Equações de clairaut

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Alunas: Thays Vieira, Cintia, Morgana, Juliana, Margarete Gonçalves e Victoria
Sendo essa ultima solução singular, se f”(t) = 0, ela não pode ser obtida da família de soluções
y = cx + f(c)
Exemplo: 
Resolva: y = xy’ + ½ (y’) 2
 
Identificar f(y’)  f(y’) = ½ (y’) 2
Considerar que y’ = dy/dx = t
Substituindo t em f(y’) = ½ (y’)2 teremos f(y) = ½ t2 
Como f’(t) = t, solução singular.
Agora montamos a solução em forma paramétrica
Temos, 
y = cx + ½ c2  família de solução
 x = -t, 
y = ½ t2 – t x t
y = - ½ t2 
Depois de eliminarmos o paramêtros, vemos que a ultima solução é:
y = - ½ x2 
Exercício a: 
 y = xy’ + 1- Ln (y’)
Resolução: 
f(t) = 1 – Ln(y’)
f’(t) = - 1/t
y = cx + 1 – Ln c  família de soluções
x = 1/t
y = 2 – Ln 1/x  y = 2 + Ln x
 
Exercício b:
y = xy’ + (y’) -2
f(t) = t -2  f ’(t) = - t -1  f ’ (t) 
1ª - Reorganizar na forma geral: y = - (dy/dx)2 + x dy/dx 
2º - Identificar f(y’) e y = f(t) – t f’(t)
f(y’) = - (dy/dx)2 ; Chamamos: dy/dx = t 
 f(t) = - t2 
- f’(t) = x
Resolvendo: 
f’(t) = -2t  x =2t  t = x/2
	Substituindo os dados na fórmula: 
 y = f(t) – t f’(t)
Resolvendo:
y = -t2 – t.(-2t)  y = -t2 + 2t2  y = t2 
y = (x/2) 2
Solução: 
 y = x2/4