24_Conicas

Prévia do material em texto

Seções Cônicas 
Álgebra Linear e a Geometria 
Analítica 
Corte que gera uma Circunferência 
Cortes no cone 
Definição: 
A elipse é a curva que 
se obtém cortando um 
cone com um plano que 
não passa pelo vértice, 
também não é paralelo 
a reta geratriz do cone 
e que corta apenas uma 
das folhas da superfície. 
Elipse 
Uma elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) do 
plano, tais que a soma das distâncias de P a dois 
pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, isto é, se 
calculamos dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o 
conjunto dos pontos P = (x, y) tais que 
 
dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, 
 
em que a > c. 
Elipse 
Elementos da Elipse: 
 
F1, F2: focos. A distância entre os 
Focos F1 e F2, igual a 2c, denomina-
se distância focal. 
O: centro da elipse; é o ponto médio 
do segmento F1, F2. 
A1, A2, B1, B2: vértices da elipse. 
Eixo maior: é o segmento A1A2 e cujo 
comprimento é 2a. 
Eixo menor: é o segmento B1B2 e 
cujo comprimento é 2b. 
 
Do triângulo retângulo B2OF2 
hachurado na figura, obtemos a 
relação notável: 222 cba 
Elipse 
1. A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não 
considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-
1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-
eixos são: 
 a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. 
 Calcule a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma 
circunferência) 
 
– O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), 
que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, 
respectivamente. 
– Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a 
forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse. 
 
2. Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção 
de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) 
Elipse 
3. Em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia. 
 
4. Conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na 
teoria de correntes elétricas estacionárias. 
 
5. Na Mecânica são usadas engrenagens elípticas. 
 
6. Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade 
nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na 
região intermediária aos dois focos. 
 
7. O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A 
planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e a menor 156 
m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por 
Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de 
tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. 
Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da 
luta e proferiam em alto e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve, 
César, os que vão morrer te saúdam). 
Elipse 
Exercícios de elipse 
• Desenhe o lugar geométrico que satisfaz 
 
• Determine a equação da elipse com um 
foco em (2,3), o vértice correspondente é 
(2,5) e o centro está sobre o eixo X. 
• Determine a elipse com centro em (-2,3) e 
as distâncias de um foco aos vértices são 
1 e 9. O eixo maior é paralelo ao eixo X. 
11191625128150 22  yxyx
Definição: 
 
A parábola (do grego 
παραβολή) é uma seção 
cônica gerada pela 
intersecção de uma superfície 
cônica de segundo grau e um 
plano que é paralelo a linha 
geratriz (que gera) do cone. 
Parábola 
Uma parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) 
do plano, equidistantes de uma reta L (diretriz) e 
de um ponto fixo F (foco), não pertencente a L, 
ou seja, a parábola é o conjunto dos pontos P = 
(x, y), tais que: 
 
 dist(P, F) = dist(P, L) 
Parábola 
Elementos da Parábola: 
 
F: foco 
D: diretriz 
V: vértice 
p: parâmetro, que representa a 
distância do foco à diretriz reta VF: 
eixo de simetria da parábola. 
 
LATUS RECTUM: é a corda AA’ que 
passa pelo foco e é perpendicular ao 
eixo de simetria. Também chamada de 
corda focal mínima. 
O seu comprimento é 4p. 
A 
A’ 
Parábola 
Aplicações práticas de Parábola 
 
• A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola 
(a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no 
foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre 
a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas 
paralelas ao eixo da parábola. 
• Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz 
(paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto 
(foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, 
procede o nome foco (em latim focus significa fogo). 
 Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para 
telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as onda 
paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem 
para o retransmissor). 
Parábola 
O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma 
parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se 
negligenciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse 
uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento. Na prática, 
sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos 
assumem a forma de uma curva muito próxima de uma parábola. 
Tal curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA. 
 
Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma 
viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola. 
 
Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a 
força da gravidade, a trajetória é uma parábola. 
 
Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. 
Aplicando-se o movimento de rotação no eixo do cilindro, a secção 
(ou seção) da superfície é uma parábola. 
Parábola 
Exercícios de parábola 
• O lado reto de uma parábola mede 8 u. 
Seu foco é (0,3) e seu eixo coincide com o 
eixo Y. Determine a parábola. 
• Um ponto de uma parábola é (-5,4) e seu 
vértice é (2,-1), se seu eixo é paralelo ao 
eixo Y determine a equação da parábola. 
• Determine os elementos da parábola que 
passa pelos pontos (7,8) e (2,-2) e a sua 
diretriz é a reta x=-3. 
• Definição: 
A hipérbole é a curva 
(intersecção) obtida ao 
cortar um cone com um 
plano que não passa pelo 
vértice, não é paralelo a 
reta geratriz do cone e 
que corta as duas folhas 
da superfície. 
 
Hipérbole 
Uma hipérbole é o conjunto dos pontos 
P = (x, y) 
do plano, tais que o módulo da diferença entre as 
distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é 
constante, isto é, se dist(F1, F2) = 2c, então a 
hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que 
 
|dist(P,F1) – dist(P, F2)| = 2a, 
 
em que a < c. 
Hipérbole 
Elementos da Hipérbole: 
 
F1, F2: focos. A distância entre os focos 
F1, F2, igual a 2c, denomina-se distância 
focal. 
O: centro da Hipérbole; é o ponto médio 
do segmento F1, F2. 
A1, A2: vérices da Hipérbole. 
Eixo real ou transversal: é o segmento 
A1, A2 e cujo comprimento é 2a. 
Eixo imaginário ou conjugado: é o 
segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b. 
 
Do triângulo B2OA2, hachurado na figura, 
obtemos a relação notável: 222 bac 
Hipérbole 
Hipérbole com focos nos pontos F1 = ( - c; 0) e F2 = (c; 0) 
Hipérbole 
 Aplicações práticas de Hipérbole: 
• Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma 
órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). 
• Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo 
estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de 
mesmo foco). 
• O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de 
navegação aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são 
transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados 
pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A 
diferença entre t1 e t2 determina 2a (constante)e assim obtêm a 
característica da hipérbole na qual está P. 
• Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O 
sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de 
ondas contínuas para observações de grande precisão). 
Hipérbole 
Exercícios 
• Os vértices de uma hipérbole são e 
os focos são . Desenhe e determine 
os elementos da hipérbole. 
• Uma hipérbole tem vértices em e as 
equações das assíntotas são . 
Desenhe e determine sua equação. 
• Desenhe e determine os elementos da 
hipérbole 
)3,0( 
)5,0( 
)0,3(
xy 
01447296916 22  yxyx
Equações Canônicas 
• Parábola 
 
• Elipse 
 
• Hipérbole 
 
 
– Assíntotas: 
onde: 
222 bca 12
2
2
2

b
y
a
x
pyx 42 
222 bac 1
2
2
2
2

b
y
a
x
onde: 
x
a
b
y  x
a
b
y 
Definição: Todas as cônicas não degeneradas, com 
exceção da circunferência, podem ser descritas de uma 
mesma maneira. 
Caracterização das Cônicas 
Proposição 1. Seja L uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) não 
pertencente a L. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que 
 dist(P, F) = e dist(P, L) 
em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica. 
 
(a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola. 
(b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse. 
(c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole. 
 
Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser 
descrita por uma equação da forma. 
Quanto mais próximo de 0 for o valor de e, mais a elipse 
se aproxima de uma circunferência. Por outro lado, 
quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de e se 
aproxima de 1. 
 
Exemplo: 
Elipse 
Excentricidade de uma cônica: 
 
Para uma cônica se define o parâmetro excentricidade como o desvio da 
cônica em relação a uma circunferência. 
 
Assim, a excentricidade de uma elipse ou hipérbole é calculada com a 
fórmula: 
 
 
 
A excentricidade de uma parábola é: 
 
a
c

.1
Exercício com trabalho quase completo da álgebra linear: 
 
Identifique, escreva na forma canônica, e determine o centro da cônica: 
 
 
 
Autovalores 𝜆1 = 5 e 𝜆2 = 10. 
 
Autovetores 𝑣1 =
1
5
2,1 e 𝑣2 =
1
5
−1,2 . 
 
Complementando quadrados chegamos em 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 = 𝟖𝟏 
 
Utilizando a mudança total 𝑋 =
1
5
2 1
−1 2
𝑋 −
8
3
 
 
Para calcular o centro 𝑋 =
0
0
=
1
5
2 1
−1 2
𝑋 −
8
3
 
 
8
3
=
1
5
2 1
−1 2
𝑋 resolvendo 𝐶 =
√5
5
13,14 . 
5)2(520496 22  yxxyyx
Exercícios sugeridos 
• Complete quadrados, para uma mudança de 
translação: 
a) 
b) 
 
a) 
𝑥2
21
12
+
𝑦−
1
4
2
21
16
= 1 
b) 𝑦2 = 7 𝑥 −
5
7
 
031521
5423
2
22


yx
yyx
Resolver 
• Determine o centro, vértices e focos da 
cônica: 
 
 
a) 𝜆1 = 5 e 𝜆2 = −3. 𝑣1 =
1
2
1,1 e 𝑣2 =
1
2
−1,1 . 
b) 𝜆1 = −4 e 𝜆2 = 1. 𝑣1 =
1
5
−2,1 e 𝑣2 =
1
5
1,2 . 
c) Idem ao b), mas deve fazer completação de quadrados. 
234 )
234 )
158 a)
2
2
22



yxxxyc
xxyb
xyyx
Resolver 
• Exemplo que envolve forma quadrática, 
linear e constante completa: 
– Identifique o(s) vértice(s) da cônica: 
4𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 56𝑥 − 58𝑦 = 5 
 
𝜆1 = 20 e 𝜆2 = −5. 𝑣1 =
1
5
−3,4 e 𝑣2 =
1
5
4,3 . 
Resposta: 
 





 











5
19
,
5
8
5
3
,
5
4
21
16
)1(
4
)2(
121645585611244
21
22
2222
VVa
yx
yyxxyxyxyx
Referências 
1. STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica / 
Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. - 2.ª edição – 
São Paulo, McGraw-Hill, 1987. 
2. DANTE, Luis Roberto. Matemática – Contexto & 
Aplicações – Volume Único. 1.ª edição – São Paulo, 
Ática, 2003. 
3. http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf 
4. www.geometriaanalitica.com.br 
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf
http://www.geometriaanalitica.com.br/