EQUAÇÕES 2º GRAU. ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA

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Equações incompletas do segundo grau
Toda equação que pode ser escrita na forma: ax2 + bx + c = 0 é conhecida como equação do segundo grau. As regras para essa definição são apenas que o a seja sempre diferente de zero e que os números representados pelas letras a, b e c – chamados coeficientes – pertençam ao conjunto dos números reais.
Assim, o único coeficiente que necessariamente não pode ser zero é o coeficiente a. Quando um dos outros dois coeficientes é igual a zero (ou ambos), dizemos que a equação do segundo grau é incompleta. 
Exemplo:
x2 = 0 é incompleta, pois b = 0 e c = 0.
x2 – 16 é incompleta, pois b = 0.
x2 + 10x é incompleta, pois c = 0.
A seguir, conheça as técnicas mais conhecidas para resolver equações incompletas do segundo grau.
1º Caso: equação do tipo  .
Exemplo:
· Determine as raízes da equação , sendo .
Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
De modo geral, a equação do tipo  tem para soluções  e  .
Fórmula de Bháskara
A fórmula de Bháskara é a técnica mais usada para resolver equações do segundo grau, pois, por meio dela, é possível resolver qualquer tipo de equação: completa ou incompleta. Desde que a equação seja do segundo grau e esteja escrita exatamente na forma ax2 + bx + c = 0, será possível resolvê-la usando a fórmula de Bháskara.
Essa fórmula geralmente é dividida em duas etapas: calcular o valor do discriminante e, depois, calcular as soluções da equação. Para tanto, basta substituir os valores dos coeficientes na seguinte fórmula:
∆ = b2 – 4ac
Em seguida, basta substituir os valores dos coeficientes e de ∆ na fórmula a seguir:
x = – b ± √∆
      2a
Observe que existe um sinal ± na segunda fórmula. Isso significa que o cálculo deve ser feito duas vezes: a primeira considerando um + (sinal positivo) e a segunda considerando um – (sinal negativo) nessa posição.
Quando C = 0
Quando apenas o coeficiente c é igual a zero, é possível calcular os resultados da equação do segundo grau usando a fórmula de Bháskara, conforme foi dada acima, ou apenas colocando a incógnita em evidência. Na equação x2 + 16x = 0, teremos:
x(x + 16) = 0
O resultado de colocar a incógnita em evidência é um produto no qual um dos fatores é x e o outro é x + 16. Para que esse produto realmente seja igual a zero, como a igualdade garante, deveremos ter apenas:
x = 0 ou x + 16 = 0
No primeiro caso, o resultado já seria zero, o que faz com que x = 0 seja um resultado para essa equação. No segundo, podemos fazer:
x + 16 = 0
x = – 16
Então, as soluções para essa equação são: x = 0 e x = – 16.
Se o coeficiente a for diferente de 1, o uso desse método ficará viável quando toda a equação for dividida pelo valor numérico do coeficiente A.
Quando B = 0
Se apenas o coeficiente b for igual a zero, a equação do segundo grau poderá ser solucionada por meio da fórmula de Bháskara, ou usando conhecimentos básicos de equações. Observe o exemplo: x2 – 25 = 0.
x2 – 25 = 0
x2 = 25
Agora, raiz quadrada em ambos os membros da equação, lembrando que isso resulta em dois valores distintos da raiz de 25: um positivo e outro negativo:
√x2 = ±√25
x = ± 5
Observações: Quando o coeficiente c for positivo, não será possível encontrar soluções reais para a equação em que b = 0, pois o resultado será uma raiz de um número negativo.
Se o coeficiente a for diferente de 1, basta dividir ambos os membros da equação pelo valor numérico de a e simplificar o resultado para prosseguir com os mesmos cálculos feitos aqui.
Quando B = 0 e C = 0 na mesma equação
Quando uma equação possui coeficientes b e c iguais a zero, ela poderá ser resolvida por meio da fórmula de Bháskara, ou é possível assumir que seus dois resultados reais serão iguais a zero. 
Observe: ax2 = 0
Dessa forma, procuramos um número que, elevado ao quadrado e multiplicado pelo coeficiente a, terá zero como resultado. Se esse resultado for qualquer número diferente de zero, o coeficiente a deverá ser zero, e essa não será mais uma equação do segundo grau. Se x for igual a zero, então o problema estará resolvido.
Portanto, as soluções de uma equação na qual b = 0 e c = 0 são zero e zero.
Calculando as raízes da equação x2 + 12x – 13 = 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara, separe os coeficientes da equação e realize o primeiro passo.
a = 1, b = 12 e c = – 13
Δ = b2 – 4ac
Δ = 122 – 4·1·(– 13)
Δ = 144 + 52
Δ = 196
Tendo em mãos o valor de Δ, realize o segundo passo:
x = – b ± √Δ
      2·a
x = – 12 ± √196
      2·1
x = – 12 ± 14
      2
Por fim, realize o terceiro passo para encontrar as raízes da equação do segundo grau.
x' = – 12 + 14
       2
x' = 2
      2
x' = 1
x'' = – 12 – 14
       2
x'' = – 26
       2
x'' = – 13
Portanto, as raízes da equação x2 + 12x – 13 = 0 são 1 e – 13.