Cap1_-_Oliveira_Mrio_J _-_Termodinamica

Prévia do material em texto

Caṕıtulo 1
Prinćıpio de Joule
1.1 Introdução
Fenômenos térmicos
Os fenômenos térmicos são eventos que ocorrem à nossa volta diariamente e
por isso fazem parte de nossa experiência comum. Sentimos as alterações da
temperatura ambiente ao longo do dia e percebemos as mudanças climáticas,
causadas pelas variações de pressão e temperatura atmosféricas. Reparamos
que o fogo é a manifestação mais notável dos processos térmicos cotidianos.
Aprendemos que ele pode ser usado para esquentar a água e fazê-la entrar
em ebulição e descobrimos sua enorme potencialidade para gerar movimento
e trabalho útil.
Na ausência do fogo, a água escaldante se esfria espontaneamente aca-
bando por atingir a temperatura ambiente. Nesse processo de resfriamento
espontâneo, constatamos que a energia acaba se dissipando irreversivel-
mente na forma de calor cedido ao ambiente. Entretanto, é posśıvel evitar
a dissipação se o calor gerado pelo fogo, ou por outro meio, for utilizado
para a obtenção de trabalho útil. De fato, isso pode ser conseguido por
meio da máquina térmica, que transforma parte do calor em trabalho que
pode ser utilizado diretamente ou convertido em outra forma de energia.
Constatamos também que um corpo não se esfria espontaneamente, a
menos que seja colocado em contato com outro mais frio. No contato,
o mais quente se esfria porque cede calor espontaneamente ao mais frio.
Entretanto, é posśıvel fazer um corpo se esfriar na ausência de outro mais
frio. De fato, isso pode ser alcançado por meio do aparelho refrigerador,
1
2 1 Prinćıpio de Joule
que faz o oposto do processo espontâneo, isto é, retira calor de um corpo
mais frio pelo consumo de trabalho cedendo calor a um outro mais quente.
Os prinćıpios do funcionamento tanto das máquinas térmicas quanto
dos refrigeradores estão diretamente relacionados com as leis fundamentais
da termodinâmica, que são leis que regem o modo como o calor se trans-
forma em trabalho e vice-versa. Essas leis fundamentais também regem o
comportamento térmico dos corpos como a dilatação térmica, o decréscimo
do volume por compressão, o aumento da temperatura pela absorção de
calor, etc.
Em geral, os corpos se dilatam quando aquecidos, como acontece com
uma haste de ferro ou com o mercúrio no interior de um termômetro. Al-
guns materiais, ao contrário, se contraem quando aquecidos, como acontece
com a borracha. Citamos ainda o comportamento peculiar da água quando
aquecida, que se dilata se estiver acima de quatro graus Celsius e se contrai
se estiver abaixo dessa temperatura. Os corpos também se contraem pelo
aumento da pressão exercida sobre eles. Alguns corpos podem ser com-
primidos mais facilmente do que outros. Em geral, os gases têm grandes
variações de volume quando comprimidos, contrariamente ao que acontece
com os ĺıquidos e sólidos, que têm pequena diminuição do volume.
A quantidade de calor que os corpos podem receber é uma propriedade
termodinâmica fundamental. Alguns corpos podem receber muito calor e
ter um acréscimo pequeno na temperatura. A variação de temperatura
também pode ser nula, como acontece com um sistema composto por duas
ou mais fases termodinâmicas em coexistência. Um exemplo trivial é o
sistema constitúıdo pela água em coexistência com o gelo. Se esse sistema
receber calor, uma certa quantidade de gelo irá derreter passando para o
estado ĺıquido, mas a temperatura permanecerá inalterada.
Objeto de estudo
Adotamos o ponto de vista segundo o qual a ciência da termodinâmica
diz respeito ao estudo das propriedades macroscópicas dos corpos a partir
de leis fundamentais também macroscópicas. Isso não significa que as leis
da termodinâmica não possam ser obtidas a partir de leis que regem o
movimento microscópico da matéria. Entendemos apenas que essa tarefa
está fora do objetivo da termodinâmica e pertence ao domı́nio da mecânica
estat́ıstica.
1.1 Introdução 3
De acordo com nosso ponto de vista, as leis e propriedades termodinâmi-
cas prescindem de referência à constituição microscópica da matéria. Entre-
tanto, elas adquirem maior compreensão se pudermos recorrer à constitui-
ção atômica da matéria. Afinal, o grande avanço no estudo dos fenômenos
térmicos, que deu origem à ciência da termodinâmica, deve-se ao entendi-
mento do calor como a agitação da matéria ao ńıvel microscópico.
Neste caṕıtulo e nos próximos, consideraremos sistemas mecânicos, que
envolvem apenas calor e trabalho mecânico, constitúıdos por um fluido iso-
trópico, que pode ser tanto um gás quanto um ĺıquido isotrópico. Em outros
caṕıtulos examinaremos outros sistemas termodinâmicos, que envolvem o
calor e outros tipos de trabalho.
Equiĺıbrio termodinâmico
Neste livro estudamos sistemas que estejam em equiĺıbrio termodinâmico.
Os estados de equiĺıbrio termodinâmico são caracterizados por não depen-
derem da maneira como são atingidos e sua existência constitui um pos-
tulado fundamental da termodinâmica. Além disso, eles são descritos por
um número pequeno de grandezas f́ısicas. As propriedades que são funções
do estado de equiĺıbrio termodinâmico não dependem portanto da maneira
como o equiĺıbrio é atingido.
O equiĺıbrio termodinâmico de um sistema abrange o equiĺıbrio térmico
e outras formas de equiĺıbrio, que dependem do tipo de sistema termo-
dinâmico em estudo. Um sistema mecânico em equiĺıbrio termodinâmico
encontra-se em equiĺıbrio térmico e em equiĺıbrio mecânico.
Quando um corpo quente é colocado em contato com um corpo frio,
estabelece-se um fluxo de calor do primeiro para o segundo até o instante
em que eles atingem uma situação em que o fluxo cessa. A partir desse
instante os dois corpos estão em equiĺıbrio térmico. O equiĺıbrio térmico
pode ser verificado por meio da medida da temperatura dos corpos. Se
os dois corpos tiverem a mesma temperatura então eles se encontram em
equiĺıbrio térmico. Se diversos corpos estiverem em contato térmico entre si,
eles estarão em equiĺıbrio térmico se todos tiverem a mesma temperatura.
Devemos considerar também o equiĺıbrio térmico interno de um sistema
termodinâmico. Nesse caso é útil entender o sistema como sendo constitúıdo
de várias partes que compõem um conjunto de vários corpos em contato.
O equiĺıbrio interno significa que não há fluxos de calor entre as diversas
partes do sistema de modo que todas elas devem ter a mesma temperatura.
4 1 Prinćıpio de Joule
Em resumo, todas as partes de um sistema em equiĺıbrio térmico têm a
mesma temperatura.
Se o objeto de estudo for um sistema mecânico, o equiĺıbrio termodi-
nâmico compreenderá também o equiĺıbrio mecânico. Por exemplo, dois
gases encerrados num recipiente e separados por uma parede móvel estarão
em equiĺıbrio mecânico se a parede estiver em repouso. Nessa situação, a
pressão será a mesma em ambos os lados da parede. De forma genérica,
o equiĺıbrio mecânico de um fluido, na ausência de forças externas, requer
a inexistência de gradientes de pressão no interior do fluido. Assim, todas
as partes de um sistema em equiĺıbrio mecânico possuem a mesma pressão,
na ausência de forças externas.
Processo termodinâmico
Um gás pode ter seu estado termodinâmico modificado de diversas maneiras
dependendo do tipo de parede que delimita o recipiente que encerra o
gás. Se as paredes forem ŕıgidas mas permitirem a troca de calor, paredes
diatérmicas, o estado do gás poderá ser modificado simplesmente pelo con-
tato do recipiente, por exemplo, com um corpo mais quente. Nesse caso,
o gás recebe calor e sua pressão aumenta enquanto o volume permanece
inalterado. Se, por outro lado, as paredes do recipiente não permitirem
a troca de calor, paredes adiabáticas, mas forem móveis, o estado poderá
ser modificado pelo movimento das paredes. Uma compressão diminuirá o
volume do gás aumentado a sua pressão. Se as paredes, alémde ŕıgidas,
forem adiabáticas, então o gás estará totalmente isolado do exterior e seu
estado não será modificado.
Se um sistema tem seu estado termodinâmico modificado, dizemos que
ele sofre um processo termodinâmico. No estudo da termodinâmica de
equiĺıbrio nos interessa particularmente os processos cujos estados inicial e
final sejam estados de equiĺıbrio termodinâmico. Os estados intermediários
não podem ser todos de equiĺıbrio pois é necessário retirar o sistema de seu
estado de equiĺıbrio inicial para que o processo se realize. É posśıvel acon-
tecer que todos os estados intermediários sejam estados fora de equiĺıbrio,
como ocorre com a expansão livre de um gás, que pode ser realizado da
seguinte maneira. Num recipiente com dois compartimentos, um gás ocupa
um dos dois compartimentos enquanto o outro está vazio. Num certo ins-
tante a parede que separa os compartimentos é removida, o gás se expande
livremente e após um certo tempo o equiĺıbrio é restabelecido num estado
1.2 Trabalho 5
em que o gás ocupa todo o recipiente.
Podemos imaginar também que o estado final de equiĺıbrio seja al-
cançado por um processo termodinâmico constitúıdo por uma sucessão
de estados de equiĺıbrio, intercalados entre o estado inicial e final. Para
isso, aplicamos pequenas perturbações no sistema a intervalos regulares de
tempo. O intervalo entre duas perturbações deve ser suficientemente grande
para que o sistema possa relaxar para um novo estado de equiĺıbrio antes
que seja perturbado novamente.
Se imaginarmos agora que a perturbação seja muito pequena então o
estado de equiĺıbrio logo após cada perturbação será muito próximo do es-
tado perturbado de modo que o intervalo de tempo entre duas perturbações
poderá ser reduzido. No limite em que as perturbações sejam arbitrari-
amente pequenas e o número delas infinitamente grande, os estados de
equiĺıbrio sucessivos formarão uma sequência cont́ınua o que define um pro-
cesso termodinâmico quase-estático. Assim como os estados de equiĺıbrio,
os processos quase-estáticos têm um papel fundamental na termodinâmica
de equiĺıbrio.
1.2 Trabalho
Representação dos processos quase-estáticos
Considere uma certa quantidade de um gás confinado num recipiente. Movi-
mentando as paredes do recipiente, podemos ajustar o volume V do gás no
valor que desejarmos. Introduzindo ou retirando calor, podemos fazer a
pressão p do gás variar até que ela atinja o valor que desejarmos. Estando
o gás em equiĺıbrio seu estado é caracterizado pelo volume V e pela pressão
p e, portanto, poderá ser representado por um ponto no diagrama pressão
versus volume, denominado diagrama de Clapeyron.
Imagine que o gás sofra um processo quase-estático que o leve de um
estado de equiĺıbrio inicial A até um estado de equiĺıbrio final B. Esses
dois estados são representados por dois pontos no diagrama de Clapeyron.
Os estados intermediários do processo também são estados de equiĺıbrio
e, portanto, possuem representação no diagrama de Clapeyron. Logo, o
processo quase-estático corresponde a uma sucessão de pontos no diagrama
de Clapeyron, formando uma trajetória cont́ınua que liga os pontos A e B,
como pode ser visto na figura 1.1.
6 1 Prinćıpio de Joule
A
B
VA V B V
p
Figura 1.1: Representação de um processo quase-estático ligando os estado A e
B, no diagrama de Clapeyron. A área sob a curva entre os pontos A e B é igual
ao trabalho realizado.
É importante observar que processos fora de equiĺıbrio, isto é, tais que
o gás não se encontra em equiĺıbrio, não têm representação no diagrama de
Clapeyron. Suponha, por exemplo, que um gás sofra uma expansão livre.
Antes da expansão, o gás está em equiĺıbrio e seu estado será representado
por um ponto no diagrama de Clapeyron. Depois da expansão e assim que
entrar novamente em equiĺıbrio, o estado do gás será representado por um
outro ponto, distinto do primeiro. Entretanto, esses dois pontos não estarão
conectados por uma trajetória pois a expansão livre, que é um processo fora
de equiĺıbrio, não possui representação no diagrama de Clapeyron, embora
os estados inicial e final o possuam.
Processos isocórico e isobárico
O processo quase-estático mais simples de ser realizado é aquele em que o
volume do gás permanece inalterado, denominado processo isocórico. A tra-
jetória correspondente denomina-se isocórica, que no diagrama de Clapey-
ron é simplesmente um segmento de reta paralelo ao eixo-p. Introduzindo
calor no gás lentamente enquanto as paredes do recipiente são mantidas
inalteradas, estaremos diante de um processo isocórico.
O processo quase-estático em que a pressão permanece inalterada é
denominado processo isobárico. A trajetória correspondente denomina-se
isobárica, que no diagrama de Clapeyron é simplesmente um segmento de
1.2 Trabalho 7
reta paralelo ao eixo-V . Imagine que o gás esteja confinado num recipiente
ciĺındrico cuja base e paredes laterais são ŕıgidas e cujo tampo pode se
mover livremente. Sobre o tampo existe um bloco e o sistema composto
pelo recipiente, gás e bloco encontra-se em equiĺıbrio mecânico. Suponha
que a partir de um certo instante o gás seja submetido a um fluxo cont́ınuo
de calor, por exemplo, através da base do recipiente. Suponha ainda que a
transferência de calor seja suficientemente lenta para que o sistema possa
ser considerado em equiĺıbrio mecânico a cada instante. Devido ao fluxo
cont́ınuo de calor, o gás se expande e o bloco se eleva. Tendo em vista que
o bloco possui um peso fixo, a pressão do gás permanecerá constante ao
longo da expansão e estaremos diante de um processo isobárico.
Trabalho mecânico
Considere o processo isobárico que acabamos de descrever. Se denotarmos
por A a área do tampo, então a força exercida pelo gás sobre o bloco será
F = pA. Se o tampo se elevar de uma altura ℓ1 para uma altura ℓ2 então o
trabalho W realizado pelo gás no processo isobárico será W = F (ℓ2− ℓ1) =
pA(ℓ2 − ℓ1) ou seja
W = p(V2 − V1), (1.1)
em que V1 = Aℓ1 é o volume inicial e V2 = Aℓ2 é o volume final. O trabalho
realizado pelo gás é representado no diagrama de Clapeyron pela área sob
o segmento de reta que representa o processo isobárico.
Vamos imaginar em seguida um processo quase-estático qualquer ligan-
do os estados A e B, como aquele mostrado na figura 1.1. Tal processo pode
ser realizado alterando de forma conveniente a massa do bloco que repousa
sobre o tampo do recipiente assim como o fluxo de calor. Em seguida
aproximamos o processo por uma sucessão de subprocessos isobáricos tais
que a variação do volume em cada um deles seja ∆V . Denotando por
pi a pressão correspondente ao ponto inicial de cada subprocesso, então o
trabalho realizado é dado pela soma dos trabalhos correspondentes a cada
subprocesso isobárico,
W =
∑
i
pi∆V. (1.2)
No limite em que o número de subprocessos aumenta sem limites, ∆V → 0
8 1 Prinćıpio de Joule
e o trabalho se torna igual à integral
W =
∫
pdV. (1.3)
A área sob a trajetória é igual ao trabalho realizado pelo gás. Quando
um gás realiza trabalho, aumentando o seu volume, W é positivo pois a
pressão dos gás é positiva. Quando um gás consome trabalho, diminuindo
o seu volume, W é negativo. Notar que num processo isocórico, o trabalho
realizado pelo gás é nulo.
Como exemplo do cálculo do trabalho, suponha que um gás sofra um
processo tal que sua pressão seja inversamente proporcional ao volume, ou
seja,
p =
B
V
(1.4)
ao longo da trajetória, em que B é constante. O trabalho realizado por
esse gás quando ele se expande de um volume V1 até um volume V2 será
W =
∫ V2
V1
pdV = B
∫ V2
V1
1
V
dV = B ln
V2
V1
. (1.5)
Como segundo exemplo, suponha um outro processo tal que a pressão
do gás varia de acordo com a equação
p =
A
V γ
, (1.6)
em que A é constante e γ é uma constante numérica maior do que um. Se
o gás se expandede um volume inicial V1 até um volume final V2, então o
trabalho realizado pelo gás será
W =
∫ V2
V1
pdV = A
∫ V2
V1
V −γdV =
A
−γ + 1
{V −γ+1
2
− V −γ+1
1
}. (1.7)
Usando a notação p1 = AV
−γ
1
e p2 = AV
−γ
2
, então
W =
1
γ − 1
(p1V1 − p2V2). (1.8)
No Sistema Internacional de Unidades, o volume é medido em m3 e
a pressão em pascal (Pa), definido como igual a um newton por metro
quadrado. Outra unidade muito usual para a pressão, mas não pertencente
ao Sistema Internacional de Unidades é a atmosfera (atm), definida como
101325 Pa. A unidade de trabalho no Sistema Internacional de Unidades é
o joule (J), definido como igual a um newton-metro.
1.3 Calor 9
1.3 Calor
Medida do calor
Se colocarmos um corpo em contato com um outro mais quente, haverá
a transferência de calor do segundo para o primeiro. Entretanto, nesse
procedimento não saberemos quanto calor é transferido de um corpo ao
outro. Para transferir uma determinada quantidade de calor a um sistema
procedemos como no seguinte exemplo.
Um sistema constitúıdo por um fluido confinado num recipiente de pare-
des adiabáticas possui no seu interior uma hélice em cujo eixo encontra-se
enrolado um fio inextenśıvel. Esse fio passa por uma pequena roldana e
em sua extremidade está preso um bloco de massa m. Inicialmente o bloco
encontra-se em repouso e a hélice imóvel. Em seguida o bloco é liberado e
desce lentamente com velocidade constante v devido ao atrito da hélice com
o fluido. Como a velocidade é constante a potência dissipada pela hélice é
igual ao trabalho realizado pela força da gravidade por unidade de tempo
mgv, em que g é a aceleração da gravidade. Num intervalo de tempo ∆t
o fluido recebe uma quantidade de calor Q = mgv∆t. Tal procedimento,
em que uma quantidade mensurável de calor é introduzida num sistema,
denominamos procedimento de Joule.
Uma outra forma de realizar o procedimento de Joule é colocar no
interior do sistema um resistor elétrico ligado a uma bateria. Se o circuito
for fechado por um intervalo de tempo ∆t, o calor recebido pelo sistema
será igual a Q = (E2/R)∆t, em que R é a resistência do resistor e E é a
força eletromotriz da bateria.
Se um sistema for levado de um estado A a um estado B, através de um
processo quase-estático qualquer em que recebe calor, o procedimento de
Joule permite a determinação direta da quantidade de calor recebido pelo
sistema. Se por outro lado, o sistema sofrer um processo quase-estático
de um estado C a um estado D, em que ele cede calor, o procedimento
de Joule não pode ser aplicado diretamente pois tal procedimento só pode
ser usado para transferir calor ao sistema. Notamos, entretanto, que no
processo inverso o sistema recebe calor e que esse calor pode ser medido
pelo procedimento de Joule. O calor cedido pelo sistema no processo direto
CD é o mesmo que o calor recebido no processo inverso DC.
Convencionamos que o calor recebido pelo sistema em consideração seja
positivo e que o calor cedido pelo sistema seja negativo. Denotando por
10 1 Prinćıpio de Joule
QAB o calor trocado no processo AB, então de acordo com essa convenção
QAB > 0. Analogamente, QCD < 0, QDC > 0 e, além disso, QCD = −QDC.
Caloria
O calor possui a mesma unidade de medida que o trabalho. No Sistema
Internacional de Unidades ambos são medidos em joules (J). Outra unidade
para o calor muito usada, mas não pertencente ao Sistema Internacional de
Unidades, é a caloria (cal), definida como a quantidade de calor necessário
para elevar a temperatura de um grama de água de um grau Celsius. Essa
definição está diretamente relacionada com a definição de calor espećıfico.
Entretanto, o calor espećıfico da água não é constante, mas varia com a
temperatura, o que torna a definição de caloria imprecisa, a menos que
se declare qual temperatura, ou qual intervalo de temperaturas, tomamos
como referência. Assim, várias calorias podem ser definidas, tais como
a caloria termoqúımica, equivalente a 4,184 J; a caloria IT, equivalente
a 4,1868 J; a caloria média, equivalente a 4,1900 J; a caloria a 15 ◦C,
equivalente a 4,1858 J; e a caloria a 20 ◦C, equivalente a 4,1819 J.
A origem da caloria como unidade de calor ocorreu antes do desen-
volvimento da termodinâmica, quando as medidas de calor não eram rela-
cionadas com as medidas de trabalho. O método mais comum para medir o
calor desenvolvido num processo é compará-lo com aquele necessário para
elevar de uma unidade de temperatura uma determinada quantidade de
água. Outro método para medir calor é aquele utilizado por Lavoisier e
Laplace, em que o calor desenvolvido num sistema é determinado pela quan-
tidade de gelo que tal calor pode derreter. Vale mencionar que o primeiro
método está ligado ao calor espećıfico da água e o segundo, ao calor latente
de fusão do gelo.
Os primeiros valores para a caloria encontram-se nas experiências de
Joule, sobre a determinação do equivalente mecânico do calor, isto é, do tra-
balho necessário para elevar de uma unidade de temperatura uma unidade
de massa de água. Joule mostrou que o calor necessário para elevar de
um grau Fahrenheit a temperatura de uma libra de água é equivalente ao
trabalho desenvolvido pela queda de um corpo de 772 libras de uma altura
de um pé. No Sistema Internacional de Unidades isso equivale a 4,16 J.
Esse valor obtido por Joule para o equivalente mecânico do calor e, por-
tanto, da caloria está muito próximo dos valores atuais da caloria. Antes
de Joule, o equivalente mecânico do calor foi obtido por Mayer. De acordo
1.4 Conservação da energia 11
com Mayer, o aquecimento de uma certa quantidade de água de um 1 ◦C
corresponde à queda da mesma quantidade de água de uma altura de 365
m. Esse resultado equivale a 3,58 J.
Processo quase-estático adiabático
Considere um gás confinado num recipiente ciĺındrico de paredes adiabáticas,
de modo que não há troca de calor entre o ambiente e o sistema. Em seguida
imagine que o tampo seja elevado lentamente, acarretando a expansão do
gás. Isso pode ser feito imaginando que inicialmente o tampo contenha
uma certa quantidade de areia. A areia é então removida lentamente, de
modo que o processo será quase-estático. O gás sofre então um processo
quase-estático em que não há troca de calor com o ambiente, ou seja, um
processo quase-estático adiabático. A trajetória correspondente denomina-
se adiabática.
1.4 Conservação da energia
Energia interna
Para definir a energia interna de um gás, usamos como referência um ponto
qualquer do diagrama de Clapeyron, rotulando-o por O = (V0, p0), e asso-
ciamos arbitrariamente a esse ponto uma energia U0. Para determinar a
energia UA de um ponto A = (VA, pA) qualquer, escolhemos um processo
composto por uma adiabática seguida por uma isocórica, como mostrado
na figura 1.2. A adiabática liga o ponto O a um ponto intermediário
B = (VB, pB) enquanto a isocórica liga o ponto B ao ponto final A. Se
denotarmos por W0B o trabalho realizado pelo gás no processo adiabático
e por QBA o calor recebido pelo gás no processo isocórico, então a energia
UA é definida por
UA = U0 − W0B + QBA, (1.9)
em que o trabalho é determinado pela fórmula (1.3) enquanto o calor é
medido pelo procedimento de Joule. Pode acontecer, entretanto, que QBA
seja negativo, acarretando a impossibilidade do uso do procedimento de
Joule. Nesse caso, utilizamos o processo inverso e determinamos UA por
meio de
U0 = UA − WB0 + QAB, (1.10)
12 1 Prinćıpio de Joule
C
O
A
B
V
p
Figura 1.2: O ponto A está ligado ao ponto de referência O por dois caminhos.
O primeiro é composto por uma adiabática (OB) seguida por uma isocórica (BA).
O segundo é composto por uma isocórica (OC) seguida por uma adiabática (CA).
pois QAB = −QBA > 0. Como quaisquer dois estados podem ser ligados por
uma adiabática seguida de uma isocórica, então a energia interna do gás
está definida para qualquer estado.
Prinćıpioda conservação da energia
Suponha que escolhamos um outro caminho para atingir o ponto A a partir
do ponto O. Por exemplo, o caminho OCA, mostrado na figura 1.2, com-
posto por uma isocórica seguida por uma adiabática. Nesse caso, o trabalho
e o calor são diferentes do caso anterior. Entretanto, o prinćıpio de Joule,
ou prinćıpio da conservação da energia, afirma que a energia de um estado
de equiĺıbrio independe do processo utilizado para atingi-lo. Assim a ener-
gia do ponto A será a mesma, independentemente do caminho usado para
atingir o ponto A a partir do ponto de referência O. Escrevemos então, para
qualquer caminho,
UA = U0 + Q − W, (1.11)
em que Q é o calor trocado e W é o trabalho realizado pelo sistema ao
longo do caminho escolhido.
Considere agora dois pontos quaisquer A e B. A diferença de energia
∆U = UB − UA entre esses dois pontos será então
∆U = Q − W, (1.12)
1.4 Conservação da energia 13
em que Q é o calor trocado e W é o trabalho realizado pelo sistema ao
longo de um caminho qualquer entre A e B. Lembrar que o calor trocado
é positivo quando recebido pelo sistema e é negativo quando cedido pelo
sistema; o trabalho efetivamente realizado pelo sistema é positivo enquanto
o trabalho consumido é negativo.
Primeira lei da termodinâmica
O prinćıpio de Joule, ou prinćıpio da conservação da energia, constitui a
primeira lei da termodinâmica. Ela foi estabelecida por vários cientistas,
mas principalmente por Mayer e Joule, que admitiram que as diversas for-
mas de trabalho poderiam ser convertidas uma nas outras e que, além disso,
todas elas poderiam ser dissipadas na forma de calor. Embora pareça bas-
tante evidente que o trabalho se transforme em calor, por exemplo, por
atrito, não se pode concluir que o trabalho dissipado produza sempre a
mesma quantidade de calor. É necessário verificar experimentalmente tal
lei, que se resume na determinação do equivalente mecânico do calor. Isso
de fato foi feito por Mayer e de forma exaustiva por Joule por meio de
inúmeras experiências. Admitindo, portanto, que uma determinada quan-
tidade de trabalho sempre se transforme numa mesma quantidade de calor,
eles estavam adotando a conservação da energia.
Do ponto de vista microscópico, o prinćıpio da conservação da energia
foi elaborado por Helmholtz. Supondo a constituição atômica da matéria,
Helmholtz estendeu o teorema da conservação da energia mecânica ao movi-
mento microscópico dos átomos. Ou seja, admitiu que a soma da energia
cinética e da energia potencial dos átomos é constante e constitui, portanto,
a energia interna de um corpo. Quando trabalho de qualquer forma se dis-
sipa em calor, isso significa, do ponto de vista microscópico, que os átomos
ganham energia. Portanto, de acordo com Helmholtz e outros cientistas
que estabeleceram a teoria cinética da matéria, o calor está associado ao
movimento microscópico dos átomos.
Exerćıcios
1. Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um
estado A caracterizado por um volume V0 e uma pressão p0 até um estado
B correspondente a um volume V1. Nessa expansão a pressão varia com
14 1 Prinćıpio de Joule
o volume de acordo com p = p0V
5/3
0
V −5/3. Determine a pressão p1 cor-
respondente ao estado B. Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele
se expande do estado A até o estado B. Supondo que essa expansão seja
adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia
aumentada ou diminúıda?
2. Um gás percorre o processo descrito no exerćıcio anterior e em seguida
sofre uma compressão isocórica até um estado final C cuja pressão é p0, a
mesma do estado A. Nesse processo ele recebe uma quantidade de calor Q.
Suponha agora que o gás sofra um processo isobárico de A até C. Qual a
quantidade de calor recebida nesse processo?
3. Para um determinado gás a energia interna U depende do volume e da
pressão de acordo com U = (3/2)pV . Determine o trabalho realizado pelo
gás quando ele é expandido de um estado A até um estado B, sendo que A
e B pertencem a uma mesma adiabática. Determine o calor recebido pelo
gás quando ele sofre um processo isocórico do estado B até um estado C
tal que C tenha a mesma energia que A. Suponha agora que o gás sofra um
processo que o leve de A até C por um processo quase-estático a energia
constante. Determine o trabalho e o calor ao longo desse processo. Dados:
VA, pA e VB, pB.
4. Suponha que o mesmo gás do problema anterior sofra uma expansão
quase-estática adiabática a partir de um estado de referência (V0, p0) do
diagrama de Clapeyron. Ao longo da adiabática o calor trocado é nulo, de
modo que o trabalho W realizado pelo gás até um ponto genérico (V, p) é
igual a variação da energia ∆U , ou seja,
−
∫ V
V0
pdV =
3
2
pV −
3
2
p0V0.
Use essa equação para determinar a equação da curva adiabática que passa
pelo ponto de referência. Sugestão: derive ambos os membros dessa equação
com relação a V para encontrar uma equação diferencial para p(V ).
5. Para um determinado gás a equação da adiabática que passa por um
ponto de referência (V0, p0) é pV
5/3 = p0V
5/3
0
. Além disso, o calor intro-
duzido de forma quase-estática, a volume constante, entre os pontos (V, p1)
e (V, p) é Qv = (3/2)(p − p1)V . Determine a energia interna como função
de V e p.