Sistema_Linear_Cálculo_Numérico

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Trabalho Computacional 2 
Parte 1 – Sistemas Lineares 
 
1) Pesquisar os critérios de convergência do Método de Gauss-Seidel. 
 Se a matriz A do sistema Ax=b for estrtamente diagonalmente dominante, 
então o método iterativo de Gauss-Seidel é convergente para a solução do 
sistema dado, pois temos β < 1. 
 Onde βi é uma constante definida pelas seguintes fórmulas de 
recorrência: 
ℎ 𝛽 + ℎ 𝑖 = 1, … , 𝑛 
E seja 
𝛽 = 𝑚á𝑥 𝛽 
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 
 Então, se β < 1, a sequência x(k), gerada pelo método iterativo de Gauss-
Seidel, concerse para a solução x do sistema dado. 
 
2) Escolher um sistema de ordem 4, resolver, mostrando por quais 
critérios o sistema converge, utilizando o Método de Gauss-Seidel. 
Considerando o seguinte sistema linear: 
5 1 1 1
1 −6 1 1
1 1 8 1
1 1 2 7
 
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
= 
4
7
7
−5
 
Resolvendo com Método de Gauss-Seidel, utilizando x(0) = (0, 0, 0, 0)T e com 
precisão de 0,1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: x = (1,0023; -1,0010; 0,9997; -1,0001) 
 
3) Escolher uma aplicação que recaia num sistema e resolver (por 
qualquer um dos métodos). 
 
Considerando o seguinte circuito elétrico: 
 
Considerando: 
 
a) R1= 1; R2= 2; R3= 1; R4= 3; R5= 5; R6= 2; R7= 6; R8= 1; R9= 2; R10= 3; R11= 8; 
R12= 8; VA = 100; VB= 0. 
 
b) A corrente elétrica de um nó p para um nó q é dada por: 
𝐼 =
(𝑉 − 𝑉 )
𝑅
 
Em que VP e Vq são as vontagens (Volts) nos nós p e q, respectivamente, e Rpq 
(Ohms) é a resistência existente entre os nós p e q. 
 
c) Lei de Kirchhoff – a soma algébrica das correntes em cada nó é zero. 
 
Determinando as voltagens nós 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 
 
Lei de Kirchhoff para o nó 1: IA1 + I21 + I81 = 0, de acordo com b). 
𝐼 = 
𝑉 − 𝑉
𝑅
 
Fazendo este procedimento para todos os nós temos o segunte sistema de 
equações lineares, cujas incógnitas são as voltagens no circuito elétrico, V1, V2, 
..., V8 como segue: 
 
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
17 −5 0 0 0 0 0 −2
1 −4 2 0 0 0 1 0
0 6 −9 2 0 1 0 0
0 0 −1 −4 3 0 0 0
0 0 0 8 −9 1 0 0
0 0 4 0 3 −10 3 0
0 12 0 0 0 3 −23 8
6 0 0 0 0 0 10 −31⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
= 
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
1000
0
0
0
0
0
0
0 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
 
 
Resolvendo no software numérico, utilizando o métodode Gauss-Jordan: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então a solução do problema: 
V1= 82,9622; V2= 68,4414; V3= 67,4734; V4= 66,5053; V5= 66,1826; V7= 55,8567; 
V8= 34,0755 
 
Parte 2 – Interpolação e Ajuste de Curvas 
 
1) De um automóvel percorrendo um trajeto em linha reta foi cronometrada 
a distância percorrida em diversos momentos, conferme a tabela dada: 
Tempo (min) 0 10 20 30 
Distância 
(Km) 
0 20,56 30,67 67,78 
Usando interpolação, determinar a distância percorrida 15,6 minutos 
depois da partida. 
 
Escolhendo os três pontos mais próximos do ponto a ser interpolado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distância percorrida pelo carro após 15,6 min foi de 27,5090 metros. 
 
 
2) Em um experimento foram obtidos os seguintes dados: 
xi 0 1 2 3 4 
f(xi) 0,01 1,01 1,40 3,81 4,01 
 
a) Determinar a reta que melhor se ajusta aos dados da tabela, usando o 
método dos mínimos quadrados, com o auxílio do Software Numérico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devido ao grande erro apresentado, escolheu-se os três pontos que estavam 
mais coerrentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realizou-se também a resolução no Software Excel, com os cinco pontos para 
confirmação devido ao grande erro apresentado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como pode-se notar o valor de R2 é distante de 1, ou seja, esses pontos não 
representam muito bem a reta. 
 
3) A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os 
valores da tabela abaixo, determinar o valor aproximado da velocidade do 
som na água a 100°C. 
 
Temperatura (°C) Velocidade (m/s) 
93,3 1548 
98,9 1544 
104,5 1538 
110,0 1532 
 
Escolhendo os três pontos mais próximos do valor a ser interpolado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo o Método de Lagrange para realizar a interpolação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso têm-se que a velocidade do som na temperatura de 100°C é de 
1542,9793 m s-1. 
 
4) Seja a tabela abaixo contendoo tempo de germinação de sementes (dias) 
em função da temperatura média do solo (°C) para doze locais de plantio: 
 
Temperatura (°C) Germinação (dias) 
14 10 
6 26 
3 41 
6 29 
7 27 
6 27 
4 28 
8 19 
7 31 
6 29 
4 33 
Determinar a relação entre a temperatura e o tempo de germinação das 
sementes. 
 
Fez-se uma média entre os pontos que tinham o mesmo valor de temperatura, 
para que se adequasem melhor com o comportamento de uma função 
exponencial, visto que a variação do tempo de germinação com a temperatura 
tem um comportamento exponencial. 
 
 
 
5) Seja f(x) = 2ex + 3 definida no intervalo [0,2]. 
 
a) Aproxime f(0,35) utilizando interpolação linear com x0=0 e x1 = 0,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Aproxime f(0,85) utilizando interpolação linear com x0=0,5 e x1 = 1,0. 
 
 
 
 
 
c) Aproxime f(0,35) e f(0,85) utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange 
de grau 2, com os pontos x0 = 0; x1 = 1; x2 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? 
Justifique suas afirmações. 
 
 Comparando os dados reais com os aproximado pelos métodos têm-se a 
seguinte tabela: 
 
 
 Com isso notou-se que a interpolação linear no ponto 0,35 apresentou o 
menor erro absoluto, bem como quando comparado a fórmula de Lagrange de 
grau 2 com a interpolação do tipo linear, obteve-se o menor erro no tipo de 
interpolção linear. 
Aproximação Tipo de interpolação Real Aproximado Erro
f(0,35) Linear 5,838135097 5,9082 0,0120
f(0,85) Linear 7,679293704 7,7948 0,0150
f(0,35) Fórmula de Lagrange de grau 2 5,838135097 5,5311 0,052591297
f(0,85) Fórmula de Lagrange de grau 2 7,679293704 7,5447 0,017526834