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<p>REFORÇO ESCOLAR</p><p>DANIELLE FLAUZINO</p><p>Equações incompletas do segundo grau</p><p>As equações incompletas do segundo grau são aquelas que podem ser escritas na forma ax2 + bx + c = 0, em que b = 0 ou c = 0, ou ambos os coeficientes sejam iguais a zero.</p><p>As equações do segundo grau podem ser resolvidas por Bháskara ou por formas alternativas</p><p>Toda equação que pode ser escrita na forma: ax2 + bx + c = 0 é conhecida como equação do segundo grau. As regras para essa definição são apenas que o a seja sempre diferente de zero e que os números representados pelas letras a, b e c – chamados coeficientes – pertençam ao conjunto dos números reais.</p><p>Assim, o único coeficiente que necessariamente não pode ser zero é o coeficiente a. Quando um dos outros dois coeficientes é igual a zero (ou ambos), dizemos que a equação do segundo grau é incompleta. Exemplo:</p><p>x2 = 0 é incompleta, pois b = 0 e c = 0.</p><p>x2 – 16 é incompleta, pois b = 0.</p><p>x2 + 10x é incompleta, pois c = 0.</p><p>A seguir, conheça as técnicas mais conhecidas para resolver equações incompletas do segundo grau.</p><p>Fórmula de Bháskara</p><p>A fórmula de Bháskara é a técnica mais usada para resolver equações do segundo grau, pois, por meio dela, é possível resolver qualquer tipo de equação: completa ou incompleta. Desde que a equação seja do segundo grau e esteja escrita exatamente na forma ax2 + bx + c = 0, será possível resolvê-la usando a fórmula de Bháskara.</p><p>Essa fórmula geralmente é dividida em duas etapas: calcular o valor do discriminante e, depois, calcular as soluções da equação. Para tanto, basta substituir os valores dos coeficientes na seguinte fórmula:</p><p>∆ = b2 – 4ac</p><p>Em seguida, basta substituir os valores dos coeficientes e de ∆ na fórmula a seguir:</p><p>x = – b ± √∆</p><p>2a</p><p>Observe que existe um sinal ± na segunda fórmula. Isso significa que o cálculo deve ser feito duas vezes: a primeira considerando um + (sinal positivo) e a segunda considerando um – (sinal negativo) nessa posição.</p><p>Quando C = 0</p><p>Quando apenas o coeficiente c é igual a zero, é possível calcular os resultados da equação do segundo grau usando a fórmula de Bháskara, conforme foi dada acima, ou apenas colocando a incógnita em evidência. Na equação x2 + 16x = 0, teremos:</p><p>x(x + 16) = 0</p><p>O resultado de colocar a incógnita em evidência é um produto no qual um dos fatores é x e o outro é x + 16. Para que esse produto realmente seja igual a zero, como a igualdade garante, deveremos ter apenas:</p><p>Não pare agora... 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Observe o exemplo: x2 – 25 = 0.</p><p>x2 – 25 = 0</p><p>x2 = 25</p><p>Agora, faça raiz quadrada em ambos os membros da equação, lembrando que isso resulta em dois valores distintos da raiz de 25: um positivo e outro negativo:</p><p>√x2 = ±√25</p><p>x = ± 5</p><p>Observações: Quando o coeficiente c for positivo, não será possível encontrar soluções reais para a equação em que b = 0, pois o resultado será uma raiz de um número negativo.</p><p>Se o coeficiente a for diferente de 1, basta dividir ambos os membros da equação pelo valor numérico de a e simplificar o resultado para prosseguir com os mesmos cálculos feitos aqui.</p><p>Quando B = 0 e C = 0 na mesma equação</p><p>Quando uma equação possui coeficientes b e c iguais a zero, ela poderá ser resolvida por meio da fórmula de Bháskara, ou é possível assumir que seus dois resultados reais serão iguais a zero. Observe:</p><p>ax2 = 0</p><p>Dessa forma, procuramos um número que, elevado ao quadrado e multiplicado pelo coeficiente a, terá zero como resultado. Se esse resultado for qualquer número diferente de zero, o coeficiente a deverá ser zero, e essa não será mais uma equação do segundo grau. Se x for igual a zero, então o problema estará resolvido.</p><p>Portanto, as soluções de uma equação na qual b = 0 e c = 0 são zero e zero.</p><p>Exercícios sobre Equação Incompleta do 2° Grau</p><p>Questão 1</p><p>Resolva a equação incompleta do 2° grau a seguir sem utilizar a fórmula de Bhaskara:</p><p>5x² – 3125 = 0</p><p>Questão 2</p><p>Resolva a equação incompleta do 2° grau apresentada a seguir de duas maneiras diferentes: uma resolução sem a fórmula de Bhaskara e outra através dela.</p><p>9x² – 3x = 0</p><p>Questão 3</p><p>Dada a equação do 2º grau a seguir, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é igual a:</p><p>2x² – 8 = 0</p><p>A) S = {-2, 2}</p><p>B) S = {-4, 4}</p><p>C) S = {-1, 1}</p><p>D) S = {0, 4}</p><p>E) S = {0, 2}</p><p>Questão 4</p><p>Ao fazer o lançamento de um móvel, o físico descreveu que a relação entre distância e altura pode ser dada pela função d(t) = -4t² + 24t. Sendo assim, sabendo que ele parte da distância zero, a distância percorrida por esse móvel até atingir d(t) = 0 novamente será de:</p><p>A) 2 segundos</p><p>B) 3 segundos</p><p>C) 4 segundos</p><p>D) 5 segundos</p><p>E) 6 segundos</p><p>Questão 5</p><p>Analise as expressões algébricas a seguir e marque a alternativa que corresponde a uma equação do 2º grau incompleta.</p><p>A) 2x² + 4x = 2</p><p>B) 3x² > 0</p><p>C) x² – 8x + 1 = 0</p><p>D) x² – 3x + 4 = 4</p><p>E) x² + 1 > x</p><p>Questão 6</p><p>Uma equação do 2º grau é considerada incompleta quando</p><p>A) possui uma única solução.</p><p>B) os coeficientes b ou c são iguais a zero.</p><p>C) não possui soluções reais.</p><p>D) possui coeficientes negativos.</p><p>Questão 7</p><p>Dada a equação x² – 25 = 0, com soluções no conjunto dos números reais, julgue as afirmativas a seguir:</p><p>I → A soma das soluções da equação é igual a zero.</p><p>II → O conjunto de soluções é S{-5, 5}.</p><p>III → Essa equação é incompleta.</p><p>A) Somente I é falsa.</p><p>B) Somente II é falsa.</p><p>C) Somente III é falsa.</p><p>D) Todas são verdadeiras.</p><p>E) Todas são falsas.</p><p>Respostas EQUAÇÕES DO 2 GRAU INCOMPLETAS</p><p>Resposta Questão 1</p><p>Essa é uma equação do 2° grau porque apresenta x² e é incompleta porque o coeficiente b é nulo. Para resolver essa equação sem aplicar a fórmula de Bhaskara, devemos levar o coeficiente c para o segundo membro da equação:</p><p>5x² – 3125 = 0</p><p>5x² = 3125</p><p>x² = 3125</p><p>5</p><p>x² = 625</p><p>x = √625</p><p>x1 = 25</p><p>x2 = – 25</p><p>Portanto, as raízes da equação 5x² – 3125 = 0 são x1 = 25 e x2 = – 25.</p><p>Resposta Questão 2</p><p>Primeiramente vamos resolver a equação incompleta do 2° grau sem utilizar a fórmula de Bhaskara. Para tanto, colocaremos o x em evidência:</p><p>9x² – 3x = 0</p><p>x • (9x – 3) = 0</p><p>Podemos colocar o 3 em evidência também:</p><p>3x • (3x – 1) = 0</p><p>Como o produto entre 3x e 3x – 1 resulta em zero, devemos igualar esses dois termos a zero:</p><p>3x = 0</p><p>x1 = 0</p><p>3x – 1 = 0</p><p>3x = 1</p><p>x2 = 1/3</p><p>Vamos agora resolver a equação através da fórmula de Bhaskara. Os coeficientes da equação são a = 9, b = – 3 e c = 0.</p><p>Δ = (– 3)² – 4.9.0</p><p>Δ = 9 + 0</p><p>Δ = 9</p><p>x = – (– 3) ± √9</p><p>2.9</p><p>x = 3 ± 3</p><p>18</p><p>x' = 3 – 3 = 0 = 0</p><p>18     18</p><p>x'' = 3 + 3 = 6 = 1</p><p>18     18   3</p><p>Portanto, através de duas resoluções distintas, obtivemos que as raízes da equação 9x² – 3x = 0 são x1 = 0 e x2 = 1/3.</p><p>Questão 3</p><p>Alternativa A</p><p>Isolando a incógnita x, temos que:</p><p>2x² = 8</p><p>x² = 8 : 2</p><p>x² = 4</p><p>x = ±√4</p><p>x = ±2</p><p>Questão 4</p><p>Alternativa E</p><p>Queremos encontrar o valor de t, tal que -4t² + 24t = 0.</p><p>Colocando t em evidência, temos que:</p><p>t (-4t + 24) = 0</p><p>Sabemos que t = 0 é uma das soluções, mas não é a procurada. Então, além de t = 0, temos que:</p><p>-4t + 24 = 0</p><p>-4t = -24</p><p>t = -24 : (-4)</p><p>t = 6 segundos</p><p>Questão 5</p><p>Alternativa D</p><p>A única alternativa que contém uma equação incompleta é a alternativa D, pois é possível simplificar a expressão:</p><p>x² – 3x + 4 = 4</p><p>x² – 3x + 4 – 4 = 0</p><p>x² – 3x = 0</p><p>Questão 6</p><p>Alternativa B</p><p>Para que uma equação do 2º grau seja considerada incompleta, é necessário que um de seus coeficientes, b ou c, ou os dois ao mesmo tempo, seja igual a zero.</p><p>Questão 7</p><p>Alternativa D</p><p>Resolvendo a equação, temos que:</p><p>x² – 25 = 0</p><p>x² = 25</p><p>x = ±√25</p><p>x = ±5</p><p>Agora vejamos cada uma das afirmativas:</p><p>I → A soma das soluções da equação é igual</p><p>a zero. (verdadeira)</p><p>-5 + 5 = 0</p><p>II → O conjunto de soluções é S{-5, 5}. (verdadeira)</p><p>As possíveis soluções são -5 e 5.</p><p>III → Essa equação é incompleta. (verdadeira)</p><p>Temos b = 0, logo, essa equação é iNCOMPLETA</p><p>image1.jpeg</p>