Atividade_F_sica_II_Semana_1

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FÍSICA II SEMANA 1 
1 
 
 
 
A equação geral para o MHS é: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 
A partir da comparação da equação dada com a equação geral do MHS: 
a) Identifica-se a amplitude A = 6,00 * 10-2 m ou 6 cm. 
b) A velocidade angular (fator do tempo na composição da fase) ω = 9,42 rad/s 
c) O período T é dado por: 𝑇 =
2𝜋
𝜔
 → 𝑇 =
2𝜋
9,42
= 0,67𝑠 
d) Relação entre frequência angular e frequência: 𝜔 = 2𝜋𝑓 
Isolando a frequência: 𝑓 =
𝜔
2𝜋
=
9,42
2𝜋
 = 1,5 Hz 
e) O argumento da função cosseno, 𝜔𝑡 + 𝜙, é a fase do movimento. A fase inicial 
corresponde à fase em t=0. Portanto, a fase inicial é 𝜙 = 1,04 rad 
f) Posição no instante t=0: 
𝑥(0) = 6 cos(1,04) = 3,04 𝑐𝑚 
 
A velocidade é obtida derivando-se a função posição em relação ao tempo: 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝜙) 
Assim: 
𝑣(0) = −9,42 ∗ 6 sen(1,04) = −48,74 𝑐𝑚/𝑠 
 
A aceleração é obtida derivando-se a função velocidade em relação ao tempo: 
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𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝜔2𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 
Assim: 
𝑎(0) = −532,4184 cos(1,04) = −269,5 𝑐𝑚/𝑠2 
 
 
A frequência de oscilação é dada por: 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 
• Situação 1: Quando a massa é m: período T = 2s 
Assim: 𝜔1 =
2𝜋
2
= 𝜋 
• Situação 2: Quando a massa é m+2: período T = 3s 
De mesmo modo: 𝜔2 =
2𝜋
3
 
 
a) Relação entre frequência e massa: 
𝜔2 =
𝑘
𝑚
 
Onde k é a constante elástica da mola (a mesma nas duas situações). Isolando k: 
𝑘 = 𝜔2𝑚 
Assim: 
𝜔1
2𝑚 = 𝜔2
2(𝑚 + 2) 
Então: 
𝜋2𝑚 = (
2𝜋
3
)
2
(𝑚 + 2) → 𝜋2𝑚 = 
4𝜋2
9
(𝑚 + 2) → 𝑚 = 
4
9
(𝑚 + 2) 
 
9𝑚 = 4𝑚 + 8 → 5𝑚 = 8 → 𝑚 = 
8
5
= 1,6 𝑘𝑔 
 
b) Como 
𝑘 = 𝜔2𝑚 = 𝜋21,6 → 𝑘 = 15,8 𝑁 𝑚⁄ 
 
 
 
 
 
 
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a) A energia potencial do sistema é dada por: 
𝑈 =
𝑘𝑥2
2
 → 𝑘 =
2𝑈
𝑥2
= 
2∗0,4
0,12
 Portanto: 𝑘 = 80 𝑁 𝑚⁄ 
 
b) Relação entre frequência e massa: 
𝜔2 =
𝑘
𝑚
 → 𝜔 = √
80
0,1
= 28,3 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
 
c) Em um sistema oscilador massa-mola, a energia potencial é máxima quando a energia 
cinética é mínima. Então: 
𝐸 = 𝑈 + 𝐾 = 0,4 + 0 = 0,4 𝐽 
 
 
a) A frequência angular do oscilador sem amortecimento é dada por: 
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
= √
10
0,1
= 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Fator 𝛾: 
𝛾 = 𝑏 𝑚⁄ = 
1,6
0,1⁄ = 16 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Como 𝛾 < 2𝜔0 a oscilação amortecida em regime subcrítico. 
 
b) O oscilador com amortecimento subcrítico possui equação característica: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 e−
1
2
𝛾𝑡cos(𝜔𝑡 + 𝜙), onde 𝜔2 = 𝜔0
2 −
1
4
𝛾2 
 𝜔2 = 102 −
1
4
162 = 36 → 𝜔 = 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
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Assim: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 e−8𝑡cos(6𝑡 + 𝜙) 
Como 𝑥(0) = 0,2 m e 𝑣(0) = 0: 
𝑥(0) = 𝐴 e−0cos(0) → 𝐴 = 0,2 𝑚 
 
Portanto, a equação horária da posição é: 
𝑥(𝑡) = 0,2 e−8𝑡cos(6𝑡) 𝑚 
 
c) 
𝑥(𝑡) = 𝐴e−
1
2
𝛾𝑡 𝐸 =
1
2
𝑘𝐴2 
Amplitude inicial: A Energia inicial E0 
Início: 𝐴0 = 𝐴e
−
1
2
𝛾0 = 𝐴 𝐸0 =
1
2
𝑘𝐴0
2 =
1
2
𝑘𝐴2 
Após 1 ciclo (t=T): 
 𝐴1 = 𝐴0e
−
1
2
𝛾𝑇 = 𝐴e−
1
2
𝛾𝑇 𝐸1 =
1
2
𝑘𝐴1
2 =
1
2
𝑘𝐴2e−𝛾𝑇 = 𝐸0e
−𝛾𝑇 
Após 2 ciclos (t=2T): 
 𝐴2 = 𝐴0e
−𝛾𝑇 = 𝐴e−𝛾𝑇 𝐸2 =
1
2
𝑘𝐴2
2 =
1
2
𝑘𝐴2e−2𝛾𝑇 = 𝐸0e
−2𝛾𝑇 
... 
Após 5 ciclos (t=5T): 
 𝐴5 = 𝐴0e
−
5
2
𝛾𝑇 = 𝐴e−
5
2
𝛾𝑇 𝐸5 =
1
2
𝑘𝐴5
2 =
1
2
𝑘𝐴2e−5𝛾𝑇 = 𝐸0e
−5𝛾𝑇 
 
Com as informações dadas nos itens anteriores, é possível calcular: 
O período de oscilação: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 → 𝑇 =
2𝜋
6
=
𝜋
3
𝑠 
A energia inicial do oscilador E0 é: 
𝐸0 =
1
2
𝑘𝐴2 =
1
2
∗ 10 ∗ 0,22 = 1 𝐽 
Após 5 ciclos (t=5T): 
 𝐴5 = 0,2e
−
5
2
∗16∗5 = 0,2e−200 𝑚 ≈ 0 m 𝐸5 = 𝐸0e
−5𝛾𝑇 = 1e−400𝐽 ≈ 0 J