SEP Cap 3 Item 3 2 4 Transformadores Monofasicos

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SISTEMAS ELÉTRICOS DE 
POTENCIA 
3.2.4 REPRESENTAÇÃO DE 
TRAFOS MONOFÁSICOS 
EM VALORES “POR 
UNIDADE”(P.U)
- Introdução;
- Valores de Base;
Conteúdo
- Mudanças de Base;
- Impedância em p.u. de Trafos Monofásicos.
• Os valores percentuais e os valores por unidade (p.u.) (ou também
chamados como normalizados) correspondem a uma mudança de
escala nas grandezas principais de Sistemas Elétricos de Potência,
tais como: tensão, corrente, potência, impedância e susceptância.
• Essa mudança facilita muito o cálculo de redes, especialmente quando
existem transformadores nos sistemas em estudo. Dessa forma, os
diferentes níveis de tensão são (de certa forma) eliminados.
Introdução
• A representação da rede elétrica em valores “p.u.” apresenta as
seguintes vantagens:
- simplificação no cálculo de circuitos com vários trafos;
- os valores p.u. fornecem uma visão melhor da análise elétrica de
sistemas com vários níveis de tensão distintos;
- fornecem resultados numéricos de melhor qualidade, uma vez que os
parâmetros da rede ficam na mesma ordem de grandeza;
- Os valores de impedância, tensão, e corrente do transformador em p.u.
são os mesmos, não importando se estão referidos ao lado primário (alta)
ou secundário (baixa).
• Para obtermos os valores em p.u. das 4 grandezas elétricas mais
importantes (V, I, Z, S), devemos definir ou obter os valores de base
(valores-base) para tensão, impedância, corrente e potência. Depois
disto, basta utilizar a seguinte “normalização”:
Valores de Base
Assim, para as 4 variáveis principais, temos:
BaseValor
realValor
puValor
_
_
_ =
Assim, para as 4 variáveis principais, temos:
base
pu
V
V
V
&
& =
base
pu
I
I
I
&
& =
base
pu
base
pu
base
pu
S
Q
Q
S
P
P
S
S
S === ;;
&
&
base
pu
Z
Z
Z =
sendo que os numeradores são fasores ou grandezas complexas e os
denominadores são grandezas reais (escalares).
• Devido às relações entre tensão, corrente, impedância e potência,
basta definirmos 2 bases e as outras 2 serão decorrentes:
Valores de Base
bbb
bbb
IVS
IZV
⋅=
⋅=
• Normalmente, definimos a tensão base e a potência base, e depois,
calculamos Zb e Ib através das equações acima.calculamos Zb e Ib através das equações acima.
• Além disso, para sistemas elétricos trifásicos utiliza-se a potência
trifásica base e a tensão de linha base, e as demais grandezas são
calculadas da seguinte forma:
bL
b
bL
bLbLb
V
S
I
IVS
_
_3
_
___3
3
3
⋅
=
⋅⋅=
φ
φ
b
bL
bL
bL
b
bLb
bL
bfase
S
V
I
V
Z
IZ
V
V
_3
2
_
_
_
_
_
_
3
3
φ
=
⋅
=
⋅==
Exercício 1: Em um sistema trifásico, adotou-se os seguintes valores
bases: Vb = 69 kV e Sb = 30MVA. Obtenha:
a) Ib =?;
b) Zb = ?;
c) Yb = ?;
d) Valor em pu da tensão fasorial
e) Valor em pu da potência ativa P = 20 MW
Valores de Base
kVV
o309,67 ∠=&
f) Valor em pu da potência reativa Q = 10 MVAr
g) Valor em pu da corrente eficaz I = 200 A
h) Valor em pu da impedância
i) Valor em pu da admitância
j) Valor em pu de
l) Valor em pu de
Ω∠= oZ 0100
SiemensY
o90007,0 ∠=
Ω⋅+= 100150 jZ
Ω∠= oZ 69,332776,180
• Em Sistemas Elétricos é comum que os valores dos elementos da rede
sejam fornecidos em valores pu (ou %), tendo por bases as grandezas
nominais dos equipamentos fornecidos pelos fabricantes.
• A grande diversidade desses equipamentos, num mesmo sistema,
exige a execução de mudanças de bases com o intuito de padronizar
os cálculos em pu.
• Para uma rede elétrica com diversos níveis de tensão, as tensões bases
dependem das relações de tensão dos transformadores. Assim, cada
Mudanças de Base
dependem das relações de tensão dos transformadores. Assim, cada
sub-rede (ou sub-sistema) terá uma tensão base, mas que de certa
forma dependerá da relação de tensão dos transformadores que
interligam esta sub-rede às demais sub-redes.
• Já a potência base (trifásica) será a mesma para todo sistema
interligado (conectado).
Mudanças de Base
• Qual é o inconveniente do sistema elétrico acima em termos dos
valores dos parâmetros?
Os valores dos parâmetros estão em representação pu, mas com
bases de potência distintas! Logo, devemos passar os valores das
impedâncias e reatâncias utilizando a mesma base de potência e
atualizarmos as bases de impedância.
Mudanças de Base para Potência
• Sendo conhecido o valor de determinada potência (aparente ou
complexa), seu valor em pu numa base 1 é:
Mudanças de Base
e, por outro lado, a mesma potência terá seu valor em pu numa base 2
como:
11)( bpu SSS ⋅=ouS
S
S
b
pu
1
1)( = )(I
como:
Substituindo (II) em (I), temos que:
ou
S
S
S
b
pu
2
2)( = 22)( bpu SSS ⋅=
1
22)(
1)(
2
11)(
2)(
22)(11)(
b
bpu
pu
b
bpu
pu
bpubpu
S
SS
S
S
SS
S
SSSS
⋅
=
⋅
=
⋅=⋅
)(II
)(III
Mudanças de Base para Impedância
• Uma impedância z tem seu valor em pu, a partir das bases Vb1 e Sb1,
como:
Mudanças de Base
Esta mesma impedância z terá seu valor em pu nas bases Vb2 e Sb2
11)(
1
2
1
1)(
1
2
11
1)(
)(
)(
bpu
b
b
pu
b
bb
pu ZZ
S
V
ZZou
S
V
Z
Z
Z
Z ⋅=⋅=== )(IV
Esta mesma impedância z terá seu valor em pu nas bases Vb2 e Sb2
obtido por:
22)(
2
2
2
2)(
2
2
22
2)(
)(
)(
bpu
b
b
pu
b
bb
pu ZZ
S
V
ZZou
S
V
Z
Z
Z
Z ⋅=⋅=== )(V
Mudanças de Base para Impedância
Como a impedância tem o mesmo valor em Ohms, temos:
Mudanças de Base
2
1
2
1
2
2
2)(2
1
1
2
2
2
2)(1)(
22)(11)(
)(
)(
)(
)(
b
b
b
b
pu
b
b
b
b
pupu
bpubpu
S
S
V
V
Z
V
S
S
V
ZZ
ZZZZ
⋅⋅=⋅⋅=
⋅=⋅
)(VI
1
2
2
2
2
1
1)(2
2
2
1
2
1
1)(2)(
)(
)(
)(
)(
b
b
b
b
pu
b
b
b
b
pupu
S
S
V
V
Z
V
S
S
V
ZZ ⋅⋅=⋅⋅=
Mudanças de Base para Tensão
• Dada uma tensão V (em Volts), seu valor em pu numa base 1 é obtida
por:
Mudanças de Base
e numa outra base por:
11)(
1
1)( bpu
b
pu VVVou
V
V
V ⋅== &&
&
&
Como o valor de V em Volts será sempre o mesmo, temos:
22)(
2
2)( bpu
b
pu VVVou
V
V
V ⋅== &&
&
&
211)(2)(
122)(1)(
22)(11)(
/
/
bbpupu
bbpupu
bpubpu
VVVV
VVVV
VVVV
⋅=
⋅=
⋅=⋅
&&
&&
&&
Mudanças de Base para Corrente
• Sejam duas correntes bases, definidas por:
Mudanças de Base
assim, uma corrente I (em Amperes) será expressa em pu nas bases 1
2
2
2
1
1
1
3
3
b
b
b
b
b
b
V
S
I
V
S
I
⋅
=
⋅
=
assim, uma corrente I (em Amperes) será expressa em pu nas bases 1
e 2, respectivamente por:
1
11
1)(
3 b
bb
pu
V
S
I
I
I
I
⋅
==
&&
&
2
22
2)(
3 b
bb
pu
V
S
I
I
I
I
⋅
==
&&
&
Mudanças de Base para Corrente
Mudanças de Base
Como a corrente I é igual em Amperes, obtemos:
2
2
2)(
1
1
1)(
22)(11)(
33 b
b
pu
b
b
pu
bpubpu
SVI
V
S
I
V
S
I
IIII
⋅
⋅=
⋅
⋅
⋅=⋅
&
&&
&&
1
2
2
1
2)(
1)(
b
b
b
b
pu
pu
S
S
V
V
I
I
⋅=
&
&
ou ainda:
1
2
2
1
2)(1)(
b
b
b
b
pupu
S
S
V
V
II ⋅= &&
2
1
1
2
1)(2)(
b
b
b
b
pupu
S
S
V
V
II ⋅= &&
• Mas por quê o fabricante só fornece apenas um
valor em p.u. para impedância ou reatância?
– Resp.: Porque o valor de sua impedância (ou reatância)
equivalente em p.u., referida ao lado de alta tensão, é igual
ao valor de sua impedância em p.u. referida ao lado de baixa
Impedância em pu de Trafos Monofásicos
ao valor de sua impedância em p.u. referida ao lado de baixa
tensão.
(Desde que as tensões bases sejam os valores nominais de alta e
baixa tensão, a potência base seja a nominal do trafo, e a
relação de transformação não seja alterada).
Obs.: a prova da afirmação acima será feita em sala de aula!
Modelo de transformador monofásico 
de dois enrolamentos
• Como a impedância ou reatância em p.u. para ambos os lados
do trafo são iguais, temos:
A
Aeq
B
Beq
Ab
Aeq
Bb
Beq
AeqBeq
V
Z
V
Z
Z
Z
Z
Z
puZpuZ
22
)()(
)()(
)()(
Ω
=
Ω
Ω
=
Ω
=
&&
&&
&&
• Assim, podemos escrever a impedância em Ohms do lado
de Baixa tensão em função da impedância em Alta
tensão, e o contrário, a partir das expressões:
b
A
b
B
SS






⋅Ω=





⋅Ω=Ω






⋅Ω=





⋅Ω=Ω
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()(
)()()(B
A
Beq
B
A
BeqAeq
A
B
Aeq
A
B
AeqBeq
N
N
Z
V
V
ZZ
N
N
Z
V
V
ZZ
&&&
&&&
Exercício: Um transformador monofásico de 2 enrolamentos tem uma potência 
nominal aparente de 10MVA, tensão nominal em baixa tensão (BT) de 13,8 
kV e tensão nominal em alta tensão (AT) de 138kV. O valor da reatância 
de dispersão equivalente (em Ohms) referida ao lado de baixa (ou primário) 
é de 5 Omhs, conforme a figura a baixo. 
a) Determine a reatância em p.u. no lado da baixa tensão;
b) Determine o valor da reatância de dispersão em Ohms referida ao lado de 
alta tensão;
c) Determine a reatância de dispersão em p.u. no lado de alta tensão.
Resp.: a)0,2625 pu ou 26,25%; b)500 Ω; c) 0,2625 pu ou 26,25%.
Conclusão
• Através do exercício anterior e também da prova matemática
demonstrada (em aula), a impedância (ou reatância) em p.u. do
trafo tem valor único, qualquer que seja o lado referido. Tudo se
passa como se o transformador, em p.u., tivesse relação de
espiras igual a unidade.espiras igual a unidade.
• Por isso é conveniente adotarmos as tensões bases dos circuitos
interligados por transformadores pelas tensões nominais dos
trafos e uma mesma base de potência para todo sistema.
• A seguir, temos mais um exercício.
Exercício: Considere o sistema elétrico monofásico abaixo:
Dados:
Trafo 1: S = 10.000 KVA; BT =13,8KV; AT = 138KV; Xeq = 10%.Trafo 1: S = 10.000 KVA; BT =13,8KV; AT = 138KV; Xeq = 10%.
Trafo 2: S = 10.000 KVA; AT = 138KV; BT = 69KV; Xeq = 8%.
LT: S = 10.000 KVA; Tensão Nominal = 138KV; ZLT = 0,1 +j0,4 pu
a) Calcule a impedância em pu da resistência de 300 Ω referida ao lado de Baixa 
tensão do Trafo 2 (69KV);
b) Calcule a impedância em Ω da resistência de 300 Ω referida ao lado de Alta 
tensão do Trafo 2 (138KV), e o valor em pu desta resistência referida a AT 
do trafo 2. 
c) Apresente o diagrama de impedância deste sistema elétrico. 
d) Considerando que uma tensão (fase-neutro) de 14KV alimenta o lado de BT 
do Trafo 1, qual é o valor da corrente fasorial em Àmperes e em pu no lado 
de BT do Trafo 1? Qual é o valor da corrente fasorial em Àmperes e em pu 
no lado de AT do Trafo 1?
Obs.: Note que o sistema é monofásico, logo a corrente base é calculada por 
Ibase = Sbase/Vbase
Exercício: (continuação)
Resp.: a) 0,63 pu; b) 1200 Ω; 0,63 pu; d) IBaixa = 788,469 |-38,47º (A) e IBaixa (pu)= 1,08809 |-38,47º pu;
IAlta = 78,8467|-38,47º (A) e IAlta(pu)= 1,08809|-38,47º pu
[1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas de
Energia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.
[2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de
Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
Referências Bibliográficas
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição;
Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979.
[4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos
de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.