Vetor direcional e vetor gradiente

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Vetor Gradiente e Derivada
Direcional
APRESENTAR O CONCEITO DE VETOR GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
VETOR GRADIENTE
 
Seja   uma função de duas variáveis e    as suas derivadas parciais. Seja , um
ponto do plano   a projeção de   no plano dada por curvas de nível e    as derivadas
calculadas no ponto     denomina-se Vetor Gradiente ao vetor: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI,
2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
 
 
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O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto . (FLEMMING,
2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Observações:
 
1. O Vetor Gradiente aponta para onde  tem maior velocidade.
2. Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal.
 
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Definição: O vetor gradiente de  no ponto  é o vetor: 
Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de  em .
 
De forma análoga, quando temos , o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano tangente à uma
superfície de nível em um ponto   do espaço   e dado por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI,
2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Exemplos
Dado as funções encontre o vetor gradiente par aos pontos dados.
Observação:
1. Foram calculados o vetor gradiente para diversos pontos.
2. Norma euclidiana do vetor gradiente       
Á medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do vetor gradiente cresce e se torna igual a duas
vezes a distância do ponto à origem, com podemos observar no gráfico.
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Observação:
1. Foram calculados o vetor gradiente para diversos pontos.
2. Norma euclidiana do vetor gradiente       
Á medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do vetor gradiente cresce e se torna igual a duas
vezes a distância do ponto à origem, com podemos observar no gráfico.
 
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Norma euclidiana do vetor gradiente       
Graficamente:
DERIVADA DIRECIONAL
 
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Se  é uma função diferenciável em a, então  tem derivada direcional para qualquer vetor unitário
  que é dada por: (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009;
VILCHES, 2010)
Observação: Um vetor  é unitário se . Seja  a norma de  é dada por .
Seja    o vetor gradiente de  então a derivada direcional é a direção associada ao vetor gradiente
associado ao vetor unitário . Assim, para calcular a derivada direcional basta calcular o produto escalar
dos vetores   .
Logo 
Exemplos
1. Suponha que   é a temperatura no ponto   numa área com ar-condicionado, mas com a porta aberta.
Movendo-se em direção a porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se mover-se na direção do ar-
condicionado, a temperatura irá diminuir.
A taxa de variação de     em         na direção de       é a derivada direcional. Note que a derivada
direcional depende tanto do ponto     quanto da direção     na qual se afasta de    .
 
2.  Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor .
Solução
Consideremos o vetor unitário 
Logo a derivada direcional é:
 
3.  Calcule as derivadas direcionais de  na direção do vetor   
Solução
Como o vetor     não é unitário, devemos normalizar para encontrar o vetor unitário, logo
 
Assim a derivada direcional é
 
4.  Ache a derivada direcional de       no ponto       na direção 
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Solução
Deve-se verificar se o vetor     é unitário, caso não seja deve-se normaliza-lo. Logo deve-se calcular a norma
euclidiana par verificar se . Assim
Portanto o vetor unitário associado ao vetor   é:
O vetor gradiente de ) é dada por:
A derivada direcional é dada por:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010)
 
1.  Determine o vetor gradiente da função       no ponto 
Solução:
Para encontrar o vetor de      é preciso encontrar as derivadas parciais em relação a    e a     . Em seguida
devemos calcular o valor numérico para o ponto .
Derivada da função 
  e   
Valor numérico da derivada com relação ao ponto  
  e    
 
Logo o vetor gradiente é:
 
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2.  Determine o vetor gradiente da função    no ponto 
Solução:
Para encontrar o vetor de   é preciso encontrar as derivadas parciais em relação a   e   .   Em seguida
devemos calcular o valor numérico para o ponto .
Logo o vetor gradiente é:
 
3.   Ache a derivada direcional de      no ponto       na direção    .
Solução:
Deve-se verificar se o vetor  é unitário, caso não seja deve-se normaliza-lo. Logo deve-se calcular a norma
euclidiana par verificar se . Assim
O vetor gradiente de     é dada por:
A derivada direcional é dada por:
ATIVIDADE FINAL
Suponha que a temperatura no ponto      do espaço seja dada por 
  em e que   é medida em graus Celsius e  e    em
metros. Com relação ao ponto  qual é temperatura máxima e
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a temperatura mínima?
A. A temperatura máxima é de   e a temperatura mínima é de
B. A temperatura máxima é de   e a temperatura mínima é de  
C. A temperatura máxima é de   e a temperatura mínima é de 
D. A temperatura máxima é de   e a temperatura mínima é de  
Suponha que a temperatura no ponto   do espaço seja dada por   
  em e que   é medida em graus Celsius e  e    em
metros. Em que direção no ponto   a temperatura aumenta
mais rapidamente? Qual é taxa máxima de aumento?
A. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(11,-21) a uma
taxa de aumento de 23,7 C/m
B. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(11,-21) a uma
taxa de aumento de -23,7 C/m
C. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-11,-11) a uma
taxa de aumento de 23,7 C/m
D. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-21,-11) a uma
taxa de aumento de 23,7C/m
Suponha que a temperatura no ponto   do espaço seja dada por 
  em e que   é medida em graus Celsius e  e    em
metros. Em que direção no ponto   a temperatura aumenta
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mais rapidamente e qual direção a temperatura diminui mais
rapidamente? 
A. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5/8,-5/4, 15/8)
e diminui mais rapidamente na direção  
B. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5,-5, 15) e
diminui mais rapidamente na direção d=(5,  5, -15)    
C. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-1,-2, 6) e
diminui mais rapidamente na direção d=(1,  2, -6)    
D. A temperatura aumenta mais rapidamente na direção d=(-5/8,-5/4, 15/4)
e diminui mais rapidamente na direção d=(5/8,  5/4, -15/4)  
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A E B. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vols.1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MUROLO, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vols.1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V 1 e 2. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro.
2010.
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