Teoria_de_vetores_e_exerc_cios_Marcia

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®
v
®
u
 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
 Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
 Cálculo Diferencial e Integral I 
PAGE 
2
Vetores
Existem algumas grandezas que ficam completamente determinadas por apenas um número real, tais como comprimento, área, volume, temperatura. Essas grandezas são chamadas escalares.
Outras, no entanto, não ficarão bem determinadas se além da magnitude não são apresentados uma direção e um sentido. Essas grandezas são chamadas vetoriais e sua representação, de vetores. Temos como exemplo a velocidade, a aceleração, a força.
Geometricamente, podemos representar os vetores por segmentos de reta orientados (ou flechas). A direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor e o comprimento da flecha determine a sua magnitude.
q
 B – ponto final do vetor
 A – ponto inicial do vetor
Se chamarmos o vetor de 
 temos que 
®
®
=
AB
v
. 
Suponha que se está planejando um vôo de Porto Alegre ao Rio de Janeiro. O tempo que leva o vôo é uma grandeza escalar pois basta um número real para determina-la. Já o deslocamento é uma grandeza vetorial pois precisa-se saber a distância a ser percorrida ( de modo que se tenha combustível suficiente ) e em que direção ir ( para não se errar o destino ). Essas duas quantidades especificam o deslocamento ou vetor de deslocamento entre as duas cidades.
Podemos ter, entre vários pares de cidades, vetores deslocamento que têm o mesmo comprimento e a mesma direção. Dizemos que os vetores de deslocamento entre as cidades são os mesmos, embora não coincidam. 
 Cidade B Cidade D Cidade F 
®
w
®
v
®
-
v
2
 Cidade A Cidade C Cidade E 
Os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são ditos segmentos eqüipolentes e representam um mesmo vetor.
Assim sendo, o vetor determinado por um segmento orientado 
AB
 é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de 
AB
 e costuma ser representado por uma das seguintes formas: 
,
®
v
v , 
®
AB
 ou 
A
B
-
.
Módulo de um Vetor
O módulo de um vetor 
®
v
 será representado por 
®
v
 ou 
®
v
 .
Vetor Nulo
Se os pontos inicial e final de um vetor coincidem, então o vetor tem comprimento zero e é chamado de vetor nulo ou vetor zero e denotado por 
®
0
. 
Vetor Unitário
Se 
1
=
®
v
 então 
®
v
 é chamado vetor unitário.
Vetores Opostos
®
-
v
 , chamado de oposto de 
®
v
 é um vetor que tem mesmo módulo e mesma direção de 
®
v
 mas sentido contrário.
®
v
3
 
®
v
®
v
 
 
®
-
v
Versor de um Vetor
O versor de um vetor 
®
v
não nulo é o vetor unitário de mesma direção e sentido de 
®
v
.
Exemplo:®
v
®
®
®
®
-
¹
-
v
w
w
v
 
 
®
v
®
v
de
versor
Vetores paralelos
Dois vetores 
®
v
 e 
®
w
 são paralelos, e indica-se 
®
v
// 
®
w
, se tiverem a mesma direção.
®
®
®
®
+
=
+
v
w
w
v
 
®
v
®
-
u
 
®
w
Observação
Se dois vetores são paralelos então possuem representantes numa mesma reta e são ditos colineares.
Vetores ortogonais
Dois vetores 
®
v
 e 
®
w
 são ortogonais, e indica-se 
®
v
 EMBED Equation.3 ^
 EMBED Equation.3 ®
w
 , se algum representante de 
®
v
 formar um ângulo reto com algum representante de 
®
w
.
®
u
 
 
®
v
 
 
®
w
 
®
v
 
®
w
Vetores Coplanares
Vetores coplanares são vetores que possuem representantes num mesmo plano.
®
v
Exemplo:
®
w
®
u
®
-
u
®
u
®
-
u
®
v
®
u
®
-
u
®
v
®
w
)
,
(
y
x
P
®
v
Observação
Dois vetores são sempre coplanares. Três ou mais vetores podem ou não ser coplanares.
1. Operações com Vetores
1.1 Adição de Vetores
®
v
+ 
®
w
 é o vetor soma de 
®
v
 e 
®
w
.
Se 
®
v
 e 
®
w
 são vetores paralelos então a representação geométrica do vetor soma será feita conforme mostram as figuras abaixo: 
·
B
A
·
0
3
2
y
2
x
· 1
y
3
-
2
1
-
1
-
1
x
B
A
·
· ·
y
x
y
 
x
·
Se 
®
v
 e 
®
w
 não são vetores paralelos então o vetor soma poderá ser representado geometricamente de duas formas diferentes: usando a regra do paralelogramo ou usando a regra do polígono.
®
v
®
v
®
u
q
 Regra do Paralelogramo
 
 Regra do Polígono
®
u
®
v
q
®
u
®
v
·
®
1
v
®
1
1
v
a
®
2
v
®
v
®
2
2
v
a
(
)
1
,
0
)
0
,
1
(
)
,
(
y
x
P
®
v
®
j
y
®
j
®
i
®
i
x
)
3
,
2
(
P
y
x
1.2 Subtração de Vetores
®
®
-
w
v
 é o vetor diferença entre 
®
v
 e 
®
w
 e 
®
®
-
w
v
 = 
)
(
®
®
-
+
w
v
.
3
2
®
v
1.3 Multiplicação de um escalar por um vetor
Se 
*
IR
Î
a
 (
a
 é um escalar ) e 
®
v
 não é o vetor nulo então 
®
v
a
 é um vetor com:
· a mesma direção de 
®
v
;
· sentido igual ao de 
®
v
 se 
0
>
a
 e sentido contrário ao de 
®
v
 se 
0
<
a
.
· 
®
®
=
v
v
a
a
y
Exemplo:
Observações:
· Se 
0
=
a
 ou 
®
®
=
0
v
 então 
®
v
a
 
®
=
0
 
· ·
Se os vetores 
®
v
 e 
®
w
, não nulos, são tais que 
®
v
// 
®
w
 então 
®
®
=
w
v
1
a
 ou 
®
®
=
v
w
2
a
.
 Exemplo: 
5
=
®
v
 e 
3
=
®
w
 ; 
®
®
=
w
v
3
5
 ou 
®
®
=
v
w
5
3
 
· O versor de 
®
v
 EMBED Equation.3 ®
¹
0
 é o vetor unitário 
®
®
v
v
1
 ou 
 EMBED Equation.3 ®
®
v
v
 .
2. Ângulo de dois vetores
O ângulo entre os vetores não nulos 
®
u
 e 
®
v
 é o ângulo 
q
 formado por representantes desses vetores que possuem mesma origem, sendo que 
0
0
180
0
£
£
q
.
 
0
0
90
0
£
<
q
 
 
 
0
90
=
q
 ( 
®
®
^
v
u
)
 
 
 
0
0
180
90
<
<
q
 
0
0
=
q
 
0
0
18
=
q
3. Vetores no IR2
3.1 Decomposição de um vetor no plano vetor
Sejam 
®
1
v
 e 
®
2
v
 dois vetores não colineares.
Qualquer vetor 
®
v
, coplanar com 
®
1
v
 e 
®
2
v
pode ser decomposto segundo as direções de 
®
1
v
 e 
®
2
v
.
 
®
v
= 
®
1
1
v
a
 + 
®
2
2
v
a
Se o vetor 
®
v
 estiver representado pela notação acima dizemos que:
· 
®
v
 é a combinação linear de 
®
1
v
 e 
®
2
v
;
· o conjunto B = { 
®
1
v
,
®
2
v
} é uma base.
· a1 e a2 são componentes ou coordenadas de 
®
v
 na base B.
3.2 Base Ortonormal e Base Canônica no IR2
 
Uma base { 
®
1
v
,
®
2
v
} é dita ortonormal se seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, 
®
1
v
 
^
 
®
2
v
 e 
1
2
1
=
=
®
®
v
v
.
Existe no plano 
xOy
 uma base ortonormal particularmente importante. É a base formada por vetores representados por segmentos orientados com origem no ponto 
)
0
,
0
(
 e extremidades nos pontos 
)
0
,
1
(
 e 
)
1
,
0
(
. Esses vetores são simbolizadospor 
®
i
 e 
®
j
 e a base {
®
i
,
®
j
}
é chamada de base canônica
 
 
®
i
 
^
 
®
j
 e 
1
=
=
®
®
j
i
3.3 Expressão Analítica de um Vetor
Considerando a base canônica {
®
i
,
®
j
}, qualquer vetor 
®
v
 do plano pode ser decomposto segundo as direções de 
®
i
 e de 
®
j
. 
 
Só existe um par de números 
x
 e 
y
 tal que 
®
®
®
+
=
j
y
i
x
v
.
 
O vetor 
®
v
 também pode ser representado por 
)
,
(
y
x
v
=
®
 ou 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
®
y
x
v
 
O par ordenado 
)
,
(
y
x
 é chamado de expressão analítica do vetor 
®
v
.
 
Exemplo: 
)
3
,
2
(
3
2
=
+
®
®
j
i
4. Igualdade de Vetores
Dois vetores 
)
,
(
1
1
y
x
u
=
®
 e 
)
,
(
2
2
y
x
v
=
®
 são iguais se, e somente se, 
2
1
x
x
=
 e 
2
1
y
y
=
. Escreve-se 
®
®
=
v
u
.
5. Operações com Vetores
Sejam 
)
,
(
1
1
y
x
u
=
®
 e 
)
,
(
2
2
y
x
v
=
®
 vetores no espaço 2-D e 
a
 um escalar qualquer.
5.1 Adição 
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
v
u
+
+
=
+
®
®
5.2 Subtração
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
v
u
-
-
=
-
®
®
5.3 Multiplicação por um escalar
)
,
(
)
(
1
1
1
1
y
x
y
x
u
a
a
a
a
=
=
®
6. Vetor Definido por Dois Pontos
Muitas vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Vamos considerar um vetor 
®
AB
 com origem no ponto 
)
,
(
1
1
y
x
A
 e extremidade no ponto 
)
,
(
2
2
y
x
B
 conforme figura abaixo.
De acordo com o que foi visto anteriormente, os vetores 
®
OA
 e 
®
OB
 têm expressões analíticas: 
=
®
OA
 EMBED Equation.3 )
,
(
1
1
y
x
 e 
=
®
OB
 EMBED Equation.3 )
,
(
2
2
y
x
.
 
Através da figura anterior também podemos concluir que 
®
®
®
=
+
OB
AB
OA
 donde 
®
®
®
-
=
OA
OB
AB
 ou 
)
,
(
)
,
(
1
1
2
2
y
x
y
x
AB
-
=
®
. Logo, 
)
,
(
1
2
1
2
y
y
x
x
AB
-
-
=
®
, o que significa que para encontrarmos as componentes do vetor 
®
AB
 basta subtrairmos das coordenadas da extremidade 
B
 as coordenadas da origem 
A
. Portanto 
A
B
AB
-
=
®
.
Exemplo
)
3
,
2
(
A
 e 
)
2
,
1
(
-
B
A
B
AB
-
=
®
)
3
,
2
(
)
2
,
1
(
-
-
=
®
AB
)
1
,
3
(
-
-
=
®
AB
ou
®
®
®
-
-
=
j
i
AB
3
®
®
=
v
AB
O vetor 
®
v
 é também chamado de vetor posição ou representante natural de 
®
AB
.
7. Paralelismo de Dois Vetores
Se dois vetores 
®
u
 e 
®
v
 são paralelos, então existe um número 
a
 tal que 
®
®
=
v
u
a
.
Se 
)
,
(
1
1
y
x
u
=
®
 e 
)
,
(
2
2
y
x
v
=
®
 então 
)
,
(
1
1
y
x
 EMBED Equation.3 )
,
(
2
2
y
x
a
=
 e portanto 
2
1
x
x
a
=
 e 
2
1
y
y
a
=
 de onde se conclui que 
2
1
2
1
y
y
x
x
=
=
a
.
Logo 
Û
®
®
v
u
//
 EMBED Equation.3 2
1
2
1
y
y
x
x
=
Observações:
a) o vetor nulo 
®
0
 = (0, 0) é paralelo a qualquer vetor;
b) se uma das componentes do vetor 
®
v
 é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a 
®
v
 também é nula.
8. Norma (Magnitude, Módulo, Comprimento) de um Vetor
A distância entre os pontos inicial e final do segmento orientado que representa um vetor 
®
v
 é chamada de módulo de 
®
v
 e denotada por 
®
v
 ou 
®
v
. Essa distância não muda se o vetor for transladado, logo, para propósitos de cálculo da norma, podemos supor que o vetor está posicionado com seu ponto inicial na origem.
Pelo teorema de Pitágoras obtemos que a norma do vetor 
)
,
(
y
x
v
=
®
, no espaço 2-D, é dada por:
 
2
2
y
x
v
+
=
®
Observação
A distância d entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é o comprimento do vetor 
)
,
(
1
2
1
2
y
y
x
x
AB
-
-
=
, logo 
2
1
2
2
1
2
)
(
)
(
y
y
x
x
AB
d
-
+
-
=
=
.
9. Produto Escalar
Se u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são vetores no espaço 2-D, então o produto escalar de u e v é o número real notado por u .v e definido como
u .v = x1 x2 + y1 y2
* Definição Geométrica do Produto Escalar
Se u e v são vetores não-nulos no espaço 2-D e ( o ângulo entre eles, então
u . v = | u | | v | cos( , com 0 ( ( ( ( (0( ( ( ( 180()
9.1 Ângulo entre Dois Vetores
Se u e v são vetores não-nulos no espaço 2-D e ( o ângulo entre eles, então
|
v
|
 
|
u
|
 
v
 
.
 
u
cos
®
®
®
®
=
q
, com 0 ( ( ( ( (0( ( ( ( 180()
Observação 
Da fórmula acima podemos ver que o sinal de u . v é o mesmo que o sinal de cos( e a partir daí, concluir se o ângulo entre os dois vetores é agudo, obtuso ou se os vetores são ortogonais.
 u . v > 0
u .v < 0
 u . v = 0
Exercícios
1) Esboça os vetores com seus pontos iniciais na origem.
a) 
)
5
,
2
(
b) 
®
®
-
-
j
i
4
5
c) 
)
0
,
2
(
 
d) 
®
®
+
-
j
i
3
5
 
e)
®
®
-
-
j
i
2
 
 
 
2) Encontra x e y para que os vetores u = (x – 2, 3) e v = (2x + 1, y + 5) sejam iguais. 
3) Dados os vetores u = 2i-3j, v = (1, -1) e w = (- 2, 1), calcula:
a) 2u – v 
b) 3u – 
2
1
v – 
2
1
w 
c) t, tal que 3u + v = 5w – 4t 
d) x, tal que w – v = u + 2x
4) Dados os pontos A(2, 1), B(2, -1) e C(3, 4),
a) determina os vetores 
AB
, 
AC
 e 
BC
;
b) determina o vetor v tal que v 
BC
AB
-
=
3
.
c) calcula 
BC
AB
 
.
 
.
5) Encontra o valor de x , caso exista, para que os vetores u e v sejam paralelos:
a) u = (x – 2, 1) e v = (1, 4)
b) u = (0, 5) e v = (x, 3)
6) Determina u . v sendo u = (1, -3) e v = (4, 2).
7) Dados os vetores u = (1, -2) e v = (4, 3), calcula | u | e | v | .
8) Determina o valor de n para que o vetor w = (n, ½) seja um vetor unitário.
9) Determina o versor do vetor w = (-3, 4).
10) Determina o ponto terminal de v = 3i – 2j, se o ponto inicial for (1, -2).
11) Determina vetores unitários que satisfaçam as condições dadas:
a) mesma direção e sentido que o vetor 
j
i
v
r
r
r
4
+
-
=
b) sentido oposto a 
j
i
v
r
r
r
4
6
-
=
12) Determina o cosseno do ângulo entre os vetores.
a) u = i + 2j, v = 6i – 8j
b) u = (-7, -3), v = (0, 1)
13) Seja u = (1, 2), v = (4, -2) e w = (6, 0). Determina:
a) u.(7v + w)
b) | u | (v.w) 
· Respostas
1)
 
2) x = -3 e y = -2
3) a) (3, -5) 
b) 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
9
,
2
13
 
c) 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
4
15
,
4
17
 
d) 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
5
,
2
5
4) a) 
AB
= (0, -2) 
AC
= (1, 3) 
BC
= (1, 5)
b) (-1, -11)
c) -10 
5) a) 
4
9
b) 0
6) –2
7) a) 
5
b) 5
8) 
2
3
±
9) 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
5
4
,
5
3
10) (4, -4)
11) a) 
j
i
r
r
17
17
4
17
17
+
-
b) 
j
i
r
r
13
13
2
13
13
3
+
-
12) a) 
5
5
)
cos(
-
=
q
b) 
58
58
3
)
cos(
-
=
q
13) a) 6
b) 
5
24
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
| � EMBED Equation.3 ��� | = 4
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���u
� EMBED Equation.3 ���v
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���e � EMBED Equation.3 ��� são coplanares (e paralelos).
� EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� são coplanares.
� EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ��� , � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� não são coplanares.
.
w
A
C
A
v + w
v
v + w
v
B
D
v - w
B
-w
C
w
w
v
w
v + w
w
v
v
w
w
v + w
v
v
v
v - w
- w
w
v
w
v
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
v
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