Aula 18 - Ajuste de Funções - parte 1

Prévia do material em texto

Sumário
1. Introdução1. Introdução
2. Sistemas de Equações Lineares2. Sistemas de Equações Lineares
3. Equações e Sistemas Não Lineares3. Equações e Sistemas Não Lineares
4. Interpolação4. Interpolação
5. Ajuste de Funções5. Ajuste de Funções
6. Integração6. Integração
7. Equações Diferenciais Ordinárias7. Equações Diferenciais Ordinárias
Aula 18 1Cálculo Numérico Computacional
Sumário
5. Ajuste de Funções5. Ajuste de Funções
• Introdução
● Método dos Mínimos Quadrados
● Ajuste polinomial
• Caso geral linear
• Casos redutíveis ao linear
Aula 18 2Cálculo Numérico Computacional
 Dado um conjunto de pontos {(x1,y1),(x2,y2),…, 
(xm,ym)}, como obter a função f(x) = y?
1750 1800 1850 1900 1950 2000
0
50
100
150
200
250
1750 1800 1850 1900 1950 2000
0
50
100
150
200
250
300
Introdução
Aula 18 3Cálculo Numérico Computacional
 Motivação: modelagem
 Predição de eventos
 Análise da relevância dos dados
 Exemplos de aplicações
 Finanças
 Ciências do Ambiente
 Ciências Sociais
 Epidemiologia
Introdução
Aula 18 4Cálculo Numérico Computacional
 Porque não usar interpolação?
 Muito custoso para um conjunto grande de dados
 Erros experimentais:
 Pela origem do problema podemos saber o tipo de função que estabelece a relação 
entre as variáveis
mmm Exfy
Exfy
Exfy



)(
)(
)(
222
111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
 
 
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
4
Introdução
Aula 18 5Cálculo Numérico Computacional
 Seja o resíduo de ajuste:
 Qual critério utilizar?
 1ª opção: erros tendendo a zero
▪ Problema: caímos no problema da interpolação
 2 ª opção: minimização da soma dos erros
▪ Problema:
iii yxfR  )(
*
miRxfyxf iiii ,,1,0,)()(
* 
  
i
ii
f
yxf )(minarg *
*
y
x
R1
-R1=R2
Critérios de Qualidade de Ajuste
Aula 18 6Cálculo Numérico Computacional
 3ª opção: minimização da soma dos erros absolutos
▪ Problema: a função módulo não é diferenciável em x=0
 4ª opção: Tschebycheff
▪ Problema: difícil solução
 
i
ii
f
yxf )(minarg *
*
 ii
if
yxf )(maxminarg *
*
Critérios de Qualidade de Ajuste
Aula 18 7Cálculo Numérico Computacional
 5ª opção: método dos mínimos quadrados
▪ Não temos soma nula (apenas na interpolação)
▪ A função ()2 é facilmente diferenciável
▪ É o critério mais utilizado
  
i
ii
f
yxf
2* )(minarg
*
Critérios de Qualidade de Ajuste
Aula 18 8Cálculo Numérico Computacional
Método dos Mínimos Quadrados
).()()()()( 332211
* xcxcxcxcxf nn  
Aula 18 Cálculo Numérico Computacional 9
 Outras denominações:
 Otimização linear
 Análise de regressão
 Suavização de dados
 Baseia-se no cálculo de um conjunto de constantes cj, 
j=1,2,…,n :
Obs: As constantes cj aparecem 
linearmente, mas as funções básicas j 
podem ser não-lineares em x
Dependem da natureza dos dados!
 O resíduo pode ser escrito por:
▪ R é função dos cj
▪ R passa por um mínimo quando as derivadas parciais se 
anularem simultaneamente:
 


m
i
iinniii yxcxcxcxcR
1
2
332211 )()()()(  
)(* ixf
  mi
c
xf
yxf
c
R
j
i
i ii
ij
,,10
)(
)(2
*
* 




 
njx
c
xf
ij
j
i ,,1),(
)(*




Método dos Mínimos Quadrados
Aula 18 10Cálculo Numérico Computacional
 Temos um sistema de n equações lineares:
 
 
 
  0)()()()(
0)()()()(
0)()()()(
0)()()()(
2211
32211
22211
12211








ini iinnii
ii iinnii
ii iinnii
ii iinnii
xyxcxcxc
xyxcxcxc
xyxcxcxc
xyxcxcxc









OBS: Uma escolha ruim das funções j podem 
nos levar a um sistema mal-condicionado!
Método dos Mínimos Quadrados
Aula 18 11Cálculo Numérico Computacional
Próximo Passo...
 Definimos um critério de qualidade (mínimos 
quadrados) e vimos como resolver o problema do 
ajuste
 Próximo passo: escolher as funções básicas j
 Ajuste Polinomial: j(x)=xj
Aula 18 12Cálculo Numérico Computacional
 Teorema de Weierstrass:
 Uma função f pode ser aproximada, com qualquer 
exatidão, num intervalo fechado através de um polinômio 
p(x) de grau n
 Outra propriedade importante:






  dxxcxf
b
a
n
i
i
i
2
)(
e  é função de n e dos coeficientes c1,c2,…,cn
Ajuste Polinomial
Aula 18 13Cálculo Numérico Computacional
 Ajuste a uma reta:
 Seja o resíduo definido 
por:
 Para que tenhamos 
 mínimo pelo critério 
dos mínimos quadrados:  
    





m
i ii
m
i i
m
i i
m
i i
m
i i
yxaxax
yaxma
111
2
01
1110
xaaxf 10
* )( 
 iii xaayR 10 
00
10






a
R
a
R
-150 -100 -50 0 50 100
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
 
 
Ajuste Polinomial
Aula 18 14Cálculo Numérico Computacional
 Ajuste a uma parábola:
 Usando o mesmo procedimento 
anterior:
 Podemos verificar que há um 
padrão:






































i ii
i ii
i i
i ii ii i
i ii ii i
i ii i
yx
yx
y
a
a
a
xxx
xxx
xxm
2
2
1
0
432
32
2
2
210
* )( xaxaaxf 


















































i i
n
i
i ii
i i
ni
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
i
i
n
ii ii ii ii i
i
n
ii ii ii ii i
yx
yx
y
a
a
a
xxxxx
xxxxx
xxxxx





1
0
2321
14321
3210
-150 -100 -50 0 50 100 150
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
4
 
 
Ajuste Polinomial
Aula 18 15Cálculo Numérico Computacional
1) Dada a tabela abaixo, ajuste uma reta aos dados:
2) A produção de aço em um certo país, em milhões de toneladas, 
durante os anos de 1960 e 1970 é dada pela tabela abaixo. 
Determine a) uma reta que se ajusta aos dados e b) a produção 
para o ano de 1971.
x 1 3 4 6
f(x) -2.1 -0.9 -0.6 0.9
Ano 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Aço 66 85 89 78 97 105 93 112 88 117 115
Exercícios
Aula 18 16Cálculo Numérico Computacional
3) A dependência entre a velocidade de um navio e a sua potência 
é dada pela tabela abaixo:
Sabendo que a dependência é do tipo P(v) = a + bv + cv2, 
determine a, b e c de modo a ajustar a função à tabela. 
v 5 7 9 11 12
P(v) 290 560 1144 1810 2300
Exercícios
Aula 18 17Cálculo Numérico Computacional
	Sumário
	Sumário
	Introdução
	Introdução
	Introdução
	Critérios de Qualidade de Ajuste
	Critérios de Qualidade de Ajuste
	Critérios de Qualidade de Ajuste
	Método dos Mínimos Quadrados
	Método dos Mínimos Quadrados
	Método dos Mínimos Quadrados
	Próximo Passo...
	Ajuste Polinomial
	Ajuste Polinomial
	Ajuste Polinomial
	Exercícios
	Exercícios