5_Matematica

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MATEMÁTICA
Didatismo e Conhecimento 1
MATEMÁTICA
A prova de Matemática visa identificar nos candidatos o conhecimento integrado, construído ao longo dos ensinos Funda-
mental e Médio, bem como sua criatividade, raciocínio lógico, capacidade de generalização, interpretação de gráficos e dados 
estatísticos, enfim, autonomia intelectual. Portanto, as questões de Matemática deverão ser elaboradas de modo a evitar a me-
morização e cálculos excessivos, privilegiando o raciocínio. Deseja-se, na medida do possível, questões contextualizadas e que 
privilegiem o universo de atividades do Oficial da Polícia Militar.
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS.
1.1. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS: INDUÇÃO FINITA, DIVISIBILIDADE, 
MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM, DECOMPOSIÇÃO EM FATORES 
PRIMOS.
1.2. NÚMEROS RACIONAIS E NOÇÃO ELEMENTAR DE NÚMEROS REAIS: OPERAÇÕES E 
PROPRIEDADES, ORDEM, VALOR ABSOLUTO, DESIGUALDADES. 
1.3. NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO E OPERAÇÕES NAS FORMAS ALGÉBRICA E 
TRIGONOMÉTRICA, RAÍZES DA UNIDADE. 
1.4. SEQUÊNCIAS: NOÇÃO DE SEQUÊNCIA, PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA, 
NOÇÃO DE LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA, SOMA DA SÉRIE GEOMÉTRICA, REPRESENTAÇÃO 
DECIMAL DE UM NÚMERO REAL.
1.5. GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
1.6. PORCENTAGEM; JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.
Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, 
difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos 
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, 
o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 1 é 2.
d) O sucessor de 19 é 20.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 5 e 6 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é 
sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Didatismo e Conhecimento 2
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Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto 
matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar 
o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos 
números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está 
contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita 
denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a 
ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do 
conjunto B. Neste caso, A = B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos 
do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, 
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a 
Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais 
números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio 
de pedras ou por meio de ábacos.
Propriedades da Adição
- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número 
natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição 
interna no conjunto N.
- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números 
naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o 
segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo 
e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)
Didatismo e Conhecimento 3
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- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural 
qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, 
somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira 
parcela.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são 
as unidades do segundo número denominadas multiplicador.
Exemplo
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos 
o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números 
naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A 
multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator 
com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo 
produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4. 5) = 60
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o 
número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo 
primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das 
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número 
que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se 
multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro 
número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos 
escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é 
dita impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . 
m → m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado 
expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64
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Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1. 
Exemplos:
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b- 13 = 1×1×1 = 1
c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:
- (a) nº = 1
- (b) 5º = 1
- (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. 
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio 
n. Por exemplo:
- (a) n¹ = n
- (b) 5¹ = 5
- (c) 64¹ = 64
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. 
Exemplos:
a- 103 = 1000
b- 108 = 100.000.000
c- 10o = 1
Exercícios
1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente:
2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será? 
3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?
 3cm
4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?
5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de 
comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?
6. Faça a potenciação dos seguintes números:
a) 2³
b) 5³
c) 2²
d) 64
7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?
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9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:
a) 125 : 5
b) 36 : 6
c) 49 : 7
10. Calcule:
a) -8 + 5
b) -5 – 7 
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)
d) –(-5) + (-10) - 14
Respostas
1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é aquele que antecede o n.
Já o consecutivo é n + 1.
2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2.
3) Resposta “9 quadradinhos”. 
Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:
9 x 1 = 9 quadradinhos 
4) Resposta “9”.
Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:
3 x 3 = 9.
5) Resposta “27”.
Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados:
3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.
6) Solução:
a) 2 x 2 x 2 = 
= 8
b) 5 x 5 x 5 =
= 125
c) 2 x 2 =
= 4
d) 6 x 6 x 6 x 6 =
= 1296
7) Resposta “4”.
Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O 
número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4.
8) Resposta “1”.
Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 
3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.
9) Solução:
a) 125 : 5 =
= 25
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b) 36 : 6 =
= 6
c) 49 : 7 = 
= 7
10) Solução:
a) -8 + 5 = 
= -3
b) -5 – 7 =
= -12
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) =
= 10 + 8 – 12 + 17 =
= 35 – 12 =
= 23
d) –(-5) + (-10) – 14 =
= 5 – 10 – 14 =
= 5 – 24 =
= -19
Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, 
o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este 
conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:
- O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0}
- O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N
- O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}
- O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
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Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os 
representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a idéia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto:Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 diferença
 subtraendo
 minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a 
temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Didatismo e Conhecimento 8
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Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3). 
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar 
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes 
consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de 
dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Didatismo e Conhecimento 9
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Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo:
Divisor = quociente 0
Quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = +4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, 
diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é 
igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número 
n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Didatismo e Conhecimento 10
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Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
Radiciação de Números Inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado 
à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do 
radical).
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado 
ao quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
√9 = ±3
mas isto está errado. O certo é:
√9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja 
igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos
(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.
(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.
(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Exercícios
1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?
2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?
3. Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
Didatismo e Conhecimento 11
MATEMÁTICA
4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e)–32 + x = –50
f) 0 – x = 8
5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?
7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.
8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:
a) (–140) : x = –20 
b) 144 : x = –4 
c) (–147) : x = +21 
d) x : (+13) = +12 
e) x : (–93) = +45 
f) x : (–12) = –36
9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?
10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com 
o total?
Respostas
1) Resposta “9²”.
Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.
Os números quadrados perfeitos são:
1² = 1 (menor que dois algarismos)
2² = 4
3² = 9
4² = 16 (dois algarismos)
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100 (mais que dois algarismos)
Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81
2) Resposta “270”.
Solução:
(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101
55 – 51 + 165 + 101 = 270
Portanto, o número inteiro é 270.
Didatismo e Conhecimento 12
MATEMÁTICA
3) Solução:
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18
4) Solução:
a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7
b) x + (+9) = 0 → x = -9
c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4
d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3
e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18
f) 0 – x = 8 → x = -8
5) Resposta “40˚”. 
Solução:
A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.
6) Resposta “-1320”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x+2 = -10
x= -10 -2
x = -12
(-12) . (-12+1) . (-12+2) =
-12 . -11 . -10 = - 1320
7) Resposta “999900”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x= 99
(99) . (99+1) . (99+2) =
99 . 100 . 101 = 999900
8) Solução:
a) (–140) : x = –20
 -20x = -140
 x = 7
b) 144 : x = –4
 -4x = 144
 x = -36
 
c) (–147) : x = +21 
 21x = -147
 x = -7
d) x : (+13) = +12
 x = 12 . 13
 x = 156
 
Didatismo e Conhecimento 13
MATEMÁTICA
e) x : (–93) = +45 
 x = 45 . -93
 x = -4185
f) x : (–12) = –36
 x = -36 . -12
 x = 432
9) Resposta “738”.
Solução:
x + (-846) . -3 = 324
x – 846 . -3 = 324
-3 (x – 846) = 324
-3x + 2538 = 324
3x = 2538 – 324
3x = 2214
x = 
x = 738
10) Resposta “3”.
Solução: Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos:
t + 8 - 5 = t + 3
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
Múltiplos e Divisores
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.
Didatismo e Conhecimento 14
MATEMÁTICA
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N). Os demais são 
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 (k∈ N).
Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. 
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. 
Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado 
pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que 
dividido por 7 é igual a 5.
Didatismo e Conhecimento 15
MATEMÁTICA
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número 
divisível por 8. 
Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número 
divisível por 9. 
Exemplos:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. 
Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma 
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11. 
Exemplos:
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
 4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posiçãoímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
 8 3 4 1 5 7 2 1
 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
Exercícios
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30.
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50.
Didatismo e Conhecimento 16
MATEMÁTICA
3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7?
4. Como são chamados os múltiplos de 2?
5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418 
b) 65000 
c) 38036 
d) 24004 
e) 58617
6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e menores que 20.
7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 
72? Por quê?
8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.
9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.
10. Responda sim ou não:
a) 24 é múltiplo de 2? 
b) 52 é múltiplo de 4? 
c) 50 é múltiplo de 8? 
d) 1995 é múltiplo de 133?
Respostas
1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.
Solução:
5 x 0 = 0
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
2) Resposta “32, 40, 48”.
Solução:
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
3) Resposta “6”.
Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7.
4) Resposta “Pares”. 
Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k∈N)
5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.
Solução:
a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.
b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.
c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.
d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.
e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.
Didatismo e Conhecimento 17
MATEMÁTICA
6) Resposta “14”.
Solução:
7 x 2 = 14.
7) Resposta “72”. 
Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode 
ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.
8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.
Solução:
9 x 0 = 0
9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.
Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.
10) Solução:
a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro.
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro.
MDC e MMC
MDC – O máximo divisor comum de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de todos os números dados. 
Consideremos:
- o número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- o número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24:
D+ (18) D+ (24) = {1, 2, 3, 6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18,24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC:
Decomposição em fatores primos
Para obtermos o mdc de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mdc é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente.
Exemplo
Achar o mdc entre 300 e 504.
300 2 504 2 300 = 22 . 3 . 52
150 2 252 2 504 = 23 . 32 . 7
 75 3 126 2
 25 5 63 3 mdc (300, 504) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12
 5 5 21 3
 1 7 7
 1
Didatismo e Conhecimento 18
MATEMÁTICA
MMC
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números 
dados. Consideremos:
- O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...}
- O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns:
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6,8) = 24
Outra técnica para o cálculo do MMC:
Decomposição isolada em fatores primos
Para obter o mmc de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mmc é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior expoente.
Exemplo
Achar o mmc entre 18 e 120.
18 2 120 2 18 = 2 . 32 
 9 3 60 2 120 = 23 . 3 . 5
 3 3 30 2
 1 15 3 mmc (18, 120) = 23 . 32 . 5 = 8 . 9 . 5 = 360
 5 5
 1 
Números Primos
Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.
Nos inteiros, é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: e . Uma definição um pouco mais técnica, que 
permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, 
e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. 
Por definição, 0, 1 e − 1 não são números primos.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada “primalidade”, e a palavra “primo” também são utilizadas como substantivo ou 
adjetivo. Como “dois” é o único número primo par, o termo “primo ímpar” refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não 
são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema 
Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando 
a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos 
(fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 
89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 
233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 
397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
Exemplos
1 não é primo pois D(1)={1}
2 é primo pois D(2)={1,2} 
Didatismo e Conhecimento 19
MATEMÁTICA
3 é primo pois D(3)={1,3}
5 é primo pois D(5)={1,5}
7 é primo pois D(7)={1,7}
14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, 
de forma única.
Múltiplos e Divisores
Diz-se que um número natural a é múltiplode outro natural b, se existe um número natural k tal que: 
a = k . b 
Exemplo 1
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5.
Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 
5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5.
Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir 
todos os números naturais possíveis.
Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a = k x 2, k seria substituído por todos os números naturais 
possíveis.
Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. 
a = 1 x b ↔ a = b. 
Exemplo 2
Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio: 3 = 1 x 3 
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. 
Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.
Exemplo 3
3 é divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5. 
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. 
Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos 
dividir 6 por um número maior do que ele. Os divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 
4 divisores. 
Exercícios
1. Para encontrar os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por 
resultado o número a. Com base nessa afirmação, encontre o conjunto de divisores de cada um dos seguintes números: 25, 32, 13, 
18 e 60.
2. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de 
bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?
3. Seja b um número natural. Sabendo-se que 64 = b × b × b obtenha o valor de b.
4. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.
Didatismo e Conhecimento 20
MATEMÁTICA
5. Quantos elementos possuem e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento “o”?
6. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?
7. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?
9. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.
10. Qual é o menor número primo com dois algarismos?
Respostas
1) Solução:
D(25) = {1, 5, 25}
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
D(13) = {1, 13}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Encontramos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:
1 x 32 = 32; 2 x 16 = 32; 4 x 8 = 32
8 x 4 = 32; 16 x 2 = 32; 32 x 1 = 32
2) Solução:
Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 
bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.
3) Resposta “b = 4”.
Solução:
R3[64] = 4.
Temos que 64 = b b b, ou seja, 64 = b3. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que 
elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4.
4) Resposta “12, 18, 108”.
Solução: A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo.
Para chegarmos a alguns números que possuem por fatores apenas os números 2 e 3 não precisamos escolher um número e 
fatorá-lo. 
O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 
quantas vezes quisermos. 
Exemplos:
2 x 2 x 3 = 12
3 x 3 x 2 = 18
2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108.
5) Solução:
Possui apenas um elemento e o conjunto de múltiplos de “o” é escrito da forma: M(o) = {o}
O conjunto de múltiplos de “o” é chamado de conjunto unitário, por que:
M(o) = {ox0, ox1, ox2, ox3, ox4, ox5,...}
M(o) = {o, o, o, o, o,...} = {o}
Didatismo e Conhecimento 21
MATEMÁTICA
6) Solução:
M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...}
Seja N o conjunto dos números naturais: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}
Se n é um número do qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N é da forma:
M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, ...}
7) Resposta “6 presentes”.
Solução: 
2 x 3 = 6.
Logo, no total, Maria ganhou 6 presentes.
8) Resposta “número 1”.
Solução:
O número 1.
Se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n.
Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.
9) Resposta “Errado”.
Solução:
Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.
10) Resposta “número 11”.
Números Racionais - Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma mn , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de 
zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional p
q
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5
 = 0,4
1
4
= 0,25
35
 4
= 8,75
153
 50
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
Didatismo e Conhecimento 22
MATEMÁTICA
1
3
 = 0,333... 
 1
22
 = 0,04545...
167
 66
 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. 
Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:
0,9 = 9
105,7 = 57
100,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5
1000
= 1
2002º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
 99
.
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 611
 495
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
Didatismo e Conhecimento 23
MATEMÁTICA
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
- = 3
2
 Módulo de + 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
+ = 3
2
Números Opostos: Dizemos que – 3
2
e 3
2
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro.As 
distâncias dos pontos – 3
2
 e 3
2
 ao ponto zero da reta são iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números 
racionais a
b
 e c
d
, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a
b
 + c
d
 = ad + bc bd
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a
b
e c
d
, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a
b x 
c
d
 = acbd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
Didatismo e Conhecimento 24
MATEMÁTICA
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a
b
 em Q, q diferente de zero, existe q-1 = 
 
b
a 
em Q: q × q-1 = 1 a
b 
x b
a
 = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
125
b) −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
1
8
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
+ 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
− 9
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
 = - 9
4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.
− 3
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
. − 5
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 25
9
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
27
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
− 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
25
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes.
Didatismo e Conhecimento 25
MATEMÁTICA
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
.2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos 
a base e subtraímos os expoentes.
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
. 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
=
3
2
. 3
2
. 3
2
. 3
2
. 3
2
3
2
. 3
2
= 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5−2
= 3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes
1
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+2+2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3+2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9
 Representa o produto 1
3
. 1
3 
ou 1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. Logo, 1
3 
é a raiz quadrada de 1
9
.Indica-se 1
9
= 1
3
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número -100
 9
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10
 3
 como +10
 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
 9
.
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 2
3
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2
3
.
Didatismo e Conhecimento 26
MATEMÁTICA
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) +
3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : −
1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2. Escreva o produto 
73
3
2.
3
2





+




+ como uma só potência. 
3. Escreva o quociente 
 
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
: − 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
como uma só potência. 
4. Qual é o valor da expressão −
13
24
− 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
: + 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ?
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1
6
 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3
4
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1
4
 do livro e no dia seguinte leu 1
6
 do livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
7. Em um pacote há 4
5
 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1
3
. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 
o segundo?
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5
9
 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1
3
 desses apartamentos foi vendido e 1
6
 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
Respostas
1) Solução
a) 7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 7
24
− 10 − 3
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−14 + 9
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Didatismo e Conhecimento 27
MATEMÁTICA
7
24
− 7
24
+ 5
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 7 +10
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 17
24
= − 10
24
= − 5
12
b) +
3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : −
1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
16
− 1
12
+ 5
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
− 9 −14
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
36
16
− 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
5
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 9
4
+ 5
2
+ 5
4
= −9 +10 + 5
4
= 6
4
= 3
2
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
+ 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10
3) Solução:
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
4) Solução:
− 13
24
− − 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
: + 3
4
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ −
13
24
− 1
8
: 3
4
− 13
24
+ 4
24
= −13+ 4
24
= − 9
24
= − 3
8
5) Resposta 11
12Solução: 
1
6
 + 3
4
 = 2
12
 + 9
12
 = 11
12
6) Solução:
a) 1
4
 + 1
6
 = 3
12
 + 2
12
 = 5
12
b) 1- 5
12
 = 12
12
 - 5
12
 = 7
12
7) Respostas 7
15Solução: 
4
5 - 
1
3
 = 12
15
 - 5
15
 = 7
15
Didatismo e Conhecimento 28
MATEMÁTICA
8) Resposta 4
9Solução:
1 - 59 = 
9
9
 - 5
9
 = 4
9
9) Solução:
a) 13 + 
1
6 = 
2
6
 + 16 = 
3
6 = 
1
2
b) 1- 1
2
 = 2
2
 - 1
2
 = 1
2
10) Solução:
a) 2,08 → 
208
100
= 52
25
b) 1,4 → 
14
10
= 7
5
c) 0,017 → 
17
1000
d) 32,17 → 
3217
100
Números Reais
O conjunto dos números reais contém os números racionais (naturais, inteiros e fracionários) e os números irracionais e é 
representado pela letra R.
OBS: Quando relacionamos elementos e conjuntos usamos os símbolos ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence) e quando relacionamos 
conjunto com conjunto usamos os símbolos ⊂ (está contido) ou ⊄ (não está contido).
Ex: 2 ∈ Z
 -2 ∉ N
 N ⊂ Z
 I ⊄ Q
Exercícios Propostos
1- Quais são os números inteiros;
a) de -1 a -5, incluindo esses dois números?
b) de -4 a 3, incluindo, esses dois números?
2- Qual é:
a) o valor absoluto de 7?
b) o valor absoluto de -9?
3- Verifique se estes números são opostos:
a) +15 e -15
b) +9 e -9 
c) -14 e +14 
d) -4 e +2
Didatismo e Conhecimento 29
MATEMÁTICA
4- Qual é o valor das expressões:
a) 25 − [ −3( )3  +6 −] [ − −4( )2 .3+ 5. −2( )3]
b) (+3) 102 )4()2( −+−−
c) 2 3 2 0( 6) .( 4) ( 10) : ( 5) ( 35)− − − − + + −
5- Descubra que número é:
a) -(-15)
b) -(+3)
c) -(-2001)
d) -(+217)
6- Dê três exemplos de:
a) números menores que +1.
b) números menores que -10.
c) números negativos maiores que -10
7- Qual é o número maior
a) +44 ou -100?
b) -20 ou +8?
c) -17 ou -10? 
d) -5 ou 0?
8- Encontre o valor das expressões:
a) -9-(-23+12-1)-(21-9)
b) -5. (-2) + (-3+5). (-1)
c) (-16): 4 . (-2) + (-2)
d) 6 : (-3) + 2(-1) -20 : (-4)
9- Considere as afirmações:
I. Qualquer número negativo é menor que zero.
II. Qualquer número positivo é maior que zero.
III. Qualquer número negativo é menor que um número positivo.
Quais dessas afirmações são verdadeiras?
10- Descubra o número que deve ser adicionado a +25 para que a soma seja +20.
11- Calcule o valor de cada expressão a seguir:
a) 
22
6
1
3
5





 −−





b) (-0,6) 3 + (-1,5) 2
c) 
2 33 8 1 3. :
2 27 2 16
− − −       −       
       
d) (1,1) 3 . 2-(-0,2) 3 +3
12- Uma garota, caminhando rapidamente, desenvolveu uma velocidade de aproximadamente 5,2km/h. Nessas condições, se 
caminhar 18,72 quilômetros, ela demorará quantos horas?
13- O número racional X = (-0,62): (-3,1). (-1,2) + 0,4 – 2. Está compreendido entre dois números inteiros a e b consecutivos. 
Determine os números a e b.
Didatismo e Conhecimento 30
MATEMÁTICA
14- Encontre o valor dos radicais:
a) 81
121
b) - 225
196
15- Encontre o valor das expressões:
a) −2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ :
−5
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
1
5
− 2
b) 1
3
. −3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − 2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
. −7
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
16- A cidade de Peixoto de Azevedo tem aproximadamente 19.224 habitantes. Se um terço da população é composto de jovens, 
pode-se dizer que:
a) o número de jovens é superior a 7.000
b) o número de jovens é igual a 648
c) o número de jovens está entre 6.000 e 7000
d) o número de jovens é inferior a 5.000
e) o número de jovens é igual a 6.480
17- O rótulo informa que o detergente A rende 16 litros. Qual é o rendimento de três desses produtos?
a) 32 litros
b) 1.500 ml
c) 1.500 litros
d) 48 litros
e) 4,8 litros
18- Um carro faz 11 quilômetros com um litro de combustível. A distância entre a cidade A e a cidade B é de 691 quilômetros. 
Quantos litros de combustível são necessários para esse carro ir e voltar e circular mais 103 quilômetros?
a) 135 litros de combustível
b) 155 litros de combustível
c) 62,5 litros de combustível
d) 270 litros de combustível
e) 153 litros de combustível
19- José é João fizeram uma viagem de férias. José guiou 694 quilômetros e João guiou 245 quilômetros a mais que José. 
Quantos quilômetros guiaram os dois?
a) 1384.
b) 1576.
c) 1633.
d) 1893.
e) 1921.
20- Calcule o valor da expressão numérica: 75 – (21 – 8 + 18) -19 + 4. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA.
a) 18
b) 29
c) 32
d) 44
e) 50
21- Na divisão de n por d, o quociente é igual a 8 e o resto é igual a 1. Se n - d = 85, então n é igual a:
a) 107
b) 104
c) 102
d) 98
e) 97
Didatismo e Conhecimento 31
MATEMÁTICA
22- (concurso Agente Administrativo - Pref. P. Alegre/2012) Cinco automóveis estão sendo analisados em relação à quilometragem 
rodada por litro de combustível. Cada um deles apresenta consumo diferenciado: 9,8km/L, 10 km/L, 12,5km/L, 15km/L e 16,2km/L. O 
que aconteceria com a média do consumo desse grupo se outro automóvel com consumo de 12,7km/L fosse nele incluído?
a) Diminuiria em 2km/L. 
b) Aumentaria em 1,2km/L.
c) Diminuiria em 0,3km/L.
d) Permaneceria a mesma
Respostas dos exercícios propostos:
1-
a) -5, -4, -3, -2, -1
b) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
2-
a) 7
b) 9
3-
a) sim
b) sim
c) sim
d) não
4-
a) +114
b) +4
c) -103
5-
a) -15
b) -3
c) +2001
d) -217
6-
a) zero e todos os nº negativos
b) -11, -12, -13,...
c) -9, -8, -7
7-
a) +44
b) +8
c) -10
d) 0
8-
a) -9
b) 8
c) 6
d) 1
9- Todas
10- (-5)
Didatismo e Conhecimento 32
MATEMÁTICA
11- 
a) 11
4
b) 2,034
c) 0
d) 5,67
12- 3,6 horas ou 3 horas e 36 minutos
13- x = -0,3 os números a e b são 0 e -1
14- 
a) 9
11
b) −15
14
15- 
a) 4
13
b) 21
8
16- Alternativa C
17- Alternativa D
18- Alternativa A
19- Alternativa C
20- Alternativa B
21- Alternativa E
22- Alternativa D
Números Complexos
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor 
negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos 
reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma 
interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos: 
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Didatismo e Conhecimento 33
MATEMÁTICA
Igualdade entre números complexos: Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais 
a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos: Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e 
imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais 
e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta 
forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois 
binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c+ adi + bci + bdi
2
z1.z2= a.c + bdi
2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo: Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador 
pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2
-] / [z2z2
-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro 
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso 
para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira
Didatismo e Conhecimento 34
MATEMÁTICA
Forma polar dos números complexos: Da interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar: Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
Exercícios
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i. Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro. 
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
4 - Os módulos de z1 = x + 20
1/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Respostas
Resolução 01.
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
Didatismo e Conhecimento 35
MATEMÁTICA
Resolução 02.
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
Resolução 03.
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
Resolução 04.
Então, |z1= (x
2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)
2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
Resolução 05.
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i
Para a forma trigonométrica, temos que: 
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 (cos 315º + i sen 315º)
Progressão Aritmética (PA)
Podemos, no nosso dia a dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem 
de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo 
até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural 
diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas.
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. 
As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.
Exemplos:
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2; 
a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3; 
a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita 
com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.
1. Igualdade
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem 
os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes.
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.
Didatismo e Conhecimento 36
MATEMÁTICA
Exemplo
A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles 
estão em ordem diferente.
2. Formula Termo Geral
Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja, 
dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.
Exemplos 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a:
an = n – 2n,com n € N* a
Teremos:
A1 = 1
2 – 2 . 1 a a1 = 1
A2 = 2
2 – 2 . 2 a a2 = 0
A3 = 3
2 – 2 . 3 a a3 = 3
A4 = 4
2 – 4 . 2 a a4 = 8
A5 = 5
5
 – 5 . 2 a a5 = 15
- Determinar os cinco primeiros termos da seqüência cujo termo geral é igual a:
an = 3 . n + 2, com n € N*.
a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5
a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8
a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11
a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14
a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:
an = 45 – 4 + n, com n € N*.
Teremos:
a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3
a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47
3. Lei de Recorrências
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a 
determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.
Exemplos
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:
a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.
Teremos:
a1 = 3
a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2
a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0
a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4
a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.
a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10
Didatismo e Conhecimento 37
MATEMÁTICA
a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8
a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6
a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4
Observação 1
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar 
um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da 
sequência através da lei de recorrências.
Observação 2
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, 
nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “des-
truiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.
4. Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, 
tornar o procedimento mais simples:
PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.
PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão igual a 2r.
PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r.
Exemplo
- Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.
Teremos:
Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:
(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.
Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.
Dessa forma a sequência passa a ser:
(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:
(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21
r2 = 4 → 2 ou r = -2.
Sendo a PA crescente, ficaremos apenascom r= 2.
Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.
5. Propriedades
P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:
I - an = an-1 + r
II - an = an+ 1 –r
Didatismo e Conhecimento 38
MATEMÁTICA
Fazendo I + II, obteremos:
2an = an-1 + r + an +1 - r
2an = an -1+ an + 1
Logo: an = an-1 + 
an +1
2
Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.
6. Termos Equidistantes dos Extremos
Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o 
primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão:
(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:
a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos;
a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos;
a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.
Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim 
sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.
Propriedade
Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.
Exemplo
Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos.
Teremos, então:
I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – r
II - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – r
Fazendo I + II, teremos:
Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – r
Ap + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . r
ap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . r
ap + ak = a1 + an
Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am) é a media aritmética dos extremos.
Am =
a1 + an
2
7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA
Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an
 (igualdade I)
Podemos escrever também:
Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1
 (igualdade II)
Didatismo e Conhecimento 39
MATEMÁTICA
Somando-se I e II, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)
Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a 
soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + 
+… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n
E, assim, finalmente:
Sn =
(a1 + an ).n
2
Exemplo
- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...).
Dados: a1 = 2
 r = 5 – 2 = 3
Calculo de a60:
A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3
 a60 = 2 + 177
 a60 = 179
Calculo da soma:
Sn = (a1 + an )n
2
→ S60 = (a1 + a60 ).60
2
S60 =
(2 +179).60
2
S60 = 5430
Resposta: 5430
Progressão Geométrica (PG)
PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada 
razão da PG.
an+1 = an . q
Com a1 conhecido e n € N*
Exemplos
- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2.
- (-36, -18, -9, −9
2
 , −9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1= -36 e razão q = 1
2
.
- (15, 5, 5
3
 , 5
9
 ,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 1
3
.
- (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razão q = 3.
- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = -3.
- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1.
- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0.
- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer.
Didatismo e Conhecimento 40
MATEMÁTICA
Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido 
pelo anterior.
q = an +1
an
(an ≠ 0)
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.
- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. 
A PG constante é também chamada de PG estacionaria.
- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
Formula do Termo Geral
A definição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores que 
a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a 
fórmula do termo geral da progressão geométrica.
Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q
2
a4 = a3 . q = a1 . q
3
a5 = a4 . q = a1 . q
4
. .
. .
. .
an= a1 . q
n-1
Exemplos
- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a:
an = a1 . q
n-1 → an = 2 . 3
n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:
A5 = 2 . 3
4 → a5 = 162
- Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = , temos o termo geral na igual a:
an = a1 . q
n-1 → an = 15 . 
n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:
A6 = 15 . 
(1).5
2
 → a6 = 
5
81- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a:
an = a1 . q
n-1 → an = 1 . (-3)
n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:
A4 = 1 . (-3)
3 → a4 = -27
Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é possível através de alguns elementos de 
resolução, tornar o procedimento mais simples.
PG com três termos:
Didatismo e Conhecimento 41
MATEMÁTICA
a
q
 a; aq
PG com quatro termos:
a
q3
; q
q
; aq; aq3
PG com cinco termos:
a
q2
; q
q
; a; aq; aq2
Exemplo
Considere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto 
é 27.
Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q.
Assim,
b
q
. b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.
Temos:
3
q
 + 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a
q = 3 ou q = 1
3 
Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9.
Propriedades
P1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:
I – an = an-1 . q e
II – an = an+1
q
Fazendo I . II, obteremos:
(an)
2 = (an-1 . q). ( 
an+1
q
) a (an )
2 = an-1 . an+1
Logo: (an)
2 = an-1 . an+1
Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros dois:
an = √an-1 . an+1
P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.
Didatismo e Conhecimento 42
MATEMÁTICA
Exemplo
Sejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes dos extremos.
Teremos, então:
I – ap = a1 . q
p-1
II – ak = a1 . q
k-1
Multiplicando I por II, ficaremos com:
ap . ak = a1 . q
p-1 . a1 . q
k-1
ap . ak = a1 . a1 . q
p-1+k-1
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap . ak = a1 . an
Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.
Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (am) é a media geométrica dos 
extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.
am = √a1 . an 
Soma dos termos de uma PG
Soma