Lista 2

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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
CET059 – Cálculo Numérico 2018.1
Professora.: Julianna Pinele
Lista de Exerćıcios 2
Questão 1. Localize graficamente as ráızes das equações a seguir:
a) 4 cos(x)− e2x = 0
b) x2 − tg(x) = 0
c) 1− xln(x) = 0
d) 2x − 3x = 0
e) x3 + x− 1000 = 0
Questão 2. Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que, em cada caso, a
raiz está no intervalo [0.5, 1]
a) x2 + lnx = 0
b) xex − 1 = 0
Determine essas ráızes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bissecção.
Questão 3. Aplique o método da bissecção para resolver:
a) ex − 3x = 0
b) x3 + cosx = 0
com precisão � = 10−2, obtendo o intervalo inicial graficamente.
Questão 4. Qual o número mı́nimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da
bissecção para satisfazer o critério de parada: b−a < �, supondo que � = 10−4 e que o intervalo inicial
tem amplitude 1?
Questão 5. Usando manipulações algébricas, mostre que cada uma das funções a seguir são funções
de iteração para a função
f(x) = x4 + 2x2 − x− 3
a) ϕ1(x) = (3 + x− 2x2)1/4
b) ϕ2(x) =
(
x+ 3− x4
2
)1/2
c) ϕ3(x) =
(
x+ 3
x2 + 2
)1/2
d) ϕ4(x) =
3x4 + 2x2 + 3
4x3 + 4x− 1
1
Questão 6. A equação x2+5x−1 = 0 tem uma raiz no intervalo (0, 0.5). Verifique quais dos processos
abaixo podem ser usados, com sucesso, para obtê-la:
a) xk+1 =
1− x2k
5
b) xk+1 =
1− 5xk
xk
c) xk+1 =
√
1− 5xk
Questão 7. A equação x2 − b = 0 tem como raiz ξ =
√
b. Considere o método do ponto fixo com a
função de iteração
ϕ =
b
x
a) Comprove que ϕ′(ξ) = −1
b) O que acontece com a sequência {xk} tal que xk+1 = ϕ(xk)?
Questão 8. Dê uma interpretação geométrica dos métodos de Newton e da secante.
Questão 9. Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir
com precisão � = 10−4.
a) x/2− tg(x) = 0
b) 2cos(x) = ex/2
c) x5 − 6 = 0
Questão 10. Considere a função f(x) = ex − 4x2.
a) Localize graficamente os zeros de f .
b) Considere o intervalo I = [−1, 5]. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o
ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-
Raphson. Aplique o método de Newton-Raphson até atingir a precisão � = 10−2. Comparando
com a localização dos zeros realizada no item (a), identifique qual o zero obtido nesse processo
e justifique porque a convergência foi para esta raiz.
Questão 11. Uma aplicação interessante para o método de Newton, é o cálculo da divisão ab , b 6= 0,
usando apenas operações de soma, subtração e multiplicação. Observando que ab = a ∗
1
b , a proposta
é obter, através do método de Newton e sem usar divisões, uma aproximação para 1b e em seguida
multiplicar o resultado por a. Sabemos que 1b é solução da equação bx − 1 = 0. Mas, para aplicar
o método de Newton, sem realizar divisões, teremos que trabalhar com f(x) = b − 1/x e resolver a
equação b − 1/x = 0. Com esta função f(x) e sua derivada f ′(x) é posśıvel escrever a expressão do
método de Newton para xk+1 e após algumas manipulações algébricas obter uma expressão que não
dependa de divisões.
a) Obtenha a expressão (do método de Newton) para xk+1 de modo que independa de divisões.
b) Aplique este processo para obter o resultado de 3b , onde b é o número formado pelos dois últimos
d́ıgitos da sua matŕıcula. Explique como escolheu o chute inicial.
Questão 12.
O valor de π pode ser obtido através da resolução das equações sin(x) = 0 e cos(x) + 1 = 0.
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a) Aplique o método de Newton-Raphson com x0 = 3 e precisão � = 10
−7 em cada uma das
equações e compare o resultados. Justifique os resultados obtidos.
b) O método da bissecção pode ser aplicado na resolução da equação cos(x) + 1 = 0 para obter o
valor de π?
Questão 13. O método de Newton-Raphson Modificado consiste em gerar a sequência {xk} através
da seguinte iteração:
xk+1 = xk −
f(xk)
f ′(x0)
em que x0 é uma aproximação inicial.
a) Com aux́ılio de uma gráfico escreva um interpretação geométrica deste método.
b) Cite algumas situações em que é conveniente usar este método no lugar do método de Newton-
Raphson.
Questão 14. A equação x2 − b = 0 tem como solução exata ξ =
√
b.
a) Explique como obter
√
b através do método de Newton-Raphson e como obter uma aproximação
inicial.
b) Generalize o procedimento para obter a raiz p de um número positivo b, p
√
b. Isto é, explique
como obter xk+1 através do método de Newton-Raphson em função dos valores de p e b.
c) Aplique os processos dos itens anteriores para obter
√
b e p
√
b, em que b é formado pelos 3 últimos
d́ıgitos da sua matŕıcula e p é o último d́ıgito da sua matŕıcula acrescido de 3. Como pode ser
escolhido o chute inicial?
Questão 15. Seja f(x) = x exp(−x)− exp(−3).
a) Verifique gráfica e analiticamente que f(x) possui um zero num intervalo (0, 1);
b) Justifique, teoricamente, o comportamento da sequência colocada a seguir, gerada pelo método
do de Newton para o cálculo do zero de f em (0, 1), com x0 = 0.9 e precisão � = 5× 10−6.
x0 = 0.9 x3 = −5.1452 x6 = −2.7182 x9 = −0.7444 x12 = 0.0440
x1 = −6.8754 x4 = −4.3079 x7 = −1.9863 x10 = −0.3041 x13 = 0.0480
x2 = −6.0024 x5 = −3.4962 x8 = −1.3189 x11 = 0.0427
Questão 16. Seja
f(x) =
x2
2
+ x(ln(x)− 1),
obtenha seus pontos cŕıticos com o aux́ılio de um método numérico.
Questão 17. Use o método da secante para obter o ponto sobre a curva y = 1/x mais próximo do
ponto (x, y) = (2, 1).
Questão 18. Encontre os pontos onde a elipse que satisfaz x
2
3 +y
2 = 1 intersecta a parábola y = x2−2.
Questão 19. Considere a seguinte equação: 2 cos(x) − 0.5 exp(x). Nos itens abaixo considere como
aproximações iniciais: [0, 1] para o método da bissecção; x0 = 0.5 para o método de Newton e x0 = 0.5
e x1 = 0.6 para o método da secante. O teste de parada foi |f(xk)| < 10−8.
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Método Iterações Tempo (s) x
Bissecção 27 0.09023 0.9047882184386253
Newton 4 0.04236 0.9047882178730189
Secante 5 0.01925 0.9047882178676230
a) Realize uma iteração de cada método: cálculo de nova aproximação e teste de parada.
b) Resolvendo este problema usando MatLab, os resultados obtidos foram os seguintes:
(i) Qual o método com o menor tempo médio por iteração? Este resultado é esperado? Por
quê?
(ii) Analise o desempenho de cada método considerando: o algoritmo geral do método e o
número de iterações e o tempo de execução gastos neste problema. Qual dos três métodos
foi o mais eficiente na resolução deste problema?
Questão 20. Escreva qual o equação deve ser resolvida computacionalmente para calcular
a) e2
b) arctg(2)
c) ln(2)
Resolva cada uma destas equações através do método de Newton-Raphson com precisão de 10−4,
escolhendo um chute inicial conveniente.
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Respostas:
01.
a) Um raiz positiva no intervalo [0, 1].
Infinitas ráızes negativas nos intervalos [−kπ, (1− k)π], k = 1, 2 . . ..
b) ξ = 0 é uma raiz. As outras ráızes estão nos intervalos:
(kπ, kπ + π/2) para k = 1, 2, 3, . . . e (kπ − π/2, kπ), para k = −1,−2,−3, . . .
c) ξ ∈ [1, 2]
d) ξ ∈ [0, 1]
e) ξ ∈ [9, 10]
03.
a) Tomando como intervalo inicial [0.6, 0.7], x̄ = 0.6188, com � < 10−3.
b) Tomando como intervalo inicial [−0.9,−0.8], x̄ = −0.8687, com � < 10−2.
04. k = 14
06.
a) |ϕ′(x)| < 1 para −2.5 < x < 2.5.
b) |ϕ′(x)| < 1 para |x| > 1.
c) |ϕ′(x)| < 1 para x < −1.05. Portanto, o processo definido no item a) é o mais indicado.
07. b) Observe que a sequência não converge.
09.
a) x̄ = 4.2747827467
b) x̄ = 0.9047940617
c) x̄ = 1.4309690826
10.
a) Existe raiz nos intervalos [−1, 0], [0, 1] e [4, 5]
b) No método da bisseção a raiz encontrada é x̄ = 4.25. No método de Newton a raiz encontrada
é x̄ = 4.3066.
11.
a)xk+1 = 2xk − bx2k
12.
a) Para a equação sen(x) = 0, x̄ = 3.1415926533 com f(x̄) = 2.9× 10−10em 2 iterações.
Para a equação cos(x) + 1 = 0, x̄ = 3.14131672164 com f(x̄) = 2.9× 10−10 em 9 iterações.
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b) Não, pois cos(x) + 1 ≤ 0.
13.
a) o ponto xk+1 será a interseção, com o eixo
−→
Ox, da reta que passa por (xk, f(xk)) e é paralela à reta
tangente à curva f(x) no ponto (x0, f(x0)).
15.
a) f(x) é cont́ınua em [0, 1], f(0) < 0 e f(1) > 0.
b) x0 = 0.9 está muito próximo de um zero de f
′(x), verifique isto.
16. Esta função tem apenas um ponto cŕıtico. Justifique isto. Usando o método de Newton com
x0 = 0.5, x̄ = 0.567138988 com � = 10
−4.
17. (x, y) = (1.8667, 0, 5357)
18. (±1.1101388,−0.7675919) e (±1.5602111, 0.342585).
20.
a) ln(x)− 2 = 0, e2 ∼= 7.3890.
b) tg(x)− 2 = 0, arctg(2) ∼= 1.1072.
a) ex − 2 = 0, e2 ∼= 0.693148.
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