FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 1 AO 10

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
1a aula
	1a Questão 
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo.
P3: N-s(N)  consta de um só elemento.
É somente correto afirmar que 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n)  para todo n∈N.
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
	
	
	(III)
	
	(II)
	
	(I) e (II) 
	
	(I) e (III) 
	
	(II) e (III)
	 2a Questão 
	
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano.
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que   s(m)=s(n)⟹m=n 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
	
	
	(I) e (III)
	
	(I) e (II)
	
	(II)
	
	(II) e (III)
	
	(III)
	 3a Questão 
	
	Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto 
	
	
	I e III somente. 
	
	I, II e III.
	
	I somente. 
	
	I e II somente. 
	
	II e III somente. 
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Todo subconjunto finito dos reais tem:
		
	
	o zero como elemento.
	
	uma dízima periódica.
	
	um menor elemento.
	
	pelo menos um intervalo (a,b) contido nele.
	
	Os reais não tem subconjuntos finitos.
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
		
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo.
P3: N-s(N)  consta de um só elemento.
É somente correto afirmar que 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n)  para todo n∈N.
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
		
	
	(III)
	
	(II) e (III)
	
	(I) e (III) 
	
	(II)
	
	(I) e (II) 
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) m+(n+p)=(m+n)+p
(II) n+m=m+n
(III) Dados m,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
       m=n    ou
        ∃p∈N  tal que m=n+p   ou
        ∃p∈N  tal que  n=m+p   .
(IV) m+n=m+p⇒n=p
	
		
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa. 
	
	(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
	
	(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte 
	
	(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa. 
	
	(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
		
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
2a aula
	1a Questão 
	Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈
	N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
		
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	 Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
		
	
	{ x∈ R : x > 3}
	
	{ x ∈ R : 3 < x < 5}
	
	{ x ∈ N : x > 7}
	
	{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
	
	{ x ∈ Z : x > -3 }
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação) 
		
	
	Nenhum subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento.
	
	Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento.
	
	Alguns conjuntos possuem um menor elemento.
	
	Todo conjunto possui um menor elemento.
	
	Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um maior elemento.
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Seja a sequência an=1−nn2
	. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência. 
		
	
	-3/16, 0, -2/9, -1/4
	
	0, 1/4, 2/9, 3/16
	
	0, -1/4, -2/9, -3/16
	
	1, 2/3, 5/6, 3/16
	
	0, -3/16, -2/9, -1/4
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da Indução como:
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que:
i)                    P é válida para um número natural n0 ∈
N.
ii)                  A validade de P para n ∈
N implica na validade de P para 
o sucessor n + 1 ∈
N. 
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈
	N tais que:
		
	
	n ≠ n0
	
	n ≥ n0 
	
	n ≤ n0
	
	n < n0
	
	n > n0 
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto.
		
	
	Seja P(n) uma proposição associadaa cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. P(k+1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	
	Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Dada a série ∞∑n=1(1n2)
	, 
marque a alternativa que indica o limite superior da série e indica se ela é convergente ou divergente. 
		
	
	A série não é limitada superiormente. 
	
	A série é limitada superiormente por 2 e a série converge.
	
	A série é limitada superiormente por 1 e a série converge
	
	A série é limitada superiormente por 3 e a série converge.
	
	A série é limitada superiormente por 1/2 e a série converge.
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Analise a convergência da ∞∑n=1(1√n)
	Determine qual o limite superior e se a série é convergente ou divergente.
		
	
	A integral terá como resultado infinito, portanto a série é divergente.
	
	A integral terá resultado 1/2, portanto a série é convergente.
	
	A integral terá resultado 3, portanto a série é convergente.
	
	A integral terá como resultado 2, portanto a série é divergente.
	
	A integral terá resultado 2, portanto a série é convergente.
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
3a aula
	1a Questão 
	
	
	
	Considere as afirmativas a seguir. 
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In .
Com relação a elas, é correto afirmar 
		
	
	I e III somente. 
	
	II e III somente. 
	
	I e II somente. 
	
	I, II e III. 
	
	II somente. 
	 2a Questão 
	
	
	
	
	A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se :
		
	
	x< -1
	
	x > -1
	
	x < 0
	
	x = -1
	
	x > 0
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1(13n+1)
	.
		
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10.
	
	Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge.
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente.
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente.
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente.
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Considere as afirmativas a seguir. 
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In .
Com relação a elas, é correto afirmar 
		
	
	II e III somente. 
	
	I e II somente. 
	
	I e III somente. 
	
	I, II e III. 
	
	II somente. 
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Dentre as opções abaixo a única que representa um número racional é:
		
	
	log 3
	
	log 256
	
	√64
	
	√7 
	
	∛9
	
	 6a Questão 
	
	
	
	Com relação a noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que 
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = n é bijetiva.
(II) O conjunto {2, 4, 6, . . .} é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva.
(III) O conjunto −1,−2,−3,−4, . . . ,−n, . . . é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = -n é bijetiva.
		
	
	(I) e (III)
	
	(I), (II) e (III)
	
	(I) e (II)
	
	(II) e (III)
	
	(I)
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Um conjunto será infinito quando não for finito. Dessa forma, é somente correto definir conjunto infinito como:
		
	
	A é infinito quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A. 
	
	A é infinito quando não é vazio ou qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito somente quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando não é vazio ou existir n∈N, tal que não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando não é vazio e, qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Considere a sequência infinita f : N*→Q onde f (n ) = 2n. Podemos afirmar que :
		
	
	O conjunto imagem da função é não enumerável.
	
	O maior valor que a função assume é 1024. 
	
	Existe uma imagem que é negativa.
	
	O menor valor que a função assume é igual a 1.
	
	O conjunto imagem da função é enumerável
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
4a aula
	1a Questão 
	
	
	
	O ínfimo do conjunto A = { (3+2n)/(3-2n) : n ∈ N} , é igual a : 
		
	
	-6
	
	-4
	
	-7
	
	-8
	
	-5
	 2a Questão 
	
	Considere o resultado: Se z, a em R, tais que z + a = a, então z = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dele.
		
	
	1. Hip 		z + a = a
2. fech		(z + a) + (-a) = a + (-a)
3. elem neutro     z = 0
	
	1. Hip 		z + a = a
2. fech		z + a = a + (-a)
3. assoc		z + (a + (-a)) = a + (-a)
4. elem neutro     z = 0
	
	 
1. fech		(z + a) + (-a) = a + (-a)
2. assoc		z + (a + (-a)) = a + (-a)
3. elem neutro     z = 0
	
	1. Hip 		z + a = a
2. fech		(z + a) + (-a) = a + (-a)
3. assoc		z + (a + (-a)) = a + (-a)
4. elem neutro     z = 0
	
	1. Hip 		z + a = a
2. assoc		z + (a + (-a)) = a + (-a)
3. elem neutro     z = 0
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Analisando pelo critério de comparaçãol com limite, a série 1/ln(k) será identificada como :
		
	
	Convergente e o  valor do limite será 2 
	
	Divergente e o  valor do limite será  −∞
	 
	
	Divergente e o  valor do limite será 1 
	
	Convergente e o  valor do limite será 0 
	
	Divergente e  o  valor do limite será  +∞
	
	 4a Questão 
	
	
	
	
	A série (x2 + 2) /(x5 + 2x + 1), pelo critério da comparação com limite, será convergente cujo limite vale: 
		
	
	1
	
	3
	
	2
	
	+OO
	
	
	−OO
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Teste da Comparação Dadas as séries an e bn , an > 0; bn > 0 e an < bn , n, temos que Se a série bn converge então a série an converge. Se série an diverge então Série bn diverge. Analise o critério exposto acima e avalie entre as opções abaixo, a que não se enquadra nesse critério de convergência: 
		
	
	Nunca utilizar séries geométricas e p-séries para servirem de comparação.
	
	Este teste é chamado teste do confronto ou comparação simples
	
	O teste também se aplica se temos an < bn para todo n > no
	
	Se an < bn e a série an converge nada podemos afirmar sobre a série bn. 
	
	Se an < bn e a série bn diverge nada podemos afirmar sobre a série an. 
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Se |x-2| < 3 , podemos afirmar que o valor do número real x pertence :
		
	
	[ -1 , 5 ]
	
	] -1 , 5 ]
	
	{ -1 , 5 }
	
	[ - 1 , 5 [
	
	] -1 , 5 [
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/√n
	  , verifica-se que a série: 
		
	
	converge para 1/3
	
	converge para n
	
	converge para 1
	
	diverge
	
	converge para 0
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Existem duas operações binárias no conjunto dos números reais: adição e multiplicação. Estas operações satisfazem as propriedades a seguir:
		
	
	axiomas da adição: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.axiomas da adição: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, elemento simétrico. 
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva.
	
	axiomas da adição: fechamento, comutativa, associativa, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva.
	
	axiomas da adição: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
	
	axiomas da adição: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
5a aula
	1a Questão 
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=12n7n.(n+1)
	.
		
	
	A série divergente para 2/7, portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 2/7 portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita divergente.
	
	A série divergente absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n3/en conclui-se que a mesma : 
		
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/2
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 5/3
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/3
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/e
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 2,5
	 3a Questão 
	
	
	
	Analisando se a série n/(ln n)n é convergente ou divergente, conclui-se que : 
		
	
	a série diverge pois o limite vale 9/3
	
	a série diverge pois o limite vale 2,5
	
	a série converge pois o limite vale 2/3
	
	a série converge pois o limite vale 0
	
	nada podemos afirmar pois o limite vale 1
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-se que a mesma : 
		
	
	converge pois o lim an+1/an vale 0
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 3/2
	
	converge pois o lim an+1/an vale 0,2
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/3
	
	converge pois o lim an+1/an vale 9/10
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1(2nn!)
	.
		
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge.
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
		
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. 
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Sejam a e b dois números ímpares .É correto afirmar que : a2 + b2 pode ser um número ímpar. 
		
	
	a2 + b2 é sempre um número ímpar. 
	
	Não é um número real
	
	a2 - b2 pode ser um número ímpar. 
	
	Depende dos valores de a e b 
	
	a2 + b2 é sempre um número par. 
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Verificando a série de termos positivos cujo o termo geral é n/ln(n)n/2 concluimos que a série: 
		
	
	converge pois o limite vale 0,9
	
	converge pois o limite vale 1/10
	
	nada se pode declarar poiis o limite vale 1
	
	diverge pois o limite vale 7/2
	
	converge pois o limite vale 0
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
6a aula
	1a Questão 
	
	
	
	Seja a sequência {`2n2/(5n2-3)`}. 
Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	
	5/2
	
	0
	
	2/5
	
	2
	
	5
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Seja a sequência an=2n−12n
	 Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência. 
		
	
	2/3, 1, 15/16, 7/8
	
	3/4, 1/2, 15/16, 7/8
	
	-1/2, -3/4, -7/8, -15/16
	
	1/2, 3/4, 7/8, 15/16
	
	-1/2, 3/4, -7/8, -15/16
	 3a Questão 
	
	
	
	
	A expressão (2n+3)/2n não é maior que 6. Sabendo que n é um número natural diferente de zero, podemos afirmar que a soma dos valores de n que atende as condições do problema é igual a :
		
	
	3
	
	7
	
	5
	
	6
	
	4
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então:
		
	
	a > b
	
	a < b
	
	a é ímpar
	
	a é par
	
	a = b
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Seja a sequência {n.sen(π
	/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	
	2π
	
	
	π
	/2 
	
	3π
	/2
	
	π
	
	
	3π
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Seja a sequência an=2n−12n
	 Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência. 
		
	
	1/2, 3/4, 7/8, 15/16
	
	-1/2, -3/4, -7/8, -15/16
	
	3/4, 1/2, 15/16, 7/8
	
	-1/2, 3/4, -7/8, -15/16
	
	2/3, 1, 15/16, 7/8
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=2(−1)nlnn é.
	
	
	Pelo teste de Leibniz a série converge, então ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ converge e ∞∑n=21lnn
	diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente.
	· Pelo teste de Leibniz a série diverge, então ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn
diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente
	
	
	Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn
diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente.
	
	
	Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣ diverge e ∞∑n=21lnn
converge. Portanto, a série dada é condicionalmente divergente.
	
	
	Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣
diverge e ∞∑n=21lnn
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Sendo a e b reais quaisquer e m um número real diferente de zero, então:
		
	
	a < b , m >0 → a m < b m
	
	a > b e a m > b m → m = 1 
	
	a≥ b e a m ≥ b m → m≥ 1
	
	a ≥ b e a m ≤ b m → m < 0
	
	a < b e a m < b m → m < 0
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
7a aula
	1a Questão 
	
	
	
	Verifique se a seguinte série converge e ache sua soma:
2 + 23
+ 232 + ... + 23n−1
	+ ...A série diverge com r = 13
	< 1. 
	
	A série converge com r = 12
	< 1. A soma S = 4. 
	
	A série converge com r = 13
	< 1. A soma S = 3. 
	
	A série diverge com r = 53
	 > 1. 
	
	A série converge com r = 3  > 1. A soma S = 5.
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Se |x-3| = 5 então podemos afirmar que o número real x é igual a :
		
	
	x = -2
	
	x = 8 e x = - 2
	
	x = 8 
	
	x = 2
	
	x = 3
	 3a Questão 
	
	
	
	
	A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é:
		
	
	6
	
	7
	
	5
	
	8
	
	9
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução:
		
	
	[ 1 , 4 ]
	
	] 1 , 4 ]
	
	{ 1 , 4 }
	
	[1 , 4 [
	
	] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1((−1)n+1)(n+1n+2)
	
		
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)
	=1, portanto a série dada é convergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)
	=1, portanto a série dada é divergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)
	não existe, portanto a série dada é divergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)
	= 0, portanto a série dada é convergente.
	
	Limn→∞ (−1)n+1(n+1n+2)
	= 0, portanto a série dada é divergente.
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Verificando a convergencia da série de somatório (-1)n+1 .n2n concluimos que : 
		
	
	pelo teste da razão, a série converge para o limite 3/7
	
	pelo teste da razão, a série converge para o limite 0,2
	
	a série é divergente
	
	pelo teste da razão é inconcludente.
	
	pelo teste da razão, a série é absolutamente convergente e portanto convergente.
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1|cosn|(3nn!)
	.
		
	
	é convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	
	é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente divergente.
	
	não podemos afirmar nada.
	
	é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente.
	 8a Questão 
	
	
	
	
	A equação |x-1| = |x| +1
		
	
	tem uma única solução
	
	tem uma infinidade de soluções
	
	tem somente duas soluções
	
	tem exatamente 4 soluções
	
	não tem solução
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
CEL0688_A8
		1.
		A serie infinita de termos positivos cujo termo geral é 1/n! é : 
	
	
	
	convergente de limite n!
	
	
	convergente de limite e
	
	
	convergente de limite 0
	
	
	convergente de limite 3
	
	
	divergente
		2.
		Seja a função f(x) = 3√x
		.
determine a aproximação por um polinômio de Taylor de grau 3 em a = 8.
 
 
 
 
 
	
	
	
	a aproximação será 3√x
  ≈
	T1x 
	
	
	a aproximação será 3√x
 ≈
	T2x 
	
	
	a aproximação será  T3x 
	
	
	a aproximação será T2x 
	
	
	a aproximação será 3√x
 ≈
	T3x 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F limitado inferiormente. 
Com relação a noção de ínfimo de um conjunto é somente correto afirmar que 
(I) O ínfimo de A é a maior das cotas inferiores de A.
(II)  x ∈ F é ínfimo de A, se x for uma cota inferior de A,  e se z for uma cota inferior de A então x<=z.
(III) O ínfimo de A sempre pertence ao conjunto A.
	
	
	
	(III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(I)
		4.
		Achar o supremo , caso exista , do conjunto A ={ x∈ R : 3x2 - 10x + 3 < 0}. 
	
	
	
	3
	
	
	- 2
	
	
	1/3
	
	
	- 5
	
	
	4
		5.
		Seja A={x∈Q:x=(−1)nn−1,n∈N}
		O supremo e o ínfimo do conjunto dado A são respectivamente:
	
	
	
	1/2 e -1
	
	
	1 e -1
	
	
	1/2 e 0
	
	
	0 e -1
	
	
	1 e 0
		6.
		Considere os dois conjuntos A={y ∈ Q tal que 0<y<="y<=1}." 
Com relação a estes dois conjuntos e a teoria de cotas superiores, inferiores, supremos e infimos é somente correto afirmar que
(I) SupA=1 e 1∈A
(II) Sup A= Sup B
(III) Inf B=-1 e 1/2 ∈B </y
	
	
	
	(I)
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(III)
		7.
		Determine o supremo do conjunto E = {x∈R;3x2−10x+3<0}
	
	
	Sup E = 1/3
	
	
	Sup E = 2
	
	
	Sup E = 0
	
	
	Sup E = 3 
	
	
	Sup E = 1/2
		8.
		Qual da opções abaixo retrata uma característica que NÃO corresponde ao teorema da convergência para séries de potências:
	
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, com abs(x)<abs(c)< td=""> </abs(c)<>
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, 
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá condicionalmente para todo x, com abs(x)<abs(c)< td=""> </abs(c)<>
	
	
	Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, com abs(x)>abs(c)
	
	
	Se a série diverge para um valor x=d então ela divergirá para todo x, com abs(x)>abs(d)
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
9a aula
	 1a Questão 
	
	
	
	Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[n,+oo[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum. 
		
	
	(II) e (III)
	
	(I), (II) e (III)
	
	(I) e (III)
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Suponha que f(x) possui período 2π
.Determine a série de Fourier da função f(x), onde f(x) é definida por zero se - π
< x < 0 ou
 1 se 0 < x < π
	
	
	A série de Fourier será f(x) = 1/2+2 (sen x+ 1/3 sen (3x)+ ...) 
	
	série de Fourier será f(x) = 1+ 2 (3sen x+ 5 sen (2x)+ ...) 
	
	A série de Fourier será f(x) = 1/2+2/π
	(sen x+ 1/3 sen (3x)+ ...) 
	
	A série de Fourier será f(x) = 3+ (sen 3x+ 7 sen (x)+ ...) 
	
	A série de Fourier será f(x) = 2+5(cos x+ cos (x)+ ...) 
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Desenvolva f(x)= cos x, se 0 < x < p , numa série de Fourier Seno. Como deverá ser definida a função f(x) em x = 0 e x = p para que a série convirja para f(x) em 0 < x < p?
		
	
	f(x)= 8/pi somatório de (sen2n)/(n-1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 4/pi somatório de (nsen2nx)/(4n - 1) ; f(pi) = 0 . 
	
	f(x)= 10/pi somatório de (nsen nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 5/pi somatório de (sen nx)/(2n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	
	f(x)= 8/pi somatório de (nsen2nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 .
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum. 
		
	
	(I) e (II)
	
	(II) e (III)
	
	(I), (II) e (III)
	
	(II)
	
	(I) e (III)
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Seja a função = x2 se 0 < x < 2π
, com f(x+ 2π
) = f(x) para todo x real e sua série de Fourier definida como 
g(x) = (4π2
)/3+ 4∞∑n=1(cos(nx)n2) - (π
	sen nx)/n . 
Analise a convergência em x = 0. 
		
	
	Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π2
	. 
	
	Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π
	. 
	
	Em x = 0 a série de Fourier converge para π2
	. 
	
	Em x = 0 a série de Fourier diverge. 
	
	Em x = 0 a série de Fourier diverge para 2 + π2
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Com relação a celas, é somente correto afirmar que
		
	
	No conjunto {x ∈ R : x>4}, não há uma extremidade definida.
	
	O conjunto { x ∈ R : 3<x<=7} é="" uma="" cela="" semi-aberta="" definida="" por="" 3="" e="" 7.<="" td=""> </x<=7}>
	
	O conjunto { x ∈ R : -5<x<="" td=""> </x
	
	O conjunto{x ∈ R : x<3} é um raio aberto definido por +oo. 
	
	O conjunto { x ∈ R : -2<x<="" td=""> </x
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Considere as afirmações sobre cortes:
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real.
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquerb ∈ B.   
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R.
É somente correto afirmar que   
		
	
	(I) e (III)
	
	(II) e (III)
	
	(I) e (II)
	
	(III)
	
	(I)
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Verifique se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈
	N possui um ponto em comum
		
	
	 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}.
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2}
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3}
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4}
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1}
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
10a aula
	 1a Questão 
	
	
	
	Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}
da figura e as afirmativas
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=S
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}
	Para este conjunto é correto
		
	
	I, II e III. 
	
	I e III apenas. 
	
	I apenas. 
	
	II e III apenas. 
	
	I e II apenas. 
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Seja a Transformada de Laplace L(5+8t3) se t >= 0, onde podemos definir f(t) = 5 + 8t3. Determine a Transformada de Laplace . Lembre-se: L(1) = 1/s e L (t3 ) = 6/s4 . 
		
	
	L(5+8t3) = 5/s + 4/s4 , se s> 0. 
	
	L(5+8t3) = 5/s - 48/s4 , se s> 0. 
	
	L(5+8t3) = 48/s4 , se s> 0. 
	
	L(5+8t3) = 5/s2 - 8/s , se s> 0. 
	
	L(5+8t3) = 5/s , se s> 0. 
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Considere o conjunto S1=[2,4[U[5}⊆R
e as afirmativas abaixo.
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S1=]2,4[
(II) Conjunto dos pontos fronteiros de S: fr(S1)={2,4,5}
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4]
	Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto
		
	
	I somente. 
	
	I e II somente. 
	
	I e III somente. 
	
	I, II e III. 
	
	II e III somente. 
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Seja o Problema de Valor Inicial y(t)- 3y(t)+2y(t)=4 e2t com condições iniciais y(0)=-3 e y (0)=5. 
Encontre a solução do problema sujeito as condições iniciais. 
		
	
	y(t) = -7et + 4 e2t + 4 t e2t 
	
	y(t) = et + e2t + 5t e2t 
	
	y(t) = 3et + 5 e2t + 7 t e2t 
	
	y(t) = -7et + 4 e2t 
	
	y(t) = 4 e2t + 4 t e2t 
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Seja L{4t2 - 3 cos t + 5 e- t} . Determine a Transformação de Laplace. 
		
	
	[8/s3] - [5/(s+1)], s > 0 
	
	[1/s3] - [3s/(s2 + 1)], s > 0 
	
	[8/s3] - [3s/(s2 + 1)] + [5/(s+1)], s > 0 
	
	- [3s/(s2+ 1)] + [5/(s+1)], s > 0 
	
	[8/s3] - [s/(s2 + 1)] + [1/(s+1)], s > 0 
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Seja o conjunto S={(1n,0):n∈N}
	. Considere agora as afirmativas
O interior de S é o conjunto vazio (afirmativa I)
pois 
qualquer vizinhança de um número racional contém números irracionais. (afirmativa II)
		
	
	As duas afirmativas são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira. 
	
	Somente a segunda afirmativa é verdadeira. 
	
	As duas afirmativas são falsas. 
	
	Somente a primeira afitrmativa é verdadeira. 
	
	As duas afirmativas são verdadeiras e a segunda justifica a primeira. 
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}
da figura e as afirmativas
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=S
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}
	Para este conjunto é correto
		
	
	I e III apenas. 
	
	I apenas. 
	
	II e III apenas. 
	
	I e II apenas. 
	
	I, II e III. 
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}
e as afirmativas referentes a ele. 
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}
(II) Conjunto dos pontos fronteira de S:  fr S={(x,y)∈R2:x=y}
(III) Fecho de S:  ¯¯¯S2=S
	Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto
		
	
	I e II somente. 
	
	II e III somente. 
	
	I e III somente. 
	
	I somente. 
	
	I, II e III.