Gabaritos comentados - Construção dos números reais

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Unidade 1
Apêndice
2 - U1 / Construção dos números reais
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Unidade 1
Construção dos números reais
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 1.1
1. Alternativa C.
Resposta Comentada:
a resposta correta é “ n a am= +n a= +n a +1= +1= + ... ; Teorema 1.3”.
Precisamos encontrar um majorante n para os elementos de A, isto é, um número 
natural n tal que n ak³n a³n a para todo k AÎk AÎk A . Assim, teremos que A XnÌA XÌA X . Há diferentes 
maneiras de se encontrar esse número, porém nos atemos à maneira mais simples. O 
resultado segue pois Xn é � nito.
 
2. Alternativa D.
Resposta Comentada:
a resposta correta é “pois A é in� nito ; f i f j( )f i( )f i ( )f j( )f j> se i ji j>i j ; a k>a k>a k ∀ ∈k∀ ∈k∀ ∈ ”.
O objetivo da demonstração é mostrar que A é enumerável. Por hipótese, sabemos 
que A é in� nito. Isso nos permite de� nir a função f que, por construção, é crescente. 
Além disso, temos que o número a, que supomos existir, não pode pertencer ao 
conjunto 

, pois é maior do que qualquer número natural.
3. Alternativa A.
Resposta Comentada:
A a� rmativa 1 está correta. Como A é � nito, o conjunto das partes de A contém um 
número � nito de elementos de A.
A a� rmativa 3 também está correta. Se o conjunto A tiver n elementos, o produto 
cartesiano A AA A´A A terá no máximo n2 elementos.
Já a a� rmativa 2 está incorreta. Se o conjunto A tiver k elementos, o conjunto das 
funções do tipo f A Af A:f A® poderá ser mapeado no produto cartesiano 
A A A
k
´ ´A A´ ´A A ´...
 vezes� �� ������ �� �� �� �� �� ������ �� �� ������ �� ������ �� �� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ��� ������ � , 
que tem, no máximo, nk elementos.
A a� rmativa 4 está incorreta, pois existem funções que contradizem, por exemplo, a 
função f :  ®  , f k k( )f k( )f k = 2 , não é sobrejetora.
A a� rmação 5 também está incorreta, pois a função g :  ®  , g k g k k( )g k( )g k ( )g k( )g k( )2 1( )g k( )g k2 1g k( )g k g k( )g k2g k( )g k− =( )− =( )( )2 1( )− =( )2 1( ) = , 
não é injetora.
U1 / Construção dos números reais - 3
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 1.2
1. Alternativa C.
Resposta Comentada:
a resposta correta é “__� � �
� �� ������ �� �� �� �� �� ������ �� �� ������ �� ������ �� �� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ��� ������ �
� � � �
� �� ������ �� �� �� �� �� ������ �� �� ������ �
× ×� �× ×� � × = ×�× = ×� � �× = ×� �× ×� �× ×� �� �×� �... � �...� �
k+1 vezes k vs k vs k ezes� ������ �� ��� ������ ��� �� �� �� ��� �� �� ������ �� �� ��� �� �� �� ��� �� ������ ��� ������ �s ks k

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �



”.
Precisamos fazer a demonstração por indução no número de produtos carte-
sianos tomados para mostrar que a propriedade vale para qualquer número � nito 
de produtos cartesianos. Assim, supondo a a� rmação válida para 
� � �
� �� ������ �� �� �� �� �� ������ �� �� ������ �� ������ �� �� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ��� ������ �
´ ´� �´ ´� � ´...
k vezes , é 
preciso demonstrar que é válida para 
� � �
� �� ������ �� �� �� �� �� ������ �� �� ������ �� ������ �� �� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ��� ������ �
´ ´� �´ ´� � ´...
k+1 vezes , o que ocorre, pois o produto 
cartesiano de conjuntos enumeráveis é enumerável.
 
2. Alternativa D.
Resposta Comentada:
a alternativa correta é “__ a b+ =+ =a b+ =a b − +( )a b( )a b− +( )− +a b− +a b( )a b− +a b ; __ a ba b a b+ =+ =a b+ =a ba b+ =a b a b−a b ; __ a b a ba b+ <+ <a b+ <a b +a b+a b ”.
De fato, se a<0 , b<0 , segue que a b+ <a b+ <a b 0 e, da de� nição, a b+ =+ =a b+ =a b − +( )a b( )a b− +( )− +a b− +a b( )a b− +a b . Já se 
apenas b<0 , então b bb bb b=−b b , e portanto segue a ba b a b+ =+ =a b+ =a ba b+ =a b a b−a b . Por � m, neste mesmo 
caso, não pode haver a igualdade na expressão a b a ba b+ ≤+ ≤a b+ ≤a b +a b+a b , como mostrado no 
texto da questão. Isso ocorre somente se os dois elementos tiverem o mesmo sinal.
3. Alternativa D.
Resposta Comentada:
a alternativa correta é “ 1 1 2+ =1 1+ =1 1 , 2 1 0+ =2 1+ =2 1 , 2 2 1+ =2 2+ =2 2 ”.
De fato, é a única que satisfaz as propriedades da soma para um corpo: basta checar a 
associatividade da adição c a( )a b( )a b+( )+a b+a b( )a b+a b + =c a+ =c a+ +( )b c( )b c+ +( )+ +b c+ +b c( )b c+ +b c , que deve ser veri� cada para cada 
caso, variando a, b, c entre os elementos do conjunto A. As outras propriedades estão 
implícitas na de� nição.
Segue que, nesse caso, a propriedade distributiva também é satisfeita.
A veri� cação é dada da seguinte forma: para a= 0 não há o que veri� car, já que recai 
na de� nição da operação. Isso também vale se tivermos b= 0 ou c= 0 . Tomemos 
então a=1 . Para b c= =b c= =b c 1 também recaímos na de� nição, pois 1 2 2 1+ =1 2+ =1 2 +2 1+2 1 por 
hipótese. Para b=1 , temos 2 2 2 1( )1 1( )1 1+( )+1 1+1 1( )1 1+1 1 + =2 2+ =2 2+ =2 1+ =2 1 e 1 1 2 1 0 1+ +1 1+ +1 1( )1 1( )1 1 2 1( )2 1+ +( )+ +1 1+ +1 1( )1 1+ +1 1 = +2 1= +2 1 0 1=0 1 . 
Tomemos então b= 2 . Para c=1 , 1 0 1( )1 2( )1 2+( )+1 2+1 2( )1 2+1 2 + =1 0+ =1 0+ e 1 2 1 1 0+ +1 2+ +1 2( )1 2( )1 2 1 1( )1 1+ +( )+ +1 2+ +1 2( )1 2+ +1 2 = +1 1= +1 1 . Já para 
c= 2 , 2 0 2( )1 2( )1 2+( )+1 2+1 2( )1 2+1 2 + =2 0+ =2 0+ e 1 2 2 1 1 2+ +1 2+ +1 2( )1 2( )1 2 2 1( )2 1+ +( )+ +1 2+ +1 2( )1 2+ +1 2 = +2 1= +2 1 1 2=1 2 . Pela comutatividade da adição, a 
associatividade também vale para a b c= =a b= =a b = 2 , de modo que o resultado está provado.
4 - U1 / Construção dos números reais
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 1.3
1. Alternativa D.
Resposta Comentada:
a resposta correta é “ e= −{ }= −{ }= −mi= −mi= −n |= −n |= −{ }n |{ }= −{ }= −n |= −{ }= −{ }|,{ }{ }| |{ }{ }x a{ }= −{ }= −x a= −{ }= −{ }| |{ }x b{ }| |{ }−{ }−| |−{ }−x b−{ }−| |−{ }− ”. De fato, é necessário que | || |x| || |-| || |e| | seja 
menor do que | || |x a| || |x a| |-| |x a| | e menor do que | || |x b| || |x b| |-| |x b| | para que ( )x x( )x x− +( )− +x x− +x x( )x x− +x x ⊂( )a b( )a b( )e e( )− +( )− +e e− +( )− +x x− +x x( )x x− +x xe ex x− +x x( )x x− +x x, ,( ), ,( )− +( )− +, ,− +( )− + ⊂, ,⊂( ), ,( )a b( )a b, ,a b( )a b( )e e( ), ,( )e e( )− +( )− +e e− +( )− +, ,− +( )− +e e− +( )− +x x− +x x( )x x− +x xe ex x− +x x( )x x− +x x, ,x x− +x x( )x x− +x xe ex x− +x x( )x x− +x x .
 
2. Alternativa C.
Resposta Comentada:
a resposta correta é “Somente as a� rmações 1, 2, 3 e 5 estão corretas”. De fato, temos:
1. Sendo � �= ∪� �= ∪� � Ι , com I o conjunto dos números irracionais, temos que, como 
 é enumerável, I não pode ser enumerável, pois a união de dois conjuntos enume-
ráveis é enumerável. 
2. Um conjunto � nito pode ser visto como uma reunião disjunta de intervalos 
fechados do tipo [d,d], de modo que cada um contém seu supremo e seu ín� mo. A 
união (� nita) também conterá então seu supremo e seu ín� mo.
3. Vimos na Seção 1.2 que o conjunto dos irracionais é in� nito. Também segue do 
item 1. 
4. Se a é irracional, então 0= +( )a a= +a a= +( )a a( )−( )−a a−( )− é um número racional dado pela soma de dois 
irracionais. 
5. Suponha que existam a irracional e p
q
 racional, tal que a soma seja um número 
racional r
m
. Então teríamos que a
p
q
r
m
= −= − seria um número racional, o que é uma 
contradição. 
3. Alternativa B.
Resposta Comentada:
a resposta correta é “ g : , ,0 0 1 21 2[ ): ,[ ): ,0 0[ )0 0: ,0 0: ,[ ): ,0 0: ,0 0∞0 0[ )0 0∞0 00 0→0 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ) ; h x
x
x
( )h x( )h x =
+
+
1
2 1x2 1x+2 1+
1
2
. ”. Como no texto escre-
vemos g 0 0( )0 0( )0 00 0=0 0 , temos que 0 está no domínio de g. Além disso, como x x< +x x< +x x1< +1< +x x< +x x1x x< +x x para 
todo x³0 , g nunca assumirá o valor 1 21 2 . Já a função h : ,( ): ,( ): ,−∞( )−∞: ,−∞: ,( ): ,−∞: , ( )( ),( ),0 1( )0 1( )→0 1→( )0 1( )( )2 1( ),( ),2 1,( ), precisa 
ter a forma mencionada para que a sua imagem seja exatamente o intervalo ( )( )1 2( )1 21 2( )1 2 1( )1,( ), .