Exercício 10 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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1. 
 
 
Determine m para que o seguinte sistema seja possível e 
determinado. 
mx + 2y - z = 1 
x - 3y + z = 0 
x + 2z = 2 
 
m ≠ -5/6 
 
 
m ≠ -1/2 
 
 
m ≠ -3/4 
 
 
m ≠ -2/3 
 
 
m ≠ -4/5 
 
 
 
Explicação: 
Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter D ≠ 0, ou seja: 
m 2 -1 
1 -3 1 ≠ 0 ⇒ 6m ≠ -5 ⇒ ≠ -5/6 
1 0 3 
 
Logo , m ≠ -5/6 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de 
coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a 
colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para 
compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a 
trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B. 
 
 
x - y = 0 
 
 
x - 2y + 2 = 0 
 
x + 2y - 6 = 0 
 
 
2x + 2y- 8 = 0 
 
 
x + y - 5 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais 
secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
 
 
 
 
3. 
 
 
O conjunto {(1,-1), (-2,2), (1,0)} não é uma base de R2. A 
afirmativa é: 
 
 
Falsa, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
 
 
Falsa, pois o produto vetorial é nulo. 
 
Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
 
 
Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente independente. 
 
 
Nada se pode concluir sobre a afirmativa 
 
 
 
Explicação: 
O conjunto de vetores não é linearmente independente. Observe que os dois primeiros vetores (1, 
¿1) e (¿2, 2) são múltiplos. Temos (¿2, 2) = ¿2 . (1, ¿1) + 0 . (1, 0) 
Logo, o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
Podemos concluir que o conjunto {(1, ¿1), (¿2, 2), (1, 0)} não é uma base de ℜ2. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a e b para que os sistemas sejam equivalentes. 
x - y = 9 ax + y = 12 
x + y = 5 e 2x - by = 20 
 
 
a = 4 e b = 3 
 
a = 2 e b = 3 
 
 
a = 3 e b = 4 
 
 
a = 6 e b = 5 
 
 
a = 3 e b = 2 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro resolvemos o sistema 
x - y = 9 
x + y = 5 
 
x - y = 9 
x + y = 5 
Somando as duas equações temos: 
2x = 14 ⇒ 7 - 9 ⇒ y = -2 
 
Para que os sitemas sejam equivalentes, S = {(7, -2)} também deve ser o conjunto solução do outro 
sistema; então: 
ax + y = 12 ⇒ a(7) + (-2) = 12 ⇒ 7a - 2 = 12 ⇒ 7a = 14 ⇒ a = 2 
2x - by = 20 ⇒ 2(7) - b(-2) = 20 ⇒ 14 + 2b = 20 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 
 
Portanto, a = 2 e b = 3 
 
 
 
 
5. 
 
 
Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia 
de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que 
só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se 
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o 
cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia 
e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles. 
 
 
Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg. 
 
 
Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg. 
 
 
Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg. 
 
Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
 
 
Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg. 
 
 
 
Explicação: 
Peso de Carlos = x 
Peso de Ándreia = y 
Peso de Bidu = z 
eq 1: x + z = 87 
eq 2: x + y = 123 
eq 3: y + z = 66 
Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2: 
(x + y) - (x + z) = 123 - 87 
y - z = 36 (eq 4) 
Agora, somamos a eq 3 com a eq 4: 
(y - z) + (y + z) = 36 + 66 
2y = 102 
y = 51 
Com y = 51, temos: 
y + z = 66 
51 + z = 66 
z = 15 
Então... 
x + z = 87 
x + 15 = 87 
x = 72 
Logo, os pesos de cada um são: 
Carlos (x) = 72 Kg 
Ándreia (y) = 51 Kg 
Bidu (z) = 15 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro 
estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para 
um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o 
estacionamento nesse dia? 
 
77 carros e 23 motos 
 
 
23 carros e 38 motos 
 
 
67 carros e 33 motos 
 
 
47 motos e 53 motos 
 
 
53 carros e 47 motos 
 
 
 
Explicação: 
c,m = carro, moto 
 
3c + 2m = 277 ........ (i) 
c + m = 100 ............ (ii) 
 
De (ii) tiramos: c = 100-m e aplicamos isso em (i): 
 
3c + 2m = 277 
3.(100-m) + 2m = 277 
300 - 3m + 2m = 277 
-m = 277-300 → multiplicamos toda equação por (-1) para positivar o "m": 
m = -277+300 
m = 23 
====== 
 
c = 100 - m = 100 - 23 
c = 77 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determinar os autovalores da matriz a seguir: 
A=(3−1−13)A=(3−1−13) 
 
 
-2 e 2 
 
 
1 e -3 
 
 
1 e 5 
 
 
-1 e 3 
 
2 e 4 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
A - λλI = (3−1−13)(3−1−13)- λλ(1001)(1001) =(3−λ−1−13−λ)(3−λ−1−13−λ) 
Daí, vem que: 
det (A - λλI) = 0 
det (3−λ−1−13−λ)(3−λ−1−13−λ) = 0 → 
(3 - λλ).(3 - λλ) - (-1).(-1) = 0 
9 - 3λλ - 3λλ + λλ² - 1 = 0 
λλ² - 6λλ + 8 = 0 
Logo: λλ1 = 2 e λλ2 = 4, que são os autovalores. 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Resolva o sistema linear 
 
 
 
V = {(2,3,4)} 
 
V = {(1,2,3)}. 
 
 
V = {(3,4,5)} 
 
 
V = {(8,9,11)} 
 
 
V = {(7,8,9)} 
 
 
 
Explicação: 
Equação I: 
 
2x+3y+z= 11 
2x+3y+(6-x-y= 11 
2x+3y+6-x-y= 11 
x+2y= 5 
 
Equação III: 
5x+2y+3y= 18 
5x+2y+3(6-x-y)= 18 
5x+2y+18-3x-3y= 18 
2x-y= 0 
y= 2x 
 
Substituindo esta equação III na I,... 
x+2y= 5 
x+2 . (2x)= 5 
x+4x= 5 
5x= 5 
x= 1 
 
Equação III, 
 
y= 2x 
y= 2 . 1 
y= 2 
 
 
Equação II, 
 
z= 6-x-y 
z= 6-1-2 
z= 3