13236_Elementos_de_equações_diferenciais_revisão_geral_prova_de_2019 (1)

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Elementos de equações 
diferenciais 
REVISÃO GERAL 
Revisando técnicas de integração 
• Por quê? 
• Porque equações diferenciais, nos casos mais 
simples, como equações diferenciais 
separáveis, são do tipo: 
 
 )()(),( yQxPyxf
dx
dy

Exemplo 1 
• Experimentos mostraram que a taxa à qual um 
elemento radioativo decai (medindo o número 
de núcleos que se transformaram por unidade 
de tempo) é proporcional ao número y(t) de 
núcleos radioativos presentes no instante t. A 
constante de proporcionalidade é chamada de 
constante de decaimento. Escreva e resolva 
uma equação diferencial que descreva o 
decaimento radioativo, considerando a 
condição inicial y(0) = y0. 
 
solução 
• Pelo enunciado: 
• dy/dt ~ y 
• Onde “~” significa ser proporcional. 
• Como nosso hábito de resolver problemas é 
via equação, trocamos o “~” por igualdade, 
precedida da constante de proporcionalidade. 
continuando 
• Seja k constante de proporcionalidade 
• Assim, dy/dt = ky 
 
Isolando variáveis 
• Temos: dy/y = kdt 
 
Integrando ambos os membros da 
igualdade 
• Temos: 
• lny = kt + C. 
• Onde C é a constate geral de integração 
 
Isolando y = y(t) 
• Lembrando que nem sempre é possível isolar 
variáveis. 
• Pela definição de logarítmo: lna = b implicar a 
= exp(b), temos: 
• y = exp(kt + C). 
• De exp(u + v) = exp(u)·exp(v) 
• Segue-se y = exp(kt).exp(c) 
Que é a expressão 
c
kt
kt
eb
e
ekt
onde
bey



)exp(
Equações diferenciais lineares 
• São do tipo y’ + P(x)y = Q(x) 
• Cuja solução é: 
 
Exemplo 2 
• Resolver a equação y’ + y = x 
 
Solução: 
• A função P(x) é o “coeficiente” de y... 
• P(x) = 1 
 
• A função Q(x) fica “isolada”... 
• Q(x) = x 
Assim: 
eee
xdxdxxP

1)(
Onde foi parar a constante? 
• Vamos pensar um pouco... 
• Se temos, por exemplo, Ax²y = Bx. 
• Então, y = Bx/Ax² = C/x. 
 
• O que fizemos? 
• Simplificamos variáveis e definimos uma nova 
constante... C = B/A. 
Continuando... 
 
 xdxedxxQe x
dxxP
)(
)(
Pelas tabelas de integração 
 
)1(  xexdxe
xx
Organizando... 
Fica: 
Cxeye xx  )1(
Se quiser isolar... 
x
x
x
eCx
e
Cxe
y 

 1
)1(

Exemplo 3 
• Sendo x > 0, determine solução geral de 
• x.y’ - 4y = x6ex 
 
Inicialmente... 
• Deixar na “receita” y’ + P(x)y = Q(x) 
 
• Para tanto, “basta” dividir ambos os membros 
da igualdade pelo “coeficiente” de y’. 
 
• Assim, 
 
 
xexy
xdx
dy
xQyxP
dx
dy 54)()( 






Comparando... 
 
 
 
 
 
xexy
xdx
dy 54 






xexxQ
x
xP
5)(
4
)(


De: 
4lnln4
/4
4
)(
4 
 




 




xee
eee
xx
xdxdxxdxxP
Assim, 
  
 dxexxdxxQe xdxxP 54)( )(
“... Nada se perde, nada se cria... Se 
copia...” 
• Concluir... 
Equação Bernoulli 
• Expressão geral: 
 
n
dx
dy
yxQyxP )()( 
Estratégia para solução... 
• Mudança de variável... 
 
nyu  1
Daí, 
)()()1( xQuxPn
dx
du

Exemplo 4 
• Resolver Y’ = 4x-1y + xy1/2 
Primeiro ato... 
• Deixar na expressão padrão para comparar... 
 
• Assim: Y’ - 4x-1y = xy1/2 
 
Note que n = 1/2 
2
1
2
1
1
yyu 

E a equação “auxiliar” fica: 
  xux
dx
du












 
2
1
4
2
1 1
Assim: 
2ln2
2
)()1( 
 




 

 xeee x
dx
xdxxPn 
Solução (parcial) 
Cxxdxxux 





 
 ln
2
1
2
122 
Daí... 
• Isolar “u” 
• E, para finalizar, usar y = u² (por quê?) 
Equações diferenciais exatas 
• Quando a equação diferencial não se 
“encaixar” em equação separável ou linear, 
verificar se são EXATAS. 
 
• Quando saber que uma EDO é exata? 
 
• Se M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0  My = Nx 
My = Nx 
• Decorre do Cálculo Diferencial II 
 
 
dyyx
y
f
dxyx
x
f
yxdf 





 ),(),(),(
Consideramos... 
xy
f
yx
f
y
f
N
x
f
M











22
Como resolver? 
• Pensar “ao contrário”! 
 
• De ux = M(x,y), vamos integrar ambos os 
membros da igualdade em relação à variável 
x. 
 
• Assim, u = ∫M(x,y)dx + g(y). 
 
... G(y)? 
• Por que apareceu g(y)? 
 
• Porque ao derivar em relação à variável x, y 
“se comporta” como constante. 
 
• Agora, derivar em relação a y a igualdade u = 
∫M(x,y)dx + g(y), lembrando da hipótese... uy = 
N(x,y). 
 
Exemplo 5 
• Resolver (x³ + y³) + 3xy².y’ = 0 
Note que sai da nossa “receita” 
• Vamos verificar se é EXATA. 
 
• Se M = x³ + y³  My = 3y² 
 
• Se N = 3xy²  Nx = 3y² 
 
• Logo: My = Nx 
Escolher uma das expressões... 
• De M = x³ + y³ devemos lembrar que M é a 
derivada parcial de uma função f(x, y) em 
relação à variável “x”. 
 
• Logo: Integrar ambos os membros da 
igualdade em relação à variável x (logo y e 
quaisquer funções associadas à variável y 
possuem comportamento de constante...) 
Integrando M = x³ + y³ em relação... x 
 
)(
4
),(
³³
³³
3
4
ygxy
x
yxf
dxyxdx
x
f
yx
x
f
M









Agora... Derivar f(x, y)... y 
• N = fy = 3y²x + g’(y). 
 
• Comparando com N (dado)... 
 
• 3y²x + g’(y) = 3y²x 
 
• G’(y) = 0  g(y) = C 
E se tivéssemos escolhido N? 
• Integrar N = 3y²x em relação à variável x... 
N = fy 
)(
3
³
3),(
²3
²3
xh
y
xyxf
dyxydy
y
f
xy
y
f
N















Agora... Derivar... x 
• Fx = y³ + h’(x) 
• Igualando 
• Y³ + h’(x) = x³ + y³ 
• Daí, h’(x) = x³ 
 
• Integrando... Observaremos resultado 
Aplicação: 
• Na aplicação a seguir você deverá inicialmente 
identificar o tipo de equação de 1ª ordem (se 
separável, se linear ou se é exata). 
• DETERMINADO CIRCUITO CONSISTE EM UM 
RESISTOR (R) E UM CAPACITOR (C) EM 
PARALELO E ALIMENTADOS POR UMA FONTE 
DE CORRENTE CONSTANTE (I)... 
CONTINUANDO 
• No tempo t = 0, a tensão inicial no capacitor é 
zero. Para tempos t > 0, a tensão no capacitor 
satisfaz a equação, sendo v = v(t) 
 
 
I
R
v
dt
dv
C 
Determine a solução desta equação. 
• Analisando a equação, como I é constante, ela 
é uma equação separável... 
Da seguinte forma: 
dt
vRI
dv
RC
dt
R
v
I
dv
C
R
v
I
dt
dv
C





Integrar ambos os membros da 
igualdade... 
• Lado esquerdo... Em relação à variável “v” 
 
• Lado direito... Em relação à variável “t” (que 
não está oferecendo resistência) 
Comparando... tabelas 
dvdx
dvdx
vRIx
Cx
x
dx




1/
*ln
Assim... 
...
ln
RC
Kt
evRI
KtvRIRC
dt
vRI
dv
RC





 
Aplicação II 
• Dado um circuito elétrico em série RL básico, 
tem-se: 
 
 
• onde V(t) é a voltagem dependente do 
tempo t, R é uma resistência constante e L é 
um indutor com indutância constante. 
Determine I(t) se R = 6, L = 3, V = 3sent e I(0) = 
15? 
)(tVRI
dt
dI
L 
Solução... 
• Como V(t) não é constante, trata-se de uma 
equação diferencial linear. 
• Ou seja 
CdttVeIe
tVItP
dt
dI
dttPdttP


 )(
)()(
)()(
Organizando e comparando... 
senttV
tP
sentI
dt
dI
sentI
dt
dI




)(
2)(
2
363
Resolvendo 
 


sentdtetVe
eee
tdttP
tdtdttP
2)(
22)(
)(
Por tabelas... 
     Cbxbbxasen
ba
e
dxbxsene
ax
ax 

 cos²²
)(
Assim... 
  Ctsent
e
Ie
sentI
dt
dI
t
t 

cos2
5
2
2
2
Da informação I(0) = 15 
• Faça t = 0 e I = 15 
• Concluir... 
EDOs de 2ª Ordem com coeficientes 
constantes 
• Expressão geral: ay’’ + by’ + cy = 0 
 
• Sendo y = y(x) 
 
• Expressão auxiliar: y = exp(mx) 
Com efeito: 
0²
0'''
²''
'





cbmam
cybyay
mey
mey
ey
mx
mx
mx
Lembrando... 
xmxm
xmxm
xmxm
eCeCy
xeCeCy
eCeCy
acb
21
11
21
21
21
21
0
0
0
4²




Sendo negativo... 
• Segue-se que a solução é complexa. 
• Sejam as raízes “r + is” e “r – is”, sendo i² = -1 a 
unidade imaginária. 
• Assim, forma trigonométrica neste caso é 
expressão padrão: 
 
∆ < 0 
 
...
)(
2)(
1
)(
2
)(
1
)(
2
)(
1
isxisxrx
isxrxisxrx
xsirxsir
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy






Forma polar... 




isene
E
isene
i
i


 cos
cos
)(
Assim sendo: 
 
    
 )()cos(
coscos
21
21
)(
2
)(
1
sxsenKsxKey
isensxsxCisensxsxCey
eCeCey
rx
rx
isxisxrx


 
Sistema massa-mola 
De onde vem... 
• Sistema massa-mola... UMA APLICAÇÃO 
• De Força (F) = massa (m) x aceleração (a) 
• F = Peso – Alongamento 
• Peso = mg (sendo “g” aceleração da 
gravidade) 
• Alongamento = kδ (sendo “k” constante) 
 
Tendo peso na mola e... 
• Ocorrendo deslocamento (para baixo): 
 
tempox
xymxyk

 )('')(
Aplicação 3 
• Resolver a equação atrelada ao sistema mola-
massa. 
Solução: 
• Reorganizando (volte dois slides...) 
• m.y’’(x) + k.y(x) = 0 
• São constantes “k” e “m”... 
Fazer... 
0²
0²
0''
²''
'






kmv
kevme
kymy
vey
vey
ey
vxvx
vx
vx
vx
Isolando v, lembrando “m” e “k”... 
m
k
iv
m
k
v
kmv



²
²
Solução na forma trigonométrica 










)()cos(
0
21
0 x
m
k
senKx
m
k
Key
m
k
s
r
isrz
x
Aplicação 4 
• Resolva o sistema 
 







yx
dt
dy
yx
dt
dx
73
37
Nossa disciplina é... 
• Logo, não precisa se preocupar com as 
“condições de contorno”. 
 
• Autovalores e autovetores... 
 
• Mas... EDOs de 2ª ordem 
Escolher uma das equações... 
• Derivar a 1ª equação: x’’ = 7x’ + 3y’ 
 
• Da 2ª equação: y’ = 3x + 7y 
 
• Substituindo na 1ª... x’’ = 7x’ + 3(3x + 7y) 
 
• Desenvolvendo: x’’ – 7x’ – 9x – 21y = 0 
 
Da equação escolhida... 
• Temos x’ = 7x + 3y 
• Isolando y... y = (x’ – 7x)/3 
• Na expressão anterior... 
• x’’ – 7x’ – 9x – 21y = 0  
• x’’ – 7x’ – 9x – 21(x’ – 7x)/3 = 0 
• Ou seja: 
• x’’ – 14x’ + 40x = 0 
Substituição “padrão”... 
• Qual é? 
• Desta feita: v² - 14v + 40 = 0 
• ∆ = (-14)² - 4.(1).(40) = 196 – 160 = 36 
• Como ∆ > 0... 
 
Continuando... 
tt
tvtv
eCeCx
v
v
v
eCeCx
4
2
10
1
2
1
21
4
10
2
6)14(
21






E y? 
   









tttt
tt
eCeCeCeCy
xxy
eCeCx
4
2
10
1
4
2
10
1
4
2
10
1
7
3
1
)7'(
3
1
[exp(at)]’= a*exp(at) 
   
  
tt
tttt
tttt
eCeCy
eCeCeCeCy
eCeCeCeCy
4
2
10
1
4
2
10
1
4
2
10
1
4
2
10
1
4
2
10
1
7410
3
1
7
3
1









Aplicação 5 
• Um engenheiro biomédico deve projetar um 
aparelho de treinamento de resistência para o 
músculo grande dorsal. A tarefa pode ser 
representada por um sistema mola-massa... 
 
• O deslocamento y(x) da barra de exercícios 
satisfaz a seguinte equação diferencial... 
Equação... 
)2()()('' xsenxykxym 
Resolvendo... 
• Primeiro, obter yP – solução particular. 
• Segundo, achar yC – solução comparada. 
• Logo y(x) = yP + yC 
Solução particular 
 



















x
m
k
senKx
m
k
Kxy
xykxym
21 cos)(
...
0)()(''
Solução comparada 
• SEMPRE que envolver sen(ax) ou cos(ax), 
fazemos uma COMBINAÇÃO LINEAR de tais 
expressões. 
 
• Ou seja, no nosso caso, comparar com 
B.sen(2x) + C.cos(2x) 
Derivando duas vezes... 
• 1ª derivação: 2B.cos(2x) – 2C.sen(2x) 
 
• 2ª derivação: – 4B.sen(2x) – 4C.cos(2x) 
Substituindo na expressão... 
• Lembrando... Não entenda como igualdade e 
sim como identidade entre polinômios. 
 
• Por qual motivo? 
 
• m.y’’(x) + k.y(x) = sen(2x) + 0.cos(2x) 
Assim, 
• m.(-4B.sen2x – 4C.cos2x) + k.(B.sen2x + 
C.cos2x) = sen(2x) + 0.cos(2x) 
• Os “coeficientes” de sen2x: - 4mB + kB = 1 
• Logo, B = 1/(k – 4m) 
• Os “coeficientes” de cos2x: - 4mC + kC = 0 
• Logo, C = 0 
 
Por conseguinte... 
 
xsen
mk
x
m
k
senKx
m
k
Kxy 2
4
1
cos)( 21




















Revisão geral... 
• Para as questões de 01 a 03... 
 
• Identifique o tipo de EDO de 1ª ordem 
(separável, linear ou exata) e resolva o 
problema: 
 
 
1ª questão: 
• Um foguete, disparado verticalmente para 
cima a partir do repouso no instante t = 0, tem 
uma massa inicial de m0 (incluindo o 
combustível). Supondo que o combustível seja 
consumido a uma taxa constante k, a massa m 
do foguete, enquanto o combustível estiver 
sendo queimado, será dada por m = m0 – kt. 
Demonstra-se que m.v’(t) = ck - mg onde g é a 
aceleração da gravidade, c é uma constante e 
v é a velocidade do foguete. Determine v(t). 
 
Solução: 
• Sendo constantes “c”, “m” e “k”, podemos 
considerar b = ck – mg o qual é constante. 
 
• Desta feita, m(dv/dt) = b 
 
• Que equivale a m.dv = b.dt 
Integrando ambos os membros da 
igualdade... 
• m.v = b.t + A 
 
• Quem é A? 
 
• Voltando... m.v(t) = (ck – mg)t + A 
2ª questão: 
• Dado um circuito elétrico em série RL básico, 
tem-se: L.I’(t) + R.I = V(t) onde V(t) é a 
voltagem dependente do tempo t, R é uma 
resistência constante e L é um indutor com 
indutância constante. Determine I(t) se R = 10 
e L = 5, sendo V = exp(t), sendo I(0) = 0. 
Solução... 
• Percebemos que a equação é linear... Por quê? 
 
• Devemos reescrever na forma I’ + A(t).I = B(t) 
 
• No caso (expliquem-me... Por favor!): 
• A(t) = 2 
• B(t) = exp(t)/5 
Solução geral: 
CdttBetIe
dttAdttA
  )()(
)()(
Assim (explicar cada etapa) 
 
...
3
1
5
1
)(
5
)(
)()(
32
22
22)(
)()(
CetIe
Cdt
e
etIe
eee
CdttBetIe
tt
t
tt
tdtdttA
dttAdttA







3ª Questão 
• Certa partícula tem velocidade: 
 
• (y + 2x)dx + xdy = 0 ou 
• y + 2x + x.y’ = 0 
 
• Sendo y’ = dy/dx 
 
• Encontrar equação horária. 
Solução... 
• Repare que tal expressão é uma equação 
diferencial de 1ª ordem linear. Tentar resolver 
e debater no nosso fórum de revisão. 
 
• Repare também que é exata... 
 
• Com efeito... 
Com efeito... 
 
y
f
N
x
f
M
x
N
NxN
y
M
MxyM
x
y














1
12
Como My = Nx... 
• Desta feita, escolher UMA... 
 
• Se N = x, como N é derivada de F(x, y) em 
relação à variável y, vamos integrar ambos os 
membros da igualdade em relação à variável y. 
Lembrando... 
 
• F(x, y) = xy + h(x) 
Derivando F(x, y)... “x” 
• Fx = M = y + h’(x) 
• Como M = y + 2x 
• Temos y + 2x = y + h’(x) 
• De onde h’(x) = 2x... 
• Por conseguinte, h(x) = x² + C 
• Assim... F(x, y) = xy + x² + C 
 
• No plano xy... xy + x² + C = 0 ou y = - x – C/x 
Concluindo... 
• Mais atividades no fórum de revisão 
 
• É opcional!!!