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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Faculdade de Administração e Finanças - FAF
Aplicações de Métodos Quantitativos - Turma 1
Professor responsável: Celso Pieroni
Resolução da Primeira Lista de Exercícios
Fabiano Gonçalves
Lenon Reis de Lima
Outubro de 2018
Sumário
1 Primeira Lista de Exercícios - Questões & Resoluções 2
1
Capítulo 1
Primeira Lista de Exercícios - Questões &
Resoluções
6. Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classi�que-os:
(a) f(x, y) = −x2 − y2 + 2x− 2y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = −2x+ 2 (1.1)
fy(x, y) = −2y − 2 (1.2)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 1 e y = −1.
Portanto, o ponto (1,−1) é um ponto crítico. A Hessiana de f(1,−1) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(1,−1) =
−2; fxy(1,−1) = 0; fyx(1,−1) = 0 e fyy(1,−1) = −2. Logo,
H(1,−1) =
∣∣∣∣fxx(1,−1) fxy(1,−1)fyx(1,−1) fyy(1,−1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −2
∣∣∣∣ = 4 (1.3)
Como H(1,−1) > 0 e fxx(1,−1) < 0, temos que (1,−1) é o ponto de máximo de f(x, y)
(b) f(x, y) = x2 + y2 − xy − 3x− 4y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2x− y − 3 (1.4)
fy(x, y) = 2y − x− 4 (1.5)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, originando o sistema abaixo cuja
resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos{
2x− y = 3
2y − x = 4
2
Implicando em x = 103 e y =
11
3 . Portanto, o ponto (
10
3 ,
11
3 ) é um ponto crítico. A Hessiana de
f(103 ,
11
3 ) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Temos que fxx(
10
3 ,
11
3 ) = 2; fxy(
10
3 ,
11
3 ) = −1; fyx(
10
3 ,
11
3 ) = −1 e fyy(
10
3 ,
11
3 ) = 2. Logo,
H(
10
3
,
11
3
) =
∣∣∣∣fxx(103 , 113 ) fxy(103 , 113 )fyx(103 , 113 ) fyy(103 , 113 )
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = 3 (1.6)
Como H(103 ,
11
3 ) > 0 e fxx(
10
3 ,
11
3 ) > 0, temos que (
10
3 ,
11
3 ) é o ponto de mínimo de f(x, y)
(c) f(x, y) = 3 + 4xy
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 4y (1.7)
fy(x, y) = 4x (1.8)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0.
Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) =
0; fxy(0, 0) = 4; fyx(0, 0) = 4 e fyy(0, 0) = 0. Logo,
H(0, 0) =
∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0 44 0
∣∣∣∣ = −16 (1.9)
Como H(0, 0) < 0, temos que (0, 0) é o ponto de sela de f(x, y)
(d) f(x, y) = e3x+4y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 3e
3x+4y (1.10)
fy(x, y) = 4e
3x+4y (1.11)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0. Como a função exponencial
natural é sempre diferente de zero, independentemente do expoente, tem-se que ∀x fx(x, y) 6= 0 e
∀y fy(x, y) 6= 0. Portanto, não há pontos críticos em f(x, y).
(e) f(x, y) = x2 + 2xy + y2
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2x+ 2y = 2(x+ y) (1.12)
fy(x, y) = 2x+ 2y = 2(x+ y) (1.13)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = x e y = −x.
Portanto, o ponto (x,−x) é um ponto crítico. A Hessiana de f(x,−x) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(x,−x) =
2; fxy(x,−x) = 2; fyx(x,−x) = 2 e fyy(x,−x) = 2. Logo,
3
H(x,−x) =
∣∣∣∣fxx(x,−x) fxy(x,−x)fyx(x,−x) fyy(x,−x)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 22 2
∣∣∣∣ = 0 (1.14)
Como H(1,−1) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (x,−x) demandará uma
análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à função
f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico. Os pon-
tos escolhidos são: (0, 0), (1,−1), (2,−2), (−1,−1), (−2,−2) e (2, 2). Portanto, f(0, 0) = 0,
f(1,−1) = 0, f(2,−2) = 0, f(−1,−1) = 4, f(−2,−2) = 16 e f(2, 2) = 16. Dado que
∀(x, y) 6= (x,−x), f(x, y) > f(x − x). Conclui-se então que (x,−x) é um ponto de mínimo
de f(x, y)
(f) f(x, y) = ex
2+y2
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2xe
x2+y2 (1.15)
fy(x, y) = −2yex
2+y2 (1.16)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0.
Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) =
2; fxy(0, 0) = 0; fyx(0, 0) = 0 e fyy(0, 0) = 2. Logo,
H(1,−1) =
∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 2
∣∣∣∣ = 4 (1.17)
Como H(0, 0) > 0 e fxx(0, 0) > 0, temos que (0, 0) é o ponto de mínimo de f(x, y)
(g) f(x, y) = 13x
3 + 13y
3 − 2x2 − 3y2 + 3x+ 5y + 40
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = x
2 − 4x+ 3 = (x− 1)× (x− 3) = 0 (1.18)
fy(x, y) = y
2 − 6y + 5 = (y − 1)× (y − 5) = 0 (1.19)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 1,
x = 3, y = 1, y = 5. Portanto, os pontos (1, 1), (1, 5), (3, 1) e (3, 5) são os pontos críticos. A
Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas
ao ponto crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a
seguir:
• Analisando o ponto (1, 1)
Temos que fxx(1, 1) = −2; fxy(1, 1) = 0; fyx(1, 1) = 0 e fyy(1, 1) = −4. Logo,
H(1, 1) =
∣∣∣∣fxx(1, 1) fxy(1, 1)fyx(1, 1) fyy(1, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −4
∣∣∣∣ = 8 (1.20)
Como H(1, 1) > 0 e fxx(1, 1) < 0, temos que (1, 1) é o ponto de máximo de f(x, y)
4
• Analisando o ponto (1, 5)
Temos que fxx(1, 5) = −2; fxy(1, 5) = 0; fyx(1, 5) = 0 e fyy(1, 5) = 4. Logo,
H(1, 5) =
∣∣∣∣fxx(1, 5) fxy(1, 5)fyx(1, 5) fyy(1, 5)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 4
∣∣∣∣ = −8 (1.21)
Como H(1, 5) < 0, temos que (1, 5) é um ponto de sela de f(x, y)
• Analisando o ponto (3, 1)
Temos que fxx(3, 1) = 2; fxy(3, 1) = 0; fyx(3, 1) = 0 e fyy(3, 1) = −4. Logo,
H(3, 1) =
∣∣∣∣fxx(3, 1) fxy(3, 1)fyx(3, 1) fyy(3, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 −4
∣∣∣∣ = −8 (1.22)
Como H(3, 1) < 0, temos que (3, 1) é um ponto de sela de f(x, y)
• Analisando o ponto (3, 5)
Temos que fxx(3, 5) = 2; fxy(3, 5) = 0; fyx(3, 5) = 0 e fyy(3, 5) = 4. Logo,
H(3, 5) =
∣∣∣∣fxx(3, 5) fxy(3, 5)fyx(3, 5) fyy(3, 5)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 4
∣∣∣∣ = 8 (1.23)
Como H(3, 5) > 0 e fxx(3, 5) > 0, temos que (3, 5) é o ponto de mínimo de f(x, y)
(h) f(x, y) = 13x
3 − 5x2 − y2 − 3y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = x
2 − 10x = x× (x− 10) = 0 (1.24)
fy(x, y) = −2y − 3 = 0 (1.25)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 0,
x = 10, y = −32 . Portanto, os pontos (0,−
3
2), (10,−
3
2) são os pontos críticos. A Hessiana de
f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir:
• Analisando o ponto (0,−32)
Temos que fxx(0,−32) = −10; fxy(0,−
3
2) = 0; fyx(0,−
3
2) = 0 e fyy(0,−
3
2) = −2. Logo,
H(0,−3
2
) =
∣∣∣∣fxx(0,−32) fxy(0,−32)fyx(0,−32) fyy(0,−32)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−10 00 −2
∣∣∣∣ = 20 (1.26)
Como H(0,−32) > 0 e fxx(0,−
3
2) < 0, temos que (0,−
3
2) é o ponto de máximo de f(x, y)
5
• Analisando o ponto (10,−32)
Temos que fxx(10,−32) = 10; fxy(10,−
3
2) = 0; fyx(10,−
3
2) = 0 e fyy(10,−
3
2) = −2. Logo,
H(10,−3
2
) =
∣∣∣∣fxx(10,−32) fxy(10,−32)fyx(10,−32) fyy(10,−32)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣10 00 −2
∣∣∣∣ = −20 (1.27)
Como H(10,−32) < 0, temos que (10,−
3
2) é o ponto de sela de