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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Faculdade de Administração e Finanças - FAF Aplicações de Métodos Quantitativos - Turma 1 Professor responsável: Celso Pieroni Resolução da Primeira Lista de Exercícios Fabiano Gonçalves Lenon Reis de Lima Outubro de 2018 Sumário 1 Primeira Lista de Exercícios - Questões & Resoluções 2 1 Capítulo 1 Primeira Lista de Exercícios - Questões & Resoluções 6. Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classi�que-os: (a) f(x, y) = −x2 − y2 + 2x− 2y RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = −2x+ 2 (1.1) fy(x, y) = −2y − 2 (1.2) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 1 e y = −1. Portanto, o ponto (1,−1) é um ponto crítico. A Hessiana de f(1,−1) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(1,−1) = −2; fxy(1,−1) = 0; fyx(1,−1) = 0 e fyy(1,−1) = −2. Logo, H(1,−1) = ∣∣∣∣fxx(1,−1) fxy(1,−1)fyx(1,−1) fyy(1,−1) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −2 ∣∣∣∣ = 4 (1.3) Como H(1,−1) > 0 e fxx(1,−1) < 0, temos que (1,−1) é o ponto de máximo de f(x, y) (b) f(x, y) = x2 + y2 − xy − 3x− 4y RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 2x− y − 3 (1.4) fy(x, y) = 2y − x− 4 (1.5) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos{ 2x− y = 3 2y − x = 4 2 Implicando em x = 103 e y = 11 3 . Portanto, o ponto ( 10 3 , 11 3 ) é um ponto crítico. A Hessiana de f(103 , 11 3 ) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx( 10 3 , 11 3 ) = 2; fxy( 10 3 , 11 3 ) = −1; fyx( 10 3 , 11 3 ) = −1 e fyy( 10 3 , 11 3 ) = 2. Logo, H( 10 3 , 11 3 ) = ∣∣∣∣fxx(103 , 113 ) fxy(103 , 113 )fyx(103 , 113 ) fyy(103 , 113 ) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 −1−1 2 ∣∣∣∣ = 3 (1.6) Como H(103 , 11 3 ) > 0 e fxx( 10 3 , 11 3 ) > 0, temos que ( 10 3 , 11 3 ) é o ponto de mínimo de f(x, y) (c) f(x, y) = 3 + 4xy RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 4y (1.7) fy(x, y) = 4x (1.8) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0. Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) = 0; fxy(0, 0) = 4; fyx(0, 0) = 4 e fyy(0, 0) = 0. Logo, H(0, 0) = ∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0 44 0 ∣∣∣∣ = −16 (1.9) Como H(0, 0) < 0, temos que (0, 0) é o ponto de sela de f(x, y) (d) f(x, y) = e3x+4y RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 3e 3x+4y (1.10) fy(x, y) = 4e 3x+4y (1.11) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0. Como a função exponencial natural é sempre diferente de zero, independentemente do expoente, tem-se que ∀x fx(x, y) 6= 0 e ∀y fy(x, y) 6= 0. Portanto, não há pontos críticos em f(x, y). (e) f(x, y) = x2 + 2xy + y2 RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 2x+ 2y = 2(x+ y) (1.12) fy(x, y) = 2x+ 2y = 2(x+ y) (1.13) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = x e y = −x. Portanto, o ponto (x,−x) é um ponto crítico. A Hessiana de f(x,−x) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(x,−x) = 2; fxy(x,−x) = 2; fyx(x,−x) = 2 e fyy(x,−x) = 2. Logo, 3 H(x,−x) = ∣∣∣∣fxx(x,−x) fxy(x,−x)fyx(x,−x) fyy(x,−x) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 22 2 ∣∣∣∣ = 0 (1.14) Como H(1,−1) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (x,−x) demandará uma análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à função f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico. Os pon- tos escolhidos são: (0, 0), (1,−1), (2,−2), (−1,−1), (−2,−2) e (2, 2). Portanto, f(0, 0) = 0, f(1,−1) = 0, f(2,−2) = 0, f(−1,−1) = 4, f(−2,−2) = 16 e f(2, 2) = 16. Dado que ∀(x, y) 6= (x,−x), f(x, y) > f(x − x). Conclui-se então que (x,−x) é um ponto de mínimo de f(x, y) (f) f(x, y) = ex 2+y2 RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 2xe x2+y2 (1.15) fy(x, y) = −2yex 2+y2 (1.16) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0. Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) = 2; fxy(0, 0) = 0; fyx(0, 0) = 0 e fyy(0, 0) = 2. Logo, H(1,−1) = ∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 2 ∣∣∣∣ = 4 (1.17) Como H(0, 0) > 0 e fxx(0, 0) > 0, temos que (0, 0) é o ponto de mínimo de f(x, y) (g) f(x, y) = 13x 3 + 13y 3 − 2x2 − 3y2 + 3x+ 5y + 40 RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = x 2 − 4x+ 3 = (x− 1)× (x− 3) = 0 (1.18) fy(x, y) = y 2 − 6y + 5 = (y − 1)× (y − 5) = 0 (1.19) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 1, x = 3, y = 1, y = 5. Portanto, os pontos (1, 1), (1, 5), (3, 1) e (3, 5) são os pontos críticos. A Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir: • Analisando o ponto (1, 1) Temos que fxx(1, 1) = −2; fxy(1, 1) = 0; fyx(1, 1) = 0 e fyy(1, 1) = −4. Logo, H(1, 1) = ∣∣∣∣fxx(1, 1) fxy(1, 1)fyx(1, 1) fyy(1, 1) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −4 ∣∣∣∣ = 8 (1.20) Como H(1, 1) > 0 e fxx(1, 1) < 0, temos que (1, 1) é o ponto de máximo de f(x, y) 4 • Analisando o ponto (1, 5) Temos que fxx(1, 5) = −2; fxy(1, 5) = 0; fyx(1, 5) = 0 e fyy(1, 5) = 4. Logo, H(1, 5) = ∣∣∣∣fxx(1, 5) fxy(1, 5)fyx(1, 5) fyy(1, 5) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 4 ∣∣∣∣ = −8 (1.21) Como H(1, 5) < 0, temos que (1, 5) é um ponto de sela de f(x, y) • Analisando o ponto (3, 1) Temos que fxx(3, 1) = 2; fxy(3, 1) = 0; fyx(3, 1) = 0 e fyy(3, 1) = −4. Logo, H(3, 1) = ∣∣∣∣fxx(3, 1) fxy(3, 1)fyx(3, 1) fyy(3, 1) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 −4 ∣∣∣∣ = −8 (1.22) Como H(3, 1) < 0, temos que (3, 1) é um ponto de sela de f(x, y) • Analisando o ponto (3, 5) Temos que fxx(3, 5) = 2; fxy(3, 5) = 0; fyx(3, 5) = 0 e fyy(3, 5) = 4. Logo, H(3, 5) = ∣∣∣∣fxx(3, 5) fxy(3, 5)fyx(3, 5) fyy(3, 5) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 4 ∣∣∣∣ = 8 (1.23) Como H(3, 5) > 0 e fxx(3, 5) > 0, temos que (3, 5) é o ponto de mínimo de f(x, y) (h) f(x, y) = 13x 3 − 5x2 − y2 − 3y RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = x 2 − 10x = x× (x− 10) = 0 (1.24) fy(x, y) = −2y − 3 = 0 (1.25) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 0, x = 10, y = −32 . Portanto, os pontos (0,− 3 2), (10,− 3 2) são os pontos críticos. A Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir: • Analisando o ponto (0,−32) Temos que fxx(0,−32) = −10; fxy(0,− 3 2) = 0; fyx(0,− 3 2) = 0 e fyy(0,− 3 2) = −2. Logo, H(0,−3 2 ) = ∣∣∣∣fxx(0,−32) fxy(0,−32)fyx(0,−32) fyy(0,−32) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−10 00 −2 ∣∣∣∣ = 20 (1.26) Como H(0,−32) > 0 e fxx(0,− 3 2) < 0, temos que (0,− 3 2) é o ponto de máximo de f(x, y) 5 • Analisando o ponto (10,−32) Temos que fxx(10,−32) = 10; fxy(10,− 3 2) = 0; fyx(10,− 3 2) = 0 e fyy(10,− 3 2) = −2. Logo, H(10,−3 2 ) = ∣∣∣∣fxx(10,−32) fxy(10,−32)fyx(10,−32) fyy(10,−32) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣10 00 −2 ∣∣∣∣ = −20 (1.27) Como H(10,−32) < 0, temos que (10,− 3 2) é o ponto de sela def(x, y) (i) f(x, y) = ex 2+3y RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 2xe x2+3y (1.28) fy(x, y) = 3e x2+3y (1.29) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Como a função expo- nencial natural é sempre diferente de zero, independentemente do expoente, tem-se que x = 0 e ∀y fy(x, y) 6= 0. Portanto, não há pontos críticos em f(x, y). (j) f(x, y) = x3 + 2y2 − 3x− 4y RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 3x 2 − 3 = 3× (x− 1)× (x+ 1) = 0 (1.30) fy(x, y) = 4y − 4 = 4× (y − 1) = 0 (1.31) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 1, x = −1, y = 1. Portanto, os pontos (1, 1), (−1, 1) são os pontos críticos. A Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir: • Analisando o ponto (1, 1) Temos que fxx(1, 1) = 6; fxy(1, 1) = 0; fyx(1, 1) = 0 e fyy(1, 1) = 4. Logo, H(1, 1) = ∣∣∣∣fxx(1, 1) fxy(1, 1)fyx(1, 1) fyy(1, 1) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣6 00 4 ∣∣∣∣ = 24 (1.32) Como H(1, 1) > 0 e fxx(1, 1) > 0, temos que (1, 1) é o ponto de mínimo de f(x, y) • Analisando o ponto (−1, 1) Temos que fxx(−1, 1) = −6; fxy(−1, 1) = 0; fyx(−1, 1) = 0 e fyy(−1, 1) = 4. Logo, H(−1, 1) = ∣∣∣∣fxx(−1, 1) fxy(−1, 1)fyx(−1, 1) fyy(−1, 1) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−6 00 4 ∣∣∣∣ = −24 (1.33) Como H(−1, 1) < 0, temos que (−1, 1) é o ponto de sela de f(x, y) 6 (k) f(x, y) = −x2 − 4xy − 4 RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = −2x− 4y (1.34) fy(x, y) = −4x (1.35) Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0. Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) = −2; fxy(0, 0) = −4; fyx(0, 0) = −4 e fyy(0, 0) = 0. Logo, H(0, 0) = ∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 −4−4 0 ∣∣∣∣ = −16 (1.36) Como H(0, 0) < 0, temos que (0, 0) é o ponto de sela de f(x, y) (l) f(x, y) = x2y2 RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis: fx(x, y) = 2xy 2 (1.37) fy(x, y) = 2x 2y (1.38) Para determinar os pontos críticos devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em (0, y) e (x, 0), respectivamente, como pontos críticos. A Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir: • Analisando o ponto (0, y) Temos que fxx(0, y) = 2y 2; fxy(0, y) = 0; fyx(0, y) = 0 e fyy(0, y) = 0. Logo, H(0, y) = ∣∣∣∣fxx(0, y) fxy(0, y)fyx(0, y) fyy(0, y) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2y2 00 0 ∣∣∣∣ = 0 (1.39) Como H(0, y) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (0, y) demandará uma análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à função f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico. Os pontos escolhidos são: (0, y), (−1,−1) e (2, 2). Portanto, f(0, y) = 0, f(−1,−1) = 1 e f(2, 2) = 16, . Observa-se que ∀(x, y) 6= (0, y), f(x, y) > f(0, y). Conclui-se então que (0, y) é um ponto de mínimo de f(x, y) • Analisando o ponto (x, 0) Temos que fxx(x, 0) = 0; fxy(x, 0) = 0; fyx(x, 0) = 0 e fyy(x, 0) = 2x 2. Logo, H(x, 0) = ∣∣∣∣fxx(x, 0) fxy(x, 0)fyx(x, 0) fyy(x, 0) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0 00 2x2 ∣∣∣∣ = 0 (1.40) Como H(x, 0) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (x, 0) demandará uma análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à 7 função f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico. Os pontos escolhidos são: (x, 0), (−1,−1) e (2, 2). Portanto, f(x, 0) = 0, f(−1,−1) = 2 e f(2, 2) = 16, . Observa-se que ∀(x, y) 6= (x, 0), f(x, y) > f(x, 0). Conclui-se então que (x, 0) é um ponto de mínimo de f(x, y) 7. O lucro que uma empresa obtém, vendendo dois produtos A e B é dado por: L = 600− 2x2 − 4y2 − 3xy + 18x+ 18y (1.41) sendo que, x e y são as quantidades vendidas. Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro. RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = −4x− 3y + 18 (1.42) Ly(x, y) = −8y − 3x+ 18 (1.43) Para determinar o ponto crítico devemos fazer Lx(x, y) = 0 e Ly(x, y) = 0, originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos{ 4x+ 3y = 18 8y + 3x = 18 Implicando em x = 9023 e y = 18 23 . Portanto, o ponto ( 90 23 , 18 23) é um ponto crítico. A Hessiana de L( 90 23 , 18 23) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx( 90 23 , 18 23) = −4;Lxy( 90 23 , 18 23) = −3;Lyx( 90 23 , 18 23) = −3 e Lyy( 90 23 , 18 23) = −8. Logo, H( 90 23 , 18 23 ) = ∣∣∣∣Lxx(9023 , 1823) Lxy(9023 , 1823)Lyx(9023 , 1823) Lyy(9023 , 1823) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 −3−3 −8 ∣∣∣∣ = 23 (1.44) Como H(9023 , 18 23) > 0 e Lxx( 90 23 , 18 23) < 0, con�rma-se que ( 90 23 , 18 23) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 9023 e y = 18 23 são os valores que maximizam o lucro. 8. Quando uma empresa usa x unidades de trabalho e y unidades de capital, sua produção mensal de certo produto é dada por: P = 32x+ 20y + 3xy − 2x2 − 2, 5y2 (1.45) Obtenha os valores de x e y que maximizam a produção semanal. RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de P (x, y) em cada uma das variáveis: Px(x, y) = 32 + 3y − 4x (1.46) Py(x, y) = 20 + 3x− 5y (1.47) Para determinar o ponto crítico devemos fazer Px(x, y) = 0 e Py(x, y) = 0, originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos: 8 { −3y + 4x = 32 −3x+ 5y = 20 Implicando em x = 20 e y = 16. Portanto, o ponto (20, 16) é um ponto crítico. A Hessiana de P (20, 16) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Pxx(20, 16) = −4;Pxy(20, 16) = +3;Pyx(20, 16) = +3 e Pyy(20, 16) = −5. Logo, H(20, 16) = ∣∣∣∣Pxx(20, 16) Pxy(20, 16)Pyx(20, 16) Pyy(20, 16) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 33 −5 ∣∣∣∣ = 11 (1.48) Como H(20, 16) > 0 e Pxx(20, 16) < 0, con�rma-se que (20, 16) é o ponto de máximo de P (x, y). Sendo assim, x = 20 e y = 16 são os valores que maximizam a produção semanal. 9. Uma empresa fabrica um produto que é vendido em dois países estrangeiros. Sejam x e y as quantidades vendidas nesses dois mercados. Sabe-se que as equações de demanda nos dois mercados são dadas por p1 = 6.000 − 2x e p2 = 9.000 − 4y, sendo que p1 e p2 são os preços unitários em cada mercado. A função custo da �rma é C = 60.000 + 500(x+ y). (a) Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro, e ache o valor desse lucro. RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) = RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 5.500x− 2x2 + 8.500y − 4y2 − 60.000 (1.49) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = 5.500− 4x (1.50) Ly(x, y) = 8.500− 8y (1.51) Para determinar o ponto crítico devemos fazer Lx(x, y) = 0 e Ly(x, y) = 0, implicando em x = 1.375 e y = 1.062, 5. Portanto, o ponto (1.375, 1.062, 5) é um ponto crítico. A Hessiana de L(1.375, 1.062, 5) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx(1.375, 1.062, 5) = −4;Lxy(1.375, 1.062, 5) = 0;Lyx(1.375, 1.062, 5) = 0 e Lyy(1.375, 1.062, 5) = −8. Logo, H(1.375, 1.062, 5) = ∣∣∣∣Lxx(1.375, 1.062, 5) Lxy(1.375, 1.062, 5)Lyx(1.375, 1.062, 5) Lyy(1.375, 1.062, 5) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 00 −8 ∣∣∣∣ = 32 (1.52) Como H(1.375,1.062, 5) > 0 e Lxx(1.375, 1.062, 5) < 0, con�rma-se que (1.375, 1.062, 5) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 1.375 e y = 1.062, 5 são os valores que maximizam o lucro. Aplicando o ponto (1.375,1.062,5) à função Lucro, obtém-se: L(x, y) = 5.500(1.375)− 2(1.375)2 + 8.500(1.062, 5)− 4(1.062, 5)2 − 60.000 = $8.236.875 (1.53) (b) Nas condições do item anterior, quais os preços cobrados em cada país? RESOLUÇÃO 9 Aplicando o ponto (1.375, 1.062, 5) às funções que determinam os preços p1 e p2, tem-se: p1 = 6.000− 2(1.375) = $3.250 (1.54) p2 = 9.000− 4(1.062, 5) = $4.750 (1.55) 10. Uma �rma produz dois produtos A e B nas quantidades x e y. As equações de demanda de A e B são: A: p1 = 20− x e B : p2 = 80− 2y. A função custo é C = x2 + y2 + 4x + 4y. Obtenha os preços p1 e p2 que devem ser cobrados para maximizar o lucro. RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) = RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 16x− 2x2 + 76y − 3y2 (1.56) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = 16− 4x (1.57) Ly(x, y) = 76− 6y (1.58) Para determinar o ponto crítico devemos fazer Lx(x, y) = 0 e Ly(x, y) = 0, implicando em x = 4 e y = 12.66. Portanto, o ponto (4, 12.66) é um ponto crítico. A Hessiana de L(4, 12.66) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx(4, 12.66) = −4;Lxy(4, 12.66) = 0;Lyx(4, 12.66) = 0 e Lyy(4, 12.66) = −6. Logo, H(4, 12.66) = ∣∣∣∣Lxx(4, 12.66) Lxy(4, 12.66)Lyx(4, 12.66) Lyy(4, 12.66) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 00 −6 ∣∣∣∣ = 24 (1.59) Como H(4, 12.66) > 0 e Lxx(4, 12.66) < 0, con�rma-se que (4, 12.66) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 4 e y = 12.66 são os valores que maximizam o lucro. Aplicando (4, 12.66) às funções que determinam os preços p1 e p2, obtém-se: p1 = 20− 4 = $16 (1.60) p2 = 80− 2(12.66) = $54.68 (1.61) 11. Resolva o exercício anterior considerando as seguintes funções de demanda: A: p1 = 10− x e B : p2 = 20− 2y e a função custo C = 12x 2 + 12y 2 + 2xy. RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) = RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 10x− 3 2 x2 + 20y − 5 2 y2 − 2xy (1.62) 10 Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = 10− 3x− 2y (1.63) Ly(x, y) = 20− 5y − 2x (1.64) originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos: { 3x+ 2y = 10 5y + 2x = 20 Implicando em x = 1011 e y = 40 11 . Portanto, o ponto ( 10 11 , 40 11) é um ponto crítico. A Hessiana de L( 10 11 , 40 11) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx( 10 11 , 40 11) = −3;Lxy( 10 11 , 40 11) = −2;Lyx( 10 11 , 40 11) = −2 e Lyy( 10 11 , 40 11) = −5. Logo, H( 10 11 , 40 11 ) = ∣∣∣∣Lxx(1011 , 4011) Lxy(1011 , 4011)Lyx(1011 , 4011) Lyy(1011 , 4011) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−3 −2−2 −5 ∣∣∣∣ = 11 (1.65) Como H(1011 , 40 11) > 0 e Lxx( 10 11 , 40 11) < 0, con�rma-se que ( 10 11 , 40 11) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 1011 e y = 40 11 são os valores que maximizam o lucro. Aplicando ( 10 11 , 40 11) às funções que determinam os preços p1 e p2, obtém-se: p1 = 10− 10 11 = $ 100 11 (1.66) p2 = 20− 2× 40 11 = $ 140 11 (1.67) 12. Uma empresa fabrica dois produtos I e II cujos preços de venda são respectivamente $10, 00 e $6, 00. A função custo é C = 2x2 + y2 + xy, onde x e y são as quantidades produzidas de I e II respectivamente. Obtenha os valores de x e y que proporcionam lucro máximo. RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) = RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 10x+ 6y − 2x2 − y2 − xy (1.68) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = 10− 4x− y (1.69) Ly(x, y) = 6− 2y − x (1.70) originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos: { 4x+ y = 10 2y + x = 6 11 Implicando em x = 2 e y = 2. Portanto, o ponto (2, 2) é um ponto crítico. A Hessiana de L(2, 2) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx(2, 2) = −4;Lxy(2, 2) = −1;Lyx(2, 2) = −1 e Lyy(2, 2) = −2. Logo, H(2, 2) = ∣∣∣∣Lxx(2, 2) Lxy(2, 2)Lyx(2, 2) Lyy(2, 2) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 −1−1 −2 ∣∣∣∣ = 7 (1.71) Como H(2, 2) > 0 e Lxx(2, 2) < 0, con�rma-se que (2, 2) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 2 e y = 2 são os valores que maximizam o lucro. 13. Uma empresa fabrica dois produtos P e Q, o primeiro vendido a $4, 00 a unidade e o segundo a $2, 00 a unidade. A função custo mensal é C = 5+x2+y2+xy, sendo que x e y são as quantidades produzidas. (a) Quais as quantidades x e y que maximizam o lucro? RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) = RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 4x+ 2y − x2 − y2 − xy − 5 (1.72) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = 4− 2x− y (1.73) Ly(x, y) = 2− 2y − x (1.74) originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:{ 2x+ y = 4 2y + x = 2 Implicando em x = 2 e y = 0. Portanto, o ponto (2, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de L(2, 0) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx(2, 0) = −2;Lxy(2, 0) = −1;Lyx(2, 0) = −1 e Lyy(2, 0) = −2. Logo, H(2, 0) = ∣∣∣∣Lxx(2, 0) Lxy(2, 0)Lyx(2, 0) Lyy(2, 0) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 −1−1 −2 ∣∣∣∣ = 3 (1.75) Como H(2, 0) > 0 e Lxx(2, 0) < 0, con�rma-se que (2, 0) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 2 e y = 0 são os valores que maximizam o lucro. (b) Qual o lucro máximo? RESOLUÇÃO A função Lucro é de�nida por L(x, y) = 4x+ 2y − x2 − y2 − xy − 5. Aplicando os valores de �x� e �y� que maximizam o lucro: L(p, q) = 4× (2) + 2× (0)− (2)2 − (0)2 − (2)× (0)− 5 = −$1 (1.76) Logo, L(x, y) = −$1 12 14. Uma empresa produz dois bens substitutos, cujas equações de demanda são dadas por: x = 500− 2p+ q (1.77) y = 900 + p− 3q (1.78) em que x e y são as quantidades produzidas, p e q são seus preços unitários, respectivamente. Se a função custo para fabricar esses bens for: C = 10.000 + 200x+ 100y (1.79) Obtenha os valores de p e q que maximizam o lucro e ache o valor desse lucro. RESOLUÇÃO Primeiramente, é necessário reescrever a função Custo (C(x, y)) da forma C(p, q). Portanto, C(p, q) = 10.000+200×(500−2p+q)+100×(900+p−3q)⇔ C(p, q) = 200.000−300p−100q (1.80) De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(p, q) = RT (p, q)− CT (p, q). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(p, q) = p× x+ q × y − C(p, q)⇔ L(p, q) = −200.000 + 800p+ 1.000q − 2p2 − 3q2 + 2pq (1.81) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(p, q) em cada uma das variáveis: Lp(p, q) = 800− 4p+ 2q (1.82) Lq(p, q) = 1.000− 6q + 2p (1.83) originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:{ 4p− 2q = 800 6q − 2p = 1.000 Implicando em p = 340 e q = 280. Portanto, o ponto (340, 280) é um ponto crítico. A Hessiana de L(340, 280) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lpp(340, 280) = −4;Lpq(340, 280) = +2;Lqp(340, 280) = +2 e Lqq(340, 280) = −6. Logo, H(340, 280) = ∣∣∣∣Lpp(340, 280) Lpq(340, 280)Lqp(340, 280) Lqq(340, 280) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 +2+2 −6 ∣∣∣∣ = 20 (1.84) ComoH(340, 280) > 0 e Lpp(340, 280) < 0, con�rma-se que (340, 280) é o ponto de máximo de L(p, q). Sendo assim, p = 340 e q = 280 são os valores que maximizam o lucro. 15. Em relação ao exercício anterior, qual o lucro máximo? RESOLUÇÃO 13 De acordo com o exercício anterior, a função Lucro é de�nida por L(p, q) = −200.000+800p+1.000q− 2p2 − 3q2 + 2pq. Aplicando os valores de �p� e �q� que maximizam o lucro: L(p, q) = −200.000+800× (340)+1.000× (280)−2× (340)2−3× (280)2+2× (340)× (280) = $76.000 (1.85) Logo, L(p, q) = $76.000 16. Um duopólio é tal que as funções custo para as �rmas são C(x) = 3x (1.86) C(y) = 1 2 y2 (1.87) Sendo que x é a quantidade produzida pela primeira �rma e y a da segunda. A equação da demanda do produto é, em que p é o preço unitário: p = 100− 2(x+ y) (1.88) (a) Qual a equação do lucro do duopólio, em função de x e y? RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) = RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x, y) = (100− 2x− 2y)× (x+ y)− 3x− y 2 2 ⇔ L(x, y) = 97x+100y− 2x2− 4xy− 5 2 y2 (1.89) (b) Quais os valores de x e y que maximizam esse lucro? RESOLUÇÃO Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis: Lx(x, y) = 97− 4x− 4y (1.90) Ly(x, y) = 100− 4x− 5y (1.91) originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:{ 4x+ 4y = 97 4x+ 5y = 100 Implicando em x = 21.25 e y = 3. Portanto, o ponto (21.25, 3) é um ponto crítico. A Hessiana de L(21.25, 3) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lxx(21.25, 3) = −4;Lxy(21.25, 3) = −4;Lyx(21.25, 3) = −4 e Lyy(21.25, 3) = −5. Logo, H(21.25, 3) = ∣∣∣∣Lxx(21.25, 3) Lxy(21.25, 3)Lyx(21.25, 3) Lyy(21.25, 3) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 −4−4 −5 ∣∣∣∣ = 4 (1.92) Como H(21.25, 3) > 0 e Lxx(21.25, 3) < 0, con�rma-se que (21.25, 3) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 21.25 e y = 3 são os valores que maximizam o lucro. 14 17. Um monopolista produz e vende um produto em dois mercados, cada qual com a seguinte equação de demanda: p1 = 40− 3x1 (1.93) p2 = 90− 2x2 (1.94) em que p1 e p2 são os preços unitários em cada mercado, x1 e x2 as respectivas quantidades demandadas. A função custo é C = 200 + 10(x1 + x2). (a) Obtenha os preços p1 e p2 que maximizam o lucro. RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x1, x2) = RT (x1, x2)− CT (x1, x2). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x1, x2) = p1 × x1 + p2 × x2 − C(x1, x2)⇔ L(x1, x2) = 30x1 − 3x21 + 80x2 − 2x22 − 200 (1.95) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x1, x2) em cada uma das variáveis: Lx1(x1, x2) = 30− 6x1 (1.96) Lx2(x1, x2) = 80− 4x2 (1.97) Implicando em x1 = 5 e x2 = 20. Portanto, o ponto (5, 20) é um ponto crítico. A Hessiana de L(5, 20) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lx1x1(5, 20) = −6;Lx1x2(5, 20) = 0;Lx2x1(5, 20) = 0 e Lx2x2(5, 20) = −4. Logo, H(5, 20) = ∣∣∣∣Lx1x1(5, 20) Lx1x2(5, 20)Lx2x1(5, 20) Lx2x2(5, 20) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−6 00 −4 ∣∣∣∣ = 24 (1.98) Como H(5, 20) > 0 e Lx1x1(5, 20) < 0, con�rma-se que (5, 20) é o ponto de máximo de L(x1x2). Sendo assim, x1 = 5 e x2 = 20 são os valores que maximizam o lucro. (b) Se não puder haver discriminação de preços (ou seja, se p1 e p2 tiverem que ser iguais), qual o preço que maximiza o lucro? RESOLUÇÃO Reorganizando as equações de p1 e p2, tem-se: x1 = 40 3 − p1 3 (1.99) x2 = 45− p2 2 (1.100) Somando as duas equações acima e fazendo p1 = p2 = p, x1 + x2 = 175 3 − 5p 6 (1.101) De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(p) = RT (p)− CT (p). Aplicando os dados do enunciado e da equação acima, tem-se: 15 L(p) = p× (40 3 − p 3 )+p× (45− p 2 )−200−10× (175 3 − 5p 6 )⇔ L(p) = 400p 6 − 5p 2 6 − 2350 6 (1.102) Tomando a derivada de primeira ordem de L(p) em �p� e igualando a zero: Lp(p) = 400 6 − 10p 6 = 0 (1.103) Implicando em p = 40. Fazendo Lpp = −106 < 0 con�rma-se que p = 40 é preço que maximiza o lucro. 18. Resolva o exercício anterior considerando as seguintes equações de demanda: p1 = 200− x1 (1.104) p2 = 300− 0, 5x2 (1.105) e a função custo C = 10.000 + 80(x1 + x2). RESOLUÇÃO De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x1, x2) = RT (x1, x2)− CT (x1, x2). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se: L(x1, x2) = p1 × x1 + p2 × x2 − C(x1, x2)⇔ L(x1, x2) = 120x1 − x21 + 220x2 − x22 − 10.000 (1.106) Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x1, x2) em cada uma das variáveis e igua- lando o resultado a zero: Lx1(x1, x2) = 120− 2x1 = 0 (1.107) Lx2(x1, x2) = 220− x2 = 0 (1.108) Implicando em x1 = 60 e x2 = 220. Portanto, o ponto (60, 220) é um ponto crítico. A Hessiana de L(60, 220) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que Lx1x1(60, 220) = −2;Lx1x2(60, 220) = 0;Lx2x1(60, 220) = 0 e Lx2x2(60, 220) = −1. Logo, H(60, 220) = ∣∣∣∣Lx1x1(60, 220) Lx1x2(60, 220)Lx2x1(60, 220) Lx2x2(60, 220) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −1 ∣∣∣∣ = 2 (1.109) Como H(60, 220) > 0 e Lx1x1(60, 220) < 0, con�rma-se que (60, 220) é o ponto de máximo de L(x1x2). Sendo assim, x1 = 60 e x2 = 220 são os valores que maximizam o lucro. O cálculo de p1 e p2 é efetuado considerando as equações do enunciado, logo: p1(x1, x2) = 200− x1 = 200− 60 = $140 (1.110) p2(x1, x2) = 300− x2 2 = 300− 110 = $190 (1.111) Caso p1 = p2 = p, reorganizando x1 e x2 e somando as equações, tem-se: x1 = 200− p1 (1.112) 16 x2 = 600− 2p2 (1.113) x1 + x2 = 800− 3p (1.114) Aplicando as equações acima na função Lucro, tem-se: L(p) = p×(200−p)+p×(600−2p)−10.000−80×(800−3p)⇔ L(p) = 1.040p−3p2−74.000 (1.115) Tomando a derivada de primeira ordem de L(p) em �p� e igualando a zero: Lp(p) = 1.040− 6p = 0 (1.116) Implicando em p = 5203 . Fazendo Lpp = −6 < 0 con�rma-se que p = 520 3 é preço que maximiza o lucro. 17
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