Pre Calculo operações de potenciação e radiciação- Estudo de casos

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Pré-Calculo 
Conjuntos dos números racionais relativos 
operações de potenciação e radiciação 
Estudo de casos 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
1. Introdução 
São todos os números que são representados na 
forma decimal, aqueles números que podem ser 
escritos na forma de fração. 
Números Racionais 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais. 
,...
2
1
,...5,2
,...3,0
,...
7
2
,...3,2,1,0
,...3,2,1,0 
N
Z
Q
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes. 
Por exemplo: 
Números Racionais 
♦ Em forma de fração ordinária e todos os seus opostos. 
Esses números têm a fora com a , b Z e b ≠ 0. 
 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
b
a

3
9
;
2
1
;
3
6
 
 
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou 
extensão finita: 
 
 
Números Racionais 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
10
3
3,0 
4
3
100
75
75,0




4
1
100
25
25,0 
 
 
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de 
extensão infinita periódica. São dízimas periódicas 
simples ou compostas: 
 
 
Números Racionais 
As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma : 
com a, b Z e b ≠ 0. 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
...3333,0
3
1
 ...36363636,0
11
4
 ...2555,0
90
23

b
a

 
 
 O conjunto dos números racionais é representado pela 
letra Q maiúscula na figura. 
 
Conjunto dos Números Racionais 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Q
 
N 
Z 
OU 
Q = {x = , com a Z e b Z*} 
b
a
Q = { , sendo a e b números inteiros e b ≠ 0} 
b
a
Q ZN :Indicamos
Q em contido está Ze Z,em contido está N

 
 
 Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. 
 
 
Conjunto dos Números Racionais 
Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero. 
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. 
Q- ---------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. 
Q*+ --------- É o conjunto dos números racionais positivos. 
Q*- --------- É o conjunto dos números racionais negativos. 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
 
 
 Representação Geométrica 
 
 
Conjunto dos Números Racionais 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
5,1
5
4
...25,0
3
1
4
5
2
7
...1...0
Conjunto dos Números Racionais 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
 
Entre dois números 
racionais existem 
infinitos outros 
números racionais. 
5,1
5
4
...25,0
3
1
4
5
2
7
...1...0
Conjunto dos Números Racionais 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
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Recorde 
Os termos de uma fração são: 
numerador 
denominador 7
3
 As operações envolvendo frações são 
fundamentais para a resolução de diversos 
problemas da Matemática e das demais 
ciências. É importante saber adicionar, 
subtrair, multiplicar e dividir esses números 
que são tão comuns em nosso cotidiano. A 
potenciação e a radiciação de frações são 
outras duas operações importantes 
envolvendo os números racionais (frações), 
mas que ainda provocam várias dúvidas 
em muitos estudantes. 
 
 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
 POTENCIAÇÃO 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
Veremos como 
efetuar essas 
operações e 
acabar 
solucionando as 
dúvidas existentes. 
 Potenciação de Números Racionais 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Com expoentes 
inteiros não 
negativos 
 Potenciação de Números Racionais 
A definição da potenciação de números 
racionais com expoentes inteiros positivos é a 
mesma das potências de números inteiros. 
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Potenciação de Números Racionais 
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Para todo número racional a e 
número inteiro n, sendo n > 1, 
definimos: 
expoente 
base fatores 
...
n
aaaa 
na
Conjuntos dos números racionais relativos 
 Potenciação de números racionais 
A definição da potenciação de números 
racionais com expoentes inteiros positivos é a 
mesma das potências de números inteiros. 
Potenciação de Números Racionais 
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Sabemos que a multiplicação de 
frações é feita multiplicando 
numerador com numerador e 
denominador com denominador. 
Assim, segue que: 
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
n
...





 Potenciação de Números Racionais 
A definição da potenciação de números 
racionais com expoentes inteiros negativos é 
da seguinte forma: 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
n
nnn
a
b
a
b
b
a













Potenciação de números Racionais 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
n
nn
b
a
b
a






Note que a potenciação de 
frações é feita elevando o 
numerador e o denominador 
ao expoente n. 
 
 
REGRA DO SINAL DE UMA POTÊNCIA DE 
NÚMERO RACIONAL 
Quadro-resumo da potência an em que a é inteiro e n é natural 
Base e expoente Sinal da potência 
Base positiva Potência positiva 
Base negativa e expoente par Potência positiva 
Base negativa e expoente ímpar Potência negativa 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
2. Exemplos de Aplicação de 
Potência 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das 
seguintes potências. 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
16
9
4
3
4
3
 a)
2
22






625
16
5
2
5
2
 b)
4
44






243
1
3
1
3
1
 c)
5
55






Exemplo 2. Calcule o valor de cada uma das 
seguintes potências. 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
16
9
3
4
3
4
4
3
 a)
2
22













343
1000
7
10
7
10
10
7
 b)
3
333













625
1
625
1
5
1
5
5
1
 c)
5
544













Exemplo 3. Calcule o valor de cada uma das 
seguintes potências. 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
1
1
1
100
9
100
79
 a)
0
00






1
1
1
3
2
3
2
 b)
0
00






1
1
1
23
19
23
19
 c)
0
00






 RADICIAÇÃO 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Veremos como 
efetuar essas 
operações e 
acabar 
solucionando as 
dúvidas 
existentes. 
 Radiciação 
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental 
Conjuntos dos números racionais relativos 
Para realizar a 
radiciação de 
frações, 
utilizaremos os 
mesmos conceitos 
da potenciação. 
Radiciação de Números Racionais 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Considerando uma fração do 
 
tipo , com b ≠ 0, a raiz de 
 
índice n deuma fração é dada 
por: 
b
a
n
n
n
b
a
b
a

3. Exemplos de Aplicação de 
Radiciação 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das 
seguintes raízes. 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
6
5
36
25
36
25
 a) 
3
2
27
8
27
8
 b)
3
3
3 
Exemplo 2. Suponha um terreno quadrado cuja área é 
72,25 m². Calcule o valor que mede cada lado do 
terreno (x, em metro): 
Resolução: 
O número positivo x que, ao ser elevado ao quadrado resulta em 72,25, 
é a raiz quadrada de 72,25. 
Sabemos que esse número é maior que 8, pois 8² = 64, e é menor que 
9, pois 9²= 81. 
Por tentativa, é possível determinar o produto: 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
Então: 
25,725,85,8 
m5,825,72 
4. Exercícios de Aplicação 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
1. Escreva na forma de potência os seguintes 
produtos: 
 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
 5,85,85,85,8 a) 













4
3
4
3
 b)
2. Na potenciação, quando elevamos um número 
racional a um determinado expoente, estamos 
elevando o numerador e o denominador a esse 
expoente. Calcule o valor das potências: 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
2
2
5






a) 
3
9
7






b) 
03
9
7
5
3












c) 
3. Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada 
a um número racional, estamos aplicando essa raiz 
ao numerador e ao denominador. Calcule o valor das 
raízes: 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
64,17a) 
44,1b) 
36
25
c) 
4. Paulo comprou um terreno com as seguintes 
medidas: 12,50 m de frente por 15,5 m de lado. 
 
 
a) Calcule a área em m². 
 
b) Calcule a raiz da área do terreno e encontre as 
medidas do lado de um terreno de forma quadrada 
que terá a mesma área do terreno de Paulo. 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
5. Maria pintou 1/3 de um quadro, João também 
pintou 1/3 e Pedro pintou 1/3 restante. Calcule, 
usando potenciação, a quantidade que eles pintaram. 
 
 
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Conjuntos dos números racionais relativos 
6. O volume de um tanque cheio de água é 0,27m³. 
Usando radiciação, calcule as dimensões desse 
tanque em forma de cubo. 
 
 
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7. O volume de um tanque cheio de água é 0,512 m³. 
Usando radiciação, calcule as dimensões desse tanque 
em forma de cubo. 
 
 
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