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Cálculo Diferencial e Integral II 
Prof. Dr. Alessandro Ferreira Alves
1ª Edição
 Gestão da Educação a Distância
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ficam reservados ao Unis - MG. 
 
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Autoria
Currículo Lattes:
Prof. Dr. 
Alessandro Ferreira Alves
http://lattes.cnpq.br/7860986142316472
 Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação (FEEC) 
da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP-SP) no departamento de Telemática. Mestre em 
Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, Estatística e Computação (IMECC) da Universidade 
Estadual de Campinas (UNICAMP-SP). Possui Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade 
Federal de Uberlândia (UFU-MG). Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de 
Minas (UNIS-MG), desde o ano de 2001, como professor em diversos Cursos de Graduação, bem 
como cursos de Pós-graduação, nas Modalidades Presencial (GEP) e a Distância (GEaD). Além disso, 
é Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância desde o segundo 
semestre de 2007 e coordenador do Curso de Licenciatura em Física na Modalidade a Distância desde 
o segundo semestre de 2015, bem como, já atuou como coordenador dos cursos de Pós-graduação 
do UNIS-MG, tais como: MBA em Finanças Corporativas (GEDUP – 2007 e 2008), MBA em Gestão 
Autoria
Currículo Lattes:
Prof. Dr. 
Alessandro Ferreira Alves
Empresarial (GeaD – 2008), Pós-graduação em Matemática Empresarial (GEP – 2004, 2005 e 2006) 
e Lato Sensu em Matemática e Ensino (GEDUP – 2002 e 2003). Atualmente, atua como professor 
titular de disciplinas em vários cursos de nossa instituição, como por exemplo, Engenharia Mecânica, 
Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, Comércio Exterior, Sistemas de Informa-
ção e Ciência da Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e Computação, bem como, como 
professor em diversos cursos da GEPOS, tais como, MBA em Finanças Corporativas e Gestão Bancária, 
MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, MBA em Gestão Empresarial, MBA em Logís-
tica Empresarial e Lato Sensu em Ensino de Matemática e Física. O professor Alessandro Ferreira Alves 
também é membro do CONSELHO UNIVERSITÁRIO – CONSUN do Centro Universitário do Sul 
de Minas Gerais desde o ano de 2008, atuando como representante do quadro de coordenadores da 
instituição. De outra forma, atua com projetos de consultoria na área de Finanças, Estatística Aplicada a 
Mercado, Controle Estatístico de Processos e Desenvolvimento de Materiais Didáticos.
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ALVES, Alessadro Ferreira. Cálculo Diferencial e Integral II . Varginha: 
GEaD-UNIS/MG, 2017.
228 p.
1. Funções de Variáveis. 2. Limites. 3. Continuidade. 4. Derivadas Par-
ciais. 5. Plano Tangente. 6. Derivada Direcional. 7. Integral Dupla. 8. In-
tegral Tripla. 
 Caro aluno (a), tudo bem? Seja bem-vindo a nossa disciplina!!! Agora vamos trabalhar com a generalização do cálculo dife-
rencial e integral de uma variável real, grosso modo, estaremos discutindo os aspectos fundamentais envolvendo agora as funções de 
várias variáveis.
 Através deste material didático apresentaremos os principais conceitos, técnicas e ferramentas para entendimento de uma 
das disciplinas que compõem o seu curso de graduação e que generalizam um curso de cálculo introdutório, que é a disciplina de 
Cálculo Diferencial e Integral II.
 Assim sendo, este material está dividido em cinco unidades, que englobam diversos temas, desde os aspectos introdutórios 
acerca da teoria sobre os conceitos fundamentais das funções de duas variáveis, bem como, a teoria envolvendo a limites, continui-
dade e derivação de funções de duas ou mais variáveis.
 Desta maneira, ao finalizar as unidades com certeza você estará familiarizado com as principais definições e procedimentos 
envolvendo as funções de duas variáveis, seus principais resultados e sua aplicabilidade prática no contexto das diversas áreas do co-
nhecimento, tais como, a Matemática, a Física e a Engenharia. Em verdade, o Cálculo Diferencial e Integral II pode ser encarado como 
uma generalização natural do cálculo diferencial e integral de uma variável real.
 Neste sentido, o entendimento dos conceitos citados é de fundamental relevância para o desempenho de diversos profis-
sionais, e possibilitará a resolução de diversas aplicações nos mais variados contextos do nosso cotidiano. 
 Gostaria de desejar a todos ótimos estudos, que no final consigamos atingir todos os nossos objetivos por inteiro!!!
"Sem os recursos da Matemática não nos seria possível compreender muitas passagens da Santa Escritura." (Santo Agostinho)
Dedicatória
 Prezados discentes, para um discente se tornar um profissional diferenciado no mundo globalizado atual, independen-
temente da sua área de atuação, é muito importante a persistência nos estudos, sendo assim, a dedicação e leitura contínua são 
pré-requisitos básicos para o sucesso profissional. Para tal, use de sua curiosidade para buscar novos conceitos e exemplos da teoria 
estudada aqui, bem como, de novas aplicações que são resolvidas através dos métodos descritos neste texto.
“Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens, Deus os denominou de MATEMÁ-
TICOS." (Leonardo Euler)
 Agora é mãos à obra!
 Desde já os meus agradecimentos, Dr. Alessandro Ferreira Alves
Ementa
Orientações
Palavras-chave
 Ver Plano de Estudos da Disciplina Disponível no Ambiente Virtual e Materiais 
Diversos Complementares (aulas, arquivos diversos, artigos, etc.).
 Funções de Várias Variáveis. Limites. Continuidade. Derivadas Parciais. Plano 
Tangente. Derivada Direcional. Integral Dupla. Integral Tripla.
 Funções de várias variáveis reais. Limite e continuidade. Funções Diferenciáveis. 
Derivadas Parciais e Direcionais. Máximos e Mínimos. Integrais Duplas e Triplas.
Unidade I
1.1. Aspectos Introdutórios do Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias 
Variáveis 13
1.2. Definição Formal e Exemplos de Funções de Duas Variáveis Reais 16
1.3. Interpretando as Curvas de Nível e o Gráfico de uma Função z = f(x, y) 28
1.4. Construindo Gráficos Através das Curvas de Nível 39
Unidade II
2.1. Aspectos Introdutórios Envolvendo os Limites de Funções de Duas Variáveis Re-
ais 57
2.2. Definição Formal do Limite de uma função z = f(x,y) 58
2.3. Interpretando a Noção de Continuidade para Funções do Tipo z = f(x,y) 66
2.4. Exercícios Resolvidos 71
Unidade III
3.1. Aspectos Introdutórios Envolvendo as Derivadas Parciais 78
3.2. Interpretando a Derivada Parcial de z = f(x,y) 78
3.3. Derivadas Parciais e Continuidade 89
3.4. Derivadas Parciais de Ordem Superior 91
3.5. Interpretando Funções Diferenciáveis 95
3.6. Conhecendo o Plano Tangente e o Vetor Gradiente 106
3.7. Diferencial e Aplicações 116
Unidade IV
4.1. Aspectos Introdutórios 134
4.2. Máximos e Mínimos Associados a Funções do Tipo z = f(x,y) 135
4.3. Ponto Crítico de Uma Função z = f(x,y) [ 140
4.4. Descrição da Condição Necessária e Suficiente para a Existência de Pontos Extre-
mantes 144
4.4.1. Interpretação Geométrica Envolvendo Pontos Críticios de uma Função z = 
f(x,y) 147
4.5. Condição Suficiente para um Ponto Crítico se Extremante Local 150
4.6. Interpretando o Teorema de Weierstrass 156
4.7. Derivada Direcional e Campos Gradientes 166
4.7.1. Campos Escalares e Campos Vetoriais 167
4.7.2. Representação Geométrica de um Campo Vetorial 172
4.7.3. Derivada Direcional de um Campo Escalar177
4.7.4. Gradiente de um Campo Escalar 182
4.7.5. Propriedades do Gradiente 185
4.7.6. Interpretação Geométrica do Gradiente 186
4.7.7. Cálculo da Derivada Direcional usando o Gradiente 188
4.7.8. O Gradiente como Direção de Máxima Variação 191
4.8. Aplicações Envolvendo o Gradiente 192
Unidade V
5.1. Aspectos Introdutórios e Definição Formal da Integral Dupla 199
5.2. Interpretação Geométrica da Integral Dupla 201
5.3. Propriedades da Integral Dupla 202
5.4. Calculando Integrais Duplas 203
5.5. Mudança de Variável Associadas a Integrais Duplas 210
5.6. Descrição em Coordenadas polares 212
5.7. Cálculo de Volumes e Aplicações 215
5.8 Cálculo de Áreas de Regiões Planas e Aplicações 217
5.9 Integrais Triplas 220
5.10. Propriedades da Integral Tripla 221
5.11. Cálculo da Integral Tripla 221
Referências Bibliográficas 228
Objetivos da Unidade
I Unidade I - Funções de Várias Variáveis
 Ao final desta unidade, o aluno será capaz de estar familiarizado com os conceitos funda-
mentais e introdutórios das funções de duas variáveis reais.
 Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, você seja capaz de: 
- Compreender a importância da teoria das funções de várias variáveis para a Matemática, Física 
e áreas afins;
- Interpretar e caracterizar geometricamente o domínio e a imagem de uma função de duas 
variáveis; 
- Interpretar e caracterizar geometricamente as curvas de nível uma função de duas variáveis; 
- Interpretar e caracterizar geometricamente o gráfico de uma função de duas variáveis;
- Interpretar e aplicar os principais resultados envolvendo o limite de uma função de duas variá-
veis;
- Interpretar e aplicar os principais resultados envolvendo a noção de continuidade de uma fun-
ção de duas variáveis;
- Relacionar a teoria de limites e continuidade de funções de duas variáveis;
- Resolver diversas aplicações dentro da matemática e áreas afins, envolvendo os aspectos teóri-
cos discutidos na unidade.
“As soluções que mais interessam a uma organização são aquelas que aumentam a sua competiti-
vidade”.
(Kaplan)
13
1.1. Aspectos Introdutórios do Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias 
Variáveis
 Mais uma vez estamos diante de uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Vocês 
poderiam estar indagando: O segundo Curso de Cálculo Diferencial e Integral? É necessário estu-
darmos tudo isso? Mais uma série de fórmulas, definições e teoremas complexos? Desta forma, pen-
semos um pouco sobre o que passamos e o que nos leva a pensar que iremos discutir. Estudamos 
anteriormente, no Cálculo Diferencial e Integral I, os Números Reais, a Teoria das Funções, Limites, 
Derivadas e Aplicações, porém, associado a uma única variável real. Na sequência, discutimos a 
Integral Indefinida e Definida, bem como, uma série de técnicas de integração e aplicações diversas. 
Percebemos que o Cálculo Diferencial e Integral constitui uma das áreas mais importantes dentro 
da própria Matemática e áreas afins, tais como, a Física, a Engenharia e a Economia, já que uma série 
de situações requer a utilização de técnicas e resultados, do Cálculo Diferencial e Integral para sua 
resolução.
 Sendo assim, percebemos de forma natural que nestas áreas e em outras, surgem constante-
mente problemas que necessitam de uma teoria mais complexa, ou ainda, existem muitas fórmulas 
nas quais uma variável dada depende de duas ou mais outras variáveis. Então, é necessário o de-
senvolvimento de uma teoria que generalize o caso em uma dimensão, ou seja, devemos trabalhar 
variáveis que dependam de duas ou mais variáveis.
 Para ilustrarmos, o que acabamos de dizer, vejamos as seguintes situações que aparecem de 
forma natural. Exemplificando: 
- Sabemos que a área A de um triângulo depende do comprimento da base b e da altura h pela 
fórmula A = 
2
.hb , desta maneira, podemos escrever A = f(b,h), ou seja, temos que a variável A 
depende de duas outras variáveis, que são b e h. (Lembremos, do Cálculo Diferencial e Integral 
de uma variável que comumente usamos y = f(x), isto é, a variável y é função de variável x).
- De outra forma, sabemos que a velocidade do som de um gás ideal depende da densidade do 
gás e de sua pressão.
14
- Além disso, sabemos que o volume V de um cilindro depende do raio r e da altura h, isto é, V 
= f(r,h). 
- Na área médica, o IMC (Índice de Massa Corporal) de uma pessoa depende do peso p e da 
altura a da mesma, ou seja, IMC = f(p,a).
- O volume de uma caixa retangular depende do comprimento l, da largura w e da altura h pela 
fórmula V = f(l,w,h). 
- Na Estatística, sabemos que a média aritmética x de n números reais x1 , x2 ,...,xn, depende des-
ses números pela fórmula x = 
n
xxx n+++ ...21 ou seja, x = f(x1 , x2 ,...,xn ).
Figura 1 - Aplicações envolvendo as funções de várias variáveis reais.
Fonte: Istock.com
15
 Logo, percebemos que em todas as situações citadas acima vivenciamos a utilização de uma 
variável que depende de duas, três ou mais variáveis, em outras palavras, retratam a aplicabilidade 
da Teoria das Funções de Várias Variáveis, então, se torna necessário um estudo detalhado sobre as 
mesmas. Este constitui o propósito da nossa disciplina.
 Além disso, consideramos a seguinte aplicação: 
 Suponhamos que seja de nosso interesse minimizar o custo de fa-
bricação de uma caixa retangular com 48 u3 de volume, dado que as partes 
dianteira e traseiras custam R$1,00/u2, a tampa e o fundo custam R$2,00/u2 e 
as duas extremidades custam R$3,00/u2.
 Vamos ilustrar tal caixa com comprimento x, largura y e altura z como segue.
x
z y
Figura 2 - Caixa retangular com dimensões x, y e z.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Desta maneira, como podemos caracterizar pelas condições acima, temos que o seu custo 
total (C) é dado por: 
 C = 2.x.z + 4.x.y + 6.y.z (R$) (Por quê?) 
 Além disso, sabemos da geometria elementar que o volume (V) de uma caixa retangular 
com dimensões x, y e z é dado por:
(II) V = x.y.z = 48, ou ainda, z = yx.
48
16 
 Daí, se substituirmos (II) na Equação (I), obtemos:
C = 2.x.
yx.
48 + 4.x.y + 6.y. yx.
48
 
 Ou seja,
C = 4xy +
y
96 + 
y
96
 Como nenhuma das variáveis x e y não pode ser expressa em termos da outra, não pode-
mos aplicar as técnicas de máximo e mínimo que aprendemos no cálculo diferencial e integral de 
uma variável. Sendo assim, necessitamos de novas técnicas envolvendo máximos e mínimos, só que 
agora relacionadas a funções de duas ou mais variáveis.
1.2. Definição Formal e Exemplos de Funções de Duas Variáveis Reais
 
 Logo, diante de todo este contexto abordado anteriormente, já nos vemos na necessidade 
de definirmos o que vem a ser uma função de várias variáveis.
 Em verdade, daremos ênfase ao estudo das funções reais de duas variáveis reais e, em segui-
da, você não terá dificuldades em generalizar os resultados para funções de várias variáveis, já que a 
priori dizemos que não existem diferenças relevantes. Sendo assim, definimos uma função de duas 
variáveis como segue:
 Uma função de duas variáveis a valores reais nada mais é do que uma 
função f: A ℜ→ , onde A é um subconjunto de ℜ 2, ou seja, ela associa a cada 
para (x,y) ∈A, um único número real, que denotaremos por f(x,y). 
 Geometricamente, temos a seguinte situação apresentada na Figura 3 a seguir.
17
A
X
Y
(X,Y)
f (x,y)
IR
Figura 3: A interpretação geométrica de uma função de duas variáveis.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Temos que, o conjunto A é o domínio de f e indicaremos o mesmo por D . Além disso, o 
conjunto:
 Im f = {f(x,y) ∈ ℜ / (x,y) ∈ Df }
é a imagem de f (ou, o conjunto imagem de f).
 A partir da definição e interpretação geométrica da definição de uma função de duas variá-
veis, vejamos algumas observações simples que nos fazem refletir sobre o contexto.
 É interessante ressaltar que:
1- Claramente, podemos visualizarque se trata de uma generalização natural de uma função de 
uma variável.
2- O D f é um subconjunto do plano euclidiano ℜ
2 e, como sabemos da teoria de funções de 
uma variável, que domínio significa condição de existência. Em diversas situações, para caracteri-
zarmos o domínio de uma função de duas ou mais variáveis procedemos com raciocínio similar 
para o caso de uma variável.
3- A Im f (ou conjunto imagem de f) é um subconjunto da reta real ℜ .
4- Em verdade, f transforma o par (x,y) no número real f(x,y).
5- As nomenclaturas, aplicações e transformações são sinônimas para o caso de uma função de 
18 
uma variável real.
6- Em alguns casos, deixaremos de especificar o domínio da função, ficando implícito então, que 
se trata do “maior” subconjunto do plano euclidiano ℜ 2 para o qual faz sentindo a regra em 
questão.
 A seguir, enunciamos uma série de exemplos de funções de duas variáveis.
a) f (x,y) = x + y
b) f (x,y) = x2 + y2
c) f (x,y) = x2 + y-1
d) f (x, y) = y.y + 2.x – 3.y
e)f (x,y) = x +y2
f) f (x,y)= √(x-y)
g) f (x, y) = ln(x + y)
h) f (x,y)= √(y-x)+ √(1-y)
i) f (x,y) = x+y 
 x-y
j) f (x,y)= sen(xy)
 Vejamos agora, uma série de exemplos resolvidos envolvendo pontos que pertencem ao 
domínio de uma função de duas variáveis, bem como a caracterização do domínio dessas funções.
 Vejamos agora, uma série de exemplos resolvidos envolvendo pontos que pertencem ao 
domínio de uma função de duas variáveis, bem como a caracterização do domínio dessas funções.
 Exemplo 1: Consideremos a função de duas variáveis definida por 
f(x,y) = 
yx
yx
−
+
 .
 Vamos determinar: 
 
19
a) f(2,3)
b) f(a + b, a – b)
Solução: Neste caso, como fazemos para uma função de uma variável, efetuamos a substituição das 
variáveis pelos correspondentes valores, sendo assim:
a) f(2,3) = ? 
 Para o cálculo de f(2,3) substituímos na expressão de f(x,y), x por 2 e y por 3, donde obte-
mos: 
a) f (2,3)= 2+3= -5
 2-3
b) f(a + b, a – b) = ?
 Similarmente ao raciocínio da letra (a), substituímos x por (a + b) e y por (a – b), ou seja:
f (a+b,a-b)= (a+b+a-b)/(a+b-(a-b))=a/b 
 De acordo com o que comentamos anteriormente, a função do exem-
plo anterior transforma o par (x,y) no número real dado por f(x,y) = x+y
 x-y .
 Exemplo 1: Consideremos a função f de duas variáveis definida por (x, y)" z , onde z = 
5.x2.y – 3.x . Qual é o domínio de f? Ou seja, qual o conjunto de definição da função definida acima?
 Solução: Inicialmente, vamos efetuar um pequeno comentário com relação a notação ante-
rior. Temos que: 
f: A ⊂ ℜ 2 " ℜ 
(x,y) f (x,y) 
 
"
20
 Como utilizamos na teoria envolvendo funções de uma variável, 
f: ℜ → ℜ 
 Chamamos f(x,y) de y, isto é, escrevemos y = f(x), desta maneira, no contexto de duas va-
riáveis chamamos f(x,y) de z, isto é, z = f(x,y). E no caso do nosso exemplo, podemos escrever
z = f (x,y) = 5x2 . y-3x , 
 Que em verdade é a lei de formação da função do nosso exemplo.
 Agora, vamos responder a indagação feita no exemplo. O valor de f(x,y) é z = f(x,y) = 5.x2 
.y – 3x. Na equação anterior, vemos x e y como variáveis independentes e z como variável depen-
dente, Notemos, que como salientamos anteriormente domínio significa condição de existência e, 
por consequência concluímos que o domínio de f é:
Df = ℜ
2
 Em outras palavras, o domínio da função z é todo plano euclidiano bidimensional, ou ainda, 
podemos interpretar que a função z acima esta definida para todo ponto (x, y) pertencente aoℜ 2, 
ou ainda, ela existe para qualquer ponto (x,y) pertencente ao plano euclidiano bidimensional.
 Exemplo 3: Consideramos a função de duas variáveis definida por:
f (x,y)=3.x+3.x2.√y-1.
 Qual é o valor de f(1, 4)? Qual é o valor de f(0,9)? Qual é o domínio de f? 
 Solução: Analogamente, para calcularmos f(1,4) e f(0,9) substituímos as variáveis x e y pelos 
correspondentes valores, sendo assim, temos que: 
f(1,4) = 3.(1) + 3.(1)2. – 1 = 3 + 3.(1).(2) – 1 = 8
E
f(0,9) = 3.(0) + 3.(0)2 . 9 – 1 = – 1 
 Por outro lado, para caracterizarmos o domínio de f, notemos inicialmente que aparece a 
21
raiz quadrada de y, isto é, √y na lei que define a função f(x,y), logo temos como condição de exis-
tência, y ≥ 0 para evitarmos valores imagináveis de f, isto é., sabemos que no conjunto dos números 
reais a raiz quadrada só é definida para valores não negativos.
 Sendo assim, o domínio de f consiste de todos os pontos (x,y) do plano euclidiano ℜ 2 que 
estão sobre ou acima do eixo x, ou seja, geometricamente temos que o Df é a região hachurada 
mostrada na Figura 4 a seguir.
Figura 4: Interpretação geométrica do domínio da função do exemplo.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Notemos que neste caso a condição de existência para a função é 
que, y ≥ 0, já que temos na expressão que caracteriza f(x,y) a raiz quadrada 
de y.
 Exemplo 4: Consideremos a função de duas variáveis definida por z = f(x, y) = x + y. Qual 
é o valor de f(0, 0)? Qual é o domínio de f?
 Solução: Neste caso, notemos diretamente que:
f(0, 0) = 0 + 0 = 0
 Além disso, esta função esta definida para todo x e para todo y, isto é.,6(x, y) ∈ℜ 2 e, por-
tanto, concluímos que Df = ℜ
2 .
22 
 Exemplo 5: Consideremos a função de duas variáveis definida por:
z = x2 - 3x.y+y2-1
 Calcular f(0,0), f(-1,-1), f(2,0), f(0,-3) e caracterizar o seu conjunto domínio.
 Solução: Claramente, temos que:
f(0,0) = (0)2 – 3.(0). (0) + (0)2 – 1 = – 1
f(-1, -1) = (-1)2 – 3. (-1). (-1) + (-1)2 – 1 = -2
f(2, 0) = (2)2 – 3.(2).(0) + (0)2 – 1 = 3
f (0, 3) = (0)2 – 3.(0). (-3) + (-3)2 -1 = 8
 Além disso, sem dificuldades podemos visualizar que o domínio da função em questão é Df 
= ℜ 2.
 Exemplo 6: Consideremos f(x,y) = 
x.y
x-y , vamos calcular f(0,1), f(2,3) e determinar o domínio 
de f.
 Solução: Neste caso, temos que:
f (2,3)= 0.1= 0
 0-1
E 
f(2,3) 2.3= -6
 2-3
 Além disso, notemos que a característica da função f(x,y) é um quociente e, por consequ-
ência, como sabemos um quociente só está definido quando o denominador é não-nulo, ou seja, 
devemos ter neste caso que x – y deve ser não-nulo, isto é., x – y ≠ 0, ou ainda, x ≠ y . Logo, o 
dominio de f é o conjunto de todos os pontos do plano euclidiano bidimensional ℜ 2 tais que x é 
diferente de y, ou seja:
Df = {(x,y)∈ ℜ 2/ x ≠ y}
 Geometricamente, o domínio de f é a região hachurada na Figura 5 a seguir.
23
Figura 5: Interpretação geométrica do domínio da função do exemplo.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Salientamos que neste exemplo, que o Df é o plano euclidiano menos a bissetriz dos qua-
drantes ímpares (reta x = y), desta forma, na Figura 04 acima a reta x = y foi desenhada pontilhada.
 Exemplo 7: Qual é o domínio da função de duas variáveis z = f(x, y) = ln(x – y)?
 Solução: Mais uma vez, ressaltamos que a noção de domínio de uma função é sinônimo de 
condição de existência. Sabemos que o logaritmo de um número só é definido para valores não 
negativos, isto é., ln(a) só está definido para a > 0, desta forma, no nosso exemplo, devemos ter que: 
x – y > 0
ou seja, 
x > y
 Sendo assim, o domínio da função f é o conjunto 
Df ={(x,y)e
2 / x >y}
 Geometricamente, temos a seguinte disposição como mostrada na Figura 6 a seguir.
24 
Figura 6: Interpretação geométrica do domínio da função do exemplo.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Observamos, que qualquer reta no plano ℜ 2 o divide em dois semi-
planos. No caso presente, a bissetriz dos quadrantes ímpares x = y divide o 
plano em dois semiplanos, onde é de nossointeresse caracterizar qual dos 
dois temos a condição de que x seja maior do que y. Para tal, pegamos um 
ponto P(x,y) ao qual não pertence à reta x = y e averiguamos com relação a condição de exis-
tência x > y. Este ponto comumente é chamado de ponto teste. Por exemplo, se tomarmos o 
ponto P(0, 1) o qual claramente não pertence a reta x = y , temos que 0 < 1, ou seja, x < y, 
sendo assim, concluímos que o semiplano pelo qual verifica-se a condição x < y é o semiplano 
que se encontra abaixo da reta x = y.
 Exemplo 8: Qual é o domínio da função f(x,y) = ln(x2 – y)?
 Solução: Sabemos que ln(x) só é definido para x > 0, desta forma, devemos ter que x2 – y 
> 0, isto é., x2 > y ou ainda y < x2 . Logo, o domínio de f é o conjunto:
Df ={(x,y)e 2 / y< x
2}
 Novamente, vamos pegar o ponto P(0,1) como ponto teste daí x = 0 e y = 1 e, portanto x2 
25
= 02 = 0 e 02 < 1, isto é. x2 < y e, portanto o domínio de f é a área hachurada como mostrada na 
Figura 7 a seguir.
Figura 7: Interpretação geométrica do domínio da função do exemplo.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 9: Seja f(x,y) = 25
1
22 −+ yx . Qual é o domínio da função f?
 Solução: Neste caso, percebemos que f(x,y) é um número real se 2522 −+ yx > 0. Ou 
seja, devemos ter que:
2522 −+ yx > 0
 Em outras palavras, isto significa, que devemos ter:
22 yx + > 25
 Portanto,
Df ={(x,y)e 2/ x2+y2>25}
 Geometricamente, temos a seguinte representação geométrica para o domínio de f como 
mostrada na Figura 8 a seguir.
26 
Figura 8: Interpretação geométrica do domínio da função f(x,y). 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 10: Qual é a representação geométrica do domínio da função de duas variáveis 
f(x,y) = 223 yx
yx
−−
+
 ?
 Solução: Neste caso, devemos ter que:
223 yx −− > 0
 Ou seja, 
x2 + y2 < 3
 Ou ainda,
(x – 0)2 + (y – 0)2 < ( 3 )2
 Portanto, 
Df ={(x,y)e 
2/ x2+y2<3}.
 Para representarmos geometricamente o domínio de f, notamos inicialmente que (x – 0)2 + 
(y – 0)2 < ( 3 )2 , representa uma circunferência centrada na origem (0, 0) de raio r igual a ( 3 ). 
Desta forma, o gráfico mostrado na Figura 9 a seguir caracteriza o domínio de f .
27
Figura 9: Interpretação geométrica do domínio da função 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 11: Qual é a representação geométrica do domínio da função w = f(u, v)? A fun-
ção é dada por u2 + v2 + w2 = 1, com w ≥ 0.
 Solução: Neste caso, temos que:
u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0
 Implica que
w2 = 1 – u2 – v2 
 Ou seja,
 w = 1 - u 2 - v2
 Desta maneira, f é a função dada por f(u,v) = 1 - u 2 - v2 . Seu domínio é o conjunto de todos 
os pontos (u,v) , com 1-u2 - v2 $ 0, isto é., 1-u2 - v2# 1e portanto, concluímos que: 
Df ={(u,v)e 2/ u2 + v2 ≤1}.
 A representação geométrica do domínio de f é mostrada na Figura 10 a seguir.
28 
v
u
DF
+1
+1
-1
-1
Figura 10: Interpretação geométrica do domínio da função w = f(u,v).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
1.3. Interpretando as Curvas de Nível e o Gráfico de uma Função z = f(x, y)
 Similarmente que no estudo envolvendo funções de uma única variável independente (y = 
f(x)), a noção de gráfico desempenha um papel muito importante no estudo das funções de várias 
variáveis. Isto acontece principalmente com relação às funções de duas variáveis, cujo gráfico, geral-
mente, representa uma superfície no espaço euclidiano tridimensional ℜ 3. A visualização geométrica 
nos auxilia de forma considerável no estudo dessas funções, ou seja, no sentido de estudarmos o 
comportamento de tais funções. Desta forma, definimos o gráfico de uma função de duas variáveis 
como segue.
 Consideremos z = f(x,y),(x,y) eA (domínio de f), uma função de duas 
variáveis. O conjunto
Gf ={(x,y,z)eℜ
3 / z=f (x,y),(x,y)eA}.
 é denominado gráfico de f.
29
 Para um melhor entendimento, munindo-se o espaço de um sistema ortogonal de coorde-
nadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser encarado como o lugar geométrico descrito pelo 
ponto (x, y, f(x,y)), quando (x, y) percorre o domínio de f . A Figura 11 a seguir, nos dá uma ideia 
geométrica com relação ao gráfico da função de duas variáveis z = f(x, y). 
Figura 11: Interpretação geométrica do domínio da função w = f(u,v).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Ressaltamos ainda a importância do estudo do gráfico de uma função de duas variáveis, já 
que para sua representação geométrica temos uma árdua tarefa. Sendo assim, quando pretendemos 
ter uma visão geométrica da função, utilizamos as curvas de nível da mesma, cuja representação ge-
ométrica é sempre mais fácil de ser obtida do que o gráfico da função. Desta forma, com o objetivo 
de facilitar o entendimento do comportamento de uma função de duas variáveis, definimos as curvas 
de nível como segue; ou seja, a partir da caracterização das curvas de nível de uma função de duas 
variáveis teremos uma visão do seu comportamento, sendo uma ferramenta útil a fim de desenhar-
mos o gráfico da mesma.
 (Curva de nível de z = f(x, y)) Sejam z = f(x,y) uma função de duas 
variáveis e O conjunto de todos os pontos (x,y) ∈ D tais que f(x, y) 
= c é chamado de curva de nível de f correspondente ao nível z = c (ou curva 
de contorno). 
30 
 Notemos, que a função de duas variáveis f é uma função constante sobre cada uma de 
suas curvas de nível. Antes de exemplificarmos as duas definições anteriores, enumeremos algumas 
observações importantes a fim de interpretar as mesmas de forma mais fácil. Assim sendo, observe 
que:
1) Claramente, observamos que o gráfico de f (Gf ) é um subconjunto de ℜ
3, enquanto que uma 
curva de nível é um subconjunto do domínio de f (Df ) e f (Df ) e, consequentemente de ℜ
2. A 
Figura 12 abaixo nos mostra esta situação.
Figura 12: Domínio, Curvas de Nível e Gráfico: caracterização como subconjuntos. 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
2) Em outras palavras, percebemos que o gráfico de uma função de duas variáveis é uma super-
fície que representa o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional cujas coordenadas 
cartesianas são dadas por tripas ordenadas de números reais (x,y,z). Como o domínio de f é um 
conjunto de pontos no plano xy, e como a cada para ordenado (x,y) do plano no domínio de 
f corresponde um único valor de z, percebemos que nenhuma reta perpendicular ao plano xy 
pode interceptar o gráfico de f em mais de um ponto.
31
3) Notamos, que de outra forma, as curvas de nível constituem um outro método de repre-
sentarmos uma função de duas variáveis geometricamente, onde consideramos aqui um mapa 
topológico bidimensional, isto é, no plano euclidiano 2.
4) Existem diversos programas que nos auxiliam na construção de gráficos e curvas de nível, 
dentre eles citamos o INPLOT, MAPLE e MATHEMATICA.
 Vejamos agora alguns exemplos envolvendo a construção de gráficos e a caracterização de 
curvas de nível (ou curvas de contorno) de funções do tipo z = f(x,y), ou seja, com duas variáveis 
independentes.
 Exemplo 12: Consideramos a função constante f (x,y) = k. Desta forma, percebemos sem 
problemas que o gráfico Gf de f(x,y) é um plano paralelo ao plano yx como podemos visualizar na 
Figura 13 abaixo.
Figura 13: O gráfico de f(x,y) = k. 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
32 
 Exemplo 13: Consideramos a função z = f(x,y) = √(4- x2-y2 ). Sabemos que o domínio desta 
função é o conjunto Df ={(x,y) E 
2 / x2+ y
2 ≤4}. Além disso, percebemos que o seu conjunto 
imagem é Im (z) = [0,2]. Lembramos, mais uma vez, que o conjunto imagem de uma função de duas 
variáveis é um subconjunto da real real, ou seja, do conjunto dos números reaisℜ e, neste caso, o 
intervalo fechado [0,2]. Vamos visualizar geometricamente o gráfico de f. Pela definição anterior 
referente ao Gf concluímos que o gráfico dessa junção é o conjunto 
Gf ={(x,y,z)E
3 / z=√(4- x2-y2 )}.
 E, geometricamente, representa o hemisfério superior da esfera de centro na origem e raio 
2, como mostramos na Figura 14 a seguir. 
Figura 14: O gráfico de z=√(4- x2-y2 ).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 14: O gráfico da função linear dada por z = 2x + y é um plano que passa pela ori-
gem e cujo vetor normal é dado por =(2,1,-1). Lembramos, que dada uma equação geral de um 
plano ax+by+cz+d = 0, temos que a distância deste plano a origem é dada por d e, o vetor normal 
tem coordenadas a, b e c, isto é, abscissa x, ordenada y e cota z, ou ainda, =(a,b,c). Neste caso, 
observamos que:
z = 2x +y + 2x +y-z = 0 + (2,1,-1).[(x,y,z)-(0,0,0)] = 0.
33
 Sendo assim, tal plano é determinado pelas retas:
x = 0 (Se fizermos x = 0 obtemos z=y)
z = y 
 E, 
y=0 (Se fizermos y=0 obtemos z=2x)
z= 2x 
 Notemos ainda, que a reta �
𝑥𝑥 = 0
𝑧𝑧 = 𝑦𝑦 é uma reta situada no plano yz, enquanto a reta �
𝑦𝑦 = 0
𝑧𝑧 = 2𝑥𝑥 
é uma reta situada no plano xz. Mostramos o gráfico de f na Figura 15 abaixo. 
Figura 15: O gráfico de z = 2.x + y.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 15: Consideramos a função de duas variáveis (função afim) f dada por z = ax + by 
+ c. O gráfico da função f (Gf ) é um plano normal ao vetor (a,b,-1), sendo que tal plano é determi-
nado pelas retas
34 
x=0
z=by+c
 E 
y=0
z= ax+c
 com raciocínio análogo ao exemplo anterior.
 Exemplo 16: Considerando a equação de um plano ax+by+cz+d = 0 podemos, supondo 
c≠0, explicitar z como segue:
 Sendo assim, obtemos uma função cujo gráfico é o conjunto representado pelo plano dado 
por: 
Gf ={(x,y,z)∈ ℜ
3/ z = 
 Exemplo 17: A equação x+2y+3z=3 é a equação de um plano inclinado que corta os eixos 
coordenados em x = 3, e z = 1. Resolvendo essa equação para z em função de (x, y), obtemos 
a função:
z = ,
 cujo domínio é todo plano xy (isto é, Df =ℜ
2) e cuja imagem é todo eixo z (isto é, Imf=ℜ ). 
A parte do gráfico de z=f(x,y) que se encontra no primeiro octante está representada na Figura 16 
abaixo.
𝑧𝑧 = − 
𝑎𝑎
𝑐𝑐
. 𝑥𝑥 −
𝑏𝑏
𝑐𝑐
.𝑦𝑦 −
𝑑𝑑
𝑐𝑐
 
35
Figura 16: O gráfico de x + 2y + 3z = 3. 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 18: Consideremos a função de duas variáveis z=f(x,y)=2x-4y+1. Vamos encontrar 
algumas curvas de nível de z, por exemplo, nos níveis z=-7 e z=3.
 Solução: Desta forma, percebemos que de acordo com a definição de curva de nível no nível 
z = c, que:
- A curva de nível para z = -7 é dada por f(x,y)=-7, isto é, 2x-4y+1= -7, ou seja, x-2y+4=0. Trata-
se de uma reta, lembrado mais uma vez, que uma curva de nível é um subconjunto do domínio 
de f e, portanto de ℜ 2.
- A curva de nível em z = -3 é dada por f(x,y) = -3, isto é, 2x-4y+1 = -3, ou seja, x-2y+2=0. 
Novamente observamos que se trata de uma reta. 
 Estas retas são representadas na Figura 17 abaixo.
36 
Figura 17: Curvas de nível da função f(x, y) = 2x – 4.y + 1. 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exercício: Um fato curioso ocorreu na nossa aula de Cálculo Diferencial e Integral II, isto é, 
um colega de vocês fez a seguinte indagação: Professor, dada uma superfície S no espaço, ela sempre 
representa o gráfico de uma função de duas variáveis, ou seja, de uma função do tipo z=f(x,y)? O 
que você acha? Pensou? A conclusão então é falsa ou verdadeira? 
 Diante da situação respondi que a indagação não é verdadeira, ou seja, falsa ou ainda não. 
Vejamos a explicação de uma forma mais detalhada. A superfície S só representará o gráfico de uma 
função z=f(x,y) se qualquer reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo em um ponto, como 
já havíamos comentado em observações anteriores. Vejamos a interpretação geométrica desta situ-
ação na Figura 18 abaixo.
Figura 18: A interpretação geométrica do questionamento acima. 
37
 Exemplo 19: Consideramos a função z = f(x,y) = √(4-x2-y2 ). Vamos encontrar algumas cur-
vas de f(x, y). 
 Solução: Por exemplo, temos que:
- A curva de nível em z=0 é dada por 0 = √(4-x2-y2 ), ou seja, x2+y2=4 +(x-0)2+(y-)2=22 que 
representa a equação de uma circunferência centrada na origem (0, 0) de raio igual a 2.
- A curva de nível em z= é dada por = √(4-x2-y2 ), ou seja, x2-y2= +(x-0)2+(y-0)2=
)2 que novamente representa uma circunferência centrada na origem (0, 0) só que de raio 
igual a ) .
- A curva de nível em z = 1 é dada por 1 = √(4-x2-y2 ), ou seja, x2+y2= 3+ (x-0)2+(y-0)2=(√3 )2, 
que representa mais uma vez uma circunferência com centro na origem (0, 0) e reio igual a ( √3 ).
- A curva de nível em z= é dada por: = √(4-x2-y2 ), ou seja, x2+y2= + (x-0)2+(y-0)2 = =(
 )2 que representa uma circunferência de centro C(0, 0) e raio r=( ).
- A curva de nível em z = 2 é dada por 2 = √(4-x2-y2 ), ou seja, x2+y2=0+ x=y=0. Neste caso, 
a curva de nível se reduz a um ponto, sendo denominada neste caso de curva degenerada.
- Notamos ainda, que para os níveis z = 3, com c < 0 C<0 e c > 0, as curvas de nível da função 
z = √(4-x2-y2 ), são conjuntos vazios. (Por quê?)
 Vejamos a representação geométrica das curvas de nível obtidas para a função f(x,y) = √(4-
x1-y2 ), na Figura 19 abaixo.
38 
Figura 19: As curvas de nível para z = √(4-x^2-y^2 ).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Além disso, na Figura 20 abaixo, ilustramos a seção da superfície correspondente à curva de 
nível associada ao nível z= .
Figura 20: Seção da superfície correspondente à curva de nível associada ao nível z= 3/2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
39
1.4. Construindo Gráficos Através das Curvas de Nível
 Para uma melhor compreensão do que foi mostrado na Figura 20 da seção anterior, na cons-
trução da seção da superfície relacionada a uma determinada curva de nível, vejamos a construção 
de gráficos diretamente a partir da interpretação das curvas de nível. As curvas de nível, como vimos, 
são sempre subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e, portanto são traçadas no plano xy. 
 Sendo assim, cada curva de nível f(x,y) = c pode ser encarada como a projeção, sobre o 
plano xy, da interseção do gráfico da função f com o plano horizontal z = k.
 Desta forma, para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos desenhar diversas 
curvas de nível e imaginarmos cada uma dessa curvas deslocada para a altura z = k correspondente.
 Vejamos alguns exemplos onde estaremos utilizando essas ideias que acabamos de comen-
tar. 
 Exemplo 20: Consideramos a função z = f(x,y)= x2+y2. Pede-se:
a) Desenhar as curvas de nível de z.
b) Esboçar o gráfico de z. 
 Solução: Neste caso, temos que:
a) Notemos, primeiramente, que o conjunto imagem de f é o conjunto de todos os números 
reais z ≥ 0, isto é, Im(f)={z ℜ /z ≥0}. Desta forma, consideramos c ≥ 0. A curva de nível cor-
respondente a z = c é dada por: f(x,y) = c, ou seja, x2 + y2 =c.
 Sendo assim, as curvas de nível (para os valores de c >0) são circunferências concêntricas de 
centro na origem (0,0). Sabemos que sobre cada curva de nível x2 + y2 =c a função assume sempre 
o mesmo valor c = 0 é o ponto (0, 0) (curva degenerada).
 A Figura 21 abaixo nos mostra as curvas de nível de z= x2 + y2.
40 
Figura 21: As curvas de nível de z= x2 + y2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
b) Notemos que a interseção do gráfico de f com o plano x=0 é a parábola 
 (se fizermos x = 0 obtemos z = y2)
 
 Localizada no plano yz.
 Por outro lado, a intenção do gráfico de f com o plano z=c(c > 0) é a circunferência: 
 
 (se fizermos z = c obtemos x2+y2=c de centro no eixo z e localizadano plano z = c).
 Desta forma, concluímos que o gráfico de f pode ser obtido girando, em torno do eixo z, a 
parábola.
 
 O gráfico de f é mostrado na Figura 22 abaixo.
41
Figura 22: O gráfico de z= x2 + y2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 O gráfico de f obtido acima é chamado parabolóide de rotação. Observemos que a curva 
de nível f(x,y) = c nada mais é que a projeção no plano xy da interseção do gráfico de f no plano z 
= c.
 Exemplo 21: Consideramos a função z=f(x,y)= √(x2+y2 ). Pede-se: 
a)Desenhar as curvas de nível de z.
b)Esboçar o gráfico de f.
 Solução: Neste caso, temos que:
a)Notemos, inicialmente, que o conjunto imagem de f é o conjunto de todos os números reais 
z ≥ 0, isto é, Im(z)={z ℜ /z ≥ 0}. Desta forma, vamos enumerar algumas curvas de nível de 
z=√(x2+y2 ).
- A curva de nível em z = 0 é dada por√(x2+y2 ) = 0, isto é, x2+y2=0+ x=y=0, que é o ponto 
(0, 0) (curva degenerada).
- A curva de nível em z = 1 é dada por √(x2+y2 )=1., isto é, x2+y2=1, ou ainda, (x-0)2 +(y-0)2 =12.
- A curva de nível em z = 2 é dada por √(x2+y2 )=2, isto é, x2+y2=4, ou ainda, (x-0)2 + (y-0)2 =22.
- A curva de nível em z = c é dada por √(x2+y2 )=c., isto é, x2+y2=c2, ou ainda, (x-0)2 + (y-0)2 =c2.
 Em todos os casos, percebemos sem dificuldades que as curvas de nível de f(x,y) =√(x2+y2 
), são circunferências de centro na origem (0, 0). Na figura 31 abaixo, mostramos o desenho das 
42 
curvas de nível de f. 
b) Para representarmos geometricamente o gráfico de f, notemos que a interseção do gráfico de 
f com o plano yz é a semi-reta.
 x=0 (fazendo y = 0 obtemos z= ± x)
 z= ± x 
 e, a interseção do gráfico de f com o plano xz é a semi-reta.
 y=0 (fazendo y = 0 obtemos z= ± x)
 z= ± x 
Em ambos os casos, temos que considerar z ≥ 0. na Figura 23 abaixo, apresentamos também o 
gráfico de f. 
Figura 23: As curvas de nível e o gráfico de z=√(x2+y2 ).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 22: Consideramos a função z=f(x,y)= . Pede-se:
a) Determinar o domínio e a imagem de z.
b) Desenhar as curvas de nível de z.
c) Esboçar o gráfico de z = f(x,y).
43
 Solução: Neste caso, temos que:
a) Neste caso, temos que: 
Df ={(x,y) ℜ
2 /(x,y) ≠ (0,0)} 
 e 
Im(f)={z ℜ / z > 0}
b) A curva de nível de f correspondente a z=c (c >0) é dada por: 
 Ou seja
 Desta maneira, as curvas de nível são caracterizadas como sendo circunferências de centro 
na origem (0, 0) e raio r= . Notemos, que quando o raio tende a zero (r 0). 
Por outro lado, quando o raio tende a +∞ (r +∞). Vejamos a representação geomé-
trica das curvas de nível de f(x,y)= na Figura 24 abaixo.
Figura 24: As curvas de nível da função z = .
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
44 
c) Observamos, inicialmente, que o plano x = 0 intercepta o gráfico de f segundo a curva
 (fazendo x = 0 obtemos 1/y2 )
 Além disso, para cada c > 0, o plano z = c intercepta o gráfico de f segundo a circunferência:
 (fazendo z = c obtemos x2+y2=1/C)
 
 Desta maneira, obtemos o gráfico de f girando em torno do eixo z, a curva:
 Na Figura 25 abaixo, mostramos o gráfico da função z=f(x,y)= . .
Figura 25: O gráfico de f(x,y)=1/(x^(2+) y^2 ) .
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Exemplo 23: Consideramos a função z= f (x,y)=y2-x2. Pede-se: 
a) Desenhar as curvas de nível de f.
b) Esboçar o gráfico de f.
 Solução: Neste caso, temos que:
a) As curvas de nível de f correspondente a z = c são dadas por: y2-x2=c.
 Sendo assim, para c = 0, obtemos y=± x que representam as retas bissetrizes do primeiro 
e segundo quadrantes, respectivamente. Para c≠0, a curva de nível associada é uma hipérbole. Na 
45
figura 26 a seguir, representamos geometricamente as curvas de nível da função z = f(x, y) = y2-x2.
Figura 26: As curvas de nível de z=f(x,y)=y2-x2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Com as informações que obtivemos na letra (a), podemos visualizar o gráfico de f, represen-
tado na Figura 27 a seguir, o qual representa uma superfície que é denominada parabolóide hiper-
bólico ou sela de cavalo. Ressaltamos ainda, que ao observarmos este gráfico, vemos que, partindo 
da origem (0, 0), em algumas direções a função é crescente e em outras é decrescente. Um ponto 
em que isso ocorre é denominado ponto de sela.
Figura 27: O gráfico de f(x,y)=y2-x2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
46 
 Exemplo 24: Consideramos a função z=f(x,y)=4-x2-4y2. Pede-se:
a) Determinar o domínio e a imagem de f.
b) Desenhar as curvas de nível de f.
c) Esboçar o gráfico de f.
 Solução:
 a) Neste caso temos que:
D = 2
 e 
Imf=(-∞,4]
 b) Neste exemplo, as curvas de nível são dadas por: 
4-x2-4y2=c
 Para c<4, as curvas de nível são caracterizadas como elipses. Por exemplo, para c = 0, temos 
a elipse:
 Para c= 4, temos x = y = 0, ou seja, uma curva de nível degenerada. Para c>4, as curvas de 
nível são conjuntos vazios.
 Na Figura 28, mostramos diversas curvas de nível da função z=4-x2-4y2.
Figura 28: As curvas de nível de z=4-x2-4y2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
47
c) Para representarmos geometricamente o gráfico de f, notemos que a interseção do gráfico de 
f com o plano yz é a parábola.
 x=0
 z= 4-4y2 (fazendo x=0 obtemos z=4-4y2)
 Similarmente, a interseção do gráfico de f com o plano xz é a parábola.
 y=0
 (fazendo y=0 obtemos z=4-x2)
 z= 4-x2 
 Mostramos o gráfico de f na Figura 29 abaixo, sendo o mesmo chamado de parabolóide 
elíptico.
Figura 29: O gráfico de f(x,y)=4-x2-4y2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
48 
 Exemplo 25: A seguir, apresentamos diversas superfícies no espaço euclidiano tridimensional 
ℜ 3. Quais delas representam o gráfico de uma função de duas variáveis?
Z
y
x
4
Z=4-(x²+y²)
(a)
Z²=x²+y²
(b)
Z
x
Figura 30: Exercícios de aplicação
Z
y
x
y = 4 - x 2 - z 2
(c)
x 2 4
y 2
+ 2
z 2 = 1
(d)
Z
s r
y
x
t
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Solução:
a) Notemos que neste caso, temos um parabolóide de concavidade voltada para baixo e vértice 
no ponto (0, 0, 4). Podemos observar que retas perpendiculares ao plano xy cortam a superfície 
num único ponto. Desta forma, concluímos qe temos uma função de duas variáveis z = z(x,y).
b) Notemos que neste caso, temos um cone. Com exceção do eixo z, retas perpendiculares 
ao plano xy cortam a superfície em dois pontos. Não temos uma função z = z(x,y). Todavia, se 
49
restringirmos resolvendo a equação z=x2+y2 para z em função das variáveis independentes x e 
y, obtemos duas funções z1=√(x
2+y2 ) e z2=-√(x
2+y2 ) que representam, respectivamente, a 
parte superior e inferior do cone.
c) Notemos que neste caso, temos o hemisfério da direita da esfera x2+ y2 + z2 = 4. Podemos 
observar que retas perpendiculares ao plano xz cortam a superfície no máximo em um ponto. 
Desta forma, temos uma função de duas variáveis y = y(x,z).
d) Notemos que neste caso, temos um elipsóide. Podemos observar que as retas r, s e t, perpen-
diculares aos planos coordenados xy, yz e xz respectivamente, cortam a superfície em dois pon-
tos. Portanto, concluímos que a superfície em questão não representa o gráfico de uma função 
de duas variáveis. Por outro lado, ressaltamos ainda que como vimos anteriormente, podemos 
obter a partir da equação do elipsóide várias funções de duas variáveis.
 Aplicação Prática: Uma chapa de aço retangular é posicionada num sistema cartesiano, como 
é mostrado na Figura 31 abaixo.
Figura 31: A chapa retangular.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
50 
 A temperaturanos pontos da chapa é dada pela função de duas variáveis t(x,y)= y2, ou seja:
ℜ 2"ℜ
(x,y) " T(x,y) = y 2
 Pede-se para esboçar o gráfico da função temperatura e determinar as suas isotermas. Sa-
lientamos que as Isotermas são definidas como sendo as curvas em que a temperatura é constante.
 Solução: Notemos, primeiramente que o domínio da função T(x,y) é o retângulo represen-
tado na Figura 31 acima, dado por:
 
 Além disso, o seu conjunto imagem é o subconjunto da reta real, Im (T)=[0,4]. Ou seja, o 
intervalo fechado [0,4]. Desta maneira, percebemos que para 0 ≤ c ≤4, as curvas de nível da função 
temperatura são dadas por:
y 2 = c, ou seja, y =! c , com 0 # x # 6
 Claramente, podemos interpretar estas curvas de nível como sendo segmentos de retas 
horizontais. Na figura 32 abaixo, esboçamos as curvas de nível da função temperatura T. 
D(T) = {(x,y)fR 2/0 # x # 6 e - 2 # y # 2}
Figura 32: As curvas de nível de T(x,y)=y2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
51
 Por exemplo, temos que:
- Para o nível c=0, y=0, 0 ≤ x ≤ 6
- Para o nível c=1, y= ±1, 0 ≤ x ≤ 6
- Para o nível c=2, y=± √2, 0 ≤ x ≤ 6
- Para o nível c=3, y=± √3, 0 ≤ x ≤ 6
 E assim por diante.
 Para desenharmos o gráfico de T(x,y), observamos que a interseção deste gráfico com o 
plano yz é a parábola z=y2. O gráfico de T(x,y) é mostrado na Figura 33 abaixo, sendo chamado 
cilindro parabólico ou “calha”.
Figura 33: O gráfico de t(x,y)=y2.
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Além disso, visualizamos de forma direta, que como as isotermas são curvas em que a tem-
peratura permanece constante, elas são exatamente as curvas de nível da função T(x,y), ou seja, os 
segmentos de reta y=c, 0 ≤ x ≤ 6, onde -2 ≤ c ≤ 2 é constante.
 Embora não possamos obter uma visualização geométrica para o gráfico de uma função 
de mais de duas variáveis (Por quê?), a definição referente ao gráfico de f (Df ) para duas variáveis, 
pode ser generalizada. Sendo assim, para finalizarmos esta seção apresentamos a generalização dos 
conceitos de gráfico e curvas de nível para uma função com mais de duas variáveis independentes, 
bem como interpretamos dois exemplos ilustrativos.
52 
 (Gráfico de uma Função de n variáveis a valores reais) Se f é uma 
função de n variáveis, sendo denotada por f=f(x1,x2,…,xn ), o seu gráfico é o 
conjunto de pontos de espaço euclidiano R n+ 1(n+1) dado por:
G f = {(x 1,x 2, ... ,x n, f(x 1,x 2, ... ,x n)) /(x 1,x 2, ... ,x n)fD f}
 Analogamente, também generalizamos a noção de curva de nível, como segue.
 (Conjunto de Nível de uma Função de n variáveis a valores reais) Se 
f é uma função de n variáveis, sendo denotada por f = f(x1,x2,…,xn) e k um 
número real, um conjunto de nível de f, S , é o conjunto de todos os pontos 
(x1,x2,…,xn ) Df tais que f(x1,x2,…,xn )=c.
 Desta maneira, percebemos que quando f é uma função de três variáveis, temos as super-
fícies de nível. Nesse caso, o conhecimento das superfícies de nível, que podem ser visualizadas no 
espaço euclidiano tridimensional ℜ 3, nos ajuda a compreender de uma forma mais simples o com-
portamento da função em questão.
 Exemplo 26: Determinar as superfícies de nível da função de três variáveis independentes w 
= f(x,y,z) = x2+y2+z2 e exemplificar três pontos pertencentes ao gráfico da função w.
 Solução: De acordo com a definição anterior de superfície de nível, temos que as superfícies 
de nível de w são dadas por:
S c = {(x,y,z)fR 3/x 2 + y 2 + z 2 = c}
 Desta forma, notemos que:
- Se c > 0 então Sc representa uma esfera de raio r=√c.
- Se c = 0 então x = y = z = 0 (superfície degenerada)
53
- Se c < 0 então a superfície de nível Sc é um conjunto vazio, i.e, S_c=
Q .
 Por outro lado, de acordo com a definição referente ao gráfico de uma função de três vari-
áveis, segue que o gráfico de w é o conjunto Gw1 ℜ 4, dados por:
G w = {(x,y,z,w)fR 4 /w = x 2 + y 2 + z 2}
 Logo, para descobrirmos pontos que pertencem ao gráfico da função w, procuramos pontos 
P de tal forma que as coordenadas P(x,y,z,w) são tais que w=x2 +y2 +z2, logo temos que:
- O ponto P1 (1,2,1,6) Gw , já que: w=6=1
2+22+12
- O ponto P2 (0,-1,2,5) Gw , já que: w=5 = 0
2+ (-12) + (22)
- O ponto P3 (-2,-3,1,14) Gw , já que: w=14= (-2
2) + (-32) + (12)
 Aplicação Prática: Vejamos agora uma aplicação prática, a fim de realmente entendermos 
que o conhecimento das curvas de nível, nos auxilia a compreender o comportamento de determi-
nadas funções. Para tal, consideremos D uma região esférica de raio a. A temperatura de cada ponto 
de D é numericamente igual à distância do ponto até a superfície da esfera. É de nosso interesse, 
encontrar as isotermas da região D, ou seja, queremos encontrar as curvas para as quais a tempera-
tura é constante.
 Solução: Notemos, primeiramente, que é necessário encontrarmos uma expressão analítica 
para a função temperatura T(x,y,z). Sendo assim, vamos visualizar a região D num sistema de coor-
denadas cartesiano. Sem perda de generalidade, tomemos este sistema fazendo com que a origem 
do mesmo coincida com o centro da esfera, como é mostrado na Figura 34 a seguir.
54 
Figura 34: A região D visualizada num sistema de coordenadas (x,y,z).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 De acordo com o enunciado, a temperatura no ponto (x,y,z) é numericamente igual à dis-
tância desse ponto à superfície da esfera, sendo assim, podemos escrever: 
T(x,y,z) = a - x 2 + y 2 + z 2.
 Além disso, concluímos que:
- O domínio de T(x,y,z) é a região D.
- A imagem de T(x,y,z) é Im t = [0, a).
 E, por outro lado, sabemos que as isotermas são as superfícies de nível da função tempera-
tura T(x,y,z) dadas por: 
S c = {(x,y,z)fD/a - x 2 + y 2 + z 2 = c}
 Portanto, concluímos que as isotermas são representadas por esferas de centro na origem e 
raio (a – c), com 0 ≤ c ≤ a. Cabe ainda ressaltarmos com relação à aplicação, que o conhecimento 
das curvas de nível nos ajuda a compreender o comportamento da função temperatura no sentido 
de que ela permanece constante sobre as superfícies esféricas de centro na origem e aumenta à 
medida que essas esferas têm raios menores, encontrando-se mais no interior do sólido
55
A partir do momento que introduzimos as funções de várias variáveis, em 
especial, as funções de duas variáveis que será a base do nosso estudo, esta-
remos discutindo na unidade seguinte, a parte envolvendo os limites de fun-
ções de duas variáveis reais, que é de fundamental importância para o traba-
lho acerca das derivadas parciais e integrais múltiplas. Note claramente, que a sequência a ser 
trabalhada aqui envolve a mesma sequência discutida em um curso introdutório de cálculo.
Objetivos da Unidade
II Unidade II - Limites, Continuidade e Aplicações
 Ao final desta unidade, o aluno será capaz de interpretar e re-
solver problemas simulados envolvendo os limites e continuidade 
de funções de duas variáveis reais. 
57
2.1. Aspectos Introdutórios Envolvendo os Limites de Funções de Duas Variáveis Reais 
 
 A partir do momento que trabalhamos com a interpretação envolvendo o domínio, as curvas 
de nível e o gráfico de uma função de duas variáveis, agora é de nosso interesse definir na sequência 
natural, como é feito para uma variável, o limite de uma função de duas variáveis independentes. É 
importante ser salientado que o aparato envolvendo os limites de funções de várias variáveis é de 
fundamental importância para a resolução práticas de problemas simulados nas mais diversas áreas 
do conhecimento, já que envolvem tipicamente problemas sobre taxas de variação, etc.
Figura 35: Aplicações cotidianas que necessitam do contexto sobre limites.
Fonte: Istock.com
 Sendo assim, salientamos inicialmente que a definição do limite de uma função de duas ou 
três variáveis é análoga a definição do limite de uma funçãode uma variável, mas com uma diferença 
importante, que veremos na sequência do desenvolvimento das ideias. Ressaltamos ainda, que de-
vido à proximidade do raciocínio em uma dimensão, generalizamos os resultados não nos preocu-
pando em diversos momentos com as demonstrações. A Figura 36 a seguir nos mostra a sequência 
da teoria referente a funções de várias variáveis. 
58 
Figura 36: A sequência do estudo das funções de várias variáveis. 
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
2.2. Definição Formal do Limite de uma função z = f(x,y)
 Antes de definirmos a noção de limite no contexto de funções de duas variáveis, necessi-
tamos de algumas definições preliminares, tais como, a de bola aberta, etc., como apresentamos a 
seguir.
Conceito (Bola Aberta) Sejam P0(x0, y0 ) ℜ 2e r > 0 um número real, 
definimos a bola aberta B(P0 , r), de centro em P 0 e raio r, como sendo o 
conjunto de todos os pontos P(x,y) ℜ 2 cuja distância até P 0 é menor 
que r , isto é, pelos pontos P(x,y) que satisfazem I P - P0 I < r. De outra forma, podemos 
escrever:
B(P0r) = {(x,y)fR 2/ (x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 < r}
59
 Além disso, geometricamente falando, podemos encarar a bola aberta B(P0r) como sendo o 
conjunto de pontos internos à circunferência de centro P0 e raio r , como é mostrado na Figura 37 
a seguir.
Figura 37: A interpretação geométrica de .
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
(Ponto de Acumulação) Consideremos A um subconjunto de ℜ 2 e (a,b)
ℜ 2, não necessariamente um ponto de A. Dizemos que (a,b) é um ponto 
de acumulação de A se toda bola aberta de centro em (a,b) contiver pelo 
menos um ponto(x,y) A , com (X,Y) !(a,b).
 Em outras palavras, falar que (a,b) é um ponto de acumulação de A significa dizer que exis-
tem pontos de A, diferentes de (a,b), que se encontram tão próximos de (a,b) quanto se deseje.
(Limite de uma Função de duas variáveis a valores reais) Sejam f:A 1 R 2 " R 
uma função, (x0, y0) um ponto de acumulação de A e L ℜ . 
 Desta forma, definimos:
60 
Para todo f > 0 7d > o tal que, para todo
L +
(x,y)fD f , 0 <;y (x,y) -(x 0, y0) y;< d &y f(x,y) - L ;< E
lim
(x,y) " (x 0, y 0) f(x,y)
 Geometricamente, a noção de limite de f(x,y) é mostrada na Figura 37 abaixo.
Figura 38 : A ideia intuitiva do limite de f(x,y).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Em outras palavras, podemos interpretar o limite de f(x,y) como segue:
 
lim f(x,y) = L
(x,y) " (x 0,y 0)
 Significa que dado f>0, existe 7d> 0 tal que f(x,y) permanece em ]L - f, L + f [ quando 
(x,y),(x,y) ! (x0, y0), varia na bola aberta de centro (x0, y0) e raio d .
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos.
 Exemplo 1: Se f(x,y)=k é uma função constante, então para todo (xo,yo) ℜ 2 temos que:
 Logo, 
 
lim
(x,y) " (0, 0) 5= 5
lim
(x,y) " (0, 0) 3= 3
lim
(x,y) " (1,-1) (- 2)= - 2
lim
(x,y) " (1,-1) (- 2)= - 2
61
 Exemplo 2: Se f(x,y)=x, para todo (xo,yo) ℜ
2 temos que:
 
lim f(x,y) = lim x = x 0
(x,y) " (x 0,y 0) (x,y) " (x 0, y 0)
 Logo,
lim
(x,y) " (0,0) x= 0
lim
(x,y) " (1, - 1) x= 1
lim
(x,y) " (0,1) x= 0
 Analogamente, se f(x,y)=y, então para todo (x0,y0 ) temos que:
 Exemplo 3: (Propriedades Imediatas) As seguintes regras são verdadeiras se L, M e k são 
números reais e
 
 (Regra da Soma): 
 (Regra da Diferença): 
 (Regra do Produto): 
 (Regra da Multiplicação por Constante): 
 (Regra do Quociente): , com M ≠ 0.
62 
 (Regra da Potência): , desde que Lm/nfR.fR
 Logo,
= −3
 Exemplo 4: A função f(x,y) = x 2 + y 2
x 2 - 2
 tem limite na origem (0,0)? Sim ou não? Por quê?
 Solução: A fim de representarmos tal indagação, vejamos como se comportam os valores 
de f(x,y) a partir do momento em que (x,y) se aproxima da origem (0,0). Sendo assim, observamos 
que sobre o eixo x temos que:
 f(x,y) = f(x,0) = x 2 + 02
x 202 = 1 ,x ! 0 (Note que o eixo x tem equação y = 0).
 Analogamente, sobre o eixo y temos que:
f(x,y) = f(0,y) =
02 + y 2
02 - y 2 = 1, y ! 0 , (Note que o eixo y tem equação x = 0).
 De acordo com a definição de limite, percebemos que f(x,0) = 1 para x ≠ 0 e f(0,y) = -1 
para y ≠ 0, nos mostra que não existe nenhum número real L tal que f(x,y) permaneça próximo de 
L para (x,y) próximo da origem (0,0); ou ainda, significa concluirmos que a função acima não possui 
limite no ponto (0,0). Logo, a resposta da indagação é NÃO. 
 
 Vejamos uma outra maneira de justificarmos a não-existência de limites em determinados 
pontos, bastante parecida com o estudo feito no exemplo anterior.
Teorema 1 (Leithoud – 2010) Suponhamos que: 
lim f(x,y) = L
(x,y) " (x 0,y 0)
63
 Seja y uma curva emℜ 2, contínua em t0 , com y(t0) =(x0,y0) e, para t!t0, y(t)! (x0,y0) com y(t)
 Df . Então, 
lim f(Y (t)) = L
t" t0
 Corolário 1 (Leithoud – 2010) Sejam y1 e y2 duas curvas nas condições do Teorema anterior. 
Segue do Teorema anterior que se ocorrer:
lim f(Y1 (t)) = L1 e lim f(Y1 (t)) = L2
t " t0 t" t0
 Com L1!L2, então 
lim f(x,y)
(x,y) " (x 0,y 0)
 não existe. Além disso, tal limite não existe se um dos 
limites em (I) não existir.
 Exemplo 5: Mostremos que não existe a partir do Corolário anterior.
 Solução: Consideremos Y1 (t) = (t, 0),Y2(t) = (0, t) e f(x,y) = x 2 + y 2
x 2 - y 2 . Notemos inicialmente que as hipóteses 
do Teorema (e consequentemente do Corolário) são verificadas e que:
 E 
 Portanto, concluímos que não existe.
 Exemplo 6: Calcule, caso exista, .
 Solução: Consideremos e tomemos Y1(t) = (0, t) e Y2(t) = (t, t) . Daí, temos 
que:
 E
m f (y1 (t))= lim
t2
t2 = 1
t" 0 t" 0
lim f (y2 (t))= lim
t2
- t2 =- 1
t" 0 t" 0
lim f(y 1 (t)) = lim
02 + t2
02 = 0
t" 0 t" 0
lim f (y 2 (t)) = lim
t2 + t2
t2 =
2
1
t " 0 t " 0
64 
 Portanto, concluímos que o limite não existe.
 Exemplo 7: Se e se , g é uma função limitada para
, onde r > 0 e M > 0 são reais fixos, então:
 Logo, vamos encontrar caso exista . .
 Para tal, observemos que:
 Desta forma, se tornarmos f(x,y)= x e g(x,y)= , vemos que e que 
a função g (x,y) é limitada (pois |g (x,y)| ≤1) e, portanto, concluímos que 
 Os exemplos discutidos sobre limites de funções de duas ou mais 
variáveis ilustra um fato muito importante. Quando um limite existe em um 
ponto, o limite tem que ser o mesmo ao longo de todos os caminhos que se 
aproximam do ponto. Este resultado é similar ao caso de uma única variável 
na qual, ambos os limites laterais têm que ter o mesmo valor e, portanto, para funções de 
duas ou mais variáveis, se encontrarmos caminhos com limites diferentes, saberemos que a 
função não tem limite no ponto em questão. Desta forma, o Corolário anterior pode ser 
reescrito como: Se f(x,y) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes quando 
(x,y) se aproxima de (x0, y0) então não existe. O Corolário é conhecido como 
Teste dos Dois Caminhos para a Não-Existência de um Limite.
65
 Exemplo 8: Verificar se a função possui limite no ponto (0,0).
 Solução: Vamos utilizar na resolução desde exemplo o Teste dos Dois Caminhos para a 
Não-Existência de um Limite. Para tal, consideremos inicialmente o caminho (curva) , 
e calculemos o limite ao longo desta curva. Ou seja, o limite de f(x,y) ao longo dessa curva é dada 
por:
 Ou seja, o limite tem valor igual à .
 Por outro lado, esse limite varia com o caminho de aproximação, por exemplo, tomemos 
agora o caminho (parábola) y=x2 (k=1) então . Se (x,y) se aproxima de (0,0) ao 
longo do eixo x (k=0) segue que . Portanto, concluímos pelo teste dos dois cami-
nhos que f não possui limite no ponto (0,0).
 Exemplo 9: Utilizando o teste dos dois caminhos mostrar que não existe.
 Solução: Neste caso, vamos pegar como dois caminhos diferentes os eixos coordenados i.e, 
o eixo dos x e o eixo dos y e calcularambos os limites sobre os mesmos.
 Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos x, temos que:
 Analogamente, se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos y, temos que:
 A priori, os dois caminhos tomados nos levam a pensar que o limite é igual a zero. Porém, 
temos que tomar muito cuidado, ou seja, encontramos dois caminhos em que os limites são iguais 
não quer dizer que o limite exista e seja igual ao valor encontrado. (Muito Cuidado!)
 De outra forma, se (x,y) se aproxima de (0,0) através de pontos da reta y=x, temos que:
66 
 Portanto, pelo teste dos dois caminhos, concluímos que não existe o limite 
.
 Exemplo 10: Verificar se existe . .
 Solução: Mais uma vez, ressaltamos que devemos ter muito cuidado quando analisamos a 
existência de limites de funções de duas variáveis, como veremos neste exemplo.
 Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos x, temos que:
 Analogamente, se (x,y) se aproxima de (0,0) através de uma reta qualquer que passa pela 
origem, y=m.x, temos que:
 Sendo assim, mais uma vez, mesmo com esse resultado, não podemos concluir que o limite 
dado existe. De fato, se tomarmos (x,y) se aproximando de (0,0) através do arco de parábola y=√x, 
temos que:
 Portanto, concluímos pelo teste dos dois caminhos que o limite dado não existe.
2.3. Interpretando a Noção de Continuidade para Funções do Tipo z = f(x,y)
 Vejamos agora a definição de Continuidade no contexto de funções de duas variáveis, bem 
como alguns resultados importantes que serão utilizados ao longo da disciplina.
67
 
 
 Notemos que esta definição é a mesma se considerarmos uma função de uma variável. Além 
disso, se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A de Df , falamos que f é contínua 
em A. Se f for contínua em todos os pontos de seu domínio ( Df ) falamos apenas que f é contínua.
 
 Vejamos alguns exemplos ilustrativos referente a funções contínuas.
 Exemplo 11: A função constante f(x,y) = k é contínua, já que claramente, temos que:
 , para todo 
 Portanto f é contínua em todo plano euclidianoℜ 2.
 Exemplo 12: A função constante f(x,y) = x é contínua, já que:
 
 Portanto f é contínua em todo plano euclidiano ℜ 2.
 Exemplo 13: A função constante f(x,y) = y é contínua, já que:
 Portanto f é contínua em todo plano euclidiano ℜ 2.
(Continuidade) Sejam f uma função de duas variáveis reais a valores reais, 
, com um ponto de acumulação de Df . Dizemos que 
f é contínua no ponto se .
(x 0,y 0)fR 2
para todo .
para todo
68 
 Exemplo 14: Vamos verificar se é contínua no ponto (0,0).
 Solução: Neste caso, percebemos que: (Por quê?). E, como, pela lei 
de formação f(x,y) temos que f(0,0)=0 concluímos que:
 Ou seja, a função f dada é contínua no ponto (0,0).
 Exemplo 15: A função é contínua em (0,0)? 
 Solução: Se tomarmos os caminhosy 1(t) = (t,0) e y 2(t) = (0, t) , obtemos que:
lim f(y 1 (t)) = lim
t2
t2 = 1
t " 0 t " 0
 e
lim f(y 2 (t)) = lim
t2
- t2 =- 1
t " 0 t " 0
 Logo, , não existe, e, portanto, concluimos que f continua no ponto (0,0), 
ou seja, a resposta para a indagação do exemplo é NÃO. 
 Exemplo 16: Verificar se é contínua no ponto (0,0).
 Solução: Vimos na seção anterior (mostramos) que o não existe, desta 
forma concluímos que a função dada não é contínua em (0,0).
 Exemplo 17: Discutir a continuidade da função:
69
 Solução: Observamos inicialmente que essa função está definida em todos os pontos de ℜ
2, ou seja, Df =ℜ
2. É fácil visualizarmos, que essa função, é contínua em todos os pontos (xo,yo )
ℜ 2, tais que xo
2 + yo
2 < 4 ou xo
2 + yo
2 > 4, pois, nestes casos, temos que:
 Vamos discutir, agora, como fica o quando é um ponto da 
circunferência . Sendo assim, analisamos esse limite considerando (x,y) se aproxi-
mando de (xo,yo ) através de pontos do domínio:
 Desta forma, temos que:
- Ao longo de D
1, 
.
 E
- Ao longo de D2, 
. .
 Donde concluímos que a função não é contínua nos pontos (xo,yo ) ℜ
2 tal que xo
2+yo
2=4. 
Vejamos a interpretação desta situação na Figura 39 a seguir.
D1 = {(x,y)fR 2/x 2 + y 2 # 4}
D2 = {(x.y)fx 2 + y 2 > 4}
Figura 39: Função não é contínua
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
70 
 Teorema 2 (Leithoud – 2010) Sejam f:A 1 R 2 " R e g:B 1 R " R duas funções tais que
imf 1 Dg . Se f for contínua em (xo,yo ) e g contínua em f(xo,yo ), então a função composta h(x,y)=g(-
f(x,y)) também é contínua em (xo,yo ).
 Exemplo 18: A função h(x,y)=x2 é contínua em ℜ 2, basta considerarmos no Teorema an-
terior g(x)=x2.
 Exemplo 19: Sendo f(x,y) uma função qualquer contínua, as funções compostas s
, , , , etc, também serão contínuas de acordo com o resultado do 
Teorema anterior.
 Teorema 3 (Leithoud – 2010) Sejam uma função e uma curva 
tais que (t) A para todo t f I . Se γ (t) for contínua em t0 I e f contínua em γ (to), então a 
composta g(t)=f( γ (t)) também será contínua em to.
 Teorema 4 (Leithoud – 2010) Sejam f (x,y) e g (x,y) contínuas em (xo,yo ) e k fR . Segue 
das propriedades dos limites que (f+g),(k.f) e (f.g) são contínuas em (x 0,y 0) . Além disso, se g(x 0,y 0)
≠0 então é contínua em (x 0,y 0) .
 Exemplo 20: Seja . Caracterizar o conjunto dos pontos de continuida-
de de f.
 Solução: Notemos que para os pontos (x,y) tais que (x,y)≠(0,0) podemos diretamente apli-
car a propriedade relativa a quociente de funções contínuas, pois, x3 e x2+y2 são funções contínuas 
e x2+y2 não se anula nestes pontos. Para estudarmos f com relação à continuidade no ponto (0,0) 
necessitamos primeiramente averiguar o que acontece com o limite de f neste ponto. Ou seja:
= 0
71
 Já que, e | para todo (x,y) ≠ (0,0).
 Sendo assim, concluímos que:
 Em outras palavras, f é contínua em R 2 , ou ainda, o conjunto dos pontos de continuidade 
de f é o plano euclidiano bidimensional R
2
.
2.4. Exercícios Resolvidos
1) Calcular os seguintes limites:
a)
 
b)
c)
d)
 
e)
f)
 
g)
 
)42(lim 323
)1,2(),(
+−+
−→
xyyxyx
yx
yx
yx
+
→ )2,0(),(
lim
2
lim
3
)1,1(),( −+−→ yx
yx
yx
)1ln(lim 2
)2,1(),(
−+
→
xyx
yx
)1)(2)(1(
1lim
)1,1(),( +−−
−+
−→ yxx
yx
yx
)(lim
)
2
,0(),(
yxsen
yx
+
→
π
22
4222lim
223
)1,2(),( −−+
+−−−+
→ yxxy
xxxyyxx
yx
72 
 Solução: Neste caso, de acordo com as propriedades operatórias e resultados relacionados 
aos limites de funções de várias variáveis, temos que:
a) = = 4 
b) = = = 
c) = = = 
d) = ?
 Consideremos as funções: g(x,y) = x2 + xy – 1 e f(u) = lnu, temos que ),(lim )2,1(),( yxgyx → = 2 e 
f(u) = lnu é contínua em u = 2, logo:
 = = ln[ )1(lim 2
)2,1(),(
−+
→
xyx
yx
 ] = ln2
e) = = = 
 
f) = ?
)42(lim 323
)1,2(),(
+−+
−→
xyyxyx
yx
4)1).(2(2)1.()2()1.()2( 323 +−−−+−
yx
yx
+
→ )2,0(),(
lim yx
yxyx )2,0(),()2,0(),(
limlim
→→
+ 20 + 2
2
lim
3
)1,1(),( −+−→ yx
yx
yx 2)1()1(
)1.()1( 3
−+−
−
2
1
−
−
2
1
)1ln(lim 2
)2,1(),(
−+
→
xyx
yx
),)((lim
)2,1(),(
yxgf
yx

→
)1ln(lim 2
)2,1(),(
−+
→
xyx
yx
 Neste caso, utilizamos a seguinte proposição: Proposição: Se f é uma 
função de uma variável, contínua em um ponto a, e g(x,y) uma função tal que 
),(lim
),(),( 00
yxg
yxyx → = a, então ),)((lim ),(),( 00
yxgf
yxyx

→ = f(a) ou )),((lim ),(),( 00
yxgf
yxyx → = 
f( ),(lim ),(),( 00 yxgyxyx → ), onde ),)(( yxgf  éuma função composta de f e g, isto é,
),)(( yxgf  = f(g(x,y)).
)1)(2)(1(
1lim
)1,1(),( +−−
−+
−→ yxx
yx
yx )12)(21)(11(
1)1()1(
+−−−−
−+−
)3)(3)(2(
1
−−
−
18
1−
)(lim
)
2
,0(),(
yxsen
yx
+
→
π
73
 Proposição: Se f é uma função de uma variável, contínua em um ponto 
a, e g(x,y) uma função tal que ),(lim ),(),( 00
yxg
yxyx → = a, então 
),)((lim
),(),( 00
yxgf
yxyx

→ 
= f(a) ou )),((lim ),(),( 00
yxgf
yxyx → = f( ),(lim ),(),( 00 yxgyxyx → ), onde ),)(( yxgf  é uma fun-
ção composta de f e g, isto é, ),)(( yxgf  = f(g(x,y)).
 Sendo assim:
 )(lim
)
2
,0(),(
yxsen
yx
+
→
π = )(lim
)
2
,0(),(
yx
yx
+
→
π sen( ) = sen(
2
π ) = 1
g) 22
4222lim
223
)1,2(),( −−+
+−−−+
→ yxxy
xxxyyxx
yx = ?
 Neste caso, se substituirmos diretamente os valores, temos que:
 
21.221.2
4)2.(2)2.(21.2.2)1()2(2 223
−−+
+−−−+ = 
0
0 ( indeterminação)
 Estamos, desta forma, diante de uma indeterminação do tipo 0
0
. Logo, para resolvermos 
este limite, vamos fatorar as expressões que comparecem no numerador e denominador, a fim de 
simplificarmos de alguma forma. Temos, então:
 
 = 
 = )11(
)21.22( 2
+
−+
 = = 2
2) O limite 22)0,0(),( 22
4lim
yx
xy
yx +→ existe? Justificar a sua resposta.
 Solução: Neste caso, temos que:
- Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos x, temos que:
22
4222lim
223
)1,2(),( −−+
+−−−+
→ yxxy
xxxyyxx
yx
)1(2)1(
)2(2)2.(lim
22
)1,2(),( +−+
−+−−+
→ yyx
xyxxyxx
yx
)1)(2(
)2).(2(lim
2
)1,2(),( +−
−+−
→ yx
xyxx
yx
)1(
)2(lim
2
)1,2(),( +
−+
→ y
xyx
yx
2
4
74 
 22
0
0 22
4lim
yx
xy
x
y +=→
= 220 )0.(22
0..4lim
+→ x
x
x = 20 2
0lim
xx→ = 
0lim
0→x = 0
- Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos y, temos que:
 2200 22
4lim
yx
xy
y
x +=→ = 
220 .2)0.(2
.0.4lim
y
y
y +→ = 20 2
0lim
yy→ = 
0lim
0→y = 0
- Se (x,y) se aproxima de (0,0) através de pontos da reta y = x, temos que:
 
220 22
4lim
yx
xy
xy
x +=→
= 
220 ).(22
..4lim
xx
xx
x +→
 = 
2
2
0 4
4lim
x
x
x→
 = 1lim
0→x
 = 1
 Portanto, concluímos que 22)0,0(),( 22
4lim
yx
xy
yx +→ não existe, já que pegamos três caminhos 
diferentes e os limites caracterizados são diferentes.
 Neste caso, utilizamos a seguinte corolário:
 Corolário: Sejam y1 e y2 duas curvas nas condições do Teorema 
anterior. Segue do Teorema anterior que se ocorrer:
 Com L1 ! L2 , então 
lim f(x,y)
(x,y) " (x 0,y 0) não existe. Além disso, tal limite não existe se 
um dos limites em (I) não existir. O Corolário é conhecido como Teste dos Dois Caminhos 
para a Não-Existência de um Limite.
lim f(y 1 (t)) = L1 lim f(y2 (t)) = L2
t " t0t " t0
3) Calcular o seguinte limite: yx
yx
yx −−
−+
−+→ 1
1lim
)1,0(),( .
 Solução: Temos que:
 1lim
)1,0(),(
−+
−+→
yx
yx
 = 0 + 1 – 1 = 0
75
 E
 yx
yx
−−
−+→
1lim
)1,0(),(
= 0 - 11− = 0
 Sendo assim, temos uma indeterminação do tipo 0
0
 ( indeterminação), ou seja, temos uma 
indeterminação a ser analisada. Aqui, neste caso, de costume realizamos uma racionalização, como 
segue:
 yx
yx
−−
−+
1
1
= 
)1.(1(
)1).(1(
yxyx
yxyx
−+−−
−+−+
 = 22 )1()(
)1).(1(
yx
yxyx
−+
−+−+
 Daí, como x > 0 e y < 1, temos que:
 
yx
yx
−−
−+
1
1 = 
22 )1()(
)1).(1(
yx
yxyx
−+
−+−+ = 
)1(
)1).(1(
−+
−+−+
yx
yxyx
 Ou seja,
yx
yx
−−
−+
1
1
= yx −+ 1
 
 Portanto,
 
yx
yx
yx −−
−+
−+→ 1
1lim
)1,0(),(
= yx
yx
−+
−+→
1lim
)1,0(),(
= 0
4) Discutir a continuidade das seguintes funções:
a) f(x,y) = 2.x2 .y2 + 5xy – 2
b) g(x,y)= 
2233.
1
22 ++−−+
−+
yxxyxyx
yx
c) h(x,y) = ln(x2 .y2 + 4)
76 
 Solução: Neste caso, temos que:
a) A função f(x,y) = 2.x2 .y2 + 5xy – 2 é uma função polinomial, portanto, podemos dizer que 
f(x,y) é contínua em todos os pontos de R 2 .
b) A função g(x,y) é uma função racional que pode ser escrita como g(x,y)= 2233.
1
22 ++−−+
−+
yxxyxyx
yx
 
. Assim, podemos visualizar a função g(x,y) é definida para todos os pontos (x,y) R 2 tais que x 
≠ 1, x ≠ 2 e y ≠ -1. Logo, concluímos que f(x,y) é contínua no conjunto:
{(x,y) R 2/ x ≠ 1, x ≠ 2 e y ≠ -1}.
c) A função h(x,y) = ln(x2 .y2 + 4) é a composta das funções f(u) = lnu e g(x,y) = x2 .y2 + 4. A 
função g é contínua em R 2 , pois é uma função polinomial em uma variável. A função f é contí-
nua em R 2 . Como g(x,y) > 0, para todo (x,y) R 2 , temos que, para qualquer (x0 ,y0 ) R
2 , g é 
contínua em g(x0 ,y0 ).
 Nesta unidade, apresentamos os conceitos introdutórios envolven-
do a teoria sobre limites de funções de várias variáveis, desde a parte intui-
tiva, definição formal e propriedades operatórias. 
 Na sequência discutimos os principais resultados envolvendo a ca-
racterização da existência ou não de limites de funções de duas variáveis em 
determinados pontos, bem como, discutimos a relação entre a continuidade 
e a teoria de limites.
 Além disso, apresentamos uma série de exemplos em que interpre-
tamos geometricamente e analiticamente os aspectos teóricos discutidos 
anteriormente. Assim sendo, na próxima unidade estaremos interessados 
em apresentar a noção de derivada no contexto das funções z = f(x,y), onde 
surgem as derivadas parciais e derivada direcional.
Objetivos da Unidade
III
Unidade III - 
Derivadas Parciais, Fer-
ramentas Relacionadas 
e Aplicações
- Ao final desta unidade, o aluno será capaz de interpretar e resol-
ver problemas simulados envolvendo as derivadas parciais, desde 
os aspectos relacionados as regras operatórias até os principais 
resultados associados. 
78 
3.1. Aspectos Introdutórios Envolvendo as Derivadas Parciais 
 Ressaltamos, inicialmente, que como é visto num curso introdutório de Cálculo Diferencial 
e Integral, estudamos limites e continuidade, sendo na sequência desenvolvida a teoria relacionada 
ao estudo da derivada. Desta forma, é nosso objetivo neste momento a discussão sobre “derivação” 
de uma função de várias variáveis, que pode ser reduzida, ao caso de uma dimensão, para tal, basta 
deixarmos fixas todas as variáveis independentes de uma função, exceto uma, e derivarmos em re-
lação a esta variável, obtendo assim o que chamamos de “derivada parcial”. 
3.2. Interpretando a Derivada Parcial de z = f(x,y)
 Consideramos (x , y ) um ponto no domínio de uma função f(x,y) logo o plano vertical y = 
y cortará a superfície z = f(x,y) (Gráfico de f) na curva z = f(x,y ) como mostramos na Figura 40 a 
seguir.
Figura 40: O plano y = y cortando o gráfico de f(x, y).
Fonte: Adaptado do Autor por Design Unis EaD
 Além disso, percebemos na Figura 40, que a coordenada horizontal nesse plano é x e a co-
ordenada vertical é z. Desta forma, definimos a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0 , 
y0 ) como a derivada de f(x0, y0 ) em relação a x no ponto x = x0 , isto é, em termos formais temos 
79
a seguinte definição.
 (Derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0 , y0 )) A deri-
vada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0 , y0 ) é dada por:
 desde que o limite exista.
 É interessante ser notado que:
- O símbolo “∂” (chamado de “del”), que é similar à letra grega minúscula “d” usada na definição 
de limite, é simplesmente um outro tipo de “d”.
- Existem diversas notações para a representação da derivada parcial de f(x,y) em relação a x no 
ponto (x0 , y0 ), dentre elas citamos:
- O coeficiente angular da curva z = f(x, y0 ) no ponto P(x0 ,y0 ,f(x0 , y0 )) no plano y = y0 é o 
valor da derivada parcial de f em relação a x em (x0 , y0 ).
- A derivada parcial em (x0 , y0 ) fornece a taxa de variação de f em relação a x quando y é 
mantido fixo no valor y0 . Essa é a taxa de variação de f na direção de i em (x0 , y0 ).
 Similarmente, podemos definir a derivada parcial de f(x