Aula 11 - Equações Não Lineares - parte 2

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Sumário
3. Equações e Sistemas Não-Lineares3. Equações e Sistemas Não-Lineares
• Enumeração, localização e separação de raízes
• Métodos iterativos para a resolução de equações 
polinomiais ou transcendentes
• Métodos de quebra
• Métodos de ponto fixo
• Resolução de sistemas de equações não-lineares
• Algoritmos
Aula 11 1Cálculo Numérico Computacional
Equações e Sistemas Não Lineares
 Qualquer método iterativo é formado de quatro partes:
 Estimativa inicial: pode ser obtido através da separação das 
raízes, vista anteriormente
 Atualização: uma fórmula que atualiza a solução aproximada
 Critério de parada: uma forma de estabelecer quando o processo 
deve parar
 Estimador de exatidão: provê uma estimativa do erro cometido 
(está associado ao critério de parada)
Métodos Iterativos
Aula 11 2Cálculo Numérico Computacional
Equações e Sistemas Não Lineares
 Com relação aos dois últimos itens, podemos parar um processo iterativo de quatro 
maneiras:
1)   
2)   
3)   
4)   
onde:
 1 e 2 são valores de tolerância
 k é o número de dígitos significativos exatos requeridos
 L é o número máximo de iterações
Métodos Iterativos
Aula 11 3Cálculo Numérico Computacional
Equações e Sistemas Não Lineares
 Os métodos iterativos para resolução de equações 
polinomiais ou transcendentes podem ser classificados como:
 Métodos de quebra: dado um intervalo onde a função troca de sinal, o 
partimos em outros dois e verificamos qual dos dois contém a raiz, e 
assim prosseguimos
 Métodos de ponto fixo: partimos de uma aproximação inicial x0 e 
construímos uma sequência {xi} na qual cada termo é dado por xi+1 =  
(xi), onde  é uma função de iteração
 Métodos de múltiplos passos: uma generalização do método de 
ponto fixo, onde para determinar um ponto xi+1 utilizamos vários pontos 
anteriores xi, xi-1, xi-2, ..., xi-p
Métodos Iterativos
Aula 11 4Cálculo Numérico Computacional
Sumário
3. Equações e Sistemas Não-Lineares3. Equações e Sistemas Não-Lineares
• Enumeração, localização e separação de raízes
• Métodos iterativos para a resolução de equações 
polinomiais ou transcendentes
• Métodos de quebra
• Métodos de ponto fixo
• Resolução de sistemas de equações não-lineares
Aula 11 5Cálculo Numérico Computacional
Métodos Iterativos
 Os métodos de quebra são os mais intuitivos 
geometricamente
 Porém, convergem mais lentamente
 A partir de um intervalo que contenha uma raiz de f(x) = 0, 
parte-se este intervalo em outros menores que ainda 
contenham pelo menos uma raiz de f(x) = 0
 É necessário que f troque de sinal no intervalo inicial
Métodos de Quebra
Aula 11 6Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 Seja [a;b] um intervalo que contenha uma raiz de f(x) = 0 
e f(a)f(b) < 0; ou seja, f(x) corta o eixo dos x num ponto em 
[a;b]:
 Calcula-se f(x) no ponto médio de [a;b]:
 Se f(xm)0 e f(a)f(xm)<0 ou f(xm)f(b)<0, escolhe-se um novo intervalo 
de modo que f tenha sinais opostos na extremidade
 Repete-se o processo, até que tenhamos chegado 
“suficientemente perto da raiz” (ou seja, até que um critério de 
parada seja satisfeito)
Método da Bisseção
Aula 11 7Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 Exemplo:
Método da Bisseção
b = x1a = x0 x2
l1
x3
l2
x4
l3
Aula 11 8Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 Exemplo: p(x) = x3 – 5x2 + 17x + 21
 Enumeração: 
▪ T = 2  2 ou 0 raízes positivas
▪ T’ = 1  1 raiz negativa
 Localização:
▪ Cota de Laguerre-Thibault. CS = 5; CI = –1
Método da Bisseção
Partindo de [-1,0], usando o método da bisseção, após 22 iterações 
temos que a raiz está em [-0.932114360, -0.932114841]
 Separação:
Aula 11 9Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 Restrições:
 Pode ser difícil encontrar [a,b] tal que f(a)f(b) < 0; por exemplo, com raízes de 
multiplicidade par, ou muito próximas:
 Um erro de arredondamento no momento em que a máquina avalia o sinal do ponto 
médio pode resultar em um intervalo que não contém uma raiz
Método da Bisseção
Aula 11 10Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 No método da falsa posição, particionamos o intervalo [a,b] na 
interseção da reta que une os pontos ( a, f(a) ) e ( b, f(b) ) com o eixo 
dos x
 Seja xs tal ponto; escolhe-se um novo subintervalo conforme a 
variação do sinal da curva f
 O ponto xs é dado por:
Método da Falsa Posição
Aula 11 11Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 Exemplo:
Método da Falsa Posição
a
b
a,f(a)
b,f(b)
xs1
xs2
Aula 11 12Cálculo Numérico Computacional
Métodos de Quebra
 Exemplo: p(x) = x3 – 5x2 + 17x + 21
Vimos que [a,b] = [-1,0]:
f(–1) = –2
f(0) = 21
Logo, xs = –0.9130344783 e f(xs) = 0.548861674; 
daí o novo intervalo é [–1, –0.9130344783]
Em 6 iterações, temos que xs = –0.9321149567
Método da Falsa Posição
Aula 11 13Cálculo Numérico Computacional
Equações e Sistemas Não Lineares
 Exercícios:
 Separe as raízes das funções abaixo através do método gráfico 
para o intervalo [-10,10], e logo após, calcule os zeros das funções 
pelos métodos de quebra e de falsa posição, utilizando como critério 
de parada DIGSE(xi,xi-1) ≥ 4
a) 
b) 
c) 
 
Métodos de Quebra
Aula 11 14Cálculo Numérico Computacional
	Sumário
	Equações e Sistemas Não Lineares
	Equações e Sistemas Não Lineares
	Equações e Sistemas Não Lineares
	Sumário
	Métodos Iterativos
	Métodos de Quebra
	Métodos de Quebra
	Métodos de Quebra
	Métodos de Quebra
	Métodos de Quebra
	Métodos de Quebra
	Métodos de Quebra
	Equações e Sistemas Não Lineares