Lista de Análise no Rn

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Lista de Análise no Rn
Marta de Fátima Severiano de Oliveira
March 2020
1 Exerćıcios – Topologia no Espaço Euclidiano
1.1 Grupo 01
01- Mostre que todo subespaço vetorial E ⊂ Rn é um conjunto fechado.
Além disso, se E 6= Rn, então Rn − E = Rn.
02- Diz-se que uma transformação linear T : Rn → Rn preserva normas se
|T (x)| = |x|, e que preserva o produto interno se < T (x), T (y) >=< x, y >.
03- Se T : Rm → Rn for uma transformação linear, demonstre a existência
de um númeroM para o qual |T (h)| ≤M(h), para qualquer h ∈ Rm. Sugestão:
Obtenha uma estimativa para |T (h)| em função de |h| e dos elementos da matriz
associada a T .
04- Se c ∈ [a, b], então |b − a| = |b − c| + |c − a|. Se a norma provém de
um produto interno, vale a rećıproca. Para uma norma arbitrária pode-se ter a
igualdade acima com c 6∈ [a, b].
05- Se a norma proveniente de um produto interno e a 6= bem Rn são tais
que |a| ≤ r e |b| ≤ r então |(1 − t)a + tb| < r para todo t ∈ (0, 1). (Ou seja, a
esfera não contém segmentos de reta).
06- Seja C ∈ Rn um conjunto convexo. Fixado p ∈ Rn, seja φ : C → R
a função definida por φ(x) = |x − p| =
√
< x− p, x− p >. Existe no máximo
a ∈ C tal que φ(a) = inf{φ(x), x ∈ C}.
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07- O cone C = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥ 0, x2 + y2 − z2 = 0} é homeomorfo a
R2.
08- Estabeleça um homeomorfismo entre Rn+1 − {0} e Sn ×R.
09- Para cada c > 0, a hiperboloide de revolução
H = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = c}
é homeomorfo a S1 ×R.
10- Se um aberto A contém pontos do fecho de X então A contém pontos de
X.
11- Um conjunto A ⊂ Rn é aberto se e somente se A ∩X ⊂ A ∩X para todo
X ⊂ Rn.
12- Todo conjunto fechado enumerável possui algum ponto isolado.
13- Um subconjunto conexo não-vazio X ⊂ Qn consta de um único ponto.
14- O conjunto de matrizes invert́ıveis n× n é um aberto desconexo em Rn2 .
Também é, desconexo, mas não aberto, o conjunto das matrizes ortogonais.
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1.2 Grupo 02
01- Demonstre que a união de qualquer coleção ainda que infinita de
conjuntos abertos é um aberto. Prove também que a intersecção de dois
abertos formam um aberto e, consequentemente, o mesmo vale para uma
intersecção finita de abertos. Construa um contra-exemplo para o caso de uma
coleção infinita de abertas.
02- Considere uma famı́lia de intervalos (ai, bi) ⊂ (0, 1) com a propriedade de
que qualquer racional em (0, 1) pertence a pelo menos um desses intervalos.
Então o conjunto A = ∪i(ai, bi) tem fronteira [0, 1].
03- Sendo A um conjunto fechado que contém qualquer número racional
r ∈ [0, 1], então [0, 1] ⊂ A.
04- Se existirem sequências de pontos xk, yk ∈ Rn com limxk = a, lim yk = b e
|yk − a| < r < |xk − b| para todo k ∈ N , então |a− b| = r.
05- As seguintes afirmações a respeito de uma sequência (xk) de pontos de R
n
são equivalentes:
(a) limk→∞ |xk| = +∞; (b) (xk) não possui subsequência convergente; (c) Para
todo conjunto limitado L ⊂ Rn, o conjunto dos ı́ndices k tais que xk ∈ L é
finito.
06- Se b ∈ B(a; r) ⊂ Rn e lim xk = b então existe k0 ∈ N tal que
k > k0 −→ xk ∈ B(a; r).
07- Defina convergência e convergência absoluta de uma série
∑
xk cujos
termos xk = (xk1 , . . . , xkn) pertencem a R
n . Prove que a série
∑
xk converge
(respectivamente converge absolutamente) se e somente se, para cada
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i = 1, . . . , n a série
∑
k xki converge (converge absolutamente). Conclua que
toda série absolutamente convergente é convergente.
08- Prove que lim xk = a em R
n se, e somente se, lim < xk, y >=< a, y >
para todo y ∈ Rn.
09- Estabeleça um homeomorfismo entre os conjuntos
X = {x ∈ Rn; 0 < |x| < 1} (bola unitária fechada menos a origem) e
Y = {y ∈ Rn : |y| ≥ 1} (complementar da bola unitária aberta).
10- Um conjunto a ∈ X é aberto em X se, e somente se, é um ponto isolado de
X. Consequentemente, um conjunto X ⊂ Rn é discreto se, e somente se, é um
ponto isolado de X. Consequentemente, um conjunto A ⊂ X é aberto em X.
11- Seja h : X → Y um homeomorfismo. Um conjunto A ⊂ X é aberto se, e
somente se, h(A) é aberto em Y .
12- Toda coleção de abertos não-vazios, dois a dois conjuntos disjuntos, é
enumerável.
13- Dê exemplos de conjuntos X,Y ⊂ R2, tais que as projeções de X sobre os
eixos são subconjuntos abertos de R, as de Y são fechadas, mas nem X é
aberto em R2, nem Y é fechado.
14- O conjunto dos valores de aderência de uma sequência limitada é um
conjunto compacto não-vazio.
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1.3 Grupo 03
01- Seja f : R2 → R cont́ınua. Prove que f não é injetiva.
02- Prove que toda cobertura aberta K ⊂ ∪λ∈LAλ de um conjunto K ⊂ Rn
possui um número de Lebesgue.
03- Mostre que um conjunto K ⊂ Rm é compacto se, e somente se, toda
função cont́ınua f : K → R é limitada.
04- Seja f : X → Rn cont́ınua. Dada uma sequência de pontos xk ∈ X com
lim xk = a ∈ X e |f(xk)| ≤ c para todo k ∈ N então |f(a)| ≤ c.
05- Sejam f, g : X → Rn cont́ınuas no ponto a ∈ X. Se f(a) 6= g(a) então
existe uma bola B de centro a tal que x, y ∈ B −→ f(x) 6= g(y).
06- Seja f : X → R cont́ınua no ponto a ∈ X. Se f(a) > 0 então existe δ > 0
tal que x ∈ X, |x− a| < δ −→ f(x) > 0.
07- Seja B a bola aberta de centro na origem e raio 1 em Rn. A aplicação
f : B → Rn definida por
f(x) = x1− |x|,
não é uniformemente cont́ınua.
08- (Teorema de Baire) Sejam F1, F2, ..., Fi, ... conjuntos fechados com
interior vazio em Rn. Então
F = F1 ∪ F2 ∪ ...
tem interior vazio. Conclua que se A1, A2, ..., Ai, ..., são abertos densos em
Rn então
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A = A1 ∩A2 ∩ ...
é denso em Rn.
09- As matrizes ortogonais n× n formam um subconjunto compacto de Rn2 .
10- Seja X ⊂ Rm. Uma aplicação limitada φ : X → Rm é cont́ınua se, e
somente se, seu gráfico é um subconjunto fechado de X ×Rn.
11- Seja f : R×R→ R a função cont́ınua definida por
f(x, y) = (x2 + y2)(1− xy).
Para cada x ∈ R existe um único y ∈ R tal que f(x, y) = 0, mas tal y não
depende continuamente de x.
12- O fecho de um conjunto conexo por caminhos não pode ser conexo por
caminhos.
13- A reunião de uma famı́lia de conjuntos conexos por caminhos com um
ponto em comum é conexo por caminhos.
14- Seja B uma bola (fechada ou aberta) em Rn, comn ≥ 2. Para todo x ∈ B,
conjunto B − x é conexo.
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