Circuitos Ressonantes -AULA

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Circuitos Ressonantes
Rafael Alex Vieira do Vale
Introdução
• Circuito ressonante é a combinação entre os
elementos R (resistivo), L (indutivo) e C (capacitivo)
que possui uma resposta em frequência de acordo
com a figura:
Fonte: Boylestad (2004)
Introdução
• A resposta é máxima quando se atinge a frequência
de ressonância (fr);
• Diminuindo para a direita e para a esquerda desta
frequência;
• Em torno da frequência de ressonância a resposta
tem valor igual ou próximo do valor máximo;
• Frequências distantes da frequência de ressonância
apresentam respostas muito pequenas tendo
pequena influência na resposta do sistema;
Introdução
• Receptores de rádio e televisão apresentam uma
curva de ressonância para cada emissora;
• Quando o receptor é ajustado para uma
determinada emissora o ajuste realizado é ajustado
próximo a frequência de ressonância;
• Este processo é chamado de Sintonia;
• Quando a resposta se encontra próximo do valor
máximo o circuito se encontra em um estado de
Ressonância;
Introdução
• O circuito ressonante precisa ter tanto a indutância
quanto a capacitância;
• Uma resistência deve está presente;
• Quando ocorre a aplicação da frequência de
ressonância a energia armazenada em um elemento
reativo é igual ao fornecido pelo outro elemento
reativo do sistema;
• A energia oscila entre os dois elementos reativos;
Introdução
• Os circuitos ressonantes podem se apresentar em
duas configurações:
– Circuito ressonante em série;
– Circuito ressonante em paralelo;
• Os circuitos ressonantes também apresentam
algumas características relevantes como:
– Fator de Qualidade 
– Largura de banda
Circuito Ressonante em Série
• Considerando o circuito com tensão de entrada
senoidal:
• O circuito como irá apresentar as características de
um circuito RLC série;
Fonte: Boylestad (2004)
Circuito Ressonante em Série
• A impedância total do circuito série é determinada
para qualquer frequência é:
𝑍𝑇 = 𝑅 + 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 (Ω)
• A condição de ressonância será quando:
𝑋𝐿 = 𝑋𝐶
Circuito Ressonante em Série
• Desta forma:
𝑍𝑇𝑠 = 𝑅
• Este é o menor valor da impedância para qualquer
frequência;
• Assim, a frequência de ressonância pode ser
determinada em termos de indutâncias e
capacitâncias;
Circuito Ressonante em Série
• Usando a condição de ressonância:
𝑋𝐿 = 𝑋𝐶
𝜔𝐿 =
1
𝜔𝐶
𝜔𝑠 =
1
𝐿𝐶
( Τ𝒓𝒂𝒅 𝒔)
Circuito Ressonante em Série
• O valor de ωs representa a frequência angular de
ressonância do circuito RLC série em radianos por
segundo (rad/s);
• Sabendo que ω = 2πf é possível determinar a
frequência linear de ressonância do circuito em
Hertz (Hz);
𝑓𝑠 =
1
2𝜋 𝐿𝐶
(𝑯𝒛)
Circuito Ressonante em Série
• A tensão e a corrente elétrica estão em fase nesta
frequência:
𝐼 =
𝐸∠0°
𝑅∠0°
(𝑨)
• De acordo com a condição de ressonância as tensões
nos armazenadores de energia são iguais em
módulo;
• Como a configuração é em série a corrente é a
mesma para todos os componentes;
Circuito Ressonante em Série
• Porém, as tensões estão 
defasadas de 180°:
𝑉𝐿 = 𝐼𝑋𝐿∠90
°
𝑉𝐶 = 𝐼𝑋𝐶∠ −90
°
• Em um diagrama 
fasorial:
Fonte: Boylestad (2004)
Circuito Ressonante em Série
• O circuito na frequência de ressonância também
promove um fator de potência unitário;
• As potencias reativas dos acumuladores de energia
são iguais, QL = QC, em módulo, porém, defasados de
180° sobrando somente a potência média dissipada
no resistor PR = RI²;
Circuito Ressonante em Série
• Plotando as curvas do elementos armazenadores de
energia o circuito ressonante RLC série se apresenta
da seguinte forma:
Fonte: Boylestad (2004)
Fator de Qualidade – RLC Série
• O fator de qualidade do circuito série é a relação
entre potência reativa do indutor e a potencia ativa
média do resistor;
𝑄𝑆 =
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎
• Esta medida representa a quantidade de energia
acumulada em comparação a dissipada no circuito;
Fator de Qualidade – RLC Série
• Quanto menor for a potência dissipada maior 
será o fator de qualidade;
• Com isso, mais intensa e mais concentrada 
será a região de ressonância;
• Usando o raciocínio da definição do fator de 
qualidade para a frequência de ressonância:
𝑄𝑆 =
𝐼2𝑋𝐿
𝐼2𝑅
Fator de Qualidade – RLC Série
𝑄𝑆 =
𝑋𝐿
𝑅
=
𝜔𝑠𝐿
𝑅
=
1
𝑅
𝐿
𝐶
• Considerando que a resistência elétrica é igual a 
resistência elétrica da bobina do indutor R = RL:
𝑄𝑙 =
𝑋𝐿
𝑅𝑙
Fator de Qualidade – RLC Série
• Os fabricantes de indutores fornecem o fator de
qualidade do componente;
• Se a frequência aumenta o fator de qualidade
também aumenta;
• Entretanto, a medida que a frequência aumenta o
fator de qualidade começa a reduzir devido a dois
efeitos:
– Efeito pelicular;
– Efeito capacitivo entre as bobinas do indutor;
Fator de Qualidade 
• Os valores de fator de
qualidade dos indutores
comerciais não supera o
valor de 200;
• Sendo que sua maioria
não supera o valor de
100;
• Fazendo a análise do fator
com relação a frequência
pode o seguinte
comportamento para
indutores comerciais:
Fonte: Boylestad (2004)
Largura de Banda – RLC série
• Plotando o gráfico da corrente elétrica do circuito
RLC série de para uma amplitude constante da
tensão de alimentação obtém-se o seguinte
comportamento:
Fonte: Boylestad (2004)
Largura de Banda – RLC série
• No gráfico BW (Bandwidth) representa a largura de
banda da resposta em frequência;
• A largura de banda é a diferença entre as frequências
chamadas frequências de corte ou frequências de
meia potência;
• As frequência de corte são consideradas frequências
nas quais o valor da corrente elétrica é próximo do
valor máximo;
• Os valores de corrente representam 70,7% da
corrente máxima;
Largura de Banda – RLC série
• As frequências de meia potência são aquelas que a
potência dissipada é a metade da potência máxima;
𝑃𝐻𝑃𝐹 =
1
2
𝑃𝑚á𝑥 (𝑾)
• A figura anterior é denominada de curva de
seletividade;
• Quanto menor a largura de banda, maior a
seletividade
Largura de Banda – RLC série
• O comportamento das curvas de seletividade pode
variar com a mudança de R e da relação entre L e C;
• O valor de Qs muda mudando também a curva de
seletividade;
Fonte: Boylestad (2004) Fonte: Boylestad (2004)
Largura de Banda – RLC série
• Nas curvas anteriores é possível perceber que a
largura de banda é inversamente proporcional com
relação ao fator de qualidade;
• Um fator de qualidade pequeno está associado a
uma largura de banda grande e de pequena
seletividade e vice-versa;
𝐵𝑊 =
𝑓𝑠
𝑄𝑠
(𝑯𝒛)
Circuito Ressonante em Paralelo
• Este circuito ressonante apresenta-se como um
circuito RLC com os componentes em paralelo
ligados a uma fonte de corrente;
• Diferente do circuito série o circuito ressonante em
paralelo apresenta a frequência de ressonância
quando a impedância é máxima;
• Proporciona valores de VL e VC determinados pela Lei
de Ohm;
• A condição de existência ainda permanece a mesma
XL = XC e a curva da tensão em função da frequência
é igual a da configuração série;
Circuito Ressonante em Paralelo
• Existem dois tipos a ser considerados para circuitos
ressonantes em paralelo:
– Circuito ideal;
– Circuito real;
Fonte: Boylestad (2004) Fonte: Boylestad (2004)
Circuito Ressonante em Paralelo
• Um modo de se analisar o circuito ressonante
paralelo é encontrar um equivalente para o ramo RL
do circuito RLC real;
Fonte: Boylestad (2004)
Circuito Ressonante em Paralelo
• A admitância deste ramo RL pode é:
𝑌𝑅𝐿 =
1
𝑅𝑙 + 𝑗𝑋𝐿
• Usando o conjugado do denominador:
𝑌𝑅𝐿 =
𝑅𝑙
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2 − 𝑗
𝑋𝐿
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2 =
1
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑅𝑙
+
1
𝑗
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑋𝐿
Circuito Ressonante em Paralelo
• Determinando as relações:
𝑅𝑝 =
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑅𝑙
𝑒 𝑋𝐿𝑝 =
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑋𝐿
• A admitância se resume à:
𝑌𝑅𝐿 =
1
𝑅𝑝
+
1
𝑗𝑋𝐿𝑝
Circuito Ressonante em Paralelo
• Considerando que a
fonte de corrente
apresenta sua
resistência interna:𝑅 = 𝑅𝑠 ∥ 𝑅𝑃
• Assim é possível
determinar os
parâmetros deste
circuito ressonante
Fonte: Boylestad (2004)
Fonte: Boylestad (2004)
Circuito Ressonante em Paralelo
• Desta forma a admitância vista da fonte será:
𝑌𝑇 =
1
𝑅
+
1
𝑗𝑋𝐿𝑝
+
1
−𝑗𝑋𝐶
=
1
𝑅
+ 𝑗
1
𝑋𝐶
−
1
𝑋𝐿𝑝
• Para um circuito ressonante a parte imaginária
da admitância deve ser nula, portanto, XLp = XC;
Circuito Ressonante em Paralelo
• Assim: 
𝑋𝐶 = 𝑋𝐿𝑝 =
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑋𝐿
= 𝑋𝐿𝑋𝐶 = 𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2 =
= 𝑋𝐿 𝑋𝐶 =
𝜔𝐿
𝜔𝐶
=
𝐿
𝐶
= 𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2 =
= 𝑋𝐿
2=
𝐿
𝐶
− 𝑅𝑙
2 = 2𝜋𝑓𝑝𝐿 =
𝐿
𝐶
− 𝑅𝑙
2
Circuito Ressonante em Paralelo
• Considerando fp a frequência de ressonância do 
circuito ressonante em paralelo:
𝑓𝑝 =
1
2𝜋𝐿
𝐿
𝐶
− 𝑅𝑙
2 =
1
2𝜋 𝐿𝐶
1 −
𝑅𝑙
2𝐶
𝐿
= 𝑓𝑠 1 −
𝑅𝑙
2𝐶
𝐿
(𝑯𝒛)
Circuito Ressonante em Paralelo
• Para o circuito ressonante em paralelo a impedância
de entrada está próxima do máximo;
• Esta impedância se aproxima, mas, não atinge o seu
valor máximo, pois, Rl depende da frequência;
• Desta forma existe uma frequência ligeiramente
maior que fp para qual a impedância é máxima;
• fm é a frequência de impedância máxima;
Circuito Ressonante em Paralelo
• O valor de fm é
determinado
determinando o ponto
critico da impedância
em relação a frequência
o que resulta em:
𝑓𝑚 = 𝑓𝑠 1 −
𝑅𝑙
2𝐶
4𝐿
Fonte: Boylestad (2004)
Fator de Qualidade – RLC paralelo
• Considerando novamente que o fator de qualidade é
a relação da reatância capacitiva com relação a
potencia dissipada média com VR = VC = Vp:
𝑄𝑝 =
ൗ𝑉𝑃
2 𝑋𝐿𝑝
Τ𝑉𝑃
2 𝑅
=
𝑅
𝑋𝐿𝑝
=
𝑅𝑠 ∥ 𝑅𝑝
𝑋𝐿𝑝
• Para um fonte de corrente ideal a sua resistência
tende ao infinito;
• Isto faz com que o valor de R se aproxime de Rp;
Fator de Qualidade – RLC paralelo
• Assim, o valor do fator de qualidade será:
𝑄𝑝 =
𝑅𝑝
𝑋𝐿𝑝
=
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑅𝑙
𝑅𝑙
2 + 𝑋𝐿
2
𝑋𝐿
=
𝑋𝐿
𝑅𝑙
=
𝜔𝑝𝐿
𝑅𝑙
Largura de Banda – RLC Paralelo
• Para o circuito ressonante em paralelo o
comportamento da largura de banda é igual ao do
circuito ressonante em paralelo:
𝐵𝑊 =
𝑓𝑝
𝑄𝑝
Fonte: Boylestad (2004) Fonte: Boylestad (2004)
Largura de Banda – RLC Paralelo
• Desta forma o comportamento das curvas de
seletividade irá se apresentar de forma similar ao
circuito ressonante série;
Fonte: Boylestad (2004) Fonte: Boylestad (2004)