igualdade dividindo; já um número que 
está dividindo passa para o outro lado da igualdade 
multiplicando.
Pare! Revise!
É usual utilizar letras para representar os valores que 
uma variável pode assumir. É comum, de forma mais 
tradicional, usar o termo “incógnita” para expressar o 
valor que é desconhecido e se procura saber.
Exemplos
 1) Determine o valor da incógnita x das seguintes equações 
do 1o grau:
a) 8 4 12x + =
8 4 12
8 12 4
8 8
8
8
1
x
x
x
x
x
+ =
= −
=
=
=
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 42 13/3/2008 17:39:30
43
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
b) − + = −3 4 3x
− + = −
− = − −
− = −
= −
−
=
3 4 3
3 3 4
3 7
7
3
7
3
x
x
x
x
x
c) 2
7
3 5x − =
2
7
3 5
2
7
5 3
2
7
8
8
7
2
56
2
28
x
x
x
x
x
x
− =
= +
=
= ⋅
=
=
 2) O testamento de um moribundo impõe que, quando sua 
esposa, que está grávida, tiver um filho, este herdará 3
4
 e a 
viúva 1
4
 dos bens; mas se nascer uma filha, esta herdará 7
12
 
e a viúva 5
12
 dos bens. Como devem ser divididos os bens 
no caso de nascer um casal de gêmeos?
Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem 
romana. A solução considerada viável faz uma suposição 
satisfatória, pois, rigorosamente, não se poderia solucioná-lo já 
que não se conhece o critério adotado pelo moribundo no caso de 
filhos gêmeos (poderia, por exemplo, ser uma escolha aleatória).
A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar:
para um filho o valor equivalente ao triplo do valor da „
viúva pois 3
4
3
1
4
= ×
Problema extraído de 
EVES, Howard. Introdução 
à História da Matemática. 
Campinas: UNICAMP, 1995, 
p. 314.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 43 13/3/2008 17:39:32
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
para uma filha o valor equivalente a „ 7
5
 do valor da viúva 
pois 7
12
7
5
5
12
= ×
Assim, é possível escrever a equação:
x x x+ + =3 7
5
1
Considerando-se que a herança foi repartida para três pessoas 
(viúva, filho e filha), e mantendo-se a proporcionalidade 
inicialmente proposta, na equação o valor de x representa a parte 
da viúva.
Para resolver a equação, é possível aplicar os princípios 
enunciados para a resolução de uma equação do 1o grau. Veja:
x x x
x x x
x
x
x
+ + =
+ + =
=
=
=
3
7
5
1
5 15 7
5
1
27
5
1
27 5
5
27
.
Assim, a solução pode ser resumida da seguinte forma:
A viúva receberá 5
27
 dos bens, o que corresponde a 18,51% do 
total.
O filho recebe: o triplo de 5
27
3
5
27
15
27
= × = dos bens, o que 
corresponde a 55,56% do total.
A filha recebe: 7
5
 de 5
27
7
5
5
27
7
27
= × = dos bens, o que corresponde 
a 25,93% do total.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 44 13/3/2008 17:39:34
45
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Equação do 2o grau
Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar 
algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes 
cálculos. A fórmula mais conhecida é a fórmula de Bhaskara:
x b
a
b b a c
a
x b b a c
a
x b b a c
a
= − ±
⋅
= − ± − ⋅ ⋅
⋅
= − + − ⋅ ⋅
⋅= − − − ⋅ ⋅
⋅
∆
2
4
2
4
2
4
2
2
1
2
2
2
Exemplos
 1) Resolva as equações do 2o grau.
a) 2 5 3 02x x+ − =
x = − ± − ⋅ ⋅−
⋅
= − ± + = − ± = − ±5 5 4 2 3
2 2
5 25 24
4
5 49
4
5 7
4
2
x1
5 7
4
2
4
1
2
= − + = =
x2
5 7
4
12
4
3= − − = − = −
b) 16 02− =x
x = − ± − ⋅− ⋅
⋅−
= ±
−
= ±
−
0 0 4 1 16
2 1
0 64
2
8
2
2
x1
8
2
4=
−
= −
x2
8
2
4= −
−
=
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 45 13/3/2008 17:39:37
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
 2) Encontre o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade 
para as funções de demanda e oferta, sendo x a 
quantidade e y o preço:
x x y
x y
2
2
5 1 0
2 9 0
+ − + =
+ − =
Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos 
resolver o sistema de equações dado. Isolamos y x= −9 2 2 e 
substituímos na primeira equação:
x x x
x x x
x x
2 2
2 2
2
5 9 2 1 0
5 9 2 1 0
3 5 8 0
+ − −( ) + =
+ − + + =
+ − =
Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, 
temos:
x = − ± − ⋅ ⋅−
⋅
= − ± + = − ±5 5 4 3 8
2 3
5 25 96
6
5 121
6
2
x1
5 11
6
6
6
1= − + = =
x2
5 11
6
16
6
= − − = −
Como x representa a quantidade do produto, não faz sentido 
ser representado por um número negativo. Assim, apenas nos 
interessa o valor de x1 = 1.
Substituindo x = 1 em uma das equações, temos:
y x
y
y
y
= −
= − ⋅
= −
=
9 2
9 2 1
9 2
7
2
2
Portanto os valores y = 7 e x = 1 representam o preço de 
equilíbrio e a quantidade para as funçõe de demanda e oferta 
apresentadas.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 46 13/3/2008 17:39:38
47
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Parada recreativa
Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos?
Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais é dito um 
quadrado mágico se a soma dos números numa coluna, numa linha ou 
em qualquer das diagonais for sempre a mesma. 
A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na Índia muitos reis 
usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iemen 
afirmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas 
moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao pescoço, evitava, 
segundo a crença de certas tribos, o contágio da peste.
Fonte: Faculdades de Guarulhos. 
Disponível em: <http://www.faculdadesdeguarulhos.edu.br/artigos.html>.
Se a tradição for verdadeira, vale a pena completar o quadrado 
mágico proposto. Lembre-se de que ao multiplicar os valores das 
linhas, colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor.
– 12 – 1
6
– 3
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 47 13/3/2008 17:39:39
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Ao finalizar esta unidade você já pode dizer que conhece todos os 
números que são amplamente discutidos na Matemática e, muitas 
vezes, erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que 
os conceitos relacionados aos números, às frações e às operações 
são importantes para que você avance e amplie seus estudos na 
Matemática. 
Lembre-se de que a Matemática também é a base do curso que 
você está realizando, principalmente no que diz respeito ao 
desenvolvimento do raciocínio lógico. Um bom profissional nos 
dias de hoje deve desenvolver várias habilidades e competências 
e, dentre elas, destaca-se a facilidade em resolver problemas. A 
Matemática pode ajudá-lo neste contexto. Pense nisto!
Nas próximas unidades você irá estudar as funções.
Até lá!
Atividades de auto-avaliação
1) efetue as operações indicadas:
a) 
2
3
5
6
+
b) 
1
9
2
7
−
c) 10 3
4
÷
d) 9 4
5
−
e) 
1
4
0 3− ,
f) 
3
4
1
3
×
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 48 13/3/2008 17:39:40
49
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
g) 
1
2
3 7
3
× +



h) 
3
4
5
3
÷
i) 
7
6
7
j) 
10
5
3
2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$ 1200,00. No 
mês de suas férias ele recebe o seu salário mais 
1
3
 referente às férias. 
Quanto ele recebe?
3) Mario trabalhou sete meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. 
Por isso, recebeu a quantia igual a 
7
12
 de um salário, correspondente à 
parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida?
4) Se 
2
5
 correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro?
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 49 13/3/2008 17:39:41
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro 
que roda em média 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel 98 
quilômetros distante?
6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa 
quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio?
7) Uma mãe deu dinheiro aos três filhos, dizendo que era um terço para 
cada um. O primeiro filho gastou só um terço da sua parte. Que fração 
do total ele gastou? 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 50 13/3/2008 17:39:41
51
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos 
de idade. esses jovens correspondem a que fração do quadro de 
associados?
9) em uma aplicação financeira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, 
sendo descontada uma taxa anual fixa, relativa à administração, igual a 
5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$ 6000,00 e aplica este 
dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo final?
10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de 
uma cidade, obteve-se o seguinte resultado:
Número de pessoas
Candidato A 132
Candidato B x
Indecisos 74
Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 51 13/3/2008 17:39:42
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Um incêndio destruiu 30% da área verde em uma floresta. Se 20% 
desta floresta é formada por rios e riachos e o restante somente por 
área verde, qual o percentual da floresta atingida pelo fogo?
12) Resolva as seguintes equações:
a) 
3 1
5
x x+ = −
b) 3 3 12x + = −
c) 
2 5
4
1
2
x
x
+
−
=
d) x x2 2 3 0+ − =
e) x x−( ) +


=3 1
2
0
f) 2 5 4 0x x−( ) −( ) =
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 52 13/3/2008 17:39:43
53
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Saiba mais
Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a 
Matemática não está presente apenas nos livros, é a leitura do 
livro Mar Sem Fim, de Amyr Klink (veja a seguir a referência 
completa).
Além de navegar junto com o autor, você poderá expandir seus 
conhecimentos e observará a Matemática presente em cada 
página, nos maravilhosos relatos do autor sobre sua aventura ao 
redor da Antártica!
KLINK, Amyr. Mar sem fim: 360º ao redor da Antártica. São 
Paulo: Companhia das Letras, 2000.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 53 13/3/2008 17:39:43
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 54 13/3/2008 17:39:43
2UNIDADe 2Funções
Objetivos de aprendizagem
Identificar funções presentes no cotidiano e que „
modelam situações-problema.
Analisar representações gráficas dos diferentes tipos „
de funções.
Analisar características e propriedades das funções. „
Seções de estudo
Seção 1 Introdução
Seção 2 Tipos de funções
Seção 3 Propriedades e características
Seção 4 Função inversa
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 55 13/3/2008 17:39:44
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Sexta-feira à noite, após uma semana inteira 
de trabalho, Ted e Mad encontram-se em um 
barzinho da cidade:
– E aí, amigo, tudo bem?
– Opa, rapaz, curtindoum happy hour?
– Pois é, na verdade só estou dando uma passadinha 
para fazer uma hora. Tenho uma festa na família 
para hoje ainda.
– De qualquer forma, sente aqui um pouquinho. O 
que você quer beber?
– Um refrigerante, sabe como é, ainda vou dirigir!
– Ok, garçom, manda um “refri” bem gelado.
Em seguida chega o garçom, com o refrigerante 
e um copo de gelo.
– Sabe, estes dias eu estava pensando: por que será 
que eles sempre trazem este copo com gelo? Percebi 
que as bebidas não estão tão geladas. Será que o custo 
é menor, desta forma? Vamos gastar menos energia 
elétrica e garantir a qualidade oferecendo gelo?
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 56 13/3/2008 17:39:44
57
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
– Pois é, não sei não. Se pudéssemos modelar 
uma função que relacionasse todas as variáveis 
envolvidas, talvez chegássemos a alguma conclusão...
– Seria necessário levar em consideração o tempo que 
a bebida precisa ficar no refrigerador, se o bar possui 
espaço suficiente para armazenar gelado tudo o que 
consome em uma noite, o preço do gelo, etc., etc., etc.
– Acho que é uma função de várias variáveis, como 
dizia nosso professor de Matemática!
– Tudo bem, tudo bem! Quem sabe em uma outra 
hora a gente aprofunda este assunto. Agora vamos 
brindar ao final de semana!
Seção 1 - Introdução
Você já parou para pensar onde aparecem as funções 
em sua vida? Mas antes disso, você sabe realmente o 
que é uma função? 
Você pode pensar, intuitivamente, que uma função é uma relação 
entre variáveis. 
Assim, por exemplo, podemos dizer que a temperatura depende 
da umidade relativa do ar, da localização que está sendo 
considerada, da altitude, da presença de um ar condicionado, 
entre outras coisas.
É possível dizer, de forma simplificada, que a temperatura é uma 
função destas variáveis elencadas, ou seja,
Temperatura = f (umidade relativa do ar, localização, altitude, ar 
condicionado).
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 57 13/3/2008 17:39:44
58
Universidade do Sul de Santa Catarina
Esta pode ser uma função que envolve muitas variáveis. 
Perceba que Ted e Mad também identificaram uma relação entre 
variáveis. Se analisarem com mais detalhes, podem até modelar 
uma função que auxilie o dono do bar na tomada de decisão 
sobre a questão levantada.
Para entender as funções de muitas variáveis, 
é importante que você conheça, num primeiro 
momento, algumas funções mais simples, chamadas 
de funções de uma variável. São também relações 
que envolvem apenas duas variáveis: uma dita 
dependente e outra dita independente. 
– Que tal um exemplo?
existem inúmeras situações que envolvem estas 
funções de uma variável, por exemplo:
o espaço percorrido por um automóvel depende do „
tempo;
a área de uma sala quadrada depende da medida do „
seu lado;
o custo de fabricação de um produto depende do „
número de unidades produzidas. 
Nos exemplos colocados, é possível identificar as variáveis 
dependentes e independentes:
variáveis dependentes „ : espaço percorrido, área da sala, 
custo de fabricação do produto;
variáveis independentes „ : tempo, medida do lado da sala, 
número de unidades produzidas.
Para modelar essas situações, são utilizadas funções do tipo y = f (x), 
sendo x a variável independente e y a variável dependente.
Para definir uma função é necessária a existência de dois 
conjuntos e uma relação específica entre eles. A Figura 2.1 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 58 13/3/2008 17:39:44
59
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
mostra diagramas que representam os dois conjuntos e a relação 
em três diferentes situações. Observe que:
todos os elementos do conjunto „ A têm um único 
correspondente no conjunto B;
no conjunto „ D você pode ter elementos que são 
correspondentes de mais de um elemento no conjunto C;
no conjunto „ F você pode ter elementos que não são 
utilizados na relação entre os dois conjuntos.
 a) 
1
2
2
4
A B
b) 
1
2
2
4
C D
0
c) 
1
2
2
4
E F
7
Apresenta uma função de A 
em B: a cada elemento do 
conjunto A corresponde um 
único elemento do conjunto B.
Apresenta uma função de C 
em D. Pode-se dizer que 2 é 
imagem de 1 e 4 é imagem de 
0 e 2, ou 
f (1)= 2
f (0)= f (2) = 4.
Apresenta uma função de E 
em F. O conjunto F tem um 
elemento que não é imagem 
da função.
Figura 2.1 – Diagramas com funções
Definição de função
Formalmente podemos definir função da seguinte forma:
Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos 
números reais. Uma função f A B: → é uma 
lei ou regra que a cada elemento de A faz 
corresponder um único elemento de B. 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 59 13/3/2008 17:39:45
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Linguagem simbólica: 
f A B
x f x
:
( )
→
  ou 
A B
x y f x
f
→
= ( )
Podemos dizer que uma função definida no conjunto dos reais é 
uma relação específica, pois estamos diante de um subconjunto 
do produto cartesiano R x R.
Assim, a representação gráfica de uma função y = f(x) é o 
conjunto dos pares ordenados (x,f(x)), e para cada valor de x 
existe um único correspondente y.
É usual identificar:
Domínio de uma função: conjunto em que a função 
é definida (conjunto A).
Contra-domínio de uma função: conjunto em que a 
função toma valores (conjunto B).
Conjunto imagem de uma função ou simplesmente 
imagem da função: conjunto dos valores f(x). 
Pare! Observe!
Na linguagem mais coloquial é usual confundir as 
notações f com f(x): f é a função f A B: → , enquanto 
que f(x) é o valor que a função assume em x. Costuma-
se falar que f(x) é a imagem de x. 
Olhando o passado! 
euler foi um escritor prolífico da história da 
Matemática. Sua produtividade surpreendente não 
foi prejudicada quando ficou cego. Publicou 530 
trabalhos durante sua vida e muitos manuscritos 
publicados após a sua morte. É muito grande a sua 
contribuição para a matemática. Destaca-se aqui a sua 
autoria por notações matemáticas que permanecem 
imutáveis através dos séculos. Por exemplo, a notação 
de funções y = f(x) .
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 60 13/3/2008 17:39:46
61
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos
 1) Considere as funções apresentadas na Figura 2.1. 
Determine o domínio D(f ), o contra-domínio CD(f ) e o 
conjunto imagem Im(f ).
a)
f A B: →
D(f) = {1,2}
CD(f) = {2,4}
Im(f) = {2,4}
b)
f C D: →
D(f) = {0,1,2}
CD(f) = {2,4}
Im(f) = {2,4}
c)
f E F: →
D(f) = {1,2}
CD(f) = {2,4,7}
Im(f) = {2,4}
Em geral os conjuntos A e B são subconjuntos do 
conjunto dos números reais. Neste caso, as funções são 
ditas reais com variáveis reais e a representação usual é a 
representação algébrica da lei de formação que define a 
relação entre os conjuntos.
 2) Para cada uma das funções, identificadas a partir de sua 
representação algébrica, calcule a imagem nos pontos 1, 
– 3 e 1
2
:
a) f(x) = x – 1
 Para calcular a imagem nos pontos indicados, é 
necessário fazer x = 1, x = – 3 e x = 1
2
. Assim, temos:
 f(1) = 1 – 1 = 0
 f(– 3) = – 3 – 1 = – 4
 f 12
1
2
1 1 2
2
1
2




= − = − = −
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 61 13/3/2008 17:39:47
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) g t t( ) = − 2
 Neste caso, vamos fazer t = 1, t = – 3 e t = 1
2
 . Assim, 
tem-se:
 g 1 1 12( ) = − = −
 g −( ) = − −( ) = −3 3 92
 g t( ) = −



= −1
2
1
4
2
Pare! Observe!
Veja a diferença entre a imagem e o conjunto imagem 
de uma função: o conjunto imagem são todos os 
pontos que a função pode assumir, ou seja, todos os 
valores que a variável y assume. A imagem é calculadapara cada ponto identificado. Assim, é possível calcular 
f 1( ) , f −( )3 ou f 12



 , que serão, respectivamente, 
a imagem da função no ponto 1, – 3 ou 
1
2
.
Seção 2 - Tipos de funções
Para fins didáticos é interessante que as funções sejam 
classificadas de acordo com algumas características. Nesta 
disciplina você terá a oportunidade de aprofundar o estudo das 
funções polinomiais do primeiro e segundo graus (unidades 3 e 
4), das funções racionais e polinomiais com grau maior do que 2 
(unidade 5), das funções exponenciais e logarítmicas (unidade 6) 
e, por fim, das funções trigonométricas (unidade 7).
Neste momento, você terá apenas uma panorâmica geral destes 
tipos de funções, para que possa estudá-las separadamente nas 
demais unidades. Veja nas figuras 2.2 até 2.8 exemplos gráficos 
de diferentes tipos de funções.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 62 13/3/2008 17:39:50
63
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
Figura 2.2 - Função polinomial do primeiro grau
y x= +1 
Figura 2.3 - Função polinomial do segundo grau
y x= +2 1
Figura 2.4 - Função polinomial do terceiro grau 
y x= +3 1
Figura 2.5 - Função racional
y
x
=
+
1
1
 Figura 2.6 - Função exponencial
y x= 2
Figura 2.7 - Função logarítmica
y x= log
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 63 13/3/2008 17:39:52
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
 
Figura 2.8 - Função trigonométrica 
y x= sen
Olhando o futuro! 
existem vários softwares matemáticos que auxiliam 
no tratamento de gráficos de funções. Os gráficos 
apresentados neste material foram feitos no software 
GRAPH 2.6, que está disponível para download em 
http://www.padowan.dk/graph/.
Mas você pode utilizar qualquer outro software para 
fazer gráficos de funções. experimente procurar na 
internet que você encontrará várias versões demo 
prontas para o download. Vale a pena tentar! 
Olhando o presente! 
Os problemas estão ao nosso redor mostrando 
exemplos de funções. Confira!
P1 – A equação de demanda de um produto é p p x2 2 2 24 0+ + − = , 
sendo p o preço de uma unidade x da mercadoria e o número de unidades 
da mercadoria. Se o produto fosse de graça, qual seria a demanda?
Para resolver este problema, é importante entender o que é a 
equação de demanda. Num primeiro momento, perceba que 
estamos trabalhando com duas variáveis:
p „ é o preço de uma unidade da mercadoria;
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 64 13/3/2008 17:39:53
65
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
x „ é a quantidade de mercadoria demandada.
Usando métodos estatísticos e dados econômicos, você pode 
montar uma equação de demanda que pode representar 
funções do tipo p f x= ( ) (função preço) ou x g p= ( ) (função de 
demanda).
Em situações econômicas normais, o domínio dessas funções é 
um subconjunto dos números reais não negativos.
Ao fazer o gráfico dessas funções é usual na área de Economia 
representar a variável p no eixo horizontal e a função fica definida 
em intervalos convenientes.
Podemos considerar também a equação de oferta envolvendo as 
variáveis:
p „ é o preço de uma unidade da mercadoria;
x „ é a quantidade de mercadoria a ser ofertada por um 
produtor.
Numa situação econômica normal esta função é 
crescente. Quando o preço da mercadoria aumenta, 
o produtor aumentará a oferta para tirar vantagem 
dos preços altos. A curva da demanda é decrescente, 
pois quando o preço aumenta a procura do produto 
diminui.
O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de 
mercadoria demandada, a um dado preço, é igual à quantidade de 
mercadoria ofertada àquele preço. 
em outras palavras, o equilíbrio de mercado ocorre 
quando tudo que é oferecido para a venda de um 
determinado preço é comprado. 
No decorrer deste texto vamos voltar a discutir esse tipo de 
problema, que pode ser modelado por funções polinomiais.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 65 13/3/2008 17:39:54
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
A partir destas considerações, podemos definir a demanda, para 
a situação apresentada em P1, caso o produto fosse de graça. A 
representação gráfica da função definida a partir da equação de 
demanda p p x2 2 2 24 0+ + − = poderá auxiliar neste momento.
Podemos determinar a função de demanda dada por x f p= ( ) 
e, para isto, vamos isolar a variável x na equação de demanda do 
produto:
p p x2 2 2 24 0+ + − = .
2 2 242x p p= − − +
x p p= − − +
2 2 24
2
x p p= − − +1
2
122
Usando um software matemático, podemos fazer o gráfico da 
função x p p= − − +1
2
122 , conforme mostra a Figura 2.9:
Figura 2.9 – Curva de demanda do produto
Olhando para o gráfico da Figura 2.9 é possível determinar que, 
se o produto fosse de graça, ou seja, a variável p = 0 , o valor 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 66 13/3/2008 17:39:56
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
da variável x seria igual a 12, ou seja, a demanda seria de doze 
unidades do produto analisado.
É possível encontrar este valor de forma algébrica, fazendo p = 0 
na função encontrada:
x p p= − − +1
2
122
x
x
= − ⋅ − +
=
1
2
0 0 12
12
2
.
Seção 3 - Propriedades e características
Quando você for trabalhar com funções, é importante que 
reconheça as diversas linguagens utilizadas em sua representação. 
Em especial, nas representações gráficas é possível visualizar 
propriedades e características das funções sem a necessidade de 
desenvolvimentos algébricos mais elaborados.
Veja a seguir a formalização das principais propriedades e 
características das funções, que serão estudadas de forma 
específica para cada tipo de função nas próximas unidades.
Representação 
algébrica É a lei de formação da função. Usualmente utiliza-se a notação y f x= ( ) .
Representação 
gráfica É o gráfico da função no sistema cartesiano de coordenadas.
Domínio
São os valores que a variável independente pode assumir. Na representação gráfica, 
é possível identificá-lo a partir da análise do eixo x.
Conjunto 
imagem
São os valores que a variável y assume. Na representação gráfica, é possível 
identificá-lo a partir da análise do eixo y.
Zero ou raiz
Quando igualamos a lei de formação a zero (y=0), haverá um valor 
correspondente de x. Assim, o(s) valor(es) de x tais que f x( ) = 0 será(ão) 
o(s) zero(s) da função. Graficamente é o ponto em que o gráfico corta o eixo x.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 67 13/3/2008 17:39:57
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Sinal de uma 
função
O sinal de uma função é dado pelo sinal da imagem da função. Quando os valores 
de y assumem sinal positivo, dizemos que f x( ) > 0 , ou seja, a função assume 
sinal positivo. Quando os valores de y assumem sinal negativo, dizemos que 
f x( ) < 0 , ou seja, a função assume sinal negativo. Graficamente, a função é 
positiva acima do eixo x e é negativa abaixo dele.
Crescimento ou 
decrescimento
Uma função é crescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2 , com x x1 2< , 
tivermos f x f x1 2( ) < ( ) . Uma função é decrescente se, para dois valores 
quaisquer x1 e x2 ,com x x1 2< , tivermos f x f x1 2( ) > ( ) .
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P2 – Numa indústria, verificou-se que, se o preço de uma peça fosse 
igual a R$5,00, os clientes encomendavam 50 unidades por dia. Quando 
o preço passou a ser R$4,50, as encomendas passaram para 60 unidades 
por dia. Como podemos representar a função de demanda desta peça?
Para resolver este problema, vamos inicialmente fazer o gráfico da 
função p f x= ( ) , sendo p o preço e x a quantidade ofertada. Com 
os dados do problema, podemos dizer que esta função passará pelos 
pontos (50;5) e (60;4,5), conforme mostra o gráfico da Figura2.10.
Figura 2.10 – Representação gráfica da função de demanda da peça
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 68 13/3/2008 17:40:00
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
Para esta função, vamos analisar suas propriedades e 
características:
Representação 
algébrica A lei de formação desta função é dada por p x= − +0 05 7 5, , .
Representação 
gráfica Veja a Figura 2.10.
Domínio
A variável x assume valores que vão de 0 até 150. Portanto temos: 
D f x( ) = ∈[ ]0 150, . Observe que na prática x é um número inteiro, 
mas na área econômica esse formalismo é relaxado.
Conjunto 
imagem
Analisando o eixo vertical do gráfico, podemos perceber que a 
variável p assume valores que vão de 0 até 7,5. Portanto, temos: 
Im ; ,f p( ) = ∈[ ]0 7 5 .
Zero ou raiz O zero da função é o ponto cujo gráfico corta o eixo horizontal, ou seja, o eixo x. Nesta função, isto acontece quando x = 150.
Sinal de uma 
função Esta função é positiva em (0,150), pois seu gráfico está todo acima do eixo x.
Crescimento ou 
decrescimento
É uma função decrescente, pois à medida em que os valores de x aumentam, 
os valores de p diminuem. Dos dados do problema podemos mostrar que, se 
x1 50= e x2 60= , com x x1 2< , teremos:
 
f x
f x
f x f x
1
2
1 2
5
4 5
( ) =
( ) =
( ) > ( )
,
.
Olhando o futuro! 
estamos de forma sistemática incentivando o uso de 
softwares.Veja, no exemplo desenvolvido, a expressão 
que define a lei de formação foi fornecida pelo 
software usado (GRAPH). Colocamos os pontos dados 
usando a ferramenta Function e Insert point series.
Para fazer o traçado do gráfico usamos um ajuste de 
curva usando a ferramenta Function e Insert trendline 
escolhendo a opção linear. Se você ainda não dispõe 
de um software não perca tempo, pesquise o mais 
rápido possível um software livre na internet, pois ele 
vai ser seu ajudante no decorrer desta disciplina. 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 69 13/3/2008 17:40:02
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 4 - Função inversa
Ao definirmos uma função y f x= ( ) na forma f A B: → , 
ressaltou-se que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento 
de A se faz corresponder um único elemento de B.
Em algumas funções, para cada y B∈ existe exatamente um 
valor x A∈ tal que y f x= ( ) . Nestes casos, define-se uma função 
g B A: → na forma x g y= ( ) .
A função g é dita inversa de f, e é denotada por f −1 .
Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo 
grau, por exemplo, não possuem inversa a não ser que seja 
feita uma restrição conveniente no seu domínio e contra-
domínio. Acompanhe com atenção os exemplos para entender o 
procedimento de determinação da função inversa.
Exemplos
 1) Determine a função inversa de f x x( ) = −2 1 .
Para determinar a representação algébrica da função 
inversa de f(x), troca-se o x pelo y na função dada, 
lembrando que podemos escrever y f x= ( ) , ou seja, 
y x= −2 1. Assim tem-se:
x y= −2 1
Isolando a variável y determina-se a função inversa:
x y
y x
+ =
= +
1 2
1
2
.
Portanto, f x− = +1 1
2
.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 70 13/3/2008 17:40:05
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
 2) Determine a representação algébrica da função inversa de 
y
x
= 1 .
Também neste exemplo vamos trocar o x pelo y na forma 
algébrica da função:
x
y
= 1
Isolando a variável y determina-se a função inversa:
x y
y
x
⋅ =
=
1
1
Portanto, y
x
− =1 1 .
 3) Determine a representação gráfica função inversa de f(x), 
cujo gráfico pode ser visualizado na Figura 2.11.
Figura 2.11 – Gráfico da função f (x)
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 71 13/3/2008 17:40:06
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O procedimento de trocar o x pelo y quando se tem o 
gráfico também pode ser realizado. Como temos uma 
reta, podemos marcar os pontos que cortam os eixos para 
que a reta final seja traçada. Assim, a função inversa deve 
passar pelos pontos (0,1) e (–3,0), já que a função passa 
pelos pontos (1,0) e (0,–3). Acompanhe na Figura 2.12 
os pontos marcados para que se possa traçar a reta da 
função inversa.
Figura 2.12 – Gráfico da função f (x)
Por fim, na Figura 2.13 você pode visualizar a 
representação gráfica da função f(x) e de sua inversa, 
representada por f x− ( )1 . Vale destacar que há um eixo 
de simetria entre os dois gráficos que é dado pela reta 
y x= .
Figura 2.13 – Gráfico das funções f (x) e f–1(x)
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 72 13/3/2008 17:40:07
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
 4) Verifique a existência da função inversa de y x x= − +2 4 3 . 
Faça sua representação gráfica, caso exista.
Veja na Figura 2.14 a representação gráfica da função 
y x x= − +2 4 3 :
Figura 2.14 – Gráfico da função y x x= − +2 4 3 
Na função do segundo grau é necessário realizar uma 
restrição no domínio, pois para cada y B∈ existe mais 
de um x A∈ correspondente. Veja no gráfico que quando 
y x= ⇒ =3 0 ou x = 4 .
Portanto, a função inversa só poderá ser identificada caso 
haja uma restrição no domínio da função. Suponha que a 
função passe a ser definida como f : ,2 +∞[ ) →R. Veja na 
Figura 2.15 o gráfico da função:
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 73 13/3/2008 17:40:09
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Figura 2.15 – Gráfico da função y x x= − +2 4 3 definida de 2,+∞[ ) → R
Graficamente, a função inversa é simétrica à função 
y x x= − +2 4 3 definida de 2,+∞[ ) → R, em relação à reta 
y x= . Veja a representação gráfica das duas funções na 
Figura 2.16.
Figura 2.16 – Função f : ,2 +∞[ ) → R, y x x= − +2 4 3 e sua inversa
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2
Na Unidade 6 você estudará que as funções exponenciais 
e logarítmicas podem ser definidas uma como a inversa 
da outra.
Parada recreativa
Malba Tahan foi um escritor famoso por suas atividades recreativas 
envolvendo a matemática. Veja se você consegue resolver a seguinte 
situação apresentada para “o calculista” – figura criada por este autor.
Como pagamento de pequeno lote de carneiros, três criadores de 
Damasco receberam 21 vasos de vinho:
7 cheios; „
7 meio-cheios; „
7 vazios. „
Como dividir em partes iguais, de forma que cada um deles receba o 
mesmo número de vasos e a mesma quantidade de vinho, sem abrir os 
vasos?
Fonte: Faculdades de Guarulhos. 
Disponível em: <http://www.faculdadesdeguarulhos.edu.br/artigos.html>.
Síntese
Ao finalizar esta unidade é importante que você perceba que 
está com uma ferramenta matemática poderosa e muito útil na 
modelagem de problemas práticos. O detalhamento dos itens que 
foram aqui mostrados será apresentado no decorrer das próximas 
unidades. Mas não siga adiante sem antes sanar todas as suas 
dúvidas. Procure o seu professor tutor!
A próxima unidade tratará das funções do primeiro grau. Até 
mais!
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 75 13/3/2008 17:40:11
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
1) Calcule f 0( ) e f 1
2




 para as funções representadas algebricamente 
por:
a) f x x x( ) = − +2 1 b) f x xx( ) =
+
−
1
1
2) A função que expressa o custo total, em reais, de fabricação de um 
produto é dada por C q q q q( ) = − + +3 210 100 100 , sendo q o número 
de unidades do produto.
a) Calcule o custo de fabricação de cinco unidades.
b) Qual o custo de fabricação da quinta unidade?
3) Sejam as funções representadas graficamente nas figuras 2.17 e 2.18:
Figura 2.17 - Gráfico de f (x)
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