atividade 2 - calculo aplicado com varias variaveis

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· Pergunta 1
0 em 1 pontos
	
	
	
	De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função   e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
 para .
	Resposta Correta:
	 
 na direção de .
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos que o vetor gradiente da função  no ponto P é . Assim, para cada direção fornecida, temos:
- Na direção  (que é um vetor unitário), temos .
- Na direção  (que é um vetor unitário), temos .
- Na direção  (cujo vetor unitário é ), temos .
- Na direção  (cujo vetor unitário é ), temos .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis   temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados   pertencentes ao plano   que satisfazem a lei de formação da função  . Assim, para determinar o domínio da função   precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Resposta Correta:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de  e :
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo, .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
	Resposta Correta:
	 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da função no plano  recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função   no ponto P(-1,1).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: ,  e . Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função   com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à variável  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , ,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de  e  temos .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	As derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis   quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função   com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por  . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função   no ponto   na direção do vetor  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é .
	
	
	
· Pergunta 7
0 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções das variáveis   e  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Já a derivada de   com relação à variável   é obtida por meio da expressão  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação às variáveis   e  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
 e 
	Resposta Correta:
	 
 e 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos as seguintes derivadas:  e . Trocando essas expressões na regra da cadeia, temos:  e .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  . No entanto,   e   são funções de   expressas por   e  . Para se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da regra da cadeia.
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função  , onde   é uma constante dada, considere um gás com o volume de   sob uma pressão de  . O volume está aumentando a uma taxa de   e a pressão está decrescendo a uma taxa de   por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use  ).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
	Resposta Correta:
	 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , ,  e . Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde  e . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente,visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Direção  e taxa mínima de .
	Resposta Correta:
	 
Direção  e taxa mínima de .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
	
	
	
Terça-feira, 14 de Abril de 2020 20h10min28s BRT